Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải bài toán cực trị đại số ở bậc THCS

hi HS giỏi cấp Huyện, cấp Tỉnh,đề thi vào lớp10 đều có một câu về tìm GTLN,GTNN. Các dạng Toán cực trị thường rất phong phú về chủng loại. Nó liên quan mật thiết với các hằng đẳng thức, bất đẳng thức, phương trình và hệ phương trình. 
 Để giải được bài toán cực trị đòi hỏi HS phải biết vận dụng nhiều kiến thức đặc biệt là kỹ năng biến đổi đồng nhất biểu thức đại số. Chính vì vậy giáo viên phải cung cấp cho HS công cụ để giải các bài toán cực trị Đại số bằng hệ thống các phương pháp giải cho từng dạng Toán. Vì vậy trong những năm công tác và trực tiếp giảng dạy môn Toán ở các khối lớp 8, 9 tôi luôn suy nghĩ tìm tòi, tích lũy kinh nghiệm giảng dạy chuyên đề ”Tìm giá trị lớn nhất, Tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức Đại số”. Xuất phát từ lý do trên tôi quyết định chọn “ Một số phương pháp giải bài toán cực trị đại số ở bậc THCS” làm đề tài nghiên cứu cho mình
II - Phạm vi và đối tượng nghiên cứu: 
 Đề tài áp dụng đối với học sinh lớp 8, 9 trong các giờ luyện tập, ôn tập cuối kỳ, thi học sinh giỏi.
 III-Nhiệm vụ nghiên cứu
1. Nghiên cứu về một số kiến thức cơ bản về các dạng toán cực trị đại số phù hợp với nhận thức của học sinh THCS.
2. Trang bị cho học sinh một số phương pháp giải một số bài toán cực trị, áp dụng để làm bài tập.
3. Rút ra một số nhận xét và chú ý khi làm từng phương pháp.
4. Chọn lọc, hệ thống một số bài tập hay gặp cho phù hợp với từng phương pháp giải.
5. Rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức để giải các bài toán cực trị.
 IV - Phương pháp nghiên cứu:
Trong qúa trình nghiên cứu tôi sử dụng một số phương pháp sau:
1. Tìm hiểu thực tế học sinh.
2. Xây dựng cơ sở lý luận, tham khảo và thu thập tài liệu.
3. Trao đổi ý kiến với đồng nghiệp
V-Kế hoạch nghiên cứu
Thời gian: Từ tháng 9/2007 đến tháng 3/2008
Thực hiện: +Xây dựng phương pháp soạn bài
 +áp dụng phương pháp trong các tiết dạy lý thuyết, luyện tập,ôn tập,tự chọn
 + Hoàn thành phương pháp sau khi giảng dạy
B-giảI quyết vấn đề
I- Cơ sở lý luận
Mục đích của công tác giáo dục là nhằm đào tạo những người kế tục sự nghiệp cách mạng to lớn của nhân dân. Vì vậy mà tất cả các môn học dạy ở trường phổ thông, trong đó có môn toán học, đều phải phục vụ mục đích đào tạo đó.Việc giảng dạy toán học ở trường THCS có trách nhiệm góp phần chuẩn bị về mọi mặt cho thế hệ trẻ để họ có đầy đủ tư cách và khả năng tham gia tích cực vào sự nghiệp xây dựng đất nước.
Toán học là công cụ thiết yếu giúp HS học tập tốt các môn học khác, đồng thời giúp cho người học đạt hiệu quả cao trong học tập cũng như trong mọi hoạt động xã hội khác. Muốn đạt được mục đích đó trước tiên phải biết vận dụng kiến thức Toán để giải Toán một cách linh hoạt sáng tạo. Phần lớn các bài toán cực trị đại số trong chương trình THCS không được giới thiệu ở phần lý thuyết của SGK mà chỉ có ở SBT và các sách nâng cao mà phần lớn HS của trường tôi hiện thiếu rất nhiều sách nâng cao, sách tham khảo. Chính vì vậy trong quá trình dạy học GV phải biết chọn lọc những bài tập, những dạng toán cực trị hay gặp để dạy cho HS, qua đó giúp HS nắm được các phương pháp giải cho từng dạng toán.
Để có thể nắm vững”các phương pháp giải bài toán cực trị đại số” HS cần phải rèn luyện các phẩm chất trí tuệ:
-Tập quan sát, dự đoán
-Tính chính xác trong suy luận
-Suy luận lô gíc, chặt chẽ
-Tính kiên nhẫn, chịu khó, óc sáng tạo
II-Thực trạng
Một trong những thực trang hiện nay là các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất được đưa vào sách giáo khoa còn ở mức độ đơn giản trong khi đó thời gian giành cho các tiết chữa bài tập thì hạn hẹp, do vậy giáo viên chỉ hướng dẫn học sinh phân tích đề bài và chữa bài tập, ít có thời gian để khai thác, mở rộng bài toán mới dẫn đến khi gặp bài toán khác một chút là học sinh không giải được. Đặc biệt trong chương trình toán THCS các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất gọi chung là các bài toán cực trị chiếm vị trí quan trọng, các dạng toán phong phú đòi hỏi vận dụng nhiều kiến thức, học sinh phải biết biến đổi đồng nhất các biểu thức đại số, sử dụng khá nhiều các hằng đẳng thức đáng nhớ từ dạng đơn giản đến phức tạp, bởi thế có thể nói bài toán cực trị ở cấp II giúp học sinh có điều kiện rèn luyện kỹ năng biến đổi đồng nhất các biểu thức hữu tỷ, dạng toán này còn có sự liên quan mật thiết đến bất đẳng thức, phương pháp giải hệ phương trình và phương trình, rèn luyện cho học sinh nếp nghĩ tư duy toán học cao.Tuy nhiên nếu trong quá trình dạy học mà GV không cung cấp cho HS hệ thông các phương pháp giải cho từng dạng toán cực trị thì ngay cả HS khá, giỏi nhiều lúc cũng sẽ rất lúng túng
trước một bài toán
Với đề tài này thì mục đích nghiên cứu cụ thể là:
 1. Giúp học sinh học tập môn toán nói chung và việc giải các bài toán cực trị nói riêng, trang bị cho học sinh một số kiến thức mới nhằm nâng cao năng lực học toán và làm công cụ giải quyết một số bài toán liên quan.
2. Giúp học sinh vận dụng, nắm vững một cách hệ thống các phương pháp cơ bản và sử dụng thành thạo các phương pháp đó để giải bài tập.
3. Thông qua giải các bài toán cực trị giúp học sinh thấy rõ mục đích của việc học toán, giải đáp thắc mắc sửa chữa những sai lầm hay gặp và giải tốt hơn các bài toán cực trị đồng thời góp phần nâng cao chất lượng giáo dục.
III- Nội dung:
* Kiến thức cơ sở:
1. Để tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức A ta cần:
+ Chứng minh rằng: A ³ k với " giá trị của biến với k là hằng số.
 + Dấu “=” có thể xảy ra với một giá trị nào đó của biến.
2. Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biếu thức A ta cần:
+ Chứng minh rằng: A Ê k với " giá trị của biến với k là hằng số.
+ Dấu “=” có thể xảy ra với một giá trị nào đó của biến.
*Chú ý: 
	1) Nếu chỉ chứng minh được A ³ k (hoặc A Ê k) không thì chưa đủ để kết luận về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Lời giải: Ta có: (x - 1)2 ³ 0 với "x (1)
(x - 3)2 ³ 0 với "x (2)	
ị A ³ 0 với "x.
Học sinh có thể mắc sai lầm vì ở đây không thể kết luận được min A = 0. Do không xảy ra đồng thời hai bất đẳng thức (1) và (2). Do vậy ta có thể giải bài toán như sau:
Ta có: A = x2 – 2x + 1 + x2 – 6x + 9 = 2x2 – 8x + 10
	 = 2(x2 – 4x + 5) = 2(x2 – 4x + 4) + 2.
Ta có: 	A = 2(x-2)2 + 2 ³ 2. Vậy	minA = 2 Û x = 2.
2) Một biểu thức có thể có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất hoặc chỉ có một trong hai giá trị trên:
Ví dụ: Xét biểu thức B = x2 
 Ta thấy x2 ³ 0 với "x 
 và x2 = 0 Û x = 0.
Vậy B có gí trị nhỏ nhất khi x = 0. Biểu thức này không có gị lớn nhất.
Vì vậy việc tìm GTLN và GTNN của mỗi biểu thức là một vấn đề không đơn giản, đặc biệt là đối với HS bậc THCS. Khi mà các em chưa tiếp cận được một cách đầy đủ các kiến thức cơ bản để giải loại toán này. Trong khuôn khổ của đề tài, tôi chỉ đề cập tới một số dạng toán cực trị thường gặp ở bậc THCS.
* Phân dạng và ví dụ minh hoạ:
1. Phương pháp giải bài toán tìm GTLN và GTNN của một biểu thức đại số bằng cách đa về dạng A(x) ³ 0 hoặc A(x) Ê 0.
a)Kiến thức cơ sở:
- Trong tập hợp các số (nguyên, hữu tỷ, thực) không âm thì số 0 có giá trị nhỏ nhất.
- Trong tập hợp các số (nguyên, hữu tỷ, thực) không dương thì số 0 có giá trị lớn nhất.
Từ đó ta có thể suy ra rằng:
+ Trong tập hợp M = A(x) Ô A(x) ³ 0 thì A(x) đạt giá trị nhỏ nhất khi A(x) = 0.
+ Trong tập hợp M = A(x) Ô A(x) Ê 0 thì A(x) đạt giá trị lớn nhất khi A(x) = 0.
- Một số bài toán tìm GTNN và GTLN của biểu thức bậc hai vận dụng hằng đẳng thức: (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 .Với cơ sở x2 ³ 0, Dấu “ = ” xảy ra Û x =0 b) Các ví dụ:
*Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A(x) = 2x2 – 8x + 1 ; trong đó x là biến lấy giá trị bất kỳ.
Lời giải:
Từ A(x) = 2x2 – 8x + 1 = 2x2 – 2.4x + 1 = 2(x2 – 2.2x + 4 – 4) + 1
= 2 [(x – 2)2 – 4] + 1 = 2(x – 2)2 – 7
Vì (x – 2)2 ³ 0 với "x nên ta có A(x) = 2(x – 2)2 – 7 ³ - 7.
Dấu”=” xảy raÛ x-2 = 0Û x=2
Vậy A(x)min = - 7 Û x = 2.
*Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
a) B = -3x2 + 2x + 5
b) C = -x2 + 6x – 15
Lời giải:
a)Ta có B = -3x2 + 2x + 5
Vì
Vậy
b) Ta có: C = -x2 + 6x – 15
= -(x2 – 6x + 9 +6) = -(x-3)2 – 6
Vì (x-3)2 ³ 0 với "x ị C = -(x-3)2 – 6 Ê -6 với "x.
Vậy Cmax = -6 Û x – 3 = 0 hay x = 3.
Đối với đa thức bậc hai M = ax2 + bx + c ta có
M
Đặt
Như vậy:
a)Nếu a > 0
Khi đó MinM = k Û và không có giá trị lớn nhất.
b) Nếu a < 0
Khi đó MaxM = k Û và không có giá trị nhỏ nhất.
Vậy nếu: 	+Hệ số a > 0, tam thức bậc hai có giá trị nhỏ nhất.
+Hệ số a < 0, tam thức bậc hai có giá trị lớn nhất.
2. Phương pháp miền giá trị của hàm số:
a)Kiến thức cơ sở:
Giả sử ta tìm cực trị của hàm số f(x) có miền giá trị là (D). Gọi y0 là một giá trị nào đó của f(x) với x ẻ (D). Điều này có nghĩa là phương trình: f(x) = y0 phải có nghiệm. Sau khi giải phương trình điều kiện có nghiệm thường đưa đến bất đẳng thức:
m Ê y0 Ê M
Từ đó suy ra minf(x) = m ;	maxf(x) = M
(xẻD) 	 (xẻD)
b)Các ví dụ:
*Ví dụ 1: Tìm cực trị của hàm số y = -2x2 - x + 1.
Lời giải:
Hàm số xác định với "x ẻ R, giả sử y0 là một giá trị nào đó của y, (y = y0).
Xét phương trình bậc hai ẩn x:
-2x2 - x + 1 – y 0 = 0
Û 2x2 + x + y 0 - 1 = 0 (*)
Điều kiện để phương trình (*) có nghiệm là:
= 1 – 8(y0 – 1) ³ 0 Û -8y0 + 9 ³ 0
phương trình (*) có nghiệm kép.
Vậy
Hay
*Ví dụ 2: Cho biểu thức
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của A
Lời giải:
Vì x2 + 1 > 0 với "x nên A xác định với "x
Phương trình: A(x2+1) = 2(x2+x+1)
Û (A-2)x2 – 2x + (A-2) = 0 (*)
Có nghiệm khi D’ = 1 – (A-2)2 ³ 0
Û 1 Ê A Ê 3
+Khi A = 1 thì (*) Û -x2 – 2x – 1 = 0 Û (x+1)2 = 0 Û x = -1
+Khi A = 3 thì (*) Û x2 – 2x + 1 = 0 Û (x-1)2 = 0 Û x = 1
Vậy 	Min A = 1 Û x = -1
Max A = 3 Û x = 1
3. Phương pháp tìm cực trị của một biểu thức đại số bằng cách áp dụng BĐT Côsi (Cauchy).
*Kiến thức cơ sở :
Bất đẳng thức Côsi đợc viết dưới dạng khác nhau, dới đây chỉ áp dụng với các số không âm:
a)Dạng căn thức:
+
+
b) Tổng quát viết dới dạng luỹ thừa:
Đẳng thức xảy ra khi a1 = a2 = a3 = ... =an.
*Các bài toán tìm cực trị:
a)Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất:
CMR nếu hai số dương x và y có tích luôn luôn không đổi thì tổng của chúng đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau
*Lời giải:
áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dương ta có:
hay (x + y)2 ³ 4xy hay
Theo giả thiết: xy = k2 (không đổi) nên ta có
Vậy tổng M = x + y lấy giá trị nhỏ nhất khi x + y = 2k
Vậy x + y = 2k Û x = y
Tóm lại:	Với x > 0, y > 0 và xy = k2 (không đổi)
 thì x + y nhỏ nhất Û x = y.
b)Bài toán tìm giá trị lớn nhất:
Chứng minh rằng: Nếu hai số dương x và y có tổng không đổi thì tích của chúng đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.
Lời giải:
(áp dụng bất đẳng thức Côsi và chứng minh tương tự trên)
Tóm lại: 	Với x > 0, y > 0 và x + y = k2 (không đổi)
 thì xy lớn nhất Û x = y.
*Các ví dụ:
*Ví dụ 1: Tim giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Với x > 0
Lời giải:
Ta có
Ta thấy rằng 8x và là hai đại lượng lấy giá trị dương thay đổi nhưng tích của chúng: 8x. = 16 luôn luôn không đổi.
Vậy đạt GTNN Û 8x = Û 8x2 = 2 Û x2 = ị x =
Kết hợp với điều kiện x > 0 ta chỉ lấy giá trị x = với x = suy ra
Đáp số:
*Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
B(x) = 16x3 – x6 với x ẻ R+
Lời giải:
Ta có: B(x) = 16x3 – x6 = x3(16 – x3)
Rõ ràng x3 > 0 còn 16 – x3 > 0 Û 16 > x3 Û (*)
Ta nhận thấy rằng x3 và 16 – x3 là hai đại lượng biến đổi nhưng tổng của chúng: x3 + (16 – x3) = 16 không đổi.
Suy ra B(x) = x3(16 – x3) đạt giá trị lớn nhất Û x3 = 16 – x3 Û 2x3 = 16
Û x3 = 8 Û x = 2 thoả mãn điều kiện (*).
Vậy B(x) đạt giá trị lớn nhất tại x = 2
B(x)max = 16.23 - 26 = (16 – 23).23 = 8.8 = 64.
Đáp số: B(x)max = 64 Û x = 2.
*Ghi nhớ: + Qua các ví dụ áp dụng bất đẳng thức Côsi ta thấy BĐT Côsi chỉ áp dụng được với hai số không âm, ngoài điều kiện đó ta không thể áp dụng được.
+Nếu hai số dương có tổng không đổi thì tích lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.
+Nêú hai số có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau. 
 4. Phương pháp tìm cực trị (đối với đa thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối, đa thức chứa căn thức bậc hai):
a)Kiến thức cơ sở:
	*ẵAẵ + ẵBẵ ³ ẵA + Bẵ
	*ẵAẵ - ẵBẵ Ê ẵA - Bẵ
Đẳng thức xảy ra khi A . B ³ 0
*Điều kiện tồn tại là A ³ 0 và = ẵAẵ
b)Các ví dụ:
*Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của
	1) A = ẵ2x - 3ẵ
	2) B = ẵx - 1996ẵ + ẵ 2000 - x ẵ
Lời giải:
1)Theo định nghĩa của giá trị tuyệt đối ta luôn có:
 ẵ2x - 3ẵ ³ 0 dấu “=” xảy ra Û 2x – 3 = 0 Û 
Vậy MinA = 0 Û 
2) B = ẵx - 1996ẵ + ẵ2000 - x ẵ
Cách 1:
+Nếu x < 1996 ị B = -x + 1996 – x + 2000 = 3996 – 2x
Do x -3992
B = 3996 – 2x > 3996 – 3992 = 4 ị B > 4 (1).
+Nếu 1996 Ê x Ê 2000 ị B = x – 1996 + 2000 – x = 4 (2).
+Nếu x > 2000 ị B = x – 1996 + x – 2000 = 2x –3996
vì x > 2000 ị 2x > 4000 ị 2x – 3996 > 4000 – 3996 
 ị B > 4 (3)
Từ (1), (2), (3) ị MinB = 4 Û 1996 Ê x Ê 2000
Cách 2:
áp dụng bất đẳng thức: ẵAẵ + ẵBẵ ³ ẵA + Bẵ dấu “=” Û A.B ³ 0.
Ta có: B = ẵx- 1996ẵ + ẵ2000 - x ẵ³ ẵx- 1996 + 2000-xẵ = 4
Vậy B ³ 4 Û (x – 1996)(2000 – x) ³ 0.
Lập bảng xét dấu:
x
 - Ơ 1996 2000 +Ơ
x – 1996
 + 0 + ẵ +
2000 – x
 + ẵ + 0 -
 (x-1996)(2000-x)
 - 0 + 0 - 
(x-1996)(2000-x) ³ 0 Û 1996 Ê x Ê 2000
Vậy MinB = 4 Û 1996 Ê x Ê 2000.
*Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Lời giải: Điều kiện để A xác định
Với điều kiện (*) C ³ 0, bình phương hai vế ta đợc:
áp dụng bất đẳng thức Côsi với hai số không âm x-2 và 4-x
Dấu “=” xảy ra Û x – 2 = 4 – x Û x = 3
C2 Ê 4 , VT C ³ 0 nên ta đợc Max C = 2 Û x = 3.
*Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Lời giải:
	TXĐ = a ẻ R Ô a ³ 1
Đặt x = 
*Với x < 2 thì M = 2 – x + 4 – x = 6 - 2x
vì x 4 
6 – 2x > 6 – 4 ị6 – 2x > 2 ịM < 2 (1).
*Với 2 Ê x Ê 4 thì : M = x – 2 + 4 – 2 = 2 (2).
Khi đó 
*Với x > 4 thì M = x – 2 + x – 4 = 2x – 6 > 2.4 – 6 = 2 
ị M > 2 (3).
Từ (1), (2) và (3) ta được: Min M = 2 Û 5 Ê a Ê 17.
4. Phương pháp tìm GTLN và GTNN của biểu thức chứa nhiều biến số: 
*Ví dụ 1: Tìm các giá trị của x, y, z sao cho biểu sau đây đạt giá trị nhỏ nhất
P(x,y,z) = 19x2 + 54y2 + 16z2 - 16xz – 24yz + 36xy + 5.
Lời giải:
Khi gặp biểu thức chứa nhiều biến thì phương hướng giải quyết thường là: Ta cố gắng biến đổi biểu thức đã cho về tổng các biểu thức không âm.
Từ biểu thức đã cho sau khi tách và nhóm các hạng tử một cách hợp lý (theo dấu hiệu các hằng đẳng thức đáng nhớ) ta đợc
P(x,y,z) = (9x2 + 36xy+36y2) + (18y2-24yz+8z2) + (8x2–16xz+8z2)+2x2+5.
 = 9(x + 2y)2 + 2(3y - 2z)2 + 8(x - z)2 + 2x2 + 5.
Đến đây ta thấy rằng: 	(x + 2y)2 ³ 0 với "x,y
(3y – 2z)2 ³ 0 với "y,z
(x - z)2 ³ 0 với "x,z
x2 ³ 0 với "x.
Biểu thức P(x,y,z) đạt giá trị nhỏ nhất khi các hạng tử 
(x + 2y)2 ; (3y – 2z)2 ; (x - z)2 ; x2 đạt giá trị nhỏ nhất cùng một lúc.
Nói một cách khác các biểu thức trên phải có giá trị đồng thời bằng 0, nghĩa là hệ phương trình sau đây có nghiệm 
Giải hệ phương trình ta được: x = 0 ; y = 0 ; z = 0
 Vậy P(x,y,z)Nhỏ nhất = 5 Û x = y = z = 0.
*Phương pháp chung: Khi gặp P = A + B + C + ...
	 ;	 ;
Thì ta có thể kết luận: P đạt giá trị nhỏ nhất khi A, B, C đạt giá trị nhỏ nhất cùng lúc và khi đó
Để tìm ra các biến số tương đương với PNhỏ nhất ta phải giải hệ:
*Ví dụ 2: Tìm giá trị của m, p sao cho
A = m2- 4mp +5p2 +10m -22p +28 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Lời giải:
 A = m2 - 4mp + 5p2 + 10m - 22p + 28
	= (m2 – 4mp + 4p2) + (p2 – 2p + 1) + 27 + 10m – 20p
	= (m – 2p)2 + (p – 1)2 + 27 + 10(m – 2p)
Đặt X = m – 2p ta có:
	 A = X2 + 10X + (p – 1)2 + 27 
	= (X2 + 10X + 25) + (p – 1)2 + 2 = (X + 5)2 – (p – 1)2 + 2 
Ta thấy rằng (X + 5)2 ³ 0 với "m,p
(p – 1)2 ³ 0 với "p
Do đó A đạt giá trị nhỏ nhất khi X + 5 = 0 và p – 1 = 0
Đáp số AMin = 2 
6. Phương pháp giải các bài toán cực trị của một biểu thức đại số bằng cách đa về dạng 	 hoặc
*Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số:
	với "x >0
Lời giải: 
 Ta có
Vì ³ 0 với "x >0
 Do đó
Vậy A(x) đạt giá trị nhỏ nhất khi 	lúc đó x = 4
Đáp số: 	khi x = 4
*Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
	với x là biến thuộc tập hợp số thực
Lời giải: Từ 
Vì x2 + 2x + 3 = x2 + 2x + 1 + 2 = (x + 1)2 + 2 > 2 với mọi x
Nên sau khi chia cả tử thức và mẫu thức cho x2 + 2x + 3 ta được
Mặt khác vì (x + 1)2 ³ 0 với mọi x nên (x+1)2 + 2 ³ 2 với mọi x 
Do đó 
Từ đó 
M(x) đạt giá trị lớn nhất khi 	lúc đó (x + 1)2 = 0 Û x = -1.
Đáp số: 	
 *Chú ý: Từ a > b chỉ xảy ra được 	 khi a và b là hai số cùng dấu.
Thật vậy: Nếu a > b, a ạ 0, b ạ 0, a, b cùng dấu thì ab > 0. Chia cả hai vế cho ab > 0 ta có: 
*Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Lời giải: Ta có	 với mọi x nên biểu thức đã cho luôn có nghĩa. 
Cách 1:
a)Giá trị lớn nhất của D:
Ta đã biết: x2 –x + 1 > 0 với mọi x
(x – 1)2 ³ 0 dấu “=” xảy ra Û x = 1. Vậy
maxD = 2 Û x = 1.
b)Giá trị nhỏ nhất của D:
 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x + 1)2 = 0 Û x = -1.
Vậy:
Cách 2:
Vì x2 – x + 1 ạ 0 ị D (x2 –x + 1) = x2 + 1
	ị (D – 1)x2 – Dx + (D – 1) = 0 (*).
- Nếu D = 1 thì x = 0.
- Nếu D ạ 1 thì D = D2 – 4(D – 1)2 = -3D2 + 8D – 4
Điều kiện để (*) có nghiệm:
Vậy MaxD =2 Û x=1
 MinD =2/3 Û x=-1
*Chú ý: Khi tìm cực trị của một biểu thức, có khi ta thay điều kiện của biểu thức này đạt cực trị bằng điều kiện tương đương là biểu thức khác đạt cực trị.
A lớn nhất (A ạ 0) ị nhỏ nhất
B lớn nhất (B > 0) ị B2 lớn nhất.
Chẳng hạn: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức sau:
Lời giải:
Ta thấy x4 + 1 > 0 , (x2 + 1)2 > 0 ị B > 0
 nên B lớn nhất Û nhỏ nhất.
 B nhỏ nhất Û lớn nhất
Ta có: 
a)Tìm giá trị lớn nhất của B.
Vì 2x2 ³ 0 dấu “=” xảy ra Û x = 0.
Từ (*): 
 Vậy MaxB =1Û x=0
b)Tìm giá trị nhỏ nhất của B.
Ta có (x2 - 1)2 ³ 0 dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x2 = 1 Û x = ±1.
Û x4 + 1 ³ 2x2 (1) vì x4 + 1 > 0 chia hai vế của (1) cho x4 + 1
Từ (*)
*Các bài tập áp dụng:
*Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
A = 2x2 + 3x + 1.
B = x2 + 2y2 – 2xy + 2x + 10.
C = ẵx - 1ẵ + ẵx - 3ẵ.
e) Cho a, b là hai số thoả mãn a ³ 3 và a+b ³ 5. Tìm GTNN của biểu thức
	E = a2 + b2.
f) 
*Bài tập 2: Tìm GTLN của biểu thức:
A = 5 - ẵ2x - 1ẵ
B = 1 – x – x2.
*Bài tập 3: Tìm GTNN và GTLN của các phân thức sau:
a)
 b)
 c)
3) Kết quả
Tôi hy vọng đề tài này sẽ giúp ích cho các em học sinh THCS trong việc học và giải các bài toán cực trị đại số. Qua đó các em có phương pháp giải nhất định tránh tình trạng định hướng giải chưa đúng, lúng túng trong trình bầy lời giải, hạn chế sai lầm khi giải bài tập, giúp học sinh hứng thú, tích cực học tập hơn đạt kết quả cao hơn trong các kỳ thi.
E. Kết luận:
 Qua quá trình dạy toán ở cấp THCS với đề tài “Một vài phương pháp giải các bài toán cực trị đại số ở bậc THCS”. Đây là một đề tài rất hữu ích cho giáo viên toán trường THCS.
 Việc tìm hiểu nghiên cứu các bài toán cực trị tuy là một vấn đề khó và rộng, nhiều bài toán phức tạp cần có t duy tốt và kỹ năng vận dụng lý thuyết linh hoạt thì đó học sinh mới có thể hiểu sâu và hiểu rộng vấn đề.
 Sau khi áp dụng đề tài tại trường THCS ở công tác tôi thấy các em học sinh đã hiểu tốt bản chất các loại bài toán tìm cực trị đại số, vận dụng tốt 
phương pháp phù hợp với từng dạng để giải toán. Biết cách suy luận từ bài toán khó và có sự phát hiện, tìm tòi các phương pháp giải hay hơn, qua đó xây dựng cho các em niềm đam mê hứng thú học tập. Trân trọng những suy nghĩ, những ý kiến phát biểu sáng tạo dù rằng rất nhỏ của các em để có tác dụng động viên, khích lệ, kích thích khả năng tự nghiên cứu tìm tòi của các em.
 F- Đề nghị:
Đề tài này hoàn thành ngoài việc nghiên cứu tài liệu liên quan, sự nỗ lực của cá nhân và các đồng nghiệp đóng góp nhiều ý kiến quý báu, tôi hy vọng đề tài “Một số phương pháp giải bài toán cực trị đại số ở bậc THCS”, là tài liệu tham khảo cho các bạn đồng nghiệp, các em học sinh và sau khi đọc đề tài này các em sẽ có kỹ năng giải các bài toán cực trị và thêm yêu thích môn Toán.
Rất mong các quý thầy cô và anh, chị, em đồng nghiệp khi đọc sẽ có những góp ý, phê bình thiết thực để đề tài được phong phú và đầy đủ hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn !