Sáng kiến kinh nghiệm Cải tiến phương pháp dạy Chuyên đề số phức

ìm số phức sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất
II.5.2. Các bài toán qui về bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức hai biến mà các biến thoả mãn điều kiện cho trước
A. Phương pháp: 
Để giải được lớp bài toán này, chúng tôi cung cấp cho học sinh các bất đẳng thức cơ bản như: Bất đẳng thức liên hệ giữa trung bình cộng và trung bình nhân, bất đẳng thức Bunhia- Cốpxki, bất đẳng thức hình học và một số bài toán công cụ sau:
Bài toán 1: Cho đường tròn cố định có tâm I bán kính R và điểm A cố định. Điểm M di động trên đường tròn . Hãy xác định vị trí điểm M sao cho AM lớn nhất, nhỏ nhất.
Lời giải:
TH1: A thuộc đường tròn (T) 
Ta có: AM đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi M trùng với A
 AM đạt giá trị lớn nhất bằng 2R khi M là điểm đối xứng với A qua I
TH2: A không thuộc đường tròn (T)
Gọi B, C là giao điểm của đường thẳng d và đường tròn (T); giá sử AB < AB
+) Nếu A nằm ngoài đường tròn (T) thì với điểm M bất kì trên (T), ta có:
. Đẳng thức xảy ra khi 
. Đẳng thức xảy ra khi 
+) Nếu A nằm trong đường tròn (T) thì với điểm M bất kì trên (T), ta có:
. Đẳng thức xảy ra khi 
. Đẳng thức xảy ra khi 
Vậy khi M trùng với B thì AM đạt gí trị nhỏ nhất
Vậy khi M trùng với C thì AM đạt gí trị lớn nhất
Bài toán 2: Cho hai đường tròn có tâm I, bán kính R1; đường tròn có tâm I, bán kính R2. Tìm vị trí của điểm M trên , điểm N trên sao cho MN đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
Lời giải:
Gọi d là đường thẳng đi qua I, J; d cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt A, B (giả sử JA > JB) ; d cắt tại hai điểm phân biệt C, D ( giả sử ID > IC).
Với điểm M bất khì trên và điểm N bất kì trên , ta có:
 . 
 Đẳng thức xảy ra khi M trùng với A và N trùng với D
 . 
 Đẳng thức xảy ra khi M trùng với B và N trùng với C
Vậy khi M trùng với A và N trùng với D thì MN đạt giá trị lớn nhất
 khi M trùng với B và N trùng với C thì MN đạt giá trị nhỏ nhất
Bài toán 3: Cho hai đường tròn có tâm I, bán kính R; đường thẳng không có điểm chung với . Tìm vị trí của điểm M trên , điểm N trên sao cho MN đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải: 
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên d
Đoạn OH cắt đường tròn tại J
Với M thuộc đường thẳng , N thuộc đường tròn , ta có: 
 . Đẳng thức xảy ra khi 
Vậy khi M trùng với H; N trùng với J thì MN đạt giá trị nhỏ nhất
B. Bài tập minh hoạ: 
Bài tập 1: 
Trong các số phức thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của 
Lời giải:
Cách 1 
Gọi biểu diễn cho số phức trong hệ toạ độ Oxy
Vậy điểm M biểu diễn cho số phức z thuộc đường tròn (T) có tâm , bán kính R = 4.
; nên O nằm ngoài đường tròn (T)
lớn nhất , nhỏ nhất khi OM lớn nhất, nhỏ nhất khi M di dộng trên (T) 
(Bài toán qui về Bài toán 1- Trường hợp 2)
Đường thẳng OI cắt đường tròn (T) tại hai điểm phân biệt 
Với M di động trên (T), ta có: 
 OM nhỏ nhất khi M trùng với A; OM lớn nhất khi M trùng với B
Vậy nhỏ nhất bằng 1 khi ; lớn nhất bằng 9 khi 
Cách 2
Gọi biểu diễn cho số phức z trong hệ toạ độ Oxy
 biểu diễn cho số phức 
; 
Ta có: 
; khi ; 
Vậy nhỏ nhất bằng 1 khi ; lớn nhất bằng 9 khi 
Nhận xét: Ngoài ra bài toán trên có thể giải bằng phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhia-Cốpxki hoặc phương pháp lượng giác hoá.
Bài 2: Trong các số phức thoả mãn điều kiện là một số ảo, tìm số phức sao cho có môđun lớn nhất
Lời giải: 
Gọi biểu diễn cho số phức z trong hệ toạ độ Oxy
là một số ảo
M biểu diễn cho thuộc đường tròn (T) có tâm , bán kính 
 với 
 (Bài toán được qui về Bài toán 1 - trường hợp 1)
Vì M là điểm di động trên (T) nên AM lớn nhất AM là đường kính của (T)
 M đối xứng với A qua I I là trung diểm của AM 
Vậy lớn nhất bằng khi 
Bài 3: Trong các số phức có môđun bằng . Tìm số phức sao cho biểu thức đạt giá trị lớn nhất
Lời giải: 
Gọi 
Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-côpxki cho hai bộ số 
1;1 và , ta có:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-cốpxki cho hai bộ số 1;1 và , ta có:
. Đẳng thức xảy ra khi 
Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng 
Bài 4: Trong các số phức có môđun bằng . Tìm số phức sao cho biểu thức đạt giá trị lớn nhất
Lời giải: 
Gọi 
Xét . Khi đó:
. Đẳng thức xảy ra khi cùng hướng 
Với thì ngược hướng (không thoả mãn)
Với thì cùng hướng (thoả mãn)
Vậy thì P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 7
Bài 5: Trong các số phức z1, z2 thoả mãn: , tìm số phức z1, z2 sao cho đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải:
Gọi là những số thực); được biểu diễn bởi điểm M(a; b); được biểu diễn bởi điểm N(c; d) trong mặt phẳng toạ độ Oxy
 suy ra M thuộc đường tròn tâm I(1; 1), bán kính R = 1
 suy ra M thuộc đường tròn tâm J(6; 6), bán kính R' = 6
(Bài toán được qui về Bài toán 2)
Đường thẳng IJ có phương trình y = x. Đường thẳng IJ cắt đường tròn tâm I tại hai điểm
Đường thẳng IJ cắt đường tròn tâm J tại hai điểm 
Vậy thì đạt giá trị lớn nhất.
Bài 6: Cho các số phức thoả mãn: là một số thực. Tìm số phức sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải:
Gọi lần lượt biểu diễn cho trong hệ toạ độ Oxy
M thuộc đường tròn có tâm O, bán kính R = 1 
là số thực 
N thuộc đường thẳng 
Ta có nên và không có điểm chung
 (vì )
(Bài toán được qui về Bài toán 3)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên 
Đoạn OH cắt đường tròn tại 
Với N thuộc đường thẳng , M thuộc đường tròn , ta có: 
. Đẳng thức xảy ra khi 
. Đẳng thức xảy ra khi 
 Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi 
Bài 7: Trong các số phức thoả mãn điều kiện. Tìm số phức z có môđun lớn nhất
Lời giải: 
Gọi biểu diễn cho số phức z trong hệ toạ độ Oxy
; 
(với )
 có tâm O, trục lớn bằng 10; tiêu cự bằng 6
lớn nhất 
Vậy lớn nhất bằng 5 khi 
C. Bài tập tự luyện
Bài 1: Trong các số phức có môđun bẳng . Tìm số phức có môđun lớn nhất
Bài 2: Cho số phức thoả mãn . Tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất.
Bài 3: Trong các số phức thoả mãn: có phần thực bằng ; . Tìm số phức sao cho đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất.
Bài 4: Trong các số phức thoẩ mãn . Tìm số phức sao cho biểu thức 
Bài 5: Cho số phức . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Bài 6: Tìm số phức z có module nhỏ nhất, lớn nhất trong các số phức z thoả mãn điều kiện sau:
a) 
b) 
II.6. CHUYÊN ĐỀ 6: ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
II.6.1. Phương pháp
Để giải hệ phương trình với 2 ẩn ta làm như sau:
Đặt 
Từ hệ phương trình đã cho dẫn đến phương trình với ẩn z. Giả sử ta tìm được
Từ đó sử dụng khái niệm 2 số phức bằng nhau suy ra 
Một số đẳng thức thường dùng : Với ta có:
B. Bài tập minh họa
Bài 1: Giải hệ phương trình 
Lời giải: 
Đặt 
Khi đó: 
Trừ vế với vế 2 phương trình của hệ (II) ta được:
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là: 
Bài 2: Giải hệ phương trình:
Lời giải:
Đặt 
Từ đó phương trinh (1) trở thành: 
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là: 
Bài 3: Giải hệ phương trình: (I)
Lời giải:
+) thỏa mãn hệ phương trình (I)
+) , chia cả hai vế của cả hai phương trình của hệ (I) cho ta được:
Cộng vế với vế 2 phương trình của hệ ta được: 
Đặt 
Từ đó phương trinh (1) trở thành: 
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là: , 
Bài 4: Giải hệ phương trình: 
Lời giải:
Giải hệ (II) ta có:
Đặt 
Từ đó ta có: 
Vậy nghiệm của hệ phương trình (x, y) là: , 
C. Bài tập tự luyện: 
Giải các hệ phương trình sau
1) 
2) 
III. GIẢI PHÁP 3: Cách xây dựng các bài toán mới
Đối với các chuyên đề 1, việc tạo ra bài tập mới tương đối đơn giản. Hơn nữa giữa các bài toán : Tính toán trên tập hợp số phức; Tìm tập hợp điểm biểu diễn cho số phức thoả mãn điều kiện cho trước; xác định số phức thoả mãn điều kiện cho trước có mối liên hệ chặt chẽ với nhau. Để tìm tập hợp điểm biểu diễn cho số phức thoả mãn điều kiện cho trước, ta bắt buộc phải biết tính toán và nhớ các khái niệm; kết hợp khéo léo hai bài toán tìm tập hợp điểm biểu diễn cho số phức thoả mãn điều kiện cho trước, ta sẽ có bài toán xác định số phức.
Đối với chuyên đề 2: Cách xây dựnng bài toán tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước
TH1: Tìm số phức bằng cách giải pt bậc nhất với ẩn hoặc .
Xuất phát từ số phức đã biết ta cộng, trừ hai vế với một số phức, hoặc nhân, chia hai vế với một số phức khác 0 ta được một đề bài mới.
Ví dụ 1: Xuất phát từ số phức 
Ta lấy , ta có bài toán là:
Tìm số phức biết 
Ví dụ 2: Xuất phát từ số phức 
Ta lấy , ta có bài toán là:
Tìm số phức biết 
TH2: Tìm số phức bằng cách gọi số phức cần lập dạng Sử dụng giả thiết bài toán và khái niệm hai số phức bằng nhau để dẫn đến giải hệ phương trình 2 ẩn a, b trên .
Ví dụ 1: Xuất phát từ hệ phương trình:
Ta có bài toán, tìm số phức z biết:
 và tích của phần thực với phần ảo bằng 2.
Ví dụ 2: Xuất phát từ hệ phương trình:
Ta có bài toán, tìm số phức z biết:
 và điểm biểu diễn số phức thuộc đường thẳng d có phương trình: .
Hoặc bài toán: tìm số phức z biết:
 và điểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn có tâm , bán kính .
Đối với chuyên đề 3: Cách xây dựng phương trình trên tập hợp số phức 
Phương pháp 1: Từ nhận xét: 
+)Nếu là 2 nghiệm của phương trình b, b, c là các số thực. Khi đó ta có:
 +) Phương trình bậc hai trên trường số phức với hệ số thực luôn có 2 nghiệm là 2 số phức liên hợp
Ta chỉ cần lấy 2 số phức liên hợp bất kì sẽ tạo ra một phương trình bậc 2 với 2 nghiệm chính là 2 số phức vừa chọn. Muốn tạo ta một phương trình bậc 3 ta chỉ cần nhân thêm vào phương trình bâc 2 với một phương trình bậc nhất.
Ví dụ 1: Xuất phát từ 2 số phức , ta có , từ đó ta có bài toán giải phương trình: 
Ví dụ 2: Xuất phát từ 3 số phức , ta có , là nghiệm của phương trình: 
Từ đó ta có bài toán: giải phương trình: 
Ví dụ 3: Xuất phát từ 3 số phức , ta có , là nghiệm của phương trình: 
Từ đó ta có bài toán: giải phương trình sau biết rằng phương trình có một nghiệm thuần ảo: .
Phương pháp 2: Xuất phát từ một phương trình bậc 2 ẩn ta chỉ cần thay bởi một biểu thức bậc 2 ẩn một cách thích hợp ta có một phương trình bậc 4 trên tập hợp số phức 
Ví dụ : Xuất phát từ phương trình:
Thay , ta có phương trình: 
Thay , ta có phương trình: 
Thay , ta có phương trình: 
Từ phương trình , sau đó thay ta có phương trình: .
Phương pháp 3: Xuất phát từ một phương trình đẳng cấp bậc 2 với 2 ẩn t và z , thay t bởi một biểu thức bậc 2 ẩn z
Ví dụ: Xuất phát từ phương trình , thay ta có phương trình: 
Đối với chuyên đề 4: 
Để ra bài tập biểu diễn hình học của z biết z thoả mãn điều kiện cho trước ta:
Chọn trước quỹ tích.
( Ví dụ: Muốn quỹ tích là một đường tròn ta:
 + Chọn trước tâm và bán kính theo mong muốn.
 + Lập phương trình đường tròn .
 Tương tự nếu muốn quỹ tích là một đường thẳng, một elip hay một hypebol,...)
Căn cứ vào phương trình đường ta đã chọn để thiết lập mối quan hệ mà số phức z cần thoả mãn.
Ví dụ 1: Xuất phát từ việc chọn đường tròn có tâm , bán kính 
Ta có phương trình đường tròn 
Coi 
Ta nhận thấy ngay căn bậc hai vế trái của (*) là .
Vậy ta có bài toán: Tìm tập hợp điểm trong mặt phẳng toạ độ biểu diễn cho số phức thoả mãn 
Cũng từ (*) ta có 
Vậy ta có bài toán: Tìm tập hợp điểm trong mặt phẳng toạ độ biểu diễn cho số phức thoả mãn 
Tương tự biến đổi (*) bằng cách thêm bớt một số đại lượng ta sẽ có nhiều mối liên hệ khác, từ đó có nhiều bài tập thú vị hơn.
Ví dụ 2: Để quỹ tích là đường thẳng ta có thể chọn trước đường thẳng (d) có phương trình: 
Cách 1: Ta biến đổi 
Vậy ta có bài toán: Tìm tập hợp điểm trong mặt phẳng toạ độ biểu diễn cho số phức thoả mãn 
Còn nếu từ 
Vậy ta có bài toán: Tìm tập hợp điểm trong mặt phẳng toạ độ biểu diễn cho số phức thoả mãn 
Ta lại có 
Vậy ta có bài toán: Tìm tập hợp điểm trong mặt phẳng toạ độ biểu diễn cho số phức thoả mãn 
Cách 2: 
Ta chọn hai điểm A, B sao cho đường thẳng (d) có phương trình: 
Là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Chẳng hạn,chọn , ta có:
.
Vậy ta có bài toán: Tìm tập hợp điểm trong mặt phẳng toạ độ biểu diễn cho số phức thoả mãn 
Hoặc: Tìm tập hợp điểm trong mặt phẳng toạ độ biểu diễn cho số phức thoả mãn 
Ví dụ 3: Để quỹ tích là hai đường thẳng ta có thể chọn trước đường thẳng (d) và (d’) lần lượt có phương trình: .
Khi đó ta có 
Vậy ta có bài toán: tập hợp điểm trong mặt phẳng toạ độ biểu diễn cho số phức thoả mãn 
Ví dụ 4: Để quỹ tích là đường elip ta chọn tiêu điểm và độ dài trục lớn là 2.
Khi đó biểu diễn số phức z thuộc elíp khi và chỉ khi 
Vậy ta có bài toán: tập hợp điểm trong mặt phẳng toạ độ biểu diễn cho số phức thoả mãn 
Để ra bài tập chứng minh tính chất liên quan đến hình biểu diễn số phức z chủ yếu ta dựa trên kiến thức của hình giải tích trong mặt phẳng.
Ví dụ: Xuất phát từ bài toán hình giải tích trong mặt phẳng: “Chứng minh rằng 4 điểm lập thành một tứ giác nội tiếp đường tròn” rồi phát triển thành bài toán liên quan đến hình biểu diễn của số phức:
Gọi là các điểm lần lượt biểu diễn các số phức: . 
a) Chứng minh rằng A, B, C tạo thành một tam giác vuông. Trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác biểu diễn số phức nào?
b) Chứng minh tam giác ABD và ACD bằng nhau? Tính diện tích của chúng?
c) Chứng minh rằng ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn (hoặc có thể hỏi chứng minh rằng ABCD là hình thang cân). Tâm đường tròn biểu diễn số phức nào?
Nhận xét:
Dựa trên cơ sở như vậy chúng ta có thể ra rất nhiều bài tập chứng minh tính chất liên quan đến hình biểu diễn số phức z.
Có thể biểu diễn số phức z ở dạng tổng, hiệu, tích, thương của các số phức để được bài toán phức tạp hơn, đồng thời rèn luyện kỹ năng tính toán. 
Đối với chuyên đề 5: Việc tạo ra các bài tập sẽ thường xuất phát từ một bài tập đại số hoặc bài tập hình giải tích trong mặt phẳng. Từ các bài tập đó bằng cách sử dụng kiến thức về số phức, ta chuyển được các bài toán xuất phát sang bài toán: Cực trị của số phức
Ví dụ 1: Xuất phát từ bài toán: Cho thoả mãn: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Để tạo ra bài tập số phức từ bài tập này, chúng tôi làm như sau: 
Coi biểu diễn cho số phức trong mặt phẳng toạ độ 
Khi đó 
Chọn A, B sao cho đường thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Chẳng hạn chọn . Vậy để M thuộc thì phải thoả mãn: . 
Vậy ta có bài toán:
Trong các số phức thoả mãn: . Tìm số phức có môđun nhỏ nhất.
Điều kiện (*) có thể thay bởi một điều kiện khác sao cho từ đó ta thu được đẳng thức . Chẳng hạn:
Trong các số phức thoả mãn: có phần ảo bằng 1. Tìm số phức có môđun nhỏ nhất.
Ví dụ 2: Xuất phát từ bài toán: Cho thoả mãn: .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Coi 
Vậy ta có bài toán :
Trong các số phức thoả mãn: . Tìm số phức sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất
Ví dụ 3: Xuất phát từ bài toán: Tìm điểm M trên đường tròn và điểm trên đường thẳng sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.
Coi lần lượt biểu diễn cho trong hệ toạ độ Oxy
 thoả mãn : 
Chọn sao cho là đường trung trực của AB
 thoả mãn : 
Vậy ta có bài toán: 
Trong các số phức thoẩ mãn . Tìm số phức sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.
Đối với chuyên đề 6: Để tạo ra một bài toán giải hệ ta thường xuất phát từ việc giả phương trình trên tập hợp số phức rồi biến đổi để thu được một hệ phương trình:
Ví dụ 1: Xuất phát từ phương trình: 
Đặt 
Ta có hệ phương trình:
Ví dụ 2: Xuất phát từ phương trình: 
Đặt 
Ta có hệ phương trình:
Ví dụ 3: Xuất phát từ phương trình: 
Đặt 
Ta có hệ phương trình:
Ví dụ 4: Xuất phát từ phương trình: 
Đặt 
Ta có hệ phương trình:
KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC
Trong các năm 2010-2011; 2011 - 2012; 2012-2013 khi chưa áp dụng phương pháp trên vào giảng dạy, qua kiểm tra chúng tôi thu được kết quả:
Năm học
Lớp
Kết quả
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
2010-2011
12P
4%
32%
52%
12%
12A
10%
40%
45%
5%
2011-2012
12A
15%
40%
32%
10%
12D
10%
40%
45%
5%
2012-2013
12A
17%
50%
28%
5%
12K
10%
40%
45%
5%
12P
12%
35%
43%
10%
Sau khi áp dụng phương pháp cải tiến trên vào ôn thi đại học cho lớp 12A, 12C, 12G năm học 2013 - 2014; lớp 12B ,12C, 12E và 12G,12M trong năm học 2014- 2015, qua kiểm tra tôi thu được kết quả:
Năm học
Lớp
Kết quả
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
2013-2014
12A
40%
45%
15%
0%
12C
36%
44%
20%
0%
12G
30%
42%
28%
0%
2014-2015
12B
45%
40%
15%
0%
12C
41%
42%
17%
0%
12E
35%
40%
25%
0%
12G
30%
40%
35%
0%
12M
35%
35%
30%
0%
Đặc biệt khi áp dụng phương pháp mới cải tiến như vậy, trong lĩnh vực giảng dạy đội tuyển học sinh giỏi chúng tôi đã thu được kết quả:
 1) Năm học 2011 - 2012, chúng tôi bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi cấp Tỉnh có 3 em dự thi đạt : 1 giải nhất, 1 giải nhì, 1 giải ba.
	2) Năm học 2011 - 2012, chúng tôi bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi giải Toán trên Máy tính cầm tay cấp Tỉnh có 3 em dự thi đạt : 1 giải nhất, 1 giải nhì, 1 giải ba. Trong đó có 2 em được chọn vào đội tuyển giải Toán trên Máy tính cầm tay cấp Quốc gia và cả hai em đều đạt giải khuyến khích.
	3) Năm học 2013 - 2014, chúng tôi bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi cấp Tỉnh để chọn đội tuyển Quốc gia có 2 em dự thi đạt: 1 giải ba, 1 giải khuyến khích.
	4) Năm học 2013 - 2014, chúng tôi bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi cấp Tỉnh 3 em dự thi đạt: 1 giải nhì, 1 giải ba.
	5) Năm học 2013 - 2014, chúng tôi bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi giải Toán trên Máy tính cầm tay cấp Tỉnh có 3 em dự thi đạt : 2 giải nhất, 1 giải nhì. Trong đó có 2 em được chọn vào đội tuyển giải Toán trên Máy tính cầm tay cấp Quốc gia và đạt 1 giải nhất và giải khuyến khích.
	6) Năm học 2013 - 2014, chúng tôi bồi dưỡng đội tyuển học sinh giỏi giải Toán trên mạng cấp Tỉnh có 25 em dự thi đạt 19 giải gồm: 2 giải nhì, 7 giải ba và 10 giải khuyến khích. 
	7) Trong các kì thi Đại hoc, Cao đẳng, các lớp chúng tôi dạy đều đỗ Đại học tương đối cao. Xét riêng trong năm học 2013-2014, trường THPT Yên Khánh A có tới 22 em học sinh đạt điểm tổng ba môn thi đại học từ 24 điểm trở lên, trong đó lớp chúng tôi giảng dạy có tới 19 em chiếm tỉ lệ 86,4%. Kết quả này, góp phần không nhỏ trong những thành tích chung của nhà trường, giúp trường THPT Yên Khánh A luôn là một trong những trường có điểm bình quân thi Đại học cao của khối các trường THPT trong toàn tỉnh. 
PHẦN III. KẾT LUẬN
	Bản sáng kiến của chúng tôi với đề tài: "Cải tiến phương pháp dạy chuyên đề số phức" đã đạt được một số kết quả như đã trình bày ở trên. Với cách dạy như vậy, các em có thể hiểu vấn đề một cách sâu sắc và có thể nhìn một bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau nên có thể dễ dàng suy luận để chuyển các bài toán lạ về bài toán quen thuộc. Hơn nữa với cách dạy đó, làm cho học sinh thấy được sự phong phú trong các câu hỏi trong bài toán số phức nhưng thực chất nó đều có thể qui được về các bài toán quen thuộc, cơ bản. Chính vì thế mà các em không cảm thấy nhàm chán, hào hứng, say mê hơn trong khi học, tạo tâm lí thoải mái, nhẹ nhàng trong mỗi tiết học, đó là tiền đề tốt để học sinh tiếp thu bài, rèn luyện kĩ năng, nâng cao hiệu quả dạy và học.
	Với cách dạy như vậy, chúng tôi tin rằng các em có thể tự tin trong các kì thi và nếu trong đề thi có xuất hiện các bài toán số phức thì 100% học sinh có thể làm được.
	Những nội dung được trình bày trong bản sáng kiến này, chúng tôi xuất phát từ yêu cầu đổi mới phương pháp dạy học: lấy học sinh làm trung tâm và do sự hiếu học của phần lớn học sinh trường tôi là động lực lớn nhất để chúng tôi không ngừng phấn đấu, học hỏi, nghiên cứu, cải tiến phương pháp góp phần nâng cao chất lượng giáo dục.
	Bản sáng kiến này, trước hết là tài liệu thiết thực cho bản thân chúng tôi và cũng là tài liệu để các bạn đồng nghiệp, học sinh làm tài liệu tham khảo.
	Rất mong nhận được sự đóng góp của bạn đồng nghiệp. 
 	 Yên Khánh, tháng 4 năm 2015
 Người thực hiện
 Bùi Thị Ngọc Lan
 Bùi Thị Lợi
 Trần Ngọc Uyên
 Đinh Thị Minh Tân
 Vũ Thị Thu Trang