Sáng kiến kinh nghiệm Một số giải pháp nhằm phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh THCS qua việc ứng dụng hình học động trong môn Toán

 thác bài toán.
 Với tính năng vẽ hình chính xác, khá dễ dàng và tính hoạt hình nên GSP là một công cụ hỗ trợ khá hiệu quả trong việc giải bài tập hình học phẳng, đặc biệt là trong việc khai thác mở rộng bài toán, cụ thể: 
- Minh họa các khái niệm toán học ở hai hình thức tĩnh và động.
- Tạo ra các mô hình Toán học cụ thể để dẫn dắt học sinh tìm ra khái niệm mới.
- Kiểm tra các kết quả tìm được bằng con đường suy diễn.
- Dự đoán kết quả từ đó đề xuất cách giải quyết bài toán.
- Phát triển bài toán từ một bài toán đã biết.
- Kiểm chứng các giả thiết toán học, tạo mô hình hình học để tạo bài toán mới.
(Ví dụ 4;5;6 – Phần phụ lục)
Giải pháp 4: Giải bài toán quỹ tích
 Tìm quỹ tích là một bài toán khó, cái khó của bài toán tìm quỹ tích là việc dự đoán quỹ tích.
Giải pháp cũ: Giải quyết bài toán mà không sử dụng GSP, người học đôi khi phải vẽ một số vị trí của điểm di động để từ đó dự đoán quỹ tích và định hướng việc chọn phương pháp giải (khá mất thời gian và đôi khi không chính xác).
Giải pháp mới: Khi dạy về thực hành giải toán GV dùng phần mềm GSP thiết kế sẵn để tiết kiệm thời gian trên lớp, sau đó yêu cầu học sinh thiết kế nhằm rèn luyện kĩ năng sử dụng phần mềm. Ngoài lợi thế sử dụng tính năng động của GSP giúp học sinh nhanh chóng tiếp thu kiến thức, một đặc trưng nữa của phần mềm này là cho phép thiết lập quan hệ giữa các đối tượng hình học, phần mềm sẽ đảm bảo rằng các quan hệ luôn được bảo toàn.
 Khi dạy học giải bài tập hình học (đặc biệt là hình học không gian) với những hình phức tạp, việc vẽ hình là rất quan trọng, bởi hình vẽ càng trực quan thì việc định hướng để để giải quyết bài toán càng dễ dàng. Sử dụng lợi thế này của GSP, ta có thể vẽ hình rất nhanh theo yêu cầu của đề bài mà không cần phải suy nghĩ lựa chọn vị trí vẽ sao cho dễ nhìn như khi vẽ trên bảng hay trên giấy. Sau đó, di chuyển các đối tượng để hình vẽ ở vị trí trực quan nhất mà các quan hệ giữa các đối tượng thiết lập từ trước đó không bị thay đổi (ví dụ như quan hệ song song, vuông góc, quan hệ thuộc, tỉ số ...). Ngoài ra, nếu một bài tập có nhiều câu hỏi, ta có thể copy phần hình cho từng câu hay ẩn bớt những đối tượng không liên quan đến câu hỏi để giải quyết vấn đề (nếu dùng bảng phấn khi cần phải vẽ lại hình khác sẽ rất mất thời gian).
Ở công đoạn chuẩn bị: GV cần lựa chọn một số thông tin từ bài soạn như: hình vẽ, khái niệm, tính chất, câu hỏi,... để thiết kế thành các môdul trong trang làm việc của GSP theo một kịch bản dự tính trước. 
Trong giờ lên lớp: bên cạnh việc cung cấp cho học sinh (HS) những hình vẽ sinh động, trực quan GV sẽ khai thác GSP để tạo ra các tình huống có dụng ý sư phạm. Việc sử dụng GSP thường diễn ra theo các bước sau: 
Bước 1: Tiếp cận vấn đề: GV đưa ra hình vẽ của GSP ở dạng tĩnh để HS xác định rõ những yếu tố ban đầu. 
Bước 2: Khám phá tri thức: Trước hết GV cho thay đổi một vài yếu tố của hình vẽ, HS quan sát sự thay đổi của các đối tượng và mối quan hệ giữa chúng để đưa ra các nhận xét, dự đoán. Tiếp theo GV sử dụng các chức năng kiểm tra của GSP để kiểm thử các dự đoán mà HS đưa ra. Từ kết quả xử lý của GSP mà HS loại bỏ, biết được quỹ tích của đối tượng chuyển động, hoặc tìm cách chứng minh. 
Bước 3: Minh hoạ kết quả. GV sử dụng GSP minh hoạ các kết quả một cách sinh động và có thể đưa ra hướng phát triển, mở rộng bài toán.
(Ví dụ 7;8;9;10 – Phần phụ lục)
 Như vậy, khác với phần mềm Power Point, giáo viên phải thiết kế sẵn và chỉ việc cho chạy chương trình như một cuốn phim ở trên lớp (vì đó là phần mềm trình chiếu), thì phần mềm GSP cho phép khi cần thiết có thể sử dụng ngay trên lớp như khi dùng bảng phấn và các dụng cụ vẽ hình khác, đồng thời tiện lợi, gọn gàng hơn rất nhiều. Trong quá trình giáo viên thao tác trên máy, học sinh có thể học được cách vẽ hình, các thao tác sử dụng giống như việc học cách sử dụng các dụng cụ để vẽ trên giấy làm sao cho nhanh và chính xác, giúp học sinh tiếp cận tri thức mới hiệu quả hơn; đồng thời, giúp học sinh có thói quen và kĩ năng sử dụng công nghệ thông tin.
Phương pháp triển khai thực hiện: Để triển khai thực hiện sáng kiến, tôi đã sử dụng những phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp tổng hợp và phân tích tư liệu phần mềm và nội dung kiến thức môn Toán cấp THCS.
- Phương pháp quan sát sư phạm: Tiến hành quan sát các tiết học, ứng dụng phương pháp dạy học, qua đó làm cơ sở thực tiễn xác định những điểm mạnh, yếu của từng bài để đạt hiệu quả dạy và học hơn.
- Phương pháp phỏng vấn, toạ đàm: Kết hợp phiếu hỏi và phỏng vấn trực tiếp các đồng nghiệp và học sinh trong mỗi tiết học. Nghiên cứu chương trình học môn Toán THCS đặc biệt hai khối lớp 8-9, chọn ra những bài, những nội dung cần minh họa và có thể minh họa bằng điện tử, sau đó khai thác thông tin trên mạng, nắm được những tư liệu đã được xây dựng làm có chất lượng tốt khai thác để sử dụng và học tập. 
Trong các năm học 2015 - 2016 - 2017 tôi đã sưu tầm và tiếp tục thiết kế làm được một số đồ dùng trong bộ đồ dùng dạy học điện tử môn Toán khối 8-9 như sau: (các sản phẩm có đĩa CD kèm theo). 
Bộ đồ dùng điện tử ở đây được xây dựng làm sẵn trên một số phần mềm như power point; sketchpad; Violet. Bộ đồ dùng đã được lựa chọn phù hợp với các nội dung bám sát chương trình học của từng khối lớp.
Bộ đồ dùng gồm hai phần: 
Phần 1: Danh sách tên các thiết bị điện tử, bài dạy và tiết dạy tương ứng 
Phần 2: Các link tương ứng với danh sách tên thiết bị (ghi trên đĩa CD kèm theo)
TOÁN 6
TT
TÊN ĐỒ DÙNG
1
Khi nào AM + MB = AB
2
Khi nào 
3
Tam giác
4
Tia phân giác của một góc
5
Trung điểm của một đoạn thẳng
6
Vẽ đường tròn-cung tròn
TOÁN 7
TT
TÊN ĐỒ DÙNG
1
Tổng ba góc của một tam giác
2
Tính chất tia phân giác
3
Tính chất đường trung trực
4
Tính chất ba đường phân giác của một tam giác
5
Tính chất đường trung trực của một tam giác
6
Tam giác cân
7
Dựng tam giác
8
Đường thẳng ơle
TOÁN 8
TT
TÊN ĐỒ DÙNG
1
Bảng tứ giác
2
Các bài toán quỹ tích
3
Hình chữ nhật
4
Khái niệm tam giác đồng dạng
5
Tính chất đường phân giác
TOÁN 9
TT
TÊN ĐỒ DÙNG
1
Các bài toán quỹ tích SGK toán 9
2
Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
3
Vị trí tương đối của hai đường tròn
4
Minh họa nghiệm của hệ phương trình
5
Hình trụ
6
Hình nón
7
Hình cầu
8
Hệ số góc của đường thẳng
9
Hàm số bậc hai
10
Đồ thị của hàm số y = a.x + b
11
Đồ thị của hàm số y = a.x2
12
Đường thẳng song song, đường thẳng cắt nhau
..
Các giáo án mẫu
HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN
1. Hiệu quả kinh tế: Nếu làm các đồ dùng dạy học trong giải pháp bằng vật liệu cụ thể:
+ Tốn kém nhiều tiền của.
+ Độ chính xác không cao, khó bảo quản, nhanh hỏng.
Nếu sử dụng sản phẩm của giải pháp: 
+ Chi phí mỗi trường là không đáng kể.
+ Dễ sử dụng, dễ bảo quản.
+ Sử dụng lâu dài, dễ chỉnh sửa khi cần thay đổi nội dung để phù hợp với ý đồ thiết kế của người dạy.
2. Hiệu quả xã hội:
+ Tính thẩm mỹ và sinh động.
+ Học sinh dễ hình dung, tổng hợp số liệu để khái quát kiến thức.
+ Tính linh hoạt.
+ Không mất nhiều thời gian cho mỗi bài thực hành, giáo viên sử dụng dễ dàng khi mô tả hình vẽ trong mỗi tiết dạy.
IV. Kết luận.
1. Kết luận: Sau một năm vừa tìm tòi, thiết kế thực hiện áp dụng sử dụng trang thiết bị điện tử trong giảng dạy cho thấy nó có tác dụng thiết thực trong việc đổi mới phương pháp dạy học, giúp bài giảng của giáo viên phong phú hơn, sinh động hơn, học sinh có hứng thú và phát hiện kiến thức tiếp thu bài tốt hơn. Điều đó cho thấy tác dụng và cách làm của tôi là hoàn toàn đúng đắn.
2. Phương hướng trong thời gian tới:.
 Mỗi một Giáo viên phải xác định đúng vai trò, nhiệm vụ của mình, tích cực nghiên cứu, tìm tòi, tâm huyết với học sinh để xứng đáng là “ tấm gương tự học và sáng tạo”. 
 Giáo viên luôn tìm tòi nghiên cứu và sáng tạo của bản thân trong quá trình dạy học, đáp ứng việc đổi mới phương pháp. Nhằm phát huy tính tích cực, niềm say mê, năng lực sáng tạo của mọi đối tượng học sinh.
 Cung cấp cho giáo viên biết sử dụng CNTT vào dạy học Toán, tiếp cận được với những phần mềm có nhiều ứng dụng, từ đó giáo viên sẽ tiếp tục nghiên cứu trong quá trình dạy học. Nhiều giáo viên toán hiện nay đang là những người sử dụng thành thạo trong việc sử dụng CNTT trong dạy học Toán ở trường THCS. 
 Học sinh cần có tư duy toán học, kỹ năng quan sát, suy luận và tập trung trong các giờ học.
ĐIỀU KIỆN VÀ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG
- Giải pháp này áp dụng cho môn Toán ở các khối THCS trong toàn thành phố Ninh Bình, tỉnh Ninh Bình và trên toàn quốc cùng nội dung sách giáo khoa của Bộ Giáo dục và Đào tạo.
- Các trường được trang bị máy chiếu: Tất cả những trường đạt chuẩn theo tiêu chí của Bộ Giáo dục và Đào tạo trên toàn quốc đều có thể áp dụng giải pháp.
Vì vậy sáng kiến “Một số giải pháp nhằm phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh THCS qua việc ứng dụng hình học động trong môn Toán ” là sự sáng tạo nhỏ bé, góp phần phát triển tư duy cho học sinh, thúc đẩy sự nghiệp trồng người.
Tôi xin cam đoan mọi thông tin nêu trong đơn là trung thực, đúng sự thật và hoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật.
 TP. Ninh Bình, ngày 10 tháng 9 năm 2017
NGƯỜI NỘP ĐƠN
TÁC GIẢ
ĐỒNG TÁC GIẢ
Nguyễn Thị Song Phương
Đặng Kim Duyên
TRƯỜNG THCS LÝ TỰ TRỌNG
 XÁC NHẬN
PHÒNG GDĐT TP NINH BÌNH
XÁC NHẬN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ NINH BÌNH
XÁC NHẬN
PHỤ LỤC
Ví dụ 1: Khi dạy bài “Tổng ba góc trong một tam giác” (Hình học 7), ta thực hiện như sau: 
- Vẽ tam giác ABC trong màn hình GSP. Dùng chức năng Measure (đo đạc, tính toán) của GSP để đo các góc và tính tổng các góc của tam giác ABC.
- Cho các đỉnh của tam giác thay đổi, nhận thấy số đo của các góc của nó thay đổi nhưng tổng số đo ba góc đó không đổi và luôn bằng 180o. Chẳng hạn:
Trên màn hình của GSP ta sẽ thực hiện việc thay đổi này liên tục để học sinh (HS) nhận xét về sự thay đổi của số đo 3 góc và sự không đổi của tổng số đo 3 góc đó. Từ đó đưa ra dự đoán “Tổng ba góc của một tam giác bằng 180o”.
Ví dụ 2: Khi dạy bài “Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác” (Hình học 7), ta thực hiện như sau:
- Vẽ tam giác ABC và hai đường trung tuyến BN và CP của nó trên màn hình GSP gọi giao của hai đường trung tuyến là G. Vẽ đường trung tuyến thứ ba AM của tam giác, dùng chức năng Hide/Show (ẩn/hiện) để ẩn hoặc hiện đường trung tuyến này.
- Ẩn đường trung tuyến thứ ba AM, thay đổi tam giác và cho hiện lại đường trung tuyến này nhiều lần. Từ đó HS dự đoán “Ba đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua một điểm”.
- Tính các tỉ số: cho hiển thị trên màn hình và cho tam giác ABC thay đổi để HS dự đoán “Các tỉ số không đổi và luôn bằng ”.
- Kết hợp hai dự đoán trên, HS dự đoán được tính chất của ba đường trung tuyến trong một tam giác.
Từ ví dụ 2, GV sẽ biết được cách thiết kế các tình huống đối với các đường đặc biệt khác trong tam giác. Hơn nữa, từ hai ví dụ trên GV cũng thấy được rằng các tính chất, định lý... mang tính định tính hoặc định lượng trong chương trình Hình học ở THCS đều có thể dùng GSP để tạo ra các tình huống dạy học có vấn đề.
Ví dụ 3: Khi dạy bài “Vị trí tương đối của hai đường tròn” (Hình học 9), ta thực hiện: - Cho 2 đường tròn chạy trên đường thẳng chứa 2 tâm của hai đường tròn để giới thiệu 3 vị trí tương đối của hai đường tròn. Khi O’ chạy HS quan sát trường hợp 1, xuất hiện giữa 2 đường tròn có 2 điểm chung.
- O’ tiếp tục chạy lúc khác xuất hiện trường hợp thứ 2 (có 1 điểm chung)
Hoặc: 
- O’ chạy tiếp xuất hiện trường hợp 3 (không có điểm chung)
Từ đó học sinh dự đoán được các trường hợp suy ra vị trí tương đối của 2 đường tròn
Qua đó HS dự đoán được tính chất đường nối tâm thông qua phép đo của phần mềm
Ví dụ 4: Cho đường tròn đường kính CD, tâm M, vẽ các tiếp tuyến với đường tròn tại C và D. Từ điểm E trên đường tròn vẽ tiếp tuyến tại E cắt hai tiếp tuyến trên tại A và B. Chứng minh: MA ^ MB. (Hình học 9).
m
Ð
AMB
 = 
90.00
°
A
B
C
D
E
M
Bằng các chức năng của GSP, ta vẽ hình và hướng dẫn giải bài toán bằng nhiều cách, chẳng hạn:
Cách 1: Dùng tính chất phân giác của MA, MB.
Cách 2: Nhận xét . 
Vì vậy ta chứng minh:vàbằng việc chứng minh 2 tứ giác AEMC và BEMD nội tiếp ...
Từ cách giải thứ 2 ta nhận thấy: nếu E nằm trên đường tròn đường kính CD thì , khi đó điểm M có thể di động nhưng luôn có 2 tứ giác AEMC và BEMD nội tiếp thì MA vẫn vuông góc với MB. Khi đó cho M chạy trên đoạn CD ta thấy điều này luôn thỏa mãn (kiểm chứng bằng việc cho M chạy trên đoạn CD và quan sát số đo của ). Vậy nếu thay đổi giả thiết là M nằm trên đường kính CD ta vẫn có kết quả tương tự.
Tiếp tục cho M chạy ra ngoài đoạn CD, quan sát vẫn thấy = 900. Với các cách giải đã có, HS khá dễ dàng để chứng minh được kết quả này.
Từ đó ta có bài toán tổng quát hơn: 
Ví dụ 5: Cho đường tròn đường kính CD, vẽ các tiếp tuyến với đường tròn tại C và D. Điểm E nằm trên đường tròn, M nằm trên đường thẳng CD, đường thẳng qua E cắt hai tiếp tuyến trên tại A và B. Chứng minh: MA ^ MB.
Khái thác bài toán:
1. Chứng minh: 
a. AB = AC + CD
b. Tích AC.BD không đổi khi E di chuyển trên nửa đường tròn
2. Chứng minh COD và AMB đồng dạng với nhau ?
 Khi COD AMB ta nghĩ đến tỉ số diện tích các tam giác đó nên có thêm câu hỏi: 
3. Tính tỉ số khi AC = ?
4. Gọi K là giao điểm của AD và BC hãy chứng minh EK CD
5. Sau khi chứng minh được EK CD, hãy chứng minh AB.KE = AE.BD.
6. Giả sử EK AB tại H, hãy so sánh EK và KH ?
7. Từ giả thiết của bài toán nghĩ ngay đến tứ giác nội tiếp do đó có thêm câu hỏi chứng minh các tứ giác ACME; BDME nội tiếp đường tròn.
8. Thêm giả thiết EC cắt AM tại P và ED cắt BM tại Q. Hãy xác định tâm của đường tròn đi qua 4 điểm Q;E;M;P
- Thật là sáng tạo nếu từ kết quả chứng minh ở câu 8, ta có thể khai thác thêm các câu hỏi về quỹ tích dành cho đối tượng học sinh khá, giỏi như sau:
9 a. Gọi O là tâm đường tròn đi qua 4 điểm Q; E; M; P. Hãy tìm quỹ tích của điểm O, khi E chạy trên đường tròn tâm O, đường kính CD.
Từ bài toán gốc có thể liên tưởng đến bài toán cực trị không? Đối với bài này ta có thể khai thác được bởi các câu hỏi:
10 a. Xác định vị trí của E để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ nhất?
 b. Xác định vị trí của M để diện tích tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ nhất?
- Cũng có thể khai thác bài toán gốc theo hướng khó hơn:
11 a. Biết = 60O. Tính diện tích theo R.
Nếu gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp COD ta có câu hỏi nâng cao hơn nữa như sau:
11 b. Chứng minh < < 
- Không chỉ dừng lại ở trên mà bài toán còn có thể mở rộng theo góc nhìn khác, chẳng hạn ta thấy ; nên điểm Q thuộc đường tròn đường kính MC; P thuộc đường tròn đường kính MD. Từ đó ta có được bài toán sau: 
Ví dụ 6: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. BC là tiếp tuyến chung ngoài với . Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC ở M. Gọi E là giao điểm của OM và AB; F là giao điểm của O’M và AC. Chứng minh:
1. Tứ giác AEMF là hình chữ nhật.
2. ME . MO = MF . MO’
3. OO’ là tiếp tuyến chung của đường tròn đường kính BC
4. BC là tiếp tuyến của đường tròn, đường kính OO’
(BT 42– trang 128. SGK Toán 9 - Tập 1.)
* Từ bài toán trên ta có thể khai thác tiếp như sau:
5. Kéo dài BA cắt (O’) tại P; kéo dài CA cắt (O) tại Q. Chứng minh B,O,Q thẳng hàng; C, O’, P thẳng hàng
6. Từ kết quả câu 5, ta có BQ = IA; CP = AK Nên IK = IA+AK = BQ+CP, xuất hiện thêm câu hỏi Chứng minh: IK=BQ+CP
7. Gọi R và r lần lượt là độ dài bán kính của (O) và (O’). Tính độ dài BC; BA; CA theo R và r.
* Từ kết quả (*) ta có thể khai thác tiếp như sau:
8. Vẽ (O2;r2 ) tiếp xúc với đường thẳng BC và tiếp xúc ngoài với (O) và (O’). Tính bán kính r2 .
9. Qua chứng minh ở câu 8. Nếu chú ý hơn một tí, chúng ta sẽ có thêm câu hỏi: C/m với H thuộc đoạn BC
10. Gọi N là giao điểm của IB và KC, dễ thấy tứ giác ABNC là hình chữ nhật. Vậy liệu 3 điểm N, M, A có thẳng hàng không?
11. Từ tứ giác ABNC là hình chữ, ta có , nên N thuộc nửa đường tròn đường kinh IK, ta có thể chứng minh rằng: AN2 = IA.AK. 
12. Nếu từ A kẻ AH BC. Có thể chứng minh AH, O’B, OC đồng quy tại trung điểm của AH được không?
13. Khi đó hãy tính tỉ số diện tích giữa tứ giác BCO’O và tam giác NIK ? 
Vẫn không ngừng khai thác, nếu sử dụng kiến thức về độ dài đường tròn, diện tích hình tròn, ta có thể phát triển tiếp để có những bài toán hấp dẫn như: 
 14 a. Hãy chứng minh rằng độ dài nửa đường tròn đường kính IK bằng tổng các độ dài của hai nửa đường đường kính IA và nửa đường đường kính AK .
14 b. Vậy có thể tính diện tích phần giới hạn bởi ba nửa đường tròn trên được không?
* Từ câu hỏi 11 và câu hỏi 14 b, ta có thể nâng cao hơn nữa:
 14 c. Chứng minh diện tích phần giới hạn đó với A bất kỳ trên IK bằng diện tích hình tròn đường kính AN.
Như vậy, sau khi giải xong Ví dụ 1, nếu chúng ta chỉ dừng lại ở việc giải bài toán mà không tiếp tục suy nghĩ, tìm tòi, vận dụng triệt để các yếu tố từ hình vẽ, từ đó đặt ra những câu hỏi, những bài toán mới hay hơn, khó hơn thì liệu việc dạy học đã đạt hiệu quả cao chưa? Vai trò của việc tự học một lần nữa lại được chứng minh qua việc tìm tòi, sáng tạo để khai thác xung quanh một vấn đề cụ thể.
Ví dụ 7: Bài 45 - Sách giáo khoa Toán 9 tập II - trang 86: Cho hình thoi ABCD có cạnh AB cố định. Tìm quỹ tích giao điểm O của hai đường chéo của  hình thoi đó.
Tiến trình: Giáo viên hướng dẫn học sinh phân tích đề bài, vẽ hình, dự đoán quỹ tích điểm O, trình bày lời giải như sau:
Phần thuận: ABCD là hình thoi => AB vuông góc với CD => góc AOB = 90 độ.
 Mà A, B cố định. Vậy điểm O nằm trên đường tròn đường kính AB (trừ hai điểm A và B)
Phần đảo: Lấy điểm O bất kì trên đường tròn đường kính AB (điểm O không trùng với A và B). Vẽ tia AO trên đó lấy điểm C sao cho O là trung điểm của AC. Vẽ tia BO trên đó lấy điểm D sao cho O là trung điểm của BD. Ta phải chứng minh ABCD là hình thoi.
Tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành. Mặt khác góc AOB = 90 độ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên AB vuông góc với CD. Vậy tứ giác ABCD là hình thoi.
Kết luận: Quỹ tích của điểm O là đường tròn đường kính AB (trừ hai điểm A và B).
Như vậy sau khi giáo viên cùng học sinh tìm ra lời giải, hạn chế là học sinh chưa hình dung ra tập hợp điểm O hình thành như thế nào, giáo viên mô tả kết quả điểm O rất khó qua đồ dùng dạy học thông thường. Hơn nữa, học sinh còn chưa rõ khi điểm A, B cố định thì hai điểm C, D có chuyển động hay không và nếu có thì chuyển động trên hình nào để tứ giác ABCD là hình thoi theo đề bài. 
Để giải quyết vấn đề này, tôi trình chiếu  mô hình được thiết kế trên phần mềm Geometer Sketchpad  tạo ra sự chuyển động của hai điểm C, D để có được tập hợp điểm O. Ngoài ra, tạo được vết (được tô màu) của điểm O chuyển động để tạo ra quỹ tích điểm đó. Ngoài yêu cầu của bài toán đã được chứng minh bằng lý thuyết và trực quan, học sinh còn phát hiện ra thêm quỹ tích của điểm C, D.
Ví dụ 8: Cho tam giác cân ABC (AB = AC) nội tiếp đường tròn (O). M là điểm chuyển động trên đường tròn. Kẻ CH ^ AM (H Î AM). Gọi I là giao điểm của CH và BM. Tìm quỹ tích của I.
I
M
A
B
C
I
H
Bằng chức năng Animate ta cho M chạy trên (O) và tạo vết cho I. Quan sát ta thấy ngay I chạy trên đường tròn tâm A, bán kính AB.
Ví dụ 9: Cho đường tròn (O, R) và điểm P cố định ở trong đường tròn đó. Hai tia Px, Py thay đổi vị trí nhưng vẫn luôn vuông góc với nhau và cắt đường tròn tại A, B. Tìm quỹ tích trung điểm M của A,B.
* Vẽ hình: Cho Px, Py thay đổi vị trí (Cho A chạy trên (O)),
ta thấy quỹ tích của M là một đường tròn nhưng
tâm chưa xác định được.
Tiếp tục suy đoán: tâm của đường tròn này cố định
nên sẽ liên quan đến các yếu tố cố định (ở đây là O, P, (O)),
nhìn trên màn hình ta dự đoán tâm là trung điểm của OP. Dựng tâm I của OP và tìm khoảng cách IM. Cho Px, Py tiếp tục thay đổi ta thấy độ dài IM không đổi. 
O
A
B
P
M
x
y
.
x
y
IM
 = 
2.30
 cm
Animate
M
B
I
O
P
A
Vậy tâm của đường tròn (quỹ tích) là I.
Ví dụ 10: Cho tam giác ABC vuông ở A, có cạnh BC cố định. Gọi I là 3 điểm của đường phân giác trong. Tìm Quỹ tích điểm I khi A thay đổi.
Vẽ hình: Khi A thay đổi, nghĩa là A sẽ chạy trên nữa đường tròn đường kính BC
Học sinh quan sát: 
 Suy đoán: Quỹ tích điểm I là cung tròn BIC