Sáng kiến kinh nghiệm Một số giải pháp giúp học sinh phát huy khả năng giải bài toán tỉ số thể tích

1 1.
1 1 2. 10
2 2 3B ACM B ACC A ABCA B C
V V V  
Áp dụng bài toán 1, ta có: 
1
1
. 1 1 1
. 1 1 1
1 2 1. . .1.
2 3 3
B OCG
B ACM
V B O B C B G
V B A B C B M
  
1 1. .
1 10
3 3B OCG B ACM
V V   . 
Ví dụ 24: Cho hình hộp có .ABCD A B C D    thể tích là V . Gọi O là tâm hình 
vuông A B C D    , điểm N là trung điểm của DD và điểm M thuộc cạnh CC sao 
cho 2MC MC  . Tính thể tích khối đa diện gồm các đỉnh là , , , ,B C O N M  . 
O
I
CD
C'
B
A'
A
D'
B'
38 
Phân tích: Để giải quyết bài toán này học sinh 
cần: 
- Phân tích khối ' 'OB C MN thành 2 khối 
' 'OB C M và 'OC MN 
- Thiết lập tỉ số thể tích của 2 khối ' 'OB C M và 
' 'OB C CB ; 'OC MN và ' 'OC D DC 
- Áp dụng bài toán 2, bài toán 3 để tính thể tích 
các khối ' 'OB C CB và ' 'OC D DC theo V 
Lời giải: -Ta có ' ' ' ' 'OB C MN OB C M OC MNV V V  
 - Áp dụng bài toán 2, bài toán 3: 
' ' ' ' '' '
1 1 1 1 1 2 1 1. . . . .
3 3 2 3 2 3 2 18OB C CB A B C CBOB C M
V V V V V   
' ' ' ' ''
1 1 1 1 1 2 1 1. . . . .
3 3 2 3 2 3 2 18OC D DC A C D DCOC MN
V V V V V    
Vậy : ' ' ' ' '
1
9OB C MN OB C M OC MN
V V V V   
Ví dụ 25: Cho lăng trụ tam giác .ABC A B C   có chiều cao bằng 4 và diện tích đáy 
bằng 3 . Gọi M , N , P lần lượt là tâm của các mặt bên ABB A  , BCC B  và CAA C  . 
Tính thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A , B , C , M , N , P . 
Lời giải: 
Ta có . 3.4 12ABC A B CV      . 
Gọi , ,I J K lần lượt là trung điểm 
của AA , BB , CC 
 . 6ABC IJKV  . 
Áp dụng bài toán 1, bài toán 2 ta 
có: 1.
8.
VA IMP
VA A B C

   
. .
1 1 1 1. .12
8 8 3 2A IMP A A B C
V V       
Dễ thấy . . .
1
2A IMP B MNJ C NPK
V V V   . 
Vậy .VABC MNP  3. .V VABC IJK A IMP 6
1 93.
2 2
   . 
K
J
I
P
N
M
A'
C'
B'
C
A
B
39 
Nhận xét: Các bài toán từ ví dụ 22 đến ví dụ 25 nếu như không vận dụng bài toán 
2 thì sẽ trở thành những bài toán khá phức tạp khi sử dụng cách xác định chiều cao 
và diện tích đáy. 
Ví dụ 26: Cho hình hộp chữ nhật .ABCD A B C D    có AB = 3a, AD = 4a, AA ' = 4a . 
Gọi G là trọng tâm tam giác CC 'D . Mặt phẳng chứa B'G và song song với C 'D 
chia khối hộp thành 2 phần. Gọi (H) là khối đa diện chứa C . Tính tỉ số ( )H
V
V
 với V 
là thể tích khối hộp .ABCD A B C D    . 
Phân tích: Đối với bài toán này học sinh có thể làm theo hai cách: 
Cách 1: 
- Phân tích khối đa diện cần tính thành các khối đa diện đơn giản. 
- Tính thể tích các khối đa diện bằng cách tính chiều cao và diện tích đáy. 
Cách 2: Áp dụng bài toán 2 
Lời giải 1: 
Gọi ( ) là mặt phẳng chứa B G và song 
song với C D . 
Gọi M, N lần lượt là giao điểm của ( ) 
với CD và CC . 
Khi đó ta có: // MN C D và 
2
3
CM CN
CD CC
 

. 
Và ( ) là mặt phẳng  AMNB , ( )H là phần khối đa diện chứa C. 
Khi đó ta có: ( ) . .H M BCNB B ABMV V V   . 
Ta có: BCNB là hình thang vuông tại B, C có diện tích: 
 
21 1 2 40. 4 4 .4
2 2 3 3BCNB
aS BB CN BC a a a
      
 
31 80.
3 9MBCNB BCNB
aV MC S    
 Mặt khác 26ABM ABCD BCM ADMS S S S a      
3
.
1 . 8
3B ABM ABM
V BB S a    
3 3 3
( )
80 1528
9 9H
V a a a    . 
40 
 Thể tích khối hộp chữ nhật .ABCD A B C D    là: 33 .4 .4 48V a a a a  
3
( )
3
152 1 19.
9 48 54
HV a
V a
   . 
Lời giải 2: Ta có: ( ) ' 'H MBB CN MABBV V V  
Áp dụng bài toán 2 tỉ số thể tích của khối lăng trụ ta có: 
' ' ' '
1 1
3 6MABB DABB DCC ABB
V V V V   
' '
2 2 5 10.
3 3 18 54MBB CN DBB CN
V V V V   
Vậy ( ) ' '
10 1 19
54 6 54H MBB CN MABB
V V V V V V     
Lời bình: 
- Qua 2 lời giải trên ta thấy được hiệu quả khi sử dụng Bài toán 2 để giải các bài 
toán tỉ số thể tích khối lăng trụ. 
- Ngoài ra đối với lớp các bài toán tỉ số thể tích khối lăng trụ khi các khối lăng trụ 
tam giác và khối hộp bị cắt bởi các mặt phẳng cắt các cạnh của lăng trụ thì giải 
pháp hiệu quả cho những bài toán này là sử dụng các Bài toán 2.1 và Bài toán 2.2. 
Ví dụ 27: Cho hình lăng trụ .ABC A B C   có thể tích bằng V . Gọi M là trung 
điểm của cạnh BB , điểm N thuộc cạnh CC sao cho 2CN C N . Tính thể tích 
khối chóp .A BCNM theo V . 
Phân tích: Với giả thiết bài toán học sinh dễ dàng vận dụng bài toán 2.1 để giải 
quyết nhanh bài toán này 
Lời giải: Ta có 
.
ABCNM
ABC A B C
V
V   
 1
3
BM CN
BB CC
     
 1 1 2
3 2 3
   
 
 7
18
 
Vậy ABCNMV .
7
18 ABC A B C
V   
7
18
V
 . 
Ví dụ 28 :Cho hình lập phương .ABCD A B C D    cạnh 
2a , gọi M là trung điểm của BB và P thuộc cạnh DD sao cho 1
4
DP DD . Mặt 
phẳng  AMP cắt CC tại N . Tính thể tích khối đa diện AMNPBCD . 
41 
Phân tích: Bài toán này học sinh có thể giải quyết theo 2 cách : 
Cách 1: - Phân tích khối AMNPBCD thành 2 khối ABMNC và ADPNC 
 - Tính chiều cao, diện tích đáy của các khối chóp đó 
Lời giải: Gọi O , O lần lượt là tâm hai hình 
vuông ABCD và A B C D    , gọi 
K OO MP  , khi đó N AK CC  . 
Ta có  1
2
OK DP BM  1 3
2 2 4
a aa    
 
. 
Do đó 
32
2
aCN OK  . 
Diện tích hình thang BMNC là 
 1 .
2BMNC
S BM CN BC 
21 3 5.2
2 2 2
a aa a    
 
. 
Thể tích khối chóp .A BMNC là .
1. .
3A BMNC BMNC
V S AB
2 31 5 5. .2
3 2 3
a aa  . 
Diện tích hình thang DPNC là  1 .
2DPNC
S DP CN CD  21 3 .2 2
2 2 2
a a a a    
 
. 
Thể tích khối chóp .A DPNC là .
1. .
3A DPNC DPNC
V S AD
3
21 4.2 .2
3 3
aa a  . 
Vậy thể tích khối đa diện AMNPBCD bằng . .A BMNC A DPNCV V V 
3 3
35 4 3
3 3
a a a   . 
Cách 2: Áp dụng bài toán 2.2 đối với khối hộp 
Áp dụng, xem khối đa diện .AMNPBCD AMNP ABCD ta có: 
.
.
1 1 1 1 3
2 2 2 4 8
AMNP ABCD
A B C D ABCD
V MB PD
V B B D D   
              
. 
Vậy  3 3. .
3 3 2 3
8 8AMNPBCD AMNP ABCD A B C D ABCD
V V V a a       
Nhận xét: Với lời giải ở cách 2 học sinh có thể giải quyết nhanh những dạng bài 
toán này. 
N
K
O'
O
P
M
C'
D'
B'
C
A D
B
A'
42 
Ví dụ 29: Cho hình lăng trụ .ABCD A B C D    có 2AD BC và AD song song 
với BC . M là trung điểm CC , N là điểm trên cạnh AA sao cho 3A N AN  . 
Mặt phẳng ( )MND chia khối lăng trụ thành hai khối có thể tích lần lượt là 1V và 
2V (với 1 2V V ). Tính 1
2
V
V
. 
Phân tích: Mặt phẳng ( )MND chia khối lăng trụ thành 2 khối ' ' ' 'A B C D NPMD 
và ABCDNPM . Để áp dụng bài toán 2.1 và 2.2 thì phải chia khối lăng trụ đó 
thành khối lăng trụ tam giác ' ' 'ABIA B I và khối hộp ' ' ' 'BCDIB C D I . 
Lời giải: 
Gọi ,I I  lần lượt là trung điểm của AD và A D  
lúc đó ta có . 'IBCD I B C D   là hình hộp. 
Gọi ,P Q lần lượt là giao điểm của ( )MND với 
,BB II  . 
Trong ( )mp ADD A  ta có 1
2
IQ AN , //IQ AN 
do đó 
1 7
8 8
IQ QI
II II
    . 
Do . 'IBCD I B C D   là hình hộp nên 
7 1 31
8 2 8
PB DD QI MC PB
BB DD II CC BB
             
Lúc này mặt phẳng ( )MNP đã chia khối lăng trụ ban đầu thành hai khối, ta có thể 
tích khối '.A B C D NPMD A B I NPQ I B C D QPMDV V V           . 
Ta có thể tích các khối '. '.
2
3I B C D IBCD A B C D ABCD
V V      và . '.
1
3A B I ABI A B C D ABCD
V V      . 
Áp dụng công thức tỷ số thể tích bài toán 2.2 trong khối hộp, ta có 
'.
'.
1 11
2 16
I B C D QPMD
I B C D IBCD
V QI MC
V II CC
  
  
       
 '. '. '.
11 2 11.
16 3 24I B C D QPMD A B C D ABCD A B C D ABCD
V V V          
Áp dụng công thức tỷ số thể tích bài toán 2.1 trong khối lăng trụ tam giác ta có 
.
1 2
3 3
A B I NPQ
A B I ABC
V NA PB QI
V AA BB II
  
  
           
43 
 '. '.
2 1 2.
3 3 9A B I NPQ A B C D ABCD A B C D ABCD
V V V          
Từ đây ta có 
'. '. '.
11 2 49
24 9 72A B C D NPMD A B I NPQ I B C D QPMD A B C D ABCD A B C D ABCD
V V V V V               
      
 
. 
Do vậy .
23
72ABCDNPM A B C D ABCD
V V     từ đó ta có 1
2
23
49
V
V
 . 
Ví dụ 30: (Đề thi học sinh giỏi tỉnh môn Toán tỉnh Nghệ An năm học 2020 -
2021) 
Cho lăng trụ 1 1 1ABCA B C có đáy là tam giác đều cạnh bằng a , 
1 1 1 3BA BB BC a   . 
a) Tính khoảng cách từ C đến mp 1 1( )ABB A . 
b) Gọi 1 2 3, ,G G G là trọng tâm các tam giác 1 1 1, ,ABB ACC CBB . Tính thể tích 
của khối đa diện có các đỉnh là 1 2 3 1 1 1, , , , ,G G G A B C . 
Phân tích: Bài toán này ta có thể giải theo 2 cách: 
Cách 1: Vận dụng Bài toán 3 để lập tỉ số khoảng cách và từ đó suy ra tỉ số thể tích 
của các khối đa diện. 
Cách 2: Vận dụng Bài toán 1 để tính tỉ số thể tích của các khối chóp, và bài toán 
2.1 để tính tỉ số thể tích 2 khối lăng trụ. 
Lời giải 1: Dễ thấy 1 3 1 1
1 2
 // // 
 // 
G G AC AC
G G BC



   1 2 3 // G G G ABC . 
+) Qua 1G kẻ đường thẳng song song AB cắt 1AA , 1BB lần lượt tại M , N ; đường 
thẳng 2MG cắt 1CC tại P , ta được lăng trụ 1 1 1.MNP A B C . 
+) Dễ thấy 1
1
3
NG NM , 3
1
3
NG NP , 2
1
3
PG PM . 
Từ đó suy ra, 
 
1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 2 2 4. .sin sin
2 2 3 3 9MG G MNP
S MG MG G MG MN MP G MG S 

    
 
. 
Đặt   
1 1 10 . 1
; .A B C MNP MNPV V d A MNP S  . 
Khi đó,      
1 1 3 1 31 1 0
1 1 4 4, . , .
3 3 9 27A MG G MG G MNP
V d A MNP S d A MNP S V  

 

 . 
44 
Tương tự, 
1 1 2 0
1
27NG GB
V V , 
1 2 3 0
2
27PG GC
V V . 
Khi đó,  1 1 1 1 2 3 1 1 1 1 1 3 1 1 2 1 2 3. . A B C G G G A B C MNP A MG G NG G PG GB CV V V V V    
 0 0 0 0 0
4 1 2 20
27 27 27 27
V V V V V      
 
. 
Lại có, 
1 1 1
2
2 2 3
0 .
2 2 2 3 2. 3 .
3 3 3 3 4 3ABC A B C ABC
aV V BO S a a a     
Suy ra, 
1 1 1 1 2 3
3
.
20 2
81A B C G G G
V a . 
Lời giải 2: +)
1 1 1
3 2.
2ABCA B C ABC
aV BO S V   
+) Áp dụng Bài toán 2.1: 1 1 1
1 1 1
1 2 2 2 2 2( )
3 3 3 3 3 3
MNPA B C
MNPA B C
V
V V
V
      ; 
+) Áp dụng Bài toán 1, Bài toán 2: 
 1 1 2
1 1 2
1
1 1 1 1 2
1 1 1
8 8 1 8. . .
27 27 3 81
A MG G
A MG G
A ABC
V A M AG AG V V V
V A A A B AC
     
1 1 3
1 1 3
1
1 1 1 3 1
1 1 1
8 8 1 1 2. . . .
27 27 4 3 81
B G G N
B G G N
B EBF
V B G B G B N V V V
V B E B B B F
     ( ,E F trung điểm 
, )AB BC 
1 3 2
1 3 2
1
1 1 3 1 2
1 1 1
8 8 1 1 4. . . .
27 27 2 3 81
C PG G
C PG G
C CBD
V C P C G C G V V V
V C C C B C D
     ( D là trung điểm 
AC ) 
Vậy
 1 2 3 1 1 1
32 8 2 4 40 20 2( )
3 81 81 81 81 81G G G A B C
V V V V V V a      
Nhận xét: 
Với việc áp dụng các bài toán tỉ số thể tích của khối chóp và khối lăng trụ thì 
học sinh cũng dễ định hướng được cách giải và bài toán được giải quyết một cách 
nhanh, rõ ràng. 
Các bài tập áp dụng: 
Bài 20: Cho khối hộp .ABCD A B C D    có thể tích bằng 2020 và M là trung điểm 
cạnh AB . Mặt phẳng  MB D  chia khối hộp .ABCD A B C D    thành hai khối đa 
diện. Tính thể tích phần khối đa diện chứa đỉnh A . 
45 
Bài 21: Cho lăng trụ tam giác .ABC A B C   có diện tích đáy ABC bằng 36, cạnh 
bên 4A A  và tạo với đáy một góc 60 . Gọi ,M N lần lượt là trung điểm của 
AC , BC . Trên hai đoạn A A , A B lấy các điểm P , Q tương ứng sao cho 
3A A A P  , 3
2
A B A Q  . Tính thể tích tứ diện PQMN 
Bài 22: Cho hình hộp D. ' ' ' 'ABC A B C D có thể tích V . Gọi M là điểm thuộc đoạn 
'AB , N là trung điểm của ' 'D C , 1V là thể tích của khối đa diện lồi gồm 5 đỉnh 
, , ', , 'D M B N D . Tính tỉ số 'MB
MA
 biết 1 1
9
V
V
 . 
Bài 23: Cho hình lăng trụ .ABC A B C  có chiều cao bằng 4 cm và diện tích đáy 
bằng 6 2cm . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , BB , A C  . 
Tính thể tích khối tứ diện CMNP . 
Bài 24: Cho lăng trụ tam giác .ABC A B C   có thể tích 96V  . Trên tia đối của tia 
AB lấy điểm M sao cho 2AB AM . Gọi K là giao điểm của B M và AA , E là 
trung điểm của cạnh AC , ME cắt BC tại D . Tính thể tích khối đa diện 
AKEBB D . 
Bài 25: Cho hình lăng trụ đứng .ABCD A B C D   có đáy là hình thoi có cạnh 4a , 
8A A a  ,  120BAD  . Gọi , ,M N K lần lượt là trung điểm cạnh , ,AB B C BD   . 
Tính thể tích khối da diện lồi có các đỉnh là các điểm , , , , ,A B C M N K . 
Bài 26: Cho lăng trụ .ABC A B C   có chiều cao bằng 6 và diện tích đáy bằng 9. 
Gọi ,M N theo thứ tự là các điểm trên các cạnh ,BB CC  sao cho 2MB MB , 
2NC NC  ; ,I K lần lượt là trọng tâm các tam giác ,AA C ABB   . Tính thể tích 
của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm , , , ,B M C N I và K . 
Bài 27: Cho hình hộp .ABCD A B C D    có chiều cao bằng 6, diện tích đáy bằng 8. 
Gọi M là trung điểm AB . Mặt phẳng  A C M  cắt BC tại N . Tính thể tích của 
khối đa diện có các đỉnh là , , , ,D M N A C  . 
Bài 28: Cho hình hộp .ABCD A B C D    có diện tích đáy bằng 9 , chiều cao bằng 3. 
Gọi , , , ,Q M N P I là những điểm thỏa mãn 1 1, ,
3 3
AQ AB DM DA  
  
1
3
CN CD

, 1 1,
3 3
BP BC B I B D    
  
. Tính thể tích của khối đa diện lồi có các 
đỉnh là các điểm , , , ,Q M N P I . 
Bài 29: Cho khối lập phương .ABCD A B C D    có cạnh bằng 1. Gọi M, N, P, L lần 
lượt là tâm của các hình vuông ABB’A’, A’B’C’D’, ADD’A’, CDD’C’. Gọi Q là 
trung điểm của BL. Tính thể tích của khối tứ diện MNPQ. 
46 
Câu 30: Cho hình lăng trụ .ABC A B C   có chiều cao bằng 6 và diện tích đáy bằng 
8. Gọi ,M N lần lượt là trung điểm của các cạnh ,AB AC và ,P Q lần lượt thuộc 
các cạnh ,A C A B    sao cho 3
4
A P A Q
A C A B
      . Tính thể tích của khối đa diện lồi 
có các đỉnh là các điểm , , , ,A A M N P và Q . 
Bài 31:Cho khối lập phương .ABCD A B C D    cạnh bằng 3 . Gọi ,M N lần lượt là 
trung điểm của đoạn thẳng A D  và C D  . Mặt phẳng BMN chia khối lập 
phương thành hai phần, gọi V là thể tích phần chứa đỉnh B . Tính V . 
Bài 32: Cho hình hộp .ABCD A B C D    có thể tích bằng 1. Gọi M là điểm thỏa 
mãn 2
3
BM BB

 và N là trung điểm của DD . Mặt phẳng (AMN) chia hình hộp 
thành hai phần, tính thể tích phần có chứa điểm A . 
2.3. Kết quả nghiên cứu. 
 Chúng tôi chọn lớp 12A1 làm lớp thực nghiệm, 12A2 làm lớp đối chứng. 
Lấy kết quả bài kiểm tra chung của hai lớp làm bài kiểm tra trước tác động. Kết 
quả kiểm tra cho thấy kết quả học tập của hai lớp trước tác động là tương đương 
nhau (Đã phân tích ở mục 2.1). Sau khi tác động, chúng tôi cho học sinh lớp 12A1 
và 12A2 làm bài kiểm tra chung. 
2.3.1. Nội dung bài kiểm tra: 
Bài 1: Cho khối tứ diện ABCD có thể tích 27 . Gọi 1 2 3 4, , ,G G G G là trọng tâm 
của bốn mặt của tứ diện ABCD . 
a) Tính thể tích khối chóp .A MNP . 
b) Tính thể tích khối tứ diện 1 2 3 4G G G G . 
Bài 2: Cho lăng trụ .ABC A B C   . Gọi , , ,M N Q R lần lượt là trung điểm của các 
cạnh AB , A B  , BC , B C  và ,P S lần lượt là trọng tâm của các tam giác AA B , 
CC B . Tính tỉ số thể tích khối đa diện MNRQPS và khối lăng trụ .ABC A B C   . 
2.3.2. Kết quả thu được: 
Lớp Sĩ số Làm được 
Bài 1a) 
Làm được 
Bài 1a),1b) 
Làm được 
Bài 2 
Làm được cả 
Bài 1và 2 
Không làm 
được bài nào 
12A1 40 40 40 36 36 0 
12A2 42 42 25 4 4 0 
 Kết quả bài làm của học sinh ở hai lớp, phát hiện thấy: 
47 
 - Tất cả học sinh ở lớp 12A1 giải quyết bài 1b) bằng cách sử dụng Bài toán 
1.2 và Bài toán 3 và giải quyết bài 2 bằng cách sử sụng Bài toán 2.1 và Bài toán 
3. Bên cạnh đó, các em học sinh lớp 12A2 làm bài 1b) sử dụng hiệu thể tích của 
các khối đã biết, cả 4 học sinh làm được bài 2 nhưng không học sinh nào giải theo 
cách của đề tài mà kẻ thêm đường phụ và sử dụng hiệu thể tích của khối đã biết. 
 Qua đó, chúng tôi thấy rằng: điểm của nhóm thực nghiệm cao hơn nhóm đối 
chứng, chứng tỏ mức độ ảnh hưởng của tác động là lớn; điểm của lớp thực nghiệm 
cao hơn lớp đối chứng không phải ngẫu nhiên mà do tác động mà có. Tác động đã 
có ý nghĩa lớn đối với tất cả các đối tượng học sinh: yếu, trung bình, khá. Số học 
sinh yếu giảm nhiều, số học sinh khá tăng đáng kể. 
48 
PHẦN III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 
3.1. Đóng góp của đề tài 
3.1.1.Tính mới: 
Đề tài đã được nghiên cứu, thực nghiệm thành công và đúc rút từ kinh nghiệm 
có tính thực tiễn cao. Đề tài đã đưa ra được hai giải pháp nhằm giải quyết trọn vẹn 
bài toán tính Thể tích khối đa diện (tỷ số thể tích các khối đa diện, ...) theo nhiều 
cách khác nhau, cách chính thống và đề xuất một số cách giải khác có tính thuyết 
phục cao hơn. 
3.1.2.Tính khoa học: 
Đề tài được trình bày bài bản, cẩn thận. Các phương pháp nghiên cứu được 
vận dụng phù hợp và phát huy hiệu quả của nội dung đề tài. Ngôn ngữ trong sáng, 
tường minh; cấu trúc gọn, rõ, chặt chẽ, dẫn chứng khách quan, xác thực. 
3.1.3.Tính hiệu quả: 
Đề tài đã được thực nghiệm tại trường THPT Nguyễn Đức Mậu trong năm 
học 2019 - 2020 và 2020 – 2021 đã đem lại những hiệu quả thiết thực cho việc đổi 
mới phương pháp dạy học theo hướng phát triển năng lực cho học sinh THPT 
Đề tài giúp cho học sinh giải quyết các bài toán về thể tích khối đa diện một 
cách ngắn gọn, nhẹ nhàng và không cần sử dụng nhiều kiến thức của hình học 
không gian lớp 11. Đề tài cũng đã khắc phục được tính hàn lâm trong dạy học 
hình không gian và khắc phục được việc dựng thêm nhiều hình phụ trong khi giải 
toán. 
Đề tài có thể áp dụng cho nhiều đối tượng học sinh, kể cả học sinh trung bình 
khá vẫn có thể giải quyết tốt các bài toán hình không gian trong đề thi THPT quốc 
gia.Đồng thời giúp cho các em học sinh có thêm phương pháp nữa để giải các bài 
toán hình học không gian trong kì thi THPT Quốc gia, thi học sinh giỏi cấp tỉnh. 
3.2. Kiến nghị 
3.2.1. Với giáo viên 
Từ một bài toán cụ thể, giáo viên cần đưa ra dấu hiệu bản chất của bài toán; 
Phân tích những khó khăn thường gặp khi giải bài toán. Từ đó nêu ra cách khắc 
phục khó khăn của bài toán và đề xuất nhiều cách giải khác nhau, từ đó giúp học 
sinh tìm lời giải bài toán theo nhiều hướng. Đồng thời, từ bài toán ban đầu, có thể 
định hướng để phát triển thêm các bài toán khác giúp học sinh có thể dựa vào bài 
toán phát triển để giải quyết bài toán khác nhanh gọn và hiệu quả. 
Trong quá trình giảng dạy, giáo viên cần khuyến khích, nâng cao tính tích 
cực, chủ động, không “gò ép” học sinh thụ động tiếp thu kiến thức mà giáo viên áp 
đặt lên. 
49 
3.2.2. Với học sinh 
Học sinh phải là người chủ động, tránh cách học thụ động, máy móc, thiếu 
sáng tạo. Đứng trước một bài toán, ngoài việc tìm lời giải, học sinh cần phải rèn 
luyện kĩ năng nhận dạng, phân tích để tìm các lời giải khác nhau và đưa ra được 
các bài toán tương tự, tổng quát hơn. 
3.2.3. Với các cấp quản lý 
Tăng cường hơn nữa các tiết học có tính chất phát triển tư duy năng lực, phát 
huy khả năng tự học, tự sáng tạo của học sinh, làm cơ sở quan trọng cho việc 
nghiên cứu các bài học riêng rẽ. Với những dạng toán khó hay bài dạy khó, có thể 
đặt ở trước các đơn vị bài học cụ thể để cả giáo viên và học sinh tiện cho việc 
nghiên cứu và áp dụng vào thực tiễn cụ thể. 
Trên đây là những kinh nghiệm nhỏ của chúng tôi đúng rút được trong quá 
trình giảng dạy. Thiết nghĩ, việc tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với từng đơn 
vị bài học, trong từng giai đoạn thực tiễn không phải là công việc của riêng ai. Do 
thời gian nghiên cứu còn ít nên không thể tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế. 
Rất mong được sự đóng góp chân thành đồng nghiệp và Hội đồng chuyên môn để 
đề tài của tôi được hoàn thiện hơn. 
Tôi xin trân trọng cảm ơn! 
 Tác giả 
Hồ Đức Vượng – Phan Thị Ngọc Tú 
50 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Hình học 12, Bài tập hình học 12 – nhà XBGD năm 2008 
2. Hình giải tích trong không gian - Võ Giang Giai- NXB GD 
3. Các dạng Toán LT ĐH của Phan Huy Khải- NXB Hà Nội năm 2002 
4. Tạp chí Toán học và tuổi trẻ. 
5. Tuyển tập đề thi Học sinh các năm. 
6. Đề thi thử các trường THPT 
7. Các Website về toán học hiện có,