Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức

đều là số dương ).
	Từ đó suy ra : 
Bài 3.2:
 Cho x , y là 2 số thực thoả mãn : 
 x2 + y2 = 
 	Chứng minh rằng : 3x + 4y 5
Giải : 
	áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có : 
 (x2 + y2)2 = ()2 ( ; )
 (x2 + y2)(1 - y2 + 1 - x2) 
 => x2 + y2 1
 Ta lại có : (3x + 4y)2 (32 + 42)(x2 + y2) 25
 => 3x + 4y 5 
 Đẳng thức xảy ra ú ú 
 Điều kiện : 
Bài 3. 3: Cho a, b, c 0 ; a + b + c = 1 . Chứng minh rằng :
	 a, 
	 b, 
Giải 
 a, áp dụng bất dẳng thức Bunhiacôpxki với 2 bộ 3 số ta có :
 => 
 => .
 Dấu '' = '' xảy ra khi : a = b = c = 
 b, áp dụng bất đẳng thức Côsi , ta có : 
 Tương tự : ; 
 Cộng từng vế của 3 bất đẳng thức trên ta được :
 Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c =0 trái với giả thiết : a + b + c = 1 
 Vậy : 
Bài 3.4 : Cho các số dương a , b , c thoả mãn : a + b + c = 1 .
	 Chứng minh rằng : 
Giải : 
 Ta có : , a , b > 0
 Ta có : .1 = .(a + b + c)
 =
 = 3 + 2 + 2 + 2 = 9
 => 
 Dấu ''='' xảy ra khi : a = b = c = 
Bài 3.5 
 Cho x , y > 0 . Chứng minh rằng : 
Giải
 áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : 
 => (x + y)( ) 4 
 => 
4. Phương pháp 4 ; Dùng các tính chất của bất đẳng thức : 
	- Kiến thức : Dùng các tính chất đã được học để vận dụng vào giải các bài tập .
 Các ví dụ : 
Bài 4.1 : Cho 2 số x , y thoả mãn điều kiện : x + y = 2 . 
 Chứng minh rằng : x4 + y4 2
Giải 
 Theo tính chất bắc cầu ta có : (x2 - y2) 0 ú x4 + y4 2x2y2
 ú 2(x4 + y4) (x2 + y2)2 (1)
 Ta có : (x - y)2 0 ú x2 + y2 2xy 
 ú 2(x2 + y2 ) (x +y)2
 ú2(x2 + y2 ) 4 Vì : x + y = 2 
 ú x2 + y2 2 (2)
 Từ (1) và (2) ta có : x4 + y4 2
 Dấu '' = '' xảy ra khi x = y = 1 .
Bài 4.2:
 Cho 0 < a, b, c, d < 1 . Chứng minh rằng : 
 (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d .
 Giải : 
 Ta có : (1 - a)(1 - b) = 1 - a - b + ab
 Do a, b > 0 nên ab > 0 => (1 - a)(1 - b) > 1 - a - b .
 Do c 0 => (1 - a)(1 - b)(1 - c) > (1 - a - b)(1 - c) 
 ú (1 - a)(1 - b)(1 - c) > 1 - a - b - c + ac + bc .
 Do a, b, c, d > 0 nên 1 - d > 0 ; ac + bc > 0 ; ad + bd + cd > 0 
 =>(1 - a)(1 - b)(1 - c) > 1 - a - b - c 
 => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > (1 - a - b - c)(1 - d)
 => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d + ad + bd + cd
 => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d .
Bài 4.3 : Cho 0 < a, b, c < 1 . Chứng minh rằng :
 2a3 + 2b3 + 2c3 < 3 + a2b + b2c + c2a 
Giải :
 Do a, b a3 < a2 < a < 1 ; b3 < b2 < b < 1 ; ta có : 
 (1 - a2)(1 - b) > 0 => 1 + a2b > a2 + b 
 => 1 + a2b > a3 + b3 hay a3 + b3 < 1 + a2b .
 Tương tự : b3 + c3 < 1 + b2c ; c3 + a3 < 1 + c2a .
 => 2a3 + 2b3 + 2c3 < 3 + a2b + b2c + c2a 
5.phương pháp 5 : Dùng bất đẳng thức tổng quát chứa luỹ thừa các số tự nhiên 
Bài 5.1: Cho a>b>0 CMR: 
 >
 Giải :
Để chứng minh bất đẳng thức trên , ta chứng minh bất đẳng thức trung gian sau nếu a>b>0 và m,n là hai số tự nhiên mà m>n thì (1)
 Thật vậy ta dùng phép biến đổi tương đương để chứng minh 
 (1) 
 1-
 (2)
Bất đẳng thức (2) luôn đúng vì a>b>0 nên và m>n vậy bất đẳng thức (1) luôn đúng 
áp dụng bất đẳng thức trung gian vối a>b>0 và m>n nên khi m=1996, n=1995 thì bất đẳng thức phảI chứng minh luôn đúng >
6. phương pháp 6: Dùng bất đẳng thức về 3 cạnh của tam giác 
 a , b, c, là độ dài ba cạnh của tam giác a<b+c (1)
 b < a+c (2)
 c< a+b (3)
Từ 3 bất đẳng thức về tổng ba cạnh của tam giác ta suy ra được 3 bất đẳng thức về hiệu hai cạnh 
 a<b+c (1)(4)
 b < a+c (2)(5)
 c< a+b (3)(6)
Bài 6.1: 
Cho tam giác ABC có chu vi 2p = a + b + c (a, b , c là độ dài các cạnh của tam giác ) . Chứng minh rằng : 
Giải:
 Ta có : p - a = 
 Tương tự : p - b > 0 ; p - c > 0 ; 
 áp dụng kết quả bài tập (3.5) , ta được ; 
 Tương tự : 
 => 
 => điều phải chứng minh .
 Dấu '' = '' xảy ra khi : p - a = p - b = p - c ú a = b = c .
 Khi đó tam giác ABC là tam giác đều .
Bài 6.2: 
Cho a, b, c , là độ dài ba cạnh của một tam giác CMR: 
(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) abc
Giải:
 Bất đẳng thức về ba cạnh của tam giác cho ta viết 
 Từ đó 
 (a+b-c)(a-b+c)(b-c+a)(b+c-a)(c-a+b)(c+a-b)
(a+b-c)2(b+c-a)2(c+a-b)2
(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)abc
Vì a, b, c, là ba cạnh của một tam giác nên 
 a+b-c>0
 b+c-a>0
 c+a-b>0 và abc>0
 Vậy bất đẳng thức dẫ được chứng minh 
 7. Phương pháp 7 : Chứng minh phản chứng .
- Kiến thức : Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng , ta hãy giả sử bất dẳng thức đó sai , sau đó vận dụng các kiến thức đã biết và giả thiết của đề bài để suy ra điều vô lý .
	 Điều vô lý có thể là trái với giả thiết , hoặc là những điều trái nhược nhau , từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh là đúng .
	Một số hình thức chứng minh bất đẳng thức :
	 + Dùng mệnh đề đảo 
	 + Phủ định rồi suy ra điều trái với giả thiết .
	 + Phủ định rồi suy ra trái với đIều đúng .
	 + Phủ định rồi suy ra hai đIều tràI ngược nhau .
	 + Phủ định rồi suy ra kết luận .
Các ví dụ : 
Bài 7. 1 : 
Cho 0 1
 3b(1 - c) > 2
 8c(1 - d) > 1
 32d(1 - a) > 3
Giải:
	Giả sử ngược lại cả bốn đẳng thức đều đúng . Nhân từng về ;
 ta có : 2.3.8.32a(1 - b)b(1 - c)c(1 - d)d(1 - a) > 2 .3
 	=> (1)
 Mặt khác , áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :
 => a(1 - a) 
 Tương tự : b(1 - b) 
 c(1 - c) 
 d(1 - d) 
 Nhân từng về các bất đẳng thức ; ta có :
 (2)
 Từ (1) và (2) suy ra vô lý .
 Điều vô lý đó chứng tỏ ít nhất một trong 4 bất đẳng thức cho trong đầu bài là sai .
Bài 7.2 : 
( Phủ định rồi suy ra hai điều trái ngược nhau ) 
 Chứng minh rằng không có 3 số dương a, b, c nào thoả mãn cả ba bất đẳng thức sau : ; ; 
 Giải 
 Giả sử tồn tại 3 số dương a, b, c thoả mãn cả 3 bất đẳng thức : 
 ; ; 
	Cộng theo từng vế của 3 bất đẳng thức trên ta được : 
 ú (1)
 Vì a, b, c > 0 nên ta có : ; ; 
 => Điều này mâu thuẫn với (1)
	Vậy không tồn tại 3 số dương a, b, c thoả mãn cả 3 bất đẳng thức nói trên . => đpcm 
Bài 7.3 :
 Chứng minh rằng không có các số dương a, b, c thoả mãn cả 3 bất đẳng thức sau : 
 	 4a(1 - b) > 1 ; 4b(1 - c) > 1 ; 4c(1 - a ) > 1 .
Hướng dẫn : tương tự như bài 2 : 
Bài 7.4 :
( Phủ định rồi suy ra trái với điều đúng )
 	Cho a3 + b3 = 2 . Chứng minh rằng : a + b 2 .
Giải : 
 Giả sử : a + b > 2 => (a + b )3 > 8 
 => a3 + b3 + 3ab(a + b) > 8 
 => 2 + 3ab(a + b) > 8 ( Vì : a3 + b3 = 2 ) 
 => ab(a + b) > 2 
 => ab(a + b) > a3 + b3 ( Vì : a3 + b3 = 2 ) 
 Chia cả hai vế cho số dương a, b ta được : 
 ab > a2 - ab + b2 => 0 > (a - b)2 Vô lý 
	 Vậy : a + b 2 
 8. Phương pháp 8 : Đổi biến số 
	- Kiến thức : Thực hiện phương pháp đổi biến số nhằm đưa bài toán đã cho về dạng đơn giản hơn , gọn hơn , dạng những bài toán đã biết cách giải ... 
Các ví dụ : 
Bài 8. 1 :
 Chứng minh rằng : Nếu a , b , c > 0 thì : 
 Giải: 
 Đặt : b +c = x , c + a = y , a + b = z 
 => a + b + c = 
 => a = , b = , c = 
 Khi đó : 
 VT = = 
 = 
Bài 8.2 :
 Chứng minh rằng ; với mọi số thực x, y ta có bất đẳng thức : 
 	- 
 Giải:
	Đặt : a = và b = 
 => ab = 
	Ta có dễ thấy với mọi a, b thì : - 
 	Mà : (a - b)2 = 
 (a + b)2 = 
 Suy ra : - ab .
Bài 8.3 :
 Cho a, b, c > 0 ; a + b + c 1 . Chứng minh rằng : 
Giải : 
	Đặt : a2 + 2bc = x ; b2 + 2ca = y ; c2 + 2ab = z 
 Khi đó : x + y + z = a2 + 2bc + b2 + 2ca + c2 + 2ab 
 = (a + b + c)2 1
	Bài toán trở thành : Cho x, y, z > 0 , x + y + z 1 .
	Cứng minh rằng : 
 	Ta chứng minh được : (x + y + z)( 
	Theo bất đẳng thức Côsi 
 Mà : x + y + z 1 nên suy ra .
9.Phương pháp 9: Dùng phép quy nạp toán học .
	- Kiến thức : Để chứng minh một bất đẳng thức đúng với n > 1 bằng phương pháp quy nạp toán học , ta tiến hành : 
	+ Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n = 1 (n = n0)
	+ Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k > 1 (k > n0)
	+ Chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1 
	+ Kết luận bất đẳng thức đúng với n > 1 (n > n0) 
	- Ví dụ : 
Bài 9.1 : 
 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n 3 thì 
 2n > 2n + 1 (*)
 Giải : 
 + Với n = 3 , ta có : 2n = 23 = 8 ; 2n + 1 = 2.3 + 1 = 7 ; 8 > 7 . Vậy đẳng thức (*) đúng với n = 3 .
 + Giả sử (*) đúng với n = k (k N ; k 3) , tức là : 2k > 2k + 1 
 ta phải chứng minh : 2k+1 > 2(k + 1) + 1 
 hay : 2k+1 > 2k + 3 (**) 
 + Thật vậy : 2k+1 = 2.2k , mà 2k > 2k + 1 ( theo giả thiết quy nạp ) 
do đó : 2k +1 > 2(2k + 1) = (2k + 3) +(2k - 1) > 2k + 3 ( Vì : 2k - 1 > 0) 
 Vậy (**) đúng với mọi k 3 .
 + Kết luận : 2n > 2n + 1 với mọi số nguyên dương n 3 .
Bài 9.2 :.
Chứng minh rằng : 
 ..... (*) (n là số nguyên dương ) 
 Giải : 
 + Với n = 1 , ta có : VT = VP = . Vậy (*) đúng với n = 1 .
 + Giả sử (*) đúng với n = k 1 ta có : ..... 
 Ta cần chứng minh (*) đúng với n = k + 1 , tức là : 
 ..... . .
 do đó chỉ cần chứng minh : 
 dùng phép biến đổi tương đương , ta có : 
 (2k + 1)2(3k + 4) (3k + 1)4(k +1)2 
 ú 12k3 + 28k2 + 19k + 4 12k3 + 28k2 + 20k +4
 ú k 0 . => (**) đúng với mọi k 1 .
 Vậy (*) dúng với mọi số nguyên dương n .
10. Phương pháp 10 : Chứng minh bất đẳng thức trong hình học phẳng 
Bài 10.1 :CMR trong một tam giác nhọn thì tổng các trung tuyến của nó lớn hơn 4lần bán kính đường tròn ngoại tiếp 
Giải: 
Gọi ma, mb, mc là độ dài ba đường trung tuyến và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC, ta phải chứng minh ma+ mb+mc>4R 
Vì ABC là một tam giác nhọn nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nằm trong tam giác ABCnếu G là trọng tâm tam giác ABC thì tâm 0 nằm ở một trong ba tam giác tam giác GAB, tam giác GAC ,tam giác GBC . Giả sử tâm 0
 nằm trong tam giác GAB thì 0A +0B=2R và GA+ GB > 2R mà GA=AA1=ma ,GB=BB1 =mb
Nên GA+GB > 2R (ma+mb) >2R ma+mb >3R 
Mà trong tam giác 0CC1 có CC1 >0C mc >R 
Do đó ma+ mb+ mc > 3R+R=4R .
Vậy ma+mb+ mc >4R 
Bài 10. 2: Một đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của một tam giác vuông đỉnh A tại hai điểm B và C , kẻ một tiếp tuyến với đường tròn cắt các cạnh AB và AC tại M và N , chứng minh rằng MB+NC<
Giải
 Gọi I là tiếp điểm của tiếp tuyến MN với đường tròn tâm 0 tính chất tiếp tuyên cho ta 
 MB=MI ,NC=NI 
Từ đó MN=MB+NC nhưng tam giác vuông AMN thì MN< AM+AN 
 Nên 2MN < AM+AN +BM+ CN =AB +AC 
MN< 
Ngoài ra trong tam giác vuông AMN ta cũng có cạnh huyền MN>AM và MN> AN 2MN > AM+AN 
Vì MN=BC+CN 
Nên 3MN > AM+AN +BM+CN do đó 3MN > AB+AC MN >
Vậy MB+NC<
 11 . Ngoài ra còn có một số phương pháp khác để chứng minh bất đẳng thức như : Phương pháp làm trội , tam thức bậc hai ... ta phải căn cứ vào đặc thù của mỗi bài toán mà sử dụng phương pháp cho phù hợp . Trong phạm vi nhỏ của đề tài này không hệ thống ra những phương pháp đó .
 iii : ứng dụng của bất đẳng thức 
1- Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị .
	- Kiến thức : Nếu f(x) m thì f(x) có giá trị nhỏ nhất là m .
	 Nếu f(x) M thì f(x) có giá trị lớn nhất là M .
 Ta thường hay áp dụng các bất đẳng thức thông dụng như : Côsi , Bunhiacôpxki , bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối .
 Kiểm tra trường hợp xảy ra dấu đẳng thức để tìm cực trị .
 Tìm cực trị của một biểu thức có dạng là đa thức , ta hay sử dụng phương pháp biến đổi tương đương , đổi biến số , một số bất đẳng thức ...
 Tìm cực trị của một biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối , ta vận dụng các bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối 
 Chú ý : 
 Xảy ra dấu '' = '' khi AB 0 
 Dấu ''= '' xảy ra khi A = 0 
Bài 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : B = a3 + b3 + ab ; Cho biết a và b thoả mãn : a + b = 1 .
Giải
 B = (a + b)(a2 - ab + b2) + ab 
 = a2 - ab + b2 + ab = a2 + b2 
 Ta có : 2(a2 + b2) (a + b)2 = 1 => a2 + b2 
 Vậy min B = khi a = b = 
Bài 2: a, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
 A = (x2 + x)(x2 + x - 4) 
 b, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
 B = - x2 - y2 + xy + 2x +2y 
 Giải 
 a, A = (x2 + x)(x2 + x - 4) . Đặt : t = x2 + x - 2 
 => A = (t - 2)(t + 2) = t2 - 4 - 4 
 Dấu bằng xảy ra khi : t = 0 ú x2 + x - 2 = 0 
 (x - 2)(x + 2) = 0 ú x = -2 ; x = 1 .
 => min A = - 4 khi x = -2 ; x = 1 ;
 b, Tương tự 
Bài 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
 a, C = 
 b, D = 
 c, E = 
Giải : 
 a, áp dụng BĐT : 
 Dấu '' = ''xảy ra khi AB 0 .
 => C = 
 Dấu '' = '' xảy ra khi (2x - 3)(1 - 2x) 0 ú 
 Vậy minC = 2 khi 
 b, Tương tự : minD = 9 khi : -3 x 2
 c, minE = 4 khi : 2 x 3
Bài 4 : Cho a < b < c < d , tìm : 
 Minf(x) = + + + 
Hướng dẫn : tương tự : minf(x) = d + c - b - a khi b x c
Bài 5 : Cho ba số dương x , y , z thoả mãn : + + 2
 Tìm giá trị lớn nhất của tích : P = xyz 
 Giải : 
 (1 - ) + ( 1 - ) = + 2
 Tương tự : 2
 2
 Từ đó suy ra : P = xyz 
 MaxP = khi x = y = z = 
Bài 6 : Cho 3 số dương a, b, c thảo mãn : a + b + c = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : F = 
Giải: 
 Ta có : F = (a2 + b2 + c2) + () + 6 
 Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki , ta có : 
 (a.1 + b.1 + c.2)2 3(a2 + b2 + c2)
 => a2 + b2 + c2 
 Tương tự : 3
 Mặt khác : ().1 = ()(a + b + c)
 = 3 + () + () + () 3 + 2 + 2 + 2 = 9
 => 9
 => 81
 => 27
 F + 27 + 6 = 33
 Dấu '' = '' xảy ra khi : a = b = c = 
 Vậy MinF = 33 khi : a = b = c = .
Bài 7 : Cho G = 
 Tỡm giỏ trị lớn nhất của G :
 Giải : Tập xỏc định : x 1 ; y 2 ; z 3 
 Ta có : G = + + 
 Theo BĐT Cụsi ta cú : => 
Tương tự : ; 
 => G 
Vậy MaxG = đạt được khi x = 2 ; y = 2 ; z = 6 
Bài 8 a, Tìm giá trị nhỏ nhất của H = với x > 1 .
 b. Tìm giá trị lớn nhất của K = 
 HD : áp dụng bất đẳng thức Côsi và làm tương tự như bài 5 : 
2 - Dùng bất đẳng thức để giải phương trình .
 - Kiến thức : Nhờ vào các tính chất của bất đẳng thức , các phương pháp chứng minh bất đẳng thức , ta biến đổi hai vế ( VT , VP ) của phương trình sau đó suy luận để chỉ ra nghiệm của phương trình .
 	 Nếu VT = VP tại một hoặc một số giá trị nào đó của ẩn ( thoả mãn TXĐ) 
 => phương trình có nghiệm .
 Nếu VT > VP hoặc VT < VP tại mọi giá trị của ẩn .
 => phương trình vô nghiệm .
 - Các ví dụ : 
Bài 1 : Giải phương trình : 
 13 + 9 = 16x
 Giải: 
 Điều kiện : x 1 (*)
 Cách 1 : áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : 13 + 9
 = 13.2. + 3.2.
 13( x - 1 + ) + 3(x + 1 + ) = 16x 
	Dấu '' = '' xảy ra 
 ú ú x = thoả mãn (*) 
	Phương trình (1) có nghiệm ú dấu '' = '' ở (2) xảy ra 
 Vậy (1) có nghiệm x = .
Bài 2: a, Tìm giá trị lớn nhất của L = + 
 b. Giải phương trình : + - x2 + 4x - 6 = 0 (*)
 Giải : 
 a. Tóm tắt : ( + )2 2(2x - 3 + 5 - 2x) = 4
 ú + 2
 => MaxL = 2 khi x = 2 .
 b. TXĐ : 
 (*) ú + = x2 - 4x + 6 
 VP = (x - 2)2 + 2 2 , dấu '' = '' xảy ra khi x = 2 .
 => với x = 2 ( thoả mãn TXĐ ) thì VT = VP = 2 .
 => phương trình (*) có nghiệm x = 2 .
 Bài 3 : Giải phương trình :
 + = x2 - 6x + 13 
 Giải : TXĐ : -2 x 6.
 VP = (x - 3)2 + 4 4 . Dấu '' = '' xảy ra khi x = 3 .
 VT2 = (.1 + .1)2 (6 - x + x + 2)(1 + 1) = 16
 => VT 4 , dấu '' = '' xảy ra khi = ú x = 2 .
 => không có giá trị nào của x để VT = VP => Phương trình vô nghiệm
 Bài 4 : Giải phương trình : 
 + = 5
 HD : 2 ; 3 => VT 5 .
 Dấu '' = '' xảy ra khi : ú 
 => phương trình có nghiệm : x = 2 ; y = 2 .
3 - Dùng bất đẳng thức để giải hệ phương trình : 
 - Kiến thức : Dùng bất đẳng thức để biến đổi từng phương trình của hệ , suy luận và kết luận nghiệm .
 Lưu ý : Một số tính chất : a, a2 + b2 2ab 
 b. a + c 0 => a < b 
 c. nếu a > b > 0 .
 - Các ví dụ : 
 Bài 1 : Giải hệ phương trình : 
 (1) ú x3 = - 1 - 2(y - 1)2 ú x3 - 1 ú x - 1 . (*) 
 (2) ú x2 1 ( vì 1 + y2 2y) ú -1 x 1 (**)
 Từ (*) và (**) => x = -1 . Thay x = -1 vào (2) ta có : y = 1 .
 => Hệ phương trình có nghiệm duy nhất : x = -1 ; y = 1 .
 - Kiến thức : Biến đổi một phương trình của hệ , sau đó so sánh với phương trình còn lại , lưu ý dùng các bất đẳng thức quen thuộc .
 Bài 2 : Giải hệ phương trình : 
 Giải : 
 áp dụng : BĐT : A2 + B2 2AB dấu '' = '' xảy ra khi A = B 
 Ta có : x4 + y4 2x2y2 ; y4 + z4 2y2z2 ; z4 + x4 2z2x2 .
 => x4 + y4 + z4 x2y2 + y2z2 + z2x2 (*) 
 Mắt khác : x2y2 + y2z2 2x2yz 
 y2z2 + z2x2 2xy2z
 x2y2 + z2x2 2xyz2 
 => 2(x2y2 + y2z2 + z2x2 ) 2xyz(x + y + z) = 2xyz .
 => x2y2 + y2z2 + z2x2 xyz . (**)
 Từ (*) và (**) => x4 + y4 + z4 xyz 
 Dấu '' = '' xảy ra khi : x = y = z mà x + y + z = 1 nên : x = y = z = 
 Vậy hệ phương trình có nghiệm : x = y = z = 
 Cách 2: áp dụng BĐT Côsi ;
 	 - Kiến thức : Dùng phương pháp thế 
 Bài 3 : Giải hệ phương trình 
 (với x, y, z > 0) 
 Giải : 
 áp dụng : Nếu a, b > 0 thì : 
 (2) ú 
 ú 6
 Mặt khác : vì x, y, z > nên 6 
 ; 
 Dấu '' = '' xảy ra khi x = y = z , thay vào (1) ta được : 
 x + x2 + x3 = 14 (x - 2)(x2 + 3x + 7) = 0 
 x - 2 = 0 x = 2 .
 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất : x = y = z = 2 . 
4. Dùng bất đẳng thức để giải phương trình nghiệm nguyên
 Ngoài ra còn có một số những ứng dụng khác của bất đẳng thức , đòi hỏi học sinh phải linh hoạt và sáng tạo trong khi giải , học sinh phải nắm chắc được các kiến thức về bất đẳng thức thì mới vận dụng được . 
 Ví dụ : Dùng bất đẳng thức để giải phương trình nghiệm nguyên .
 Bài 1 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : 
 = 2 
 Giải : 
 Không mất tính tổng quát , ta giả sử x y z , ta có : 
 2 = => 2z 3 , mà z nguyên dương 
 Vậy z = 1 . Thay z = 1 vào phương trình ta được :
 Theo giả sử , x y , nên 1 = 
 Y nguyên dương nên y = 1 hoặc y = 2 .
 Với y = 1 không thích hợp 
 Với y = 2 ta có : x = 2 .
 Vậy (2 ; 2 ; 1) là một nghiệm của phương trình .
 Hoán vị các số trên , ta được nghiệm của phương trình là : 
 (2 ; 2 ; 1) ; (2 ; 1 ; 2) ; (1 ; 2 ; 2)
IV:Bài tập áp dụng
Bài 1: Cho hai số x và y mà x+y=1 CMR : 
 a) x2 +y2 
b) x4+y4 
Bài 2: Cho a,b, c, d ,e là các số thực CMR 
 a2+b2+c2+d2+e2=a(b+c+d+e)
Bài 3: Cho hai số dương x,y và x3+y3 =x-y CMR: x2 +y2 <1
Bài 4: Cho hai số dương x,y CMR : 
Bài 5: Cho ab CMR: 
Bài 6 : Cho 3 số x,y,z không âm sao cho x+y+z=a
 CMR: (a-x)(a-y)(a-z)8xyz
Bài 7: Cho a0,b0,c
 CMR: a4+b4+c4abc(a+b+c)
Bài 8: Cho x2+4y2=1 CMR: 
Bài 9: CMR: Nếu thì 
Bài 10: CMRvới mọi số nguyên dương n3thì 2n > 2n+1
Bài 11: Cho a,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác . 
CMR: 
V : kết quả đạt được 
Qua việc áp dụng kinh nghiệm trên vào giảng dạy cho học sinh tôi thấy học sinh đã xác định được loại toán và cách làm ,nhiều em học sinh đã làm được các bài tập về bất đẳng thức và đã có hướng thú hơn khi học toán 
Kết quả kiểm tra sau khi áp dụng đề tài 
Số lượng học sinh
Điểm Giỏi 
Điểm khá 
Điểm trung bình 
Điểm yếu
Điểm kém
30
5
8
12
5
0
Vi:bài học kinh nghiệm
Qua việc hướng dẫn học sinh làm bài tập cho thấy phần kiến thức về đề tài là phần kiến thức mở do giáo viên đưa vào cuối các giờ luyện tập , hoặc giờ tự chọn nên nội dung đối với học sinh còn phức tạp , khó hình dung , vì vậy cần đưa kiến thức cho học sinh cần làm từ dễ đến khó ,kết hợp ôn tập , giao bài tập về nhà , kiểm tra học sinh 
 Sau khi hướng đẫn xong nội dung chuyên đề cần chỉ cho học sinh những kiến thức cần thiết , đồng thời rèn luyện những kỹ năng làm bài tập cho học sinh 
Cần đưa nội dung vào giờ dạy cho phù hợp ,tránh dồn ép học sinh tiếp nhận kiến thức một cách thụ động mà đạt kết quả không mong muốn 
VII: Phạm vi áp dụng đề tài
Chuyên đề ((một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức )) được áp dụng cho học sinh lớp 8, 9 thích hợp nhất là học sinhlớp 9 và với đối tượng là học sinh khá giỏi 
C: Kết luận
	Các bài tập về bất đẳng thức thường là tương đối khó đối với học sinh , nhưng khi hướng dẫn học sinh xong đề tài ((một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức )), học sinh sẽ thấy rằng việc làm bài toán về bất đẳng thức sẽ rễ hơn . Đồng thời đứng trước bài toán khó cho dù ở dạng bài tập nào học sinh cũng có hướng suy nghĩ và tập suy luận , các em sẽ có tự tin hơn .
Chuyên đề còn có thể còn nhiều thiếu sót , rất mongđược sự ủng hộ của các thày cô giáo để đề tài ngày càng hoàn thiện hơn .
 Tôi xin chân thành cảm ơn
 Tháng 2 năm 2008. 
Mục lục
 trang
đặt vấn đề 6