Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng trong phân môn đại số

 pháp đổi biến số nhằm đưa bài toán đã cho về dạng đơn giản hơn , gọn hơn , dạng những bài toán đã biết cách giải ... 
Các ví dụ : 
Bài 8. 1 :
 Chứng minh rằng : Nếu a , b , c > 0 thì : 
 Lời giải: 
 Đặt : b +c = x , c + a = y , a + b = z 
 → a + b + c = 
 → a = , b = , c = 
 Khi đó : 
 VT = = 
 = 
 Vậy: 
Bài 8.2 :
 Chứng minh rằng ; với mọi số thực x, y ta có bất đẳng thức : 	
 	 - 
 Lời giải:
 Đặt : a = và b = 
 → ab = 
 Ta có dễ thấy với mọi a, b thì : - 
 Mà : (a - b)2 = 
 (a + b)2 = 
 Suy ra : - ab .
Bài 8.3 :
 Cho a, b, c > 0 ; a + b + c 1 . 
 Chứng minh rằng : 
Lời giải : 
 Đặt : a2 + 2bc = x ; b2 + 2ca = y ; c2 + 2ab = z 
 Khi đó : x + y + z = a2 + 2bc + b2 + 2ca + c2 + 2ab 
 = (a + b + c)2 1
 Bài toán trở thành : Cho x, y, z > 0 , x + y + z 1 .
	Chứng minh rằng : 
 	Ta chứng minh được : (x + y + z)( 
	Theo bất đẳng thức Côsi 
 Mà : x + y + z 1 nên suy ra .
Phương pháp 9: Chứng minh phản chứng .
 - Kiến thức : 
 Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng , ta hãy giả sử bất dẳng thức đó sai , sau đó vận dụng các kiến thức đã biết và giả thiết của đề bài để suy ra điều vô lý .
 Điều vô lý có thể là trái với giả thiết , hoặc là những điều trái nhược nhau , từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh là đúng .
 Một số hình thức chứng minh bất đẳng thức :
	 + Dùng mệnh đề đảo 
	 + Phủ định rồi suy ra điều trái với giả thiết .
	 + Phủ định rồi suy ra trái với điều đúng .
	 + Phủ định rồi suy ra hai điều trái ngược nhau .
	 + Phủ định rồi suy ra kết luận .
Các ví dụ : 
Bài 9. 1 : 
 Cho 0 1
 3b(1 - c) > 2
 8c(1 - d) > 1
 32d(1 - a) > 3
Lời giải:
	Giả sử ngược lại cả bốn đẳng thức đều đúng . Nhân từng vế các bất đẳng thức trên ta có
 ta có : 2.3.8.32a(1 - b)b(1 - c)c(1 - d)d(1 - a) > 2 .3
 	→ (1)
 Mặt khác , áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :
 → a(1 - a) 
 Tương tự : b(1 - b) 
 c(1 - c) 
 d(1 - d) 
 Nhân từng về các bất đẳng thức ; ta có :
 (2)
 Từ (1) và (2) suy ra vô lý .
 Điều vô lý đó chứng tỏ ít nhất một trong 4 bất đẳng thức cho trong đầu bài là sai .
 Phủ định rồi suy ra hai điều trái ngược nhau 
Bài 9.2 : Chứng minh rằng không có 3 số dương a, b, c nào thoả mãn cả ba bất đẳng thức sau : ; ; 
 Giải: 
 Giả sử tồn tại 3 số dương a, b, c thoả mãn cả 3 bất đẳng thức : 
 ; ; 
	Cộng theo từng vế của 3 bất đẳng thức trên ta được : 
 ⇔ (1)
 Vì a, b, c > 0 nên ta có : ; ; 
 → Điều này mâu thuẫn với (1)
	Vậy không tồn tại 3 số dương a, b, c thoả mãn cả 3 bất đẳng thức nói trên . → đpcm 
Bài 9.3 :
 Chứng minh rằng không có các số dương a, b, c thoả mãn cả 3 bất đẳng thức sau : 
 	 4a(1 - b) > 1 ; 4b(1 - c) > 1 ; 4c(1 - a ) > 1 .
Hướng dẫn : tương tự như bài 2 : 
 Phủ định rồi suy ra trái với điều đúng 
 Bài 9.4 :
 	Cho a3 + b3 = 2 . Chứng minh rằng : a + b 2 .
Giải : 
 Giả sử : a + b > 2→ (a + b )3 > 8 
 → a3 + b3 + 3ab(a + b) > 8 
 → 2 + 3ab(a + b) > 8 ( Vì : a3 + b3 = 2 ) 
 → ab(a + b) > 2 
 → ab(a + b) > a3 + b3 ( Vì : a3 + b3 = 2 ) 
 Chia cả hai vế cho số dương a, b ta được : 
 ab > a2 - ab + b2 → 0 > (a - b)2 Vô lý 
	 Vậy : a + b 2 
Phương pháp 10: Dùng phép quy nạp toán học .
	- Kiến thức : Để chứng minh một bất đẳng thức đúng với n > 1 bằng phương pháp quy nạp toán học , ta tiến hành : 
	+ Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n = 1 (n = n0)
	+ Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k > 1 (k > n0)
	+ Chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1 
	+ Kết luận bất đẳng thức đúng với n > 1 (n > n0) 
	- Ví dụ : 
Bài 10.1 : 
 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n 3 thì 
 2n > 2n + 1 (*)
 Lời giải : 
 + Với n = 3 , ta có : 2n = 23 = 8 ; 2n + 1 = 2.3 + 1 = 7 ; 8 > 7 . Vậy đẳng thức (*) đúng với n = 3 .
 + Giả sử (*) đúng với n = k (k N ; k 3) , tức là : 2k > 2k + 1 
 ta phải chứng minh : 2k+1 > 2(k + 1) + 1 
 hay : 2k+1 > 2k + 3 (**) 
 + Thật vậy : 2k+1 = 2.2k , mà 2k > 2k + 1 ( theo giả thiết quy nạp ) 
do đó : 2k +1 > 2(2k + 1) = (2k + 3) +(2k - 1) > 2k + 3 ( Vì : 2k - 1 > 0) 
 Vậy (**) đúng với mọi k 3 .
 + Kết luận : 2n > 2n + 1 với mọi số nguyên dương n 3 .
Bài 10.2 :
 Chứng minh rằng : 
 ..... (*) (n là số nguyên dương ) 
Lời giải : 
 + Với n = 1 , ta có : VT = VP = . Vậy (*) đúng với n = 1 .
 + Giả sử (*) đúng với n = k 1 ta có : ..... 
 Ta cần chứng minh (*) đúng với n = k + 1 , tức là : 
 ..... . .
 do đó chỉ cần chứng minh : 
 dùng phép biến đổi tương đương , ta có : 
 (2k + 1)2(3k + 4) (3k + 1)4(k +1)2 
 ⇔ 12k3 + 28k2 + 19k + 4 12k3 + 28k2 + 20k +4
 ⇔ k 0 → (**) đúng với mọi k 1 .
 Vậy (*) dúng với mọi số nguyên dương n .
11. Phương pháp 11 :
 Kĩ thuật chứng minh bất đẳng thức có điều kiện.
 Cho C ≥ D Chứng minh rằng A ≥ B ta chứng minh: (A - B) + (D - C) ≥ 0
 Các ví dụ:
Bài 11.1:
 Cho a + b ≥ 1 Chứng minh rằng: a2 + b2 ≥ 12
Lời giải:
 Xét (a2 + b2 - 12 ) + (1 - a - b) 
 = (a2 - a + 14 ) + (b2 - b + 14 )
 = ( a - 12 )2 + (b - 12 )2 ≥ 0 ∀ a, b
 Mà a + b ≥ 1 nên 1 - a - b < 0 do đó a2 + b2 - 12 ≥ 0 a2 + b2 ≥ 12 
 ( đpcm)
Bài 11.2: 
 Chứng minh rằng: Nếu a + b ≥ 2 thì a3 + b3 ≤ a4 + b4
 Lời giải:
 Ta có : a4 + b4 - a3 - b3 + 2 - a - b 
 =(a4 - a3 - a + 1) + ( b4 - b3 - b + 1)
 = a3 (a - 1)-(a - 1 ) + b3(b - 1)- (b - 1)
 = (a - 1)(a3 -1) + (b - 1)(b3 -1) 
 = (a - 1)2( a2 +a + 1) + (b - 1)2( b2 +b + 1) 
 Mà a2 +a + 1= ( a - 12 )2 + 34 > 0 ∀ a 
 b2 +b + 1 = ( b - 12 )2 + 34 > 0 ∀ b
 Do đó (a - 1)2( a2 +a + 1) + (b - 1)2( b2 +b + 1) ≥ 0 ∀ a, b
 Hay a4 + b4 - a3 - b3 + 2 - a - b ≥ 0 ∀ a, b
 Suy ra a4 + b4 - a3 - b3 ≥ 0 ( 2 - a - b ≤ 0)
 a4 + b4 ≥ a3 + b3 (đpcm)
Bài11.3:
 Cho x ,y > 0 thỏa mãn x3 + y3 = x - y .
 Chứng minh rằng: x2 + y2 < 1
Lời giải:
 Ta có 1 - x2 - y2 = 1 - x2 - y2 + x3 + y3 - x + y
 = y3 - y2 + y + x3 - x2 - x + 1 
 = y ( y2 -y + 1) + x2 (x -1 )- ( x - 1) 
 = y ( y2 -y + 1) + ( x - 1)2(x + 1) > 0 ∀ x, y
 Suy ra 1 - x2 - y2 > 0 x2 + y2 < 1
Bài tập tự giải:
Bài 11.4:
 Cho x, y là các số dương thỏa mãn: x3 + y4 ≤ x2 + y3 
Bài 11.5:
 Chứng minh rằng: Nếu a + b + c ≥ 3 thì a4 + b4 + c4 ≥ a3 + b3 + c3 
 III : ứng dụng của bất đẳng thức 
 1- Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị .
 - Kiến thức : Nếu f(x) m thì f(x) có giá trị nhỏ nhất là m .
	 Nếu f(x) M thì f(x) có giá trị lớn nhất là M .
 Ta thường hay áp dụng các bất đẳng thức thông dụng như : Côsi , Bunhiacôpxki , bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối .
 Kiểm tra trường hợp xảy ra dấu đẳng thức để tìm cực trị .
 Tìm cực trị của một biểu thức có dạng là đa thức , ta hay sử dụng phương pháp biến đổi tương đương , đổi biến số , một số bất đẳng thức ...
 Tìm cực trị của một biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối , ta vận dụng các bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối 
 Chú ý : 
 Xảy ra dấu '' = '' khi AB 0 
 Dấu ''= '' xảy ra khi A = 0 
Bài 1 :
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : B = a3 + b3 + ab ; Cho biết a và b thoả mãn : a + b = 1 .
Lời giải:
 B = (a + b)(a2 - ab + b2) + ab 
 = a2 - ab + b2 + ab = a2 + b2 
 Ta có : 2(a2 + b2) (a + b)2 = 1 → a2 + b2 
 Vậy min B = khi a = b = 
Bài 2: 
 a, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
 A = (x2 + x)(x2 + x - 4) 
 b, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
 B = - x2 - y2 + xy + 2x +2y 
 Lời giải: 
 a, A = (x2 + x)(x2 + x - 4) Đặt : t = x2 + x - 2 
 → A = (t - 2)(t + 2) = t2 - 4 - 4 
 Dấu bằng xảy ra khi : t = 0 x2 + x - 2 = 0 
 (x - 2)(x + 2) = 0 ⇔ x = -2 ; x = 1 .
 → min A = - 4 khi x = -2 ; x = 1 ;
 b, Tương tự 
Bài 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
 a, C = 
 b, D = 
 c, E = 
Giải : 
 a, áp dụng BĐT : 
 Dấu '' = ''xảy ra khi AB 0 .
 C = 
 Dấu '' = '' xảy ra khi (2x - 3)(1 - 2x) 0 ⇔ 
 Vậy minC = 2 khi 
 b, Tương tự : minD = 9 khi : -3 x 2
 c, minE = 4 khi : 2 x 3
Bài 4 : Cho a < b < c < d , tìm : 
 Minf(x) = + + + 
Hướng dẫn : tương tự : minf(x) = d + c - b - a khi b x c
Bài 5 : Cho ba số dương x , y , z thoả mãn : + + 2
 Tìm giá trị lớn nhất của tích : P = xyz 
 Giải : 
 (1 - ) + ( 1 - ) = + 2
 Tương tự : 2
 2
 Từ đó suy ra : P = xyz 
 MaxP = khi x = y = z = 
Bài 6 : 
 Cho 3 số dương a, b, c thảo mãn : a + b + c = 1 . 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : F = 
Lời giải: 
 Ta có : F = (a2 + b2 + c2) + () + 6 
 Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki , ta có : 
 (a.1 + b.1 + c.2)2 3(a2 + b2 + c2)
 → a2 + b2 + c2 
 Tương tự : 3
 Mặt khác : ().1 = ()(a + b + c)
 = 3 + () + () + () 3 + 2 + 2 + 2 = 9
 → 9
 → 81
 → 27
 F + 27 + 6 = 33
 Dấu '' = '' xảy ra khi : a = b = c = 
 Vậy MinF = 33 khi : a = b = c = .
Bài 7 : Cho G = 
 Tìm giá trị lớn nhất của G 
 Lời giải : 
 Tập xác định : x 1 ; y 2 ; z 3 
 Ta có : G = + + 
 Theo BĐT Côsi ta có : → 
 Tương tự : ; 
 → G 
 Vậy MaxG = đạt được khi x = 2 ; y = 2 ; z = 6 
Bài 8 a, Tìm giá trị nhỏ nhất của H = với x > 1 .
 b. Tìm giá trị lớn nhất của K = 
 Hướng dẫn : áp dụng bất đẳng thức Côsi và làm tương tự như bài 5 : 
2 - Dùng bất đẳng thức để giải phương trình .
 - Kiến thức :
 Nhờ vào các tính chất của bất đẳng thức , các phương pháp chứng minh bất đẳng thức , ta biến đổi hai vế ( VT , VP ) của phương trình sau đó suy luận để chỉ ra nghiệm của phương trình .
 Nếu VT = VP tại một hoặc một số giá trị nào đó của ẩn ( thoả mãn TXĐ) 
 → phương trình có nghiệm .
 Nếu VT > VP hoặc VT < VP tại mọi giá trị của ẩn .
 → phương trình vô nghiệm .
 - Các ví dụ : 
Bài 1 : Giải phương trình : 
 13 + 9 = 16x
 Lời giải: 
 Điều kiện : x 1 (*)
 Cách 1 : áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : 13 + 9
 = 13.2. + 3.2.
 13( x - 1 + ) + 3(x + 1 + ) = 16x 
	Dấu '' = '' xảy ra 
 x = thoả mãn (*) 
	Phương trình (1) có nghiệm dấu '' = '' ở (2) xảy ra 
 Vậy (1) có nghiệm x = . 
Bài 2:
 a. Tìm giá trị lớn nhất của L = + 
 b. Giải phương trình : + - x2 + 4x - 6 = 0 (*)
 Lời giải : 
 a. Tóm tắt : ( + )2 2(2x - 3 + 5 - 2x) = 4
 + 2
 → MaxL = 2 khi x = 2 .
 b. TXĐ : 
 (*) + = x2 - 4x + 6 
 VP = (x - 2)2 + 2 2 , dấu '' = '' xảy ra khi x = 2 .
 → với x = 2 ( thoả mãn TXĐ ) thì VT = VP = 2 .
 → phương trình (*) có nghiệm x = 2 .
 Bài 3 : Giải phương trình :
 + = x2 - 6x + 13 
 Giải : TXĐ : -2 x 6.
 VP = (x - 3)2 + 4 4 . Dấu '' = '' xảy ra khi x = 3 .
 VT2 = (.1 + .1)2 (6 - x + x + 2)(1 + 1) = 16
 → VT 4 , dấu '' = '' xảy ra khi = ú x = 2 .
 → không có giá trị nào của x để VT = VP → Phương trình vô nghiệm
 Bài 4 : Giải phương trình : 
 + = 5
 HD : 2 ; 3 => VT 5 .
 Dấu '' = '' xảy ra khi : ú 
 → phương trình có nghiệm : x = 2 ; y = 2 .
3 - Dùng bất đẳng thức để giải hệ phương trình : 
 - Kiến thức : Dùng bất đẳng thức để biến đổi từng phương trình của hệ , suy luận và kết luận nghiệm .
 Lưu ý : Một số tính chất : a, a2 + b2 2ab 
 b. a + c 0 => a < b 
 c. nếu a > b > 0 .
 - Các ví dụ : 
 Bài 1 : 
 Giải hệ phương trình : 
Lời giải: Ta có:
 x3 + 2 y2 - 4 y + 3 = 0 x3 = - 1 - 2(y - 1)2 x3 - 1 x - 1 . (*) 
 x2 + x2y2 - 2y = 0 x2 1 ( vì 1 + y2 2y) -1 x 1 (**)
 Từ (*) và (**) → x = -1 . Thay x = -1 vào (2) ta có : y = 1 .
 → Hệ phương trình có nghiệm duy nhất : x = -1 ; y = 1 .
 - Kiến thức : Biến đổi một phương trình của hệ , sau đó so sánh với phương trình còn lại , lưu ý dùng các bất đẳng thức quen thuộc .
 Bài 2 : Giải hệ phương trình : 
 Lời giải : 
 áp dụng : BĐT : A2 + B2 2AB dấu '' = '' xảy ra khi A = B 
 Ta có : x4 + y4 2x2y2 ; y4 + z4 2y2z2 ; z4 + x4 2z2x2 .
 → x4 + y4 + z4 x2y2 + y2z2 + z2x2 (*) 
 Mặt khác : x2y2 + y2z2 2x2yz 
 y2z2 + z2x2 2xy2z
 x2y2 + z2x2 2xyz2 
 → 2(x2y2 + y2z2 + z2x2 ) 2xyz(x + y + z) = 2xyz .
 → x2y2 + y2z2 + z2x2 xyz . (**)
 Từ (*) và (**) → x4 + y4 + z4 xyz 
 Dấu '' = '' xảy ra khi : x = y = z mà x + y + z = 1 nên : x = y = z = 
 Vậy hệ phương trình có nghiệm : x = y = z = 
 Cách 2: áp dụng BĐT Côsi ;
 	 - Kiến thức : Dùng phương pháp thế 
 Bài 3 : 
 Giải hệ phương trình 
 (với x, y, z > 0) 
 Lời giải : 
 áp dụng : Nếu a, b > 0 thì : 
 (2) ⇔ 
 ⇔ 6
 Mặt khác : vì x, y, z > nên 6 
 ; 
 Dấu '' = '' xảy ra khi x = y = z , thay vào (1) ta được : 
 x + x2 + x3 = 14 (x - 2)(x2 + 3x + 7) = 0 
 x - 2 = 0 x = 2 .
 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất : x = y = z = 2 . 
4. Dùng bất đẳng thức để giải phương trình nghiệm nguyên
 Ngoài ra còn có một số những ứng dụng khác của bất đẳng thức , đòi hỏi học sinh phải linh hoạt và sáng tạo trong khi giải , học sinh phải nắm chắc được các kiến thức về bất đẳng thức thì mới vận dụng được . 
 Ví dụ : Dùng bất đẳng thức để giải phương trình nghiệm nguyên .
 Bài 1 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : 
 = 2 
 Lời giải : 
 Không mất tính tổng quát , ta giả sử x y z , ta có : 
 2 = → 2z 3 , mà z nguyên dương 
 Vậy z = 1 . Thay z = 1 vào phương trình ta được :
 Theo giả sử , x y , nên 1 = 
 Y nguyên dương nên y = 1 hoặc y = 2 .
 Với y = 1 không thích hợp 
 Với y = 2 ta có : x = 2 .
 Vậy (2 ; 2 ; 1) là một nghiệm của phương trình .
 Hoán vị các số trên , ta được nghiệm của phương trình là : 
 (2 ; 2 ; 1) ; (2 ; 1 ; 2) ; (1 ; 2 ; 2)
IV:Bài tập áp dụng
Bài 1: Cho hai số x và y mà x+y=1 CMR : 
 a) x2 +y2 
 b) x4+y4 
Bài 2: Cho a,b, c, d ,e là các số thực CMR: 
 a2+b2+c2+d2+e2=a(b+c+d+e)
Bài 3: Cho hai số dương x,y và x3+y3 =x-y CMR: x2 +y2 <1
Bài 4: Cho hai số dương x,y CMR : 
Bài 5: Cho ab CMR: 
Bài 6 : Cho 3 số x,y,z không âm sao cho x+y+z=a
 CMR: (a-x)(a-y)(a-z)8xyz
Bài 7: Cho a0,b0,c
 CMR: a4+b4+c4abc(a+b+c)
Bài 8: Cho x2+4y2=1 CMR: 
Bài 9: CMR: Nếu thì 
Bài 10: CMRvới mọi số nguyên dương n3thì 2n > 2n+1
Bài 11: Cho a,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác . 
 CMR: 
V : Kết quả đạt được 
Qua việc áp dụng kinh nghiệm trên vào giảng dạy cho học sinh tôi thấy học sinh đã xác định được loại toán và cách làm ,nhiều em học sinh đã làm được các bài tập về bất đẳng thức và đã có hướng thú hơn khi học toán 
Kết quả kiểm tra trước khi thực hiện đề tài:
Số lượng học sinh
Điểm Giỏi 
Điểm khá 
Điểm trung bình 
Điểm yếu
Điểm kém
30
0
12
13
5
0
Kết quả kiểm tra sau khi áp dụng đề tài :
Số lượng học sinh
Điểm Giỏi 
Điểm khá 
Điểm trung bình 
Điểm yếu
Điểm kém
30
5
8
12
5
0
Trong các năm học 2001-2002, năm học 2006- 2007, năm học 2010-2011 tôi được phân công bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 ,tôi đã sử dụng đề tài này để bồi dưỡng học sinh giỏi ,kết quả đội tuyển học sinh giỏi của tôi khá tốt .Cụ thể :
năm học 2001-2002 đội tuyển xếp thứ 3/ 25 trường,năm học 2006- 2007 đội tuyển xếp thứ 2/ 25 trường và 02 học sinh vào đội tuyển tỉnh,năm học 2010-2011 đội tuyển xếp thứ 2/ 25 trường và 02 học sinh vào đội tuyển tỉnh.
VI:Bài học kinh nghiệm
Qua việc hướng dẫn học sinh làm bài tập cho thấy phần kiến thức về đề tài là phần kiến thức mở do giáo viên đưa vào cuối các giờ luyện tập , hoặc giờ tự chọn nên nội dung đối với học sinh còn phức tạp , khó hình dung , vì vậy cần đưa kiến thức cho học sinh cần làm từ dễ đến khó ,kết hợp ôn tập , giao bài tập về nhà , kiểm tra học sinh 
 Sau khi hướng đẫn xong nội dung chuyên đề cần chỉ cho học sinh những kiến thức cần thiết , đồng thời rèn luyện những kỹ năng làm bài tập cho học sinh 
Cần đưa nội dung vào giờ dạy cho phù hợp ,tránh dồn ép học sinh tiếp nhận kiến thức một cách thụ động mà đạt kết quả không mong muốn 
VII: Phạm vi áp dụng đề tài
Đề tài “một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức trong phân môn đại số“ được áp dụng cho học sinh lớp 8, 9 thích hợp nhất là học sinhlớp 9 và với đối tượng là học sinh khá giỏi 
C: kết luận
	Các bài tập về bất đẳng thức thường là tương đối khó đối với học sinh , nhưng khi hướng dẫn học sinh xong đề tài “một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức “, học sinh sẽ thấy rằng việc làm bài toán về bất đẳng thức sẽ rễ hơn . Đồng thời đứng trước bài toán khó cho dù ở dạng bài tập nào học sinh cũng có hướng suy nghĩ và tập suy luận , các em sẽ có tự tin hơn .
Chuyên đề còn có thể còn nhiều thiếu sót , rất mongđược sự ủng hộ của các thày cô giáo để đề tài ngày càng hoàn thiện hơn .
 Tôi xin chân thành cảm ơn
 Tháng 5 năm 2011. 
 Người thực hiện đề tài
 Nguyễn Thị Hoàng Hoan
 Nhận xét đánh giá của Tổ khoa học tự nhiên
trường THCS Hồng Tiến
Nhận xét đánh giá của Ban Giám Hiệu
trường THCS Hồng Tiến ........................
Nhận xét đánh giá của 
Phòng Giáo Dục và Đào tạo Khoái Châu
A. Mở đầu
1) Lý do chọn đề tài:
Trong chương trình toán THCS , các bài toán về bất đẳng thức chiếm một vị trí rất quan trọng xuyên suốt trong cấp học đặc biệt đối với trường chuyên lớp chọn. Các bài toán về bất đẳng thức có mặt trong cả hai phân môn hình học và phân môn đại số. Lớp 6, lớp7 các bài toán về bất đẳng thức còn ít và đa phần là các bài toán đơn giản, sang đến lớp 8, lớp 9 các bài toán dạng này đa dạng hơn phong phú hơn,đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng nhiều kiến thức một cách linh hoạt và sáng tạo mới có thể giải quyết được.Dạng toán này giúp học sinh phát triển tư duy và hình thành các phẩm chất trí tuệ rất rõ nét.Các bài toán chứng minh bất đẳng thức còn mang một nội dung giáo dục tư tưởng quan trọng,các em biết so sánh để tìm được cái tốt hơn ,cái dễ hơn ,điều thú vị hơn trong công việc và trong đời sống hàng ngày.Chính tầm quan trọng đó mà các bài toán về bất đẳng thức luôn có mặt trong các kỳ thi học sinh giỏi và thi cấp3.
 Một trong những thực trạng hiện nay khi dạy dạng toán bất đẳng thức ở trường THCS là:
Khái niệm ,các tính chất về bất đẳng thức không đưa ra cụ thể .Giáo viên khi dạy về bất đẳng thức thì chỉ chữa bài tập là chính chứ chưa khai thác, phân tích đề bài một cách tỉ mỉ hay mở rộng thành bài toán mới,chưa phân loại phương pháp giải các bài tập một cách rõ ràng. 
Học sinh thường ngại học toán bất đẳng thức vì kiến thức ít ,không liền mạch , phương pháp giải hạn chế ,các bài toán chứng minh bất đẳng thức thường không có cách giải mẫu , không theo một phương pháp nhất định nên học sinh không xác định được hướng giải bài toán . Mặt khác vì nhận thức của học sinh THCS còn có nhiều hạn chế và khả năng tư duy chưa tốt do đó học sinh còn lúng túng nhiều và không biết vận dụng kiến thức vào giải các dạng bài tập khác .
Trong những năm thực tế giảng dạy ở trường THCS Hồng Tiến tôi có tham gia công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8,lớp 9 kết quả thu được cũng khá tốt, và phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng trong phân môn đại số luôn được tôi dùng để bồi dưỡng học sinh giỏi vì vậy tôi viết đề tài này để các đồng chí đồng nghiệp tham khảo và tôi mong được sự góp ý của đồng nghiệp để công tác bồi dưỡng học sinh giỏi của tôi được hoàn thiện hơn . Trong nội dung của đề tài này tôi xin được giới thiệu một số phương pháp hay được sử dụng khi chứng minh bất đẳng thức như : dùng định nghĩa , biến đổi tương đương , dùng các bất đẳng thức đã biết , phương pháp chứng minh bất đẳng thức dựa vào điều kiện cho trước, ......và một số bài tập vận dụng trong phân môn đại số nhằm giúp học sinh bớt lúng túng khi gặp các bài toán về chứng minh hay vận dụng bất đẳng thức , giúp học sinh có thể tự định hướng được phương pháp chứng minh và hứng thú hơn khi học về bất đẳng thức nói riêng và bộ môn Toán nói chung . 
2) Mục đích nghiên cứu:
2.1 Đề tài này có tác dụng giúp học sinh học tập tốt hơn bộ môn toán nói chung và việc giải các bài tập về chứng minh bất đẳng thức nói riêng.Trang bị cho học sinh một số kiến thức mới nhằm nâng cao năng lực học môn toán giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động sáng tạo và làm công cụ giải quyết một số bài tập có liên quan đến bất đẳng thức.
2.2 Gây được hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong sách giáo khoa,sách tham khảo,giúp học sinh tự giải quyết một số bài tập.
2.3 Giải đáp những thắc mắc, sửa chữa những sai lầm hay gặp phải khi giải toán bất đẳng thức trong quá trình dạy học.
2.4 Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống các phương pháp cơ bản và vận dụng thành thạo các phương pháp đó để giải bài tập.
2.5 Thông qua việc giải các bài toán bất đẳng thức giúp học sinh thấy rõ mục đích của việc học toán và học tốt hơn các bài tập về bất đẳng thức .Đồng thời góp phần nâng cao chất lượng giáo dục.
Mục lục
`
Mục lục
 trang
đặt vấn đề 6