Sáng kiến kinh nghiệm Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị đại số

Đề tài:
"Một số kinh nghiệm
Giải bài toán cực trị đại số"
Phần thứ nhất
mở đầu
I. Lý do chọn đề tài:
	Như chúng ta đã biết, trong toán học nói chung và trong chương trình toán THCS nói riêng, dạng toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất là một trong những dạng toán khó, lại hay thường gặp trong các kì thi của cả GV lẫn HS. Mặc dầu vậy, chúng ta vẫn chưa có một tài liệu nào có thể cung cấp cho ta đầy đủ những phương pháp, những dạng toán cơ bản thường gặp và cũng chưa có một phương pháp tìm cực trị nào tối ưu cho mọi dạng toán.
ở bậc THCS (chủ yếu học sinh khá, giỏi) đã được làm quen với loại toán này với dạng chuyên đề. Tuy nhiên, khi tìm hiểu thêm một số đồng nghiệp thì thấy nó cũng không dễ dàng với HS.
Với những lí do như vậy, tôi đã tìm hiểu, xây dựng đề tài “Một số kinh nghiệm giải bài toán cực trị Đại số”. Với mong muốn được trình bày một vài kinh nghiệm giảng dạy của mình để các đồng nghiệp tham khảo, rất mong được sự đóng góp chân thành để đề tài được phát huy hiệu quả.
II. nhiệm vụ và mục đích nghiên cứu:
1. Nhiệm vụ nghiên cứu:
- Đưa ra những kiến thức cơ bản nhất của giá trị cực trị, chỉ ra một số sai lầm thường mắc phải.
- Đề xuất một số phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, đồng thời rèn cho học sinh tìm tòi lời giải.
- Lựa chọn phương pháp giải hợp lý. Muốn vậy, phải rèn cho học sinh khả năng phân tích, xem xét bài toán dưới dạng đặc thù riêng lẻ. Mặt khác, cần khuyến khích học sinh tìm hiểu cách giải cho một bài tập để học sinh phát huy được khả năng tư duy linh hoạt, nhạy bén khi tìm lời giải bài toán, tạo được lòng say mê, sáng tạo, ngày càng tự tin, không còn tâm lý ngại ngùng đối với bài toán cực trị.
2. Mục đích nghiên cứu:
	Tác giả muốn đưa ra sáng kiến này với mục đích giúp cho học sinh và đồng nghiệp có một cách nhìn tổng quát về các cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Thông qua các ví dụ cụ thể ban đọc có thể vận dụng từng phương pháp nêu trên vào từng bài toán cụ thể.
	Do việc biến đổi để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các bài toán khác nhau là khác nhau nên bản thân không thể rút ra một công thức, hay phương pháp cụ thể có thể áp dụng cho tất cả bài toán mà chỉ thông qua các bài tập cụ thể để đồng nghiệp và HS có cách nhìn phù hợp khi giải các bài tập tương tự.
III. Đối tượng và phương pháp nghiên cứu:
1. Đối tượng nghiên cứu:
 - Học sinh THCS (chủ yếu là học sinh lớp 8, 9)
2. Phương pháp nghiên cứu:
- Điều tra, thực nghiệm, khảo sát kết quả học tập của học sinh.
- Thực nghiệm giảng dạy chuyên đề cho các lớp bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 8, 9 cùng với nhóm chuyên môn thực hiện.
- Điều tra, đánh giá kết quả học tập của học sinh sau khi thực nghiệm giảng dạy chuyên đề.
- Trao đổi ý kiến với đồng nghiệp
Phần thứ hai.
nội dung đề tài
I. Kiến thức cơ bản:
1. Định nghĩa: 
	Cho biểu thức đại số F(x,y,) xác định trên miền và . Ta nói: là giá trị lớn nhất (hoặc m là giá trị nhỏ nhất) của trên nếu 2 điều kiện sau được thoả mãn:
 	i) Với mọi x, y, . . . thì F(x,y, . . .) (hoặcF(x,y, . . .) ), 
	ii) Tồn tại x0, y0, . . . sao cho F(x0,y0, . . .) = (hoặc = m)
2. Chú ý: 
Để tranh sai lầm thường mắc phải khi làm loại bài toán này, ta cần nhấn mạnh và khắc sâu 2 điều kiện của định nghĩa, chú ý đến miền giá trị của biến. Rèn những phản xạ sau:
	+ Chứng tỏ F(x,y, . . .) (hoặc F(x,y, . . .) ) với mọi x, y, . . . 
	+ Chỉ ra sự tồn tại x0, y0, . . . để F(x0,y0, . . .) đạt cực trị.
Ta ký hiệu là giá trị lớn nhất của là giá trị nhỏ nhất của 
II. Những sai lầm thường gặp khi giải toán cực trị:
1. Sai lầm trong chứng minh điều kiện 1:
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Lời giải sai: Phân thức có tử số là số không đổi nên có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất.
Ta có: 
Phân tích sai lầm: Tuy đáp số không sai nhưng khi khẳng định “ có tử số là số không đổi nên có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất” mà chưa đưa ra nhận xét tử mẫu là các số dương.
Ta đưa ra một ví dụ:
Xét biểu thức 
Với lập luận “phân thức có tử không đổi nên có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất”, do mẫu nhỏ nhất bằng khi , ta sẽ đi đến: không phải là giá trị lớn nhất của , chẳng hạn với thì .
	Mắc sai lầm trên là do không nắm vững tính chất của bất đẳng thức: Đã máy móc áp dụng quy tắc so sánh 2 phân số có tử số và mẫu số là số tự nhiên sang hai phân số có tử và mẫu là số nguyên.
Lời giải đúng: Bổ sung thêm nhận xét: nên tử và mẫu của A là các số dương. Hoặc từ nhận xét trên suy ra , do đó lớn nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất nhỏ nhất.
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của: biết 
Lời giải sai:
	Ta có: 
	Do đó, nhỏ nhất 
	Khi đó 
Phân tích sai lầm: Đáp số tuy không sai nhưng lập luận mắc sai lầm. Ta mới chứng minh được , chứ chưa chứng minh được với là hằng số.
Ta đưa ra một vị dụ: Với lập luận như trên, từ bất đẳng thức đúng sẽ suy ra: nhỏ nhất .
Dẫn đến: 
Dễ thấy kết quả đúng phải là: Min 
Lời giải đúng:
	Ta có: 	
	Ta lại có:	
	Từ , : 
	Vậy 	
2. Sai lầm trong chứng minh điều kiện 2:
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của: 
Lời giải sai:
	Vậy 
Phân tích sai lầm: Sau khi chứng minh chưa chỉ ra trường hợp xẩy ra dấu đẳng thức Xẩy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi vô lý.
Lời giải đúng:
	Để tồn tại phải có 
	Do đó 
	Min 
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của:
	Với và 
Lời giải sai: áp dụng bất đẳng thức: 
	Nhân từng vế (do hai vế đều không âm)
	Phân tích sai lầm: Sai lầm cũng ở chỗ chưa chỉ ra được trường hợp xẩy ra dấu đẳng thức. Điều kiện để là:
mâu thuẫn
Lời giải đúng:	áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm:
	Nhân từng vế với do 2 vế đều không âm)
III. một số phương pháp giải bài toán tìm cực trị đại số
1. Phương pháp tam thức bậc hai:
a, Nội dung phương pháp: 
Sử dụng trực tiếp định nghĩa cực trị thông qua việc biến đổi tam thức bậc hai về dạng bình phương một biểu thức chứa biến và một số hạng tự do.
b, Ví dụ:
Dạng 1: Tìm cực trị của tam thức bậc hai.
Ví dụ: 1/ Tìm giá trị nhỏ nhất của 
	 2/ Tìm giá trị nhỏ nhất của 
	 3/ Tìm giá trị nếu có của 
	 4/ Cho tam thức bậc hai 
 	 -Tìm giá trị nhỏ nhất của nếu 
 -Tìm giá trị lớn nhất của nếu 
HD giải:
Nhận xét: Các biểu thức đều ở dạng tam thức bậc hai.
1/ 
2/ 
3/ 
4/ 
+ Nếu 
+ Nếu 
Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của đa thức bậc cao:
 VD1: Tìm giá trị nhỏ nhất của 
HD: 
Bài toán trên là dạng đặc biệt của bài toán sau: 
 VD2: Tìm giá trị nhỏ nhất của 
HD: Dùng phương pháp đổi biến.
Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của phân thức mà có tử là hằng số,	 có mẫu là tam thức bậc hai.
 VD: Tìm giá trị lớn nhất của 
-Dạng này phải chú ý đến dấu của tử thức.
Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của phân thức có mẫu là bình	 phương nhị thức.
 VD: Tìm giá trị nhỏ nhất của 
HD: 
Đặt có 
Cách 2: Viết P dưới dạng tổng của một số với một biểu thức không âm:
	, 	
Dạng 5: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của một biểu thức quan hệ giữa các	 biến:
 VD: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Biết là nghiệm của phương trình: 
 Giải:
Ta có: 
. Vậy 
c, Tiểu kết:
Loại toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất bằng phương pháp tam thức bậc hai là cơ bản nhất, giúp học sinh dễ làm quen với toán cực trị. Rèn kỹ năng giải toán, đổi biến một cách linh hoạt phù hợp với từng loại toán để biến đổi các bài toán dạng khác về dạng tam thức bậc hai.
2. Phương pháp miền giá trị của hàm số:
a, Nội dung phương pháp:
 Xét bài toán sau: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số với Gọi là một giá trị tuỳ ý của hàm số xét trên miền đã cho, tức là hệ phương trình (ẩn ) sau có nghiệm:
Tuỳ dạng của hệ , mà ta có các điều kiện có nghiệm thích hợp. Trong nhiều trường hợp, điều kiện ấy sẽ đưa về dạng .
Vì là một giá trị bất kỳ của nền từ ta thu được: và trong đó 	
Như vậy thực chất của phương pháp này là đưa về phương trình bậc hai và sử dụng điều kiện 
b, Ví dụ:
Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của:
Giải:
Biểu thức A nhận giá trị khi và chỉ khi phương trình ẩn x sau đây có nghiệm:	 
Do nên 
	+ TH1: Nếu thì có nghiệm 
	+ TH2: Nếu thì để có nghiệm, cần và đủ là , tức là:
.
	Với hoặc thì nghiệm của là:
	Với thì với thì 
	Gộp cả hai trường hợp 1 và 2 ta có:
	, 
Cách khác:
Mở rộng: Bài toán còn có thể cho dưới dạng khác, đó là:
1/ Chứng minh: 
2/ Tìm điều kiện để phương trình sau có nghiệm (vô nghiệm):
c, Tiểu kết:
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hàm số hoặc những biểu thức có thể đưa về hàm số bằng phương pháp miền giá trị thường được đưa về phương trình và tìm điều kiện để phương trình có nghiệm. Phương pháp này có ưu điểm là tìm cực trị thông qua việc tìm điều kiện để phương trình có nghiệm, thông qua việc này giúp cho học sinh rèn kỹ năng giải phương trình.
3. Phương pháp sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc:
a. Nội dung phương pháp:
Dựa trực tiếp vào định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 
	Như vậy, khi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốtrên miền nào đó, ta tiến hành theo hai bước:
	+ Chứng minh một bất đẳng thức
	+ Tìm giá trị sao cho ứng với giá trị ấy, bất đẳng thức tìm được trở thành đẳng thức. Nếu sử dụng các bất đẳng thức cơ bản như Côsi, Trêbưsep, Bunhiacôpxki thì các giá trị như vậy thường được tìm thấy nhờ phần 2 trong cách phát hiện ra dấu đẳng thức ấy, cần có một nhận xét thích hợp.
b, Các bất đẳng thức thường dùng:
	1/ Tổng quát nguyên dương
	 Xẩy ra dấu đẳng thức 
	2/ Tổng quát nguyên dương
	 Xẩy ra dấu đẳng thức 
	3/ Xẩy ra dấu đẳng thức 
4/ Xẩy ra dấu đẳng thức 
5/ Xẩy ra dấu đẳng thức cùng dấu)
 Xẩy ra dấu đẳng thức cùng dấu)
 Xẩy ra dấu đẳng thức ;
6/ Xẩy ra dấu đẳng thức 
7/ với cùng dấu. Xẩy ra dấu đẳng thức 
8/ Bất đẳng thức Côsi:
+ Đối với 2 số dương bất kỳ.
	 (hoặc . Xẩy ra dấu đẳng thức 
+ Đối với 
9/ Bất đẳng thức Bunhia côpxki:
Nếu và là những số tuỳ ý, ta có:
.
Dấu bằng xẩy ra (với quy ước rằng nếu thì ).
10/ Bất đẳng thức Trêbưsép.
+ Nếu , 
 thì 
	 Dấu bằng xẩy ra hoặc tuỳ ý
+ Nếu , 
 thì 
	 Dấu bằng xẩy ra hoặc tuỳ ý.
c, Các ví dụ:
 VD1: Cho biểu thức 
	 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Giải
áp dụng bất đẳng thức Bunhia côpsxki đối với và 
Mặt khác, đối với và ta có:
Từ và suy ra: 
Vậy 
 VD2: Tìm giá trị lớn nhất của:
	a/ biết 
	b/ 
	Giải:
a/ Điều kiện: 
 Bất đẳng thức Côsi cho phép làm giảm một tổng: 
 ở đây lại muốn làm tăng một tổng. Ta dùng bất đẳng thức:	
 Cách khác: Xét rồi dùng bất đẳng thức Côsi
b/ Điều kiện: 
 Bất đẳng thức Côsi cho phép làm trội một tích: 
 Ta xem các biểu thức: là các tích: 
 Theo bất đẳng thức Côsi: 
 VD3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Giải:
	Ta có: 
 Chú ý: Giải bài toán linh hoạt khi biến đổi để áp dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối.
 Cách khác: Xét khoảng giá trị của x.
 VD4: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: 
 Dạng hàm số khiến ta nghĩ đến áp dụng bất đẳng thức: đối với 1000 cặp giá trị tuyệt đối.
 Ta có: 
 Vậy , đạt được khi 
 Mở rộng: Từ bài toán trên ta có thể ra các bài toán sau:
1/ Tìm miền giá trị của hàm số:
2/ Chứng minh bất đẳng thức:
	3/ Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
d, Tiểu kết:
	Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản đối với mỗi bài đòi hỏi tính linh hoạt cao, mỗi bài có một nét riêng biệt, không có quy tắc chung để vận dụng. Vì vậy cần cho học sinh làm quen với nhiều loại bài tập này./.
4. Phương pháp dùng ẩn phụ:
	Đối với dạng toán này, nếu biết cách dùng ẩn phụ sẽ giúp chúng ta nhìn nhận ra vấn đề một cách rõ ràng. 
Ví dụ 1:
Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất của biểu thức x2 +y2 với điều kiện: (x2-y2+1)2+ 4x2y2-x2-y2 = 0.(1)
Lời giải:
 Điều kiện (1) biến đổi được về dạng(x2+y2)2-3(x2+y2)+1+4x2=0 (2)
 (x2+y2)2-3(x2+y2)+1=-4x(3).
Đặt u=x2+y2 . Khi đó từ (3) ta có u2-3u+10 (4)
Hay (3-)/2u(3+)/2.
Giá trị lớn nhất của biểu thức x2+y2 là 
(3+)/2 khi x=0
Giá trị bé nhất của biểu thức x2+y2 là
(3-)/2 khi x=0.
Ví dụ 2:
Cho hai số x,y0 thay đổi thoả mãn (x+y)xy=x2+y2-xy.Tìm giá trị lớn nhất của biêu thức C=+.
Lời giải:
Đặt t=+. Từ giả thiết có +=+-(chia cả hai vế cho x2y2).
Suy ra C=t2 và += (+)2+( -)2(+)2 ( Đẳng thức xẩy ra khi x = y ) 4tt2.Suy ra 0t4 nên t216.
Từ đó suy ra C đạt giá trị lớn nhất bằng 16 khi và chỉ khi x=y=
Cách 2:Có thể đặt u=x+y,v=x.y(điều kiện u24v).
IV. một số Bài tập tự luyện:
	1/ Tìm giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) của biểu thức sau:
	a/ 	b/ 
	2/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
	a/ 	b/ 
3/Cho phương trình: ( có 2 nghiệm Tìm giá trị lớn nhất của tổng 
4/ Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau:
	5/ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: với 
	(HD: áp dụng bất đẳng thức Côsi với 5 số không âm: )
	6/ Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: 
(HD: áp dụng bất đẳng thức Bunhia với 
	7/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
	8/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
	9/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
	a/ 	b/ 
	10/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x+với x>y>0
	(HD: y(x-y) 2=; x+=+++4. )
Phần thứ ba.
Kết luận
	Trong phạm vi sáng kiến này bản thân tôi đã hết sức cố gắng, mạnh dạn trình bày kinh nghiệm của mình khi giải bài toán cực trị đại số như trên. Có những ví dụ tôi đã đưa ra một vài cách giải khác nhau để bạn đọc tiện so sánh và tìm hướng đi thích hợp nhất trong quá trình giải các bài tuơng tự.
	Để triển khai sáng kiến này một cách có hiệu quả trước hết chúng ta cần cung cấp cho học sinh một cách tường minh các khái niệm mới mẻ, những kiến thức trừu tượng mà trong chương trình SGK chưa đề cập tới như: Khái niệm " Miền nghiệm ", Bất đảng thức cô-Si, Bunhiacopski, . . .. Đồng thời, cần chọn những bài toán từ đơn giản, đến phức tạp để học sinh làm quen các dạng toán một cách tự nhiên và hiệu quả. Bên cạnh đó cần phải chú ý những sai lầm thường gặp và thống kê những bài tập vận dụng để học sinh lựa chọn phương pháp phù hợp, có lời giải chính xác. 
 Trong đề tài này có một số dạng toán mà trong quá trình nghiên cứu bản thân tôi chưa thể nêu ra được cách giải tổng quát mà chỉ thông qua các ví dụ minh hoạ mong bạn đọc cùng tư duy sáng tạo. Tuy nhiên nếu khi đã quen thuộc các dạng toán ta có thể tìm ra một phương pháp cụ thể cho từng dạng toán để phát triển và nhân rộng.
 Sau mấy năm ứng dụng đề tài này vào chương trình dạy học, tôi thấy việc giải quyết các bài tập về cực trị được học sinh giải quyết linh hoạt hơn và có những bài giải ngắn gọn và rất dễ hiểu, các em dễ tiếp thu và vận dụng, nhất là số học sinh giải được nhiều những bài toán tìm cực trị tương đối khó. Do đó, bản thân tôi mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm này. Hy vọng rằng, nó sẽ giúp cho quý vị đồng nghiệp, các em học sinh và các bạn yêu toán những điều thú vị và bổ ích.
 Mặc dầu trong quá trình tìm tòi, học hỏi, tôi đã rất cố gắng chọn lọc kiến thức và cũng cố gắng trình bày ngắn gọn, rõ ràng, dễ hiểu nhưng dẫu sao cũng không tránh khỏi những hạn chế, những sai sót, tôi rất mong các đồng chí, đồng nghiệp và các em học sinh chỉ bảo, đóng góp ý kiến để sáng kiến kinh nghiệm này được hoàn chỉnh hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Danh mục tài liệu tham khảo:
1. Tuyển tập toán "30, 45 năm toán học và tuổi trẻ" do hội toán học Việt Nam 
biên soạn.
2. Sách "Bồi dưỡng đại số cho học sinh lớp 8" do nhóm tác giả: Vũ Hữu Bình - Tôn Thân - Đỗ Quang Thiều biên soạn.
3. Sách giáo khoa toán 8, toán 9
4. Sách giáo viên toán 8, toán 9.
5. Tuyển tập "Các dạng toán dành cho học sinh THCS" do tác giả Phan Duy Khải biên soạn.
6. Một số cuốn tạp chí “Thế giới trong ta”