Sáng kiến kinh nghiệm Một số minh hoạ Sử dụng sơ đồ trong dạy học môn Toán THPT

I. Đặt vấn đề
Thực tế giảng dạy cho thấy môn Toán học trong trường phổ thông là một trong những môn học khó, phần lớn các em học môn Toán rất yếu đặc biệt là hình học không gian, nếu không có những bài giảng và phương pháp dạy phù hợp đối với thế hệ học sinh thì dễ làm cho học sinh thụ động trong việc tiếp thu, cảm nhận. Nhiều học sinh vẫn còn thói quen học thuộc lòng, học vẹt, thuộc một cách máy móc, thuộc nhưng nhanh quên. Nhiều học sinh còn chưa xác định kiến thức trọng tâm, không nắm được sự nổi bật của bài học hoặc không biết liên tưởng, liên kết các kiến thức có liên quan với nhau. Nhiều giáo viên chưa quan tâm đúng mức đối tượng giáo dục, chưa đặt ra cho mình nhiệm vụ và trách nhiệm nghiên cứu, hiện tượng dùng đồng loạt cùng một cách dạy, một bài giảng cho nhiều lớp, nhiều thế hệ học trò vẫn còn nhiều. Do đó phương pháp ít có tiến bộ mà người giáo viên đã trở thành người cảm nhận, truyền thụ tri thức một chiều, còn học sinh không chủ động trong quá trình lĩnh hội tri thức-kiến thức.
Xuất phát từ mục đích dạy - học phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo của học sinh nhằm giúp các em xây dựng các kiến thức, kỹ năng, thái độ học tập cần thiết, kỹ năng tư duy, tổng kết, hệ thống lại những kiến thức, vấn đề cơ bản vừa mới lĩnh hội giúp các em củng cố bước đầu, khắc sâu trọng tâm bài học, thì sơ đồ tư duy, sơ đồ khối là một biểu đồ được sử dụng để thể hiện từ ngữ, ý tưởng, nhiệm vụ hay các mục được liên kết và sắp xếp tỏa tròn quanh từ khóa hay ý trung tâm. 
Một trong các biện pháp khắc phục có hiệu quả cao là việc sử dụng các mô hình, các sơ đồ minh họa một cách trực quan. Từ đó, tôi đã mạnh dạn nghiên cứu đề tài “Một số minh hoạ Sử dụng sơ đồ trong dạy học môn Toán THPT” và đã ứng dụng thực tế đề tài này tại trường THPT Vũ Duy Thanh.
 Với mong muốn thay đổi cách giảng dạy truyền thụ tri thức một chiều sang cách tiếp cận kiến tạo kiến thức và suy nghĩ. Ý tưởng là “sơ đồ” được xây dựng theo quá trình từng bước khi người dạy và người học tương tác với nhau. Vì đây là một hoạt động vừa mang tính phân tích vừa mang tính nghệ thuật nó làm cho học sinh gợi nhớ các kiến thức vừa mới học hoặc đã được học từ trước. Để thực hiện được điều như trên, bản thân tôi xác định phải luôn bám sát các nguồn tư liệu như: chuẩn kiến thức, kĩ năng; sách giáo khoa; sách giáo viên và các sách tham khảo khác. Ngoài ra còn luôn chuẩn bị một hệ thống câu hỏi và bài tập dựa trên mục tiêu của từng bài, từng chương cụ thể, giúp học sinh định hướng và nắm được kiến thức trọng tâm bài học. Thông qua đó học sinh nắm vững kiến thức cũ, lĩnh hội kiến thức mới nhanh hơn.
Mục đích nghiên cứu
Đề tài tập trung vào việc nghiên cứu việc vận dụng sơ đồ trong việc giảng dạy nói chung và cụ thể trong bộ môn Toán chương trình THPT. Mục tiêu nhằm giúp học sinh tiếp cận kiến thức một cách đơn giản trực quan nhất, giúp học sinh biết khắc sâu kiến thức trọng tâm, biết liên tưởng kiến thức và giúp học sinh ghi nhớ kiến thức một cách tốt nhất.
Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là các bài dạy môn Toán cho học sinh THPT. 
Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu, tìm hiểu và sưu tầm các cơ sở lí luận về hiệu quả của việc sử dụng sơ đồ kiến thức. 
Tìm các phần kiến thức nào, các hoạt động dạy học nào có thể áp dụng sơ đồ trong giảng dạy. Áp dụng thực tế trong tiết học. Điều tra phân tích hiệu quả.
II. Giải quyết vấn đề
1. Cơ sở lí luận
	Sơ đồ khối, sơ đồ tư duy còn gọi là bản đồ tư duy, lược đồ tư duy, là hình thức ghi chép nhằm tìm tòi đào sâu, mở rộng một ý tưởng, hệ thống hóa một chủ đề hay một mạch kiến thức, bằng cách kết hợp việc sử dụng đồng thời hình ảnh, đường nét, màu sắc, chữ viết với sự tư duy tích cực. Đặc biệt đây là một sơ đồ mở, không yêu cầu tỉ lệ, chi tiết chặt chẽ như bản đồ địa lí, có thể vẽ thêm hoặc bớt các nhánh, mỗi người vẽ một kiểu khác nhau, dùng màu sắc, các cụm từ diễn đạt khác nhau, cùng một chủ đề nhưng mỗi người có thể “thể hiện” nó dưới dạng sơ đồ theo một cách riêng, do đó việc lập sơ đồ phát huy được tối đa khả năng sáng tạo của mỗi người.
	Sơ đồ dạy học chú trọng tới hình ảnh, màu sắc, với các mạng lưới liên tưởng, các hướng phân tích. Có thể vận dụng sơ đồ vào hỗ trợ dạy học kiến thức mới, củng cố kiến thức sau mỗi tiết học, ôn tập hệ thống hóa kiến thức sau mỗi chương, mỗi học kì...
Sơ đồ dạy học giúp học sinh học có được phương pháp học tập chủ động, tích cực, huy động tối đa tiềm năng của bộ não. Việc học sinh vẽ sơ đồ có ưu điểm là phát huy tối đa tính sáng tạo của học sinh, phát huy khả năng phân tích giả thiết tìm lời giải, các em tự “ sáng tác” nên trên mỗi sơ đồ thể hiện rõ cách hiểu, cách trình bày kiến thức của từng học sinh.
Sơ đồ dạy học đặc biệt là sơ đồ tư duy giúp học sinh ghi chép rất hiệu quả. Do đặc điểm của sơ đồ tư duy nên người thiết kế sơ đồ tư duy phải chọn lọc thông tin, từ ngữ, sắp xếp bố cục để ghi thông tin cần thiết nhất và lôgic. Vì vậy, sử dụng sơ đồ tư duy sẽ giúp học sinh dần dần hình thành cách ghi chép hiệu quả.
2. Thực trạng của vấn đề
Thực tế giảng dạy cho thấy còn nhiều học sinh chưa biết cách học, cách ghi chép tóm tắt, cách cô đọng và hệ thống hóa kiến thức. Nhiều học sinh vẫn còn thói quen học thuộc lòng, học vẹt, thuộc một cách máy móc, thuộc nhưng nhanh quên. Nhiều học sinh còn chưa xác định kiến thức trọng tâm, không nắm được sự nổi bật của bài học hoặc không biết liên tưởng, liên kết các kiến thức có liên quan với nhau. Nhiều giáo viên chưa quan tâm đúng mức đối tượng giáo dục, chưa đặt ra cho mình nhiệm vụ và trách nhiệm nghiên cứu, hiện tượng dùng đồng loạt cùng một cách dạy, một bài giảng cho nhiều lớp, nhiều thế hệ học trò vẫn còn nhiều.Thời gian học sinh học tập ở nhà rất ít và chưa có phương pháp học hiệu quả.
Việc dùng sơ đồ có thể thực hiện bằng nhiều cách như viết bảng, vẽ trên giấy ở dạng bảng phụ hoặc phiếu học tập. Việc sử dụng sơ đồ sẽ tạo không khí học tập sôi nổi. Do cách thức thực hiện đơn giản nên giáo viên cũng có thể giao cho học sinh tự vẽ sơ đồ nhằm phát huy năng lực của học sinh. Việc sử dụng sơ đồ đòi hỏi cần có thời gian chuẩn bị kỹ lưỡng. Các sơ đồ phải thiết kế nhằm thể hiện được đúng nội dung kiến thức và các mối liên quan các nội dung kiến thức
3. Các biện pháp đã tiến hành giải quyết vấn đề.
	Phương pháp nghiên cứu lí luận
	Phương pháp điều tra lí luận thực tiễn
	Phương pháp thực nghiệm sư phạm
	Phương pháp thống kê
Minh họa việc sử dụng sơ đồ khối
	Việc sử dụng sơ đồ trong dạy học có thể vận dụng trong nhiều hoạt động dạy học khác nhau. Chẳng hạn như:
	+ Gợi động cơ kiến thức
	+ Kiểm tra bài cũ
	+ Phân tích tìm hướng giải một bài toán
	+ Trình bày lời giải một bài toán
	+ Củng cố kiến thức một tiết dạy
	+ Củng cố kiến thức một chương
3.1. Sử dụng sơ đồ trong giới thiệu nội dung một chủ đề
Ví dụ: 
Sơ đồ: Giới thiệu chương I hình học lớp 12
3.2. Sử dụng sơ đồ trong việc phân dạng bài tập
Ví dụ: 
Sơ đồ: Phân dạng bài tập thể tích khối chóp và khối lăng trụ
3.3. Sử dụng sơ đồ trong tiếp cận một chủ đề
Ví dụ:
Sơ đồ: Tiếp cận quy tắc nhân
Bài toán: Bạn Quân có 3 áo khác nhau và 4 quần khác nhau. Hỏi Quân có bao nhiêu cách chọn 1 bộ quần áo?
Sơ đồ phân tích:
Chọn quần
Chọn áo
q1
q2
q3
q4
a1
a2
a3
q1
q2
q3
q4
q1
q2
q3
q4
cách
Đặt vấn đề: Nếu có m áo và n quần thì có bao nhiêu cách chọn?
 quy tắc nhân cho 2 hành động
Sơ đồ: Thiết lập công thức góc giữa 2 đường thẳng
, 
Giả sử , lần lượt là VTPT của ; 
 là góc giữa 
Sơ đồ phân tích:
3.4. Sử dụng sơ đồ trong củng cố tiết dạy
Ví dụ:
Sơ đồ. Củng cố tiết dạy phương trình đường thẳng (Hình học 10)
Sơ đồ: Tóm tắt bài đường thẳng song song với mặt phẳng (Hình học 11)
Sơ đồ: Củng cố tiết dạy hai đường thẳng vuông góc (Hình học 11)
Hai đường thẳng vuông góc
Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Tích vô hướng của 2 vectơ 
Góc giữa 2 đường thẳng
Góc giữa 2 vectơ 
Sơ đồ: Hệ thống hóa kiến thức “Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng”
3.5. Sử dụng sơ đồ trong hệ thống hóa kiến thức
Ví dụ:
Sơ đồ: Giải và biện luận phương trình 
PT thỏa mãn 
PT vô nghiệm
PT có 1 nghiệm:
Sơ đồ: Giải và biện luận phương trình 
PT vô nghiệm
PT có nghiệm kép:
PT có 2 nghiệm:
Sơ đồ: Thể hiện mối quan hệ giữa các công thức lượng giác
Công thức cộng
1) 	2) 
3) 	4) 
5) 	6) 
Từ 1) 3) 5):
 thay b = a
Cộng, trừ
1) với 2)
3) với 4)
Công thức hạ bậc
1) 
2) 
3) 
Công thức biến đổi tổng thành tích
1) 
2) 
3) 
4) 
Đặt 
Từ 2), 3):
 thay b=a
Từ 2) (a), (b)
Công thức biến đổi tích thành tổng
1) 
2) 
3) 
Công thức nhân đôi
1) 
2) 
 (a) 
 (b) 
3) 
Sơ đồ: Quan hệ giữa số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
Chỉnh hợp
Tổ hợp 
Hoán vị
Sơ đồ: Thể hiện mối quan hệ giữa các dạng phương trình đường thẳng
Đường thẳng
PT tham số
PT tổng quát 
PT chính tắc
Qua M0
VTCP 
Qua M0
VTPT 
Khử t
Qua M0 (x0; y0);
VTCP (a;b)=(-B; A)
Nhân 
chéo
: Rút t
Đặt t 
Chuyển vế, chia
3.6. Sử dụng sơ đồ trong việc phân tích tìm lời giải
Ví dụ 1: Cho hình chóp S. ABCD, đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm SB, SA. Chứng minh (OMN) //(SCD). 
Sơ đồ phân tích chứng minh
(ONM)//(SCD)
OM//(SCD)
ON//(SCD)
OM//SD
ON//SC
ON là ĐTB 
OM là ĐTB 
Ví dụ 2: Cho hình chóp S. ABCD với ABCD là hình vuông, SA (ABCD). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD. Chứng minh SC(ANM)
Sơ đồ phân tích chứng minh
Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Lấy P, Q lần lượt trên AD, BC sao cho . Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q đồng phẳng
Sơ đồ phân tích chứng minh
Ví dụ 4: Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đội một vuông góc với nhau. Kẻ OH vuông góc với mp(ABC), H nằm trên mp(ABC). Chứng minh H là trực tâm tam giác ABC
Sơ đồ phân tích chứng minh
H là trực tâm ABC
Ví dụ 5: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Sơ đồ tư duy: Hướng dẫn học sinh giải:
Ví dụ 6: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Sơ đồ tư duy: Hướng dẫn học sinh giải:
Ví dụ 7: Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và BCD là hai tam giác cân có chung đáy BC. I là trung điểm của BC
a) Chứng minh BC ^ (ADI) 
b) Gọi AH là đường cao của tam giác ADI. Chứng minh AH ^ (BCD)
I
A
B
C
D
H
BC ^ (ADI)
Khai thác giả thiết
AB = AC 
DB = DC
BC ^ AI
BC ^ DI
IB = IC
BC^ (ADI)
BC^AI, BC^DI
BC ^ AH
AH ^ DI
AH là đường cao
 tam giác ADI
BC ^(ADI)
(câu a))
AH^(BCD)
AH^BC, AH^DI
AH ^(BCD)
Khai thác giả thiết
Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mp(SBD) và mặt phẳng đáy bằng .
Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. 
Sơ đồ tư duy: Hướng dẫn học sinh giải:
Ví dụ 9: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều, BCD là tam giác vuông cân tại D, (ABC)(BCD) và cạnh AD hợp với mp(BCD) một góc 60o.
Tính thể tích tứ diện ABCD biết AD = a.
Sơ đồ tư duy: Hướng dẫn học sinh giải:
Ví dụ 10: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B,và SA vuông góc với đáy ABC, 
	1) Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
	2) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng () qua AG và song 
 song với BC cắt SC, SB lần lượt tại M, N. 
 Tính thể tích của khối chóp S.AMN
Sơ đồ tư duy: Hướng dẫn học sinh giải:
Ví dụ 11: Cho lăng trụ đứng ABC.A/B/C/ có đáy ABC là tam giác vuông tại B Biết AB=a, BC = , mp (A/BC) hợp với mặt đáy (ABC) một góc 300 .
Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A/B/C/ 
Sơ đồ tư duy: Hướng dẫn học sinh giải:
Ví dụ 12: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A' xuống mp(ABC) là tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA' hợp với đáy ABC một góc 60o.
	 Tính thể tích lăng trụ ABC A'B'C'.
Sơ đồ tư duy: Hướng dẫn học sinh giải:
3.7. Sử dụng sơ đồ trình bày lời giải
Bài toán 1:
Trong 1 cuộc thi đấu bóng bàn giữa An và Bình, người thắng là người đầu tiên thắng 3 ván hoặc thắng 2 ván liên tiếp. Có bao nhiêu trường hợp xảy ra để 1 người thắng cuộc, biết rằng khả năng thắng cuộc của 2 người là như nhau
Phân tích bằng sơ đồ
A
B
A
A
A
A
A
A
B
B
B
B
B
B
B
B
A
A
Vậy có 10 trường hợp xảy ra
Bài toán 2: 
Cho A, B, C, D, E, F là các thành phố nối với nhau bởi các con đường (như hình vẽ). Một người đi từ A đến các thành phố khác và chỉ dừng lại khi không thể đi tiếp mà không phải đi qua cùng 1 con đường 2 lần. Hỏi có tất cả bao nhiêu khả năng người đó phải dừng lại?
A
B
D
F
E
C
Phân tích bằng sơ đồ 
A
B
E
C
F
C
D
E
B
D
C
E
F
B
F
C
E
B
A
C
A
B
E
C
F
D
E
F
B
C
D
E
B
C
D
C
F
D
B
F
E
C
D
B
E
Vậy có 11 lần dừng lại
III. Kết luận, kiến nghị
1. Kết quả đạt được
Trên đây chỉ là một số sơ đồ minh họa để dạy các kiến thức toán nhằm nâng cao năng lực và phát huy khả năng tư duy, phân tích và lập luận cho học sinh. Tôi đã tiến hành thực hành sử dụng các sơ đồ kiến thức vào tiết học cụ thể trên lớp trong năm học 2013-2014 ở các lớp 11A và 12B. Kết quả tiết dạy có sử dụng sơ đồ gợi động cơ làm học sinh học tập có hứng thú hơn. Các tiết dạy có sử dụng sơ đồ để củng cố kiến thức một tiết hay một chương giúp học sinh nhớ sâu sắc hơn so với học sinh các lớp đối chiếu không dùng sơ đồ. 
Các sơ đồ phân tích tìm lời giải tôi đã áp dụng vào các tiết dạy hình học lớp 11 và lớp 12. Kết quả là học sinh nắm bắt lời giải tốt hơn và khả năng trình bày lời giải cũng tốt hơn.
Khi dạy theo kĩ thuật lập sơ đồ tổng kết chương phần lớn gây được hứng thú cho học sinh (phát huy được tính tích cực cho học sinh) tránh tình trạng lớp học thụ động, nhàm chán, vì giáo viên không phải lặp đi, lặp lại với những cấu trúc câu hỏi gần giống nhau. Qua học theo kĩ thuật lập sơ đồ tổng kết chương học sinh có thể tư duy một cách có hệ thống, đồng thời có thể so sánh được những nội dung kiến thức ở mỗi phần và mỗi bài với nhau, qua đó học sinh khắc sâu hơn những kiến thức theo chuẩn yêu cầu.
Nhận xét:
Hầu hết các em đã biết làm bài tập thành thạo hơn.
Điểm khá, giỏi tăng lên rất nhiều, điểm yếu kém đã giảm đi đáng kể.
Học sinh nắm được kiến thức bộ môn một cách chắc chắn hơn, sâu rộng hơn.
Học sinh có thể biết và hiểu thêm, hiểu hơn một số phương pháp giải toán.
Học sinh có hứng thú học tập bộ môn nhiều hơn, say mê hơn. 
2. Hạn chế, hướng khắc phục, hướng phát triển đề tài
Qua quá trình thực hiện đề tài tôi còn thấy nhiều sơ đồ còn sơ lược. Số lượng các tiết áp dụng chưa nhiều. Đề tài cần phát triển theo hướng mở rộng hơn các nội dung kiến thức có dùng sơ đồ, kết hợp việc sử dụng sơ đồ khối với sơ đồ tư duy. Trong thời gian tới tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu và tiếp tục tích luỹ kinh nghiệm để giải pháp ngày càng toàn diện và tốt hơn.
3. Điều kiện áp dụng và kiến nghị đề xuất
Đề tài có thể áp dụng được rộng rãi trong chương trình giáo dục phổ thông, có thể áp dụng cho cả đối tượng học sinh khá giỏi và học sinh yếu kém. Mặc dù cố gắng nhiều nhưng mới trong thời gian ngắn thực nghiệm nên giải pháp còn hạn chế và không tránh khỏi thiếu sót. Rất mong sự đóng góp ý kiến và giúp đỡ đồng nghiệp, cấp trên để giải pháp ngày càng hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn!
	Yên khánh, tháng 5 năm 2014
	Người thực hiện
	 Trần Văn Huy
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa và sách bài tập môn toán lớp 10, 11, 12 Cơ bản và nâng cao
 NXB Giáo dục - 2008.
2. Tài liệu bồi dưỡng giáo viên thực hiện chương trình Sách Giáo Khoa lớp 10, 11, 12 môn Toán.
Nhà xuất bản Giáo dục – 2007
3. Hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức, kĩ năng môn Toán học lớp 10,11,12.
Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam – 2009
4. Nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng – Bộ Giáo dục và Đào tạo.
Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội - 2011
5. Tài liệu chuyên toán Hình học 12.
NXB Giáo dục – 2011
6. Tạp chí toán học tuổi trẻ
7. Mạng Internet: violet.vn; thuvientailieu.bachkim.com; giaovien.net.