Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán học - Định lý Mê-Nê-la-uyt

 với học sinh lớp 8 nhưng 
vận dụng nó để tạo thành các đẳng thức (1), (2) và (3) liệu có dễ dàng không? Bên 
cạnh đó ta đối chiếu giả thiết thì cần tạo ra các tỉ số OP
OC
ON
OB
OM
OA ;; mà từ đó nghĩ sẽ 
dùng đến Mê-nê-la-uyt. 
Đoàn Cát Nhơn6
O
A
B C
M
N
P
2/ Tiếp theo tôi bác bỏ ý kiến cho rằng: Một bài toán đã được giải bằng hình học 
thuần túy rồi thì không cần giải bằng định lý Mê-nê-la-uyt (vì gây khó cho học sinh). 
Tôi nào có ép học sinh nhất thiết phải sử dụng định lý Mê-nê-la-uyt để giải. Ý tưởng 
mà tôi nêu ra qua bài viết này ngoài mục đích như đã giới thiệu còn nhằm mục đích 
khuyến khích học sinh vận dụng định lý Mê-nê-la-uyt để giải các bài toán đã được giải. 
Nếu không làm được như vậy thì ít ra kiến thức và bộ não của các em đã được huy 
động, đưa các em tiến gần đến tập dược sáng tạo, từ đó tiến đến nghiên cứu khoa học. 
Để bảo vệ ý tưởng đó tôi xin giới thiệu cùng bạn đọc các bài tập sau nhằm:
+ Tập vận dụng Định lý Mê-nê-la-uyt.
+ Khai thác bài toán cũ để phát hiện kiến thức mới.
Bài toán 6: Cho hình thoi ABCD cạnh a. Gọi R1, R2 lần lược là bán kính đường tròn 
ngoại tiếp tam giác ABC và ABD. Chứng minh hệ thức 22
2
2
1
411
aRR
=+ .
Lời giải: 
Giả sử trung trực các cạnh AB cắt AC tại O2, cắt 
BD tại O1. suy ra O1 và O2 là tâm đường tròn 
ngoại tiếp tam giác ABD và ABC. Ta có O1A = 
R1; O2B = R2.
Cách 1: (Không dùng Mê-nê-la-uyt) 
AKO1∆ AO
a
a
R
AO
AK
AB
AOBAO
2
11
=⇒=⇒∆
BKO2∆ BO
a
a
R
BO
BK
AB
BOABO
2
22
=⇒=⇒∆
22
2
2
1
2
2
2
1
422 41111)(4
aRRRR
aBOAO =+⇒



+=+⇒ .
( Với lưu ý OA2 + OB2 = a2 ).
Đến đây ta đã có thể dừng lại, nhưng vơí một người yêu toán thì không. Hãy đặt vấn đề 
rằng có thể giải bài toán trên kia bằng định lý Mê-nê-la-uyt không? Và tôi đã dễ dàng 
tìm ra lời giải như sau:
Cách 2: (Dùng Mê-nê-la-uyt) 
Áp dụng Định lý Mê-nê-la-uyt vào tam giác ABO với cát tuyến KO2O1 ta có:
1.1..
1
1
2
2
1
1
2
2
=
−
−
⇒=
R
OAR
ROB
R
AO
OO
OO
BO
KB
KA
OB
OA
OB
R
OB
OAR
ROB
OAR
R
R
−=
−
=
−
−
=⇒ 11
2
1
2
1 22 (1) 
Mặt khác để ý BKOO1 và AKO2O là các tứ giác nội tiếp nên có:
OBRaOAR .
2
. 2
2
1 == (2)
Từ (1) và (2) 22
2
2
11
2
2
21
2
1 4114
aRRR
R
a
RR
R
R
=+⇒−=⇒ (đpcm).
• Lời bàn: 
1/ Bài toán trên nếu giải cách thông thường (cách 1) trông đơn giản hơn (chỉ 
dùng qua hai tam giác đồng dạng) nhưng giải bằng Mê-nê-la-úy ta thấy cái hay ở chỗ 
bộ óc ta đã hoạt động tích cực hơn, nghiên cứu bài toán sâu hơn, giúp ta có cách nhìn 
Đoàn Cát Nhơn7
O1
a
O2
B D
C
A
O
K
toàn diện, tổng hợp được các kiến thức vơí nhau: đó là sự kết hợp giữa Định lí Mê-nê-
la-uyt + Dãy tỉ số bằng nhau + Hệ thức lượng trong đường tròn. Vậy là ta đang tập làm 
công việc "to tác" là sáng tạo và ngiên cứu khoa học?
2/ Phát hiện kiến thức mới từ bài toán 6: Cho tam giác ABC cóµ 0A 60= , H là trực 
tâm của tam giác ABC và nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi R1 và R2 lần lượt là bán kính 
đường tròn ngoại tiếp các tam giác AHO và AOD. Chứng minh rằng 2 2 2
1 2
1 1 4
R R R
+ = .
Lời giải vắn tắt: 
Đường thẳng OH cắt AB, AC lần lượt tại M và N. Tia phân 
giác của góc A cắt đường tròn (O) tại D. 
+ Dễ chứng minh BHOC nột tiếp được, từ đó suy ra 
· · 0MHB OCB 30= = ⇒ AMN∆ đều.
Mặtkhác: · · · ·0 0OAC (180 AOC):2 90 ABC MAH= − = − =
⇒ AMH ANO∆ = ∆ (g-c-g). ⇒ AH = AO ⇒ AHDO là hình 
thoi.
+ Áp dụng bài toán 6 ta có ngay 2 2 2
1 2
1 1 4
R R R
+ = .
Bài toán 7: (Đường thẳng Sim-Sơn).
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Điểm M thuộc đường tròn (O). Gọi 
A', B', C' lần lượt là hình chiếu vuông góc của M xuống BC, CA, AB. Chứng minh 
rằng A', B', C' thuộc một đường thẳng. ( Đường thẳng đó được gọi là đường thẳng 
Sim-Sơn ).
Lời giải:
Cách 1: ( Không dùng Mê-nê-la-uyt) 
+ Nếu M trùng với một đỉnh của ∆ ABC ta có đpcm.
+ Nếu M thuộc cung nhỏ BC ( không chứa A ). 
Sử dụng các tứ giác ABMC, BA'MC', CB'A'M nội tiếp 
được ta có: 
^^^^
''';''' C M BBC AB M CCB A == 
Mà 
^^^
0
^^^
''1 8 0'' C M BB A CB M BB A CB M BB M C++==++ nên 
^^
'' C M BB M C=
^^
'''' BC ACB A=⇒ . Do B, A', C thẳng hàng nên C', A', B' 
thẳng hàng (đpcm).
• Lời bàn: 
Đoàn Cát Nhơn8
O
B C
A
M
A'
C'
B'
N
M OH
D
CB
A
1/ Xin hỏi có bao giờ bạn nghĩ rằng sẽ giải bài toán trên bằng định lý Mê-nê-la-
uýt? Có bạn nào thử dùng định lý Mê-nê-la-uýt để giải lại không? Nếu có tôi xin bắt 
tay hoan nghênh, em đã có tính tò mò cần thiết để trở thành một học sinh giỏi toán. 
Bây giờ ta thử giải lại bài toán trên bằng Mê-nê-la-uyt. Đây là vấn đề khó vì có thể ta 
không giải được (vì đâu phải bài toán nào cũng giải được bằng Mê-nê-la-úyt), nhưng 
mục đích là tập nghiên cứu, tập sáng tạo nên ta không dừng lại, tiếp tục phân tích vơí 
hy vọng sẽ giải được bài toán bằng Mê-nê-la-uyt. Thật vậy, kiên trì đến cùng và đi đến 
thành công. Xin giới thiệu cùng bạn đọc cách giải như sau:
Cách2: ( dùng Mê-nê-la-uyt) Hãy để ý các cặp tam giác đồng dạng: ∆ MA'C ∆ 
MC'A; ∆ MBA' ∆ MAB' ; ∆ MC'B ∆ MB'C từ đó có:
1
'
'.
'
'.
'
'1
'
'.
'
'.
'
'
'
';
'
';
'
'
=⇒=⇒===
CB
AB
AC
BC
BA
CA
CB
BC
BA
AB
AC
CA
MC
MB
CB
BC
MB
MA
BA
AB
MA
MC
AC
CA
Theo định lý đảo của Mê-nê-la-uyt ta có A', B', C' thẳng hàng (đpcm).
2/ Vốn quen nhìn bài toán ở nhiều góc độ khác nhau, tôi cho “ tam giác ABC cố 
định còn M thay đổi trên cung nhỏ BC không chứa A thì MB và MC thay đổi”. Khi đo ́
ta có bài toán : 
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và M là một điểm di động trên cung 
nhỏ BC không chứa điểm A. Hạ AE, AF lần lượt vuông góc với MB, MC. Chứng minh 
EF luôn đi qua một điểm cố định. ( Theo kết quả ở bài toán trên thì điểm cố định là 
chân đường cao hạ từ A xuống BC. Bạn đọc tự chứng minh ).
* Tóm lại, là người yêu toán hãy có ý thức và tự đặt ra cho mình câu hỏi sau lần 
giải mỗi bài toán: "Baì toán này có thể giải bằng Mê-nê-la-uyt được không? hoặc nếu 
giải bằng Mê-nê-la-uyt được rồi thì có thể giải bằng hình học thuần túy thông thường 
được không? " (*). Bẵng đi một thời gian tôi lại tìm thấy bài toán tổng quát của bài 
toán 7, nhân đây xin giới thiệu cùng bạn đọc.
Bài toán 8: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp những điểm M trong mặt phẳng sao cho 
hình chiếu của M lên 3 cạnh của tam giác là 3 điểm thẳng hàng. 
Lời giải:
Gọi M là điểm thuộc tập hợp ( S ) phải tìm và C', A', B' theo thứ tự là hình chiếu của M 
lên AB, BC, CA. ( xem hình trên )
Ta có: M ∈ ( S ) ⇔ A', B', C' thẳng hàng ⇔
^
2
^
1 '' AA =
.
0
^^^^^^
1 8 0'''' =+⇔=⇔=⇔ AB M CM CBB M CM CBB M C⇔ Tứ giác ABMC nội tiếp ⇔ M thuộc đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC. Tư ̀
bài tập 7 và 8 ta sẽ giải được bài tập nổi tiếng sau:
Đoàn Cát Nhơn9
Bài toán 9: ( Điểm Miquel )Bốn đường thẳng cắt nhau tại 6 điểm tạo thành 4 tam giác. 
Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp 4 tam giác này có một điểm chung. 
( Điểm chung đó được gọi là điểm Miquel ).
Lời giải:
Giả sử 4 đường thẳng đôi một cắt nhau tạo thành 4 
tam giác ( xem hình vẽ ). Gọi M là giao điểm khác E 
của các đường tròn ngoại tiếp ∆ ADE và ∆ CEF. 
Chiếu M xuống các đoạn AD, AE, DE, CF theo thứ 
tự là I, J, K và L.
Theo bài 7 ta có: I, J, K thẳng hàng. 
 J, K, L thẳng hàng.
⇒ I, J, K, L thẳng hàng. 
Theo bài toán 8 ta suy ra M cũng nằm trên các đường 
tròn ngoại tiếp ∆ ABF và ∆ CBD. Vậy các đường tròn ngoại tiếp 4 tam giác ADE, 
CFE, ABF và CBD đồng quy tại điểm M.
Bài toán 10: Cho tam giác nhọn ABC. Các đường cao AA', BB' và CC' cắt nhau tại O. 
Đường thẳng d đi qua O và song song với AC cắt A'B' và B'C' lần lượt ở M, N. Chứng 
minh OM = ON.
Lời giải:
Để cho gọn trước hết ta có bổ đề quen thuộc sau:
Bổ đề: Các đường cao AA', BB', CC' của tam giác ABC là 3 đường phân giác trong 
của các góc A', B', C' của tam giác A'B'C'. ( A'B'C' gọi là tam giác trực tâm ). 
Chứng minh:
+ Nếu là tam giác vuông thì ∆ A'B'C' suy biến thành đoạn 
thẳng, ta có đpcm.
+ Nếu là tam giác nhọn: 
Cách 1: Sử dụng kiến thức lớp 8 chứng minh qua hai tam 
giác đồng dạng từ đó có 
^^
'''' CO BAO B= ⇒ đpcm. 
( việc chứng minh xin nhường cho bạn đọc).
Cách 2: Sử dụng kiến thức lớp 9 về tứ giác nội tiếp, ( xem 
hình vẽ ) Ta có: OA'CB' và OB'AC' là các tứ giác nội tiếp được nên: 
^^^^
''';''' O A CCO BO C AAO B==
Mà 
^^
'' O A CO C A= nên có
^^
'''' CO BAO B= . Tương tự ta thu được đpcm. 
+ Tam giác tù chứng minh tương tự.
Đoàn Cát Nhơn10
d
M
N
O
A
B C
A'
B'
C'
I
M
E
B
A
C
D
F
J
K
L
Áp dụng Bổ đề kết hợp vơí MN song song với AC nên B'O vừa là đường cao vừa là 
đường phân giác, vậy ta có OM = ON.(đpcm)
Nhận xét rằng nếu đường thẳng d' cũng đi qua O và cho song song với AB, cắt B'C' và 
C'A' lần lượt ở E, F thì tương tự ta cũng có OE = OF. Vậy ta có bài toán :
Bài toán 11: Cho tam giác nhọn ABC. Các đường cao AA', BB' và CC' cắt nhau tại O. 
Đường thẳng d qua O và song song với AC cắt A'B' và B'C' lần lượt ở M, N; đường 
thẳng d' qua O và song song vơí AB, cắt B'C' và C'A' lần lượt ở E, F. Chứng minh 
MENF là hình bình hành. 
Lời giải:
Hình vẽ tương tự như hình bài 10.
Áp dụng Bổ đề và theo kết quả bài tập 10 ta có: OM = ON và OE = OF. Vậy NEMF la ̀
hình bình hành (đpcm).
* Lời bàn: Vấn đề hợp logic mà ta dễ dàng đặt ra là AA', BB' và CC' là các 
đường đồng quy bất kì (tức là ta đã bỏ bớt đi giả thiết vuông góc ba cạnh ) thì liệu kết 
quả trên còn đúng? (tức là OM = ON ?; hình NEMF có là hình bình hành nữa không? ) 
Nếu không thì nó sẽ thay đổi như thế nào nhỉ ? Và tôi bắt tay giải quyết vấn đề. Nhưng 
xoay xở mãi với Ta let vẫn không giải được. Nhờ có (*) tôi tự hỏi: Không giải được 
bằng hình học thuần túy sao ta không thử giải bằng Mê-nê-la-úy nhỉ ? Và tôi dùng Mê-
nê-la-uyt giải lại vấn đề mở rộng trên môṭ cách cẩn thận thì thật may mắn, tôi đã tìm ra 
lời giải. Hẳn bạn cũng biết là tôi vui mừng đến mức nào, và tôi muốn gặp ai đó để giới 
thiệu ngay bài toán mở rộng cùng với cách giải của nó mà tôi vừa tìm ra. Và hôm nay 
trong chuyên đề này được chia xẻ cùng bạn đọc. Xin phát biểu lại bài toán mở rộng:
Bài toán 12: (Mở rộng bài toán 10)
Cho tam giác nhọn ABC. Các đường AA', BB' và CC' cắt nhau tại O. Đường thẳng d đi 
qua O và song song với AC cắt A'B' và B'C' lần lượt ở M, N. Chứng minh OM = ON.
Lời giải:
Gọi I,K lần lượt là giao điểm của AA' và B'C'; 
A'N và đường thẳng AC.
Áp dụng Định lí Mê-nê-la-uyt ta có:
+ ∆ AOB với cát tuyến C'IB': 
1.
'
'.
'
'
=
IA
IO
OB
BB
BC
AC (1) 
+ ∆ AOB' với cát tuyến BCA': 
1
'
'.'.
'
=
OA
AA
CA
CB
BB
BO (2)
Lấy (1) nhân (2) ta được: 
1'..'.
'
.
'
'
=
AO
AA
IA
IO
CA
CB
OB
OB
BC
AC (3)
Mặt khác 1'.'.'
'
=
CA
CB
OB
OB
BC
AC ( do xét ∆ ABB' 
với cát tuyến C'OC ) nên AA
OA
IA
IO
'
'
= . (4). Mà 
theo TaLet thì ';'
'
AB
ON
IA
IO
AK
ON
AA
OA
== (5). 
Từ (4) và (5) suy ra AK = AB' suy ra OM = ON.
Sau đây là một số bài tập nhằm rèn luyện kĩ năng vận dụng định lí Mê-nê-la-uyt.
Đoàn Cát Nhơn11
I
d
M
N
O
A
B C
K
A'
B'C '
Bài toán 13: Cho tam giác ABC và các đường AA', BB' và CC' cắt nhau tại O. Đường 
thẳng d, d' đi qua O và song song với AC, AB cắt A'B' và B'C' lần lươṭ ở M, N, E, F. 
Khi đó MENF là hình bình hành. 
Bài toán 14: Cho tam giác ABC, ba điểm A' , B' , C' theo thứ tự trên BC, CA, AB. Biết 
rằng B' chia đoạn AC theo tỉ số 2
3
'
'
=
CB
AB . Các điểm A' và C' phải chia BC, AB theo tỉ 
số nào để cho diện tích tam giác A'B'C' nhỏ nhất.
Giải vắn tắt:
Tam giác A'B'C' có diện tích nhỏ nhất khi nó suy biến thành đường thẳng. Khi đó áp 
dụng Định lí Mê-nê-la-uyt vào tam giác ABC vơí cát tuyến A'C'B' .
Bài toán 15: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tại các điểm M, N, P, Q theo thư ́
tự trên các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng PN, QM và đường chéo BD đồng 
quy. 
Giải vắn tắt:
Giả sử MQ cắt BD tại O. Ta chứng minh N, P, O thẳng hàng. Áp dụng Định lí Mê-nê-
la-uyt vào tam giác ABD với cát tuyến MQO (với chú ý: AM = AQ; BM = BN; CN = 
CP; DP = DQ).
V- THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM:
1. Mục đích: 
 - Hướng dẫn học sinh kỹ năng phân tích , tổng hợp một bài toán theo nhiều khía 
cạnh khác nhau thông qua việc vận dụng định lí Mê-Nê-La-Uýt nhằm làm phong 
phú hơn phạm vi ứng dụng khi giải toán.
 - Cung cấp những bài toán có thường gặp, có nội dung hấp dẫn và khó giải quyết. 
Một trong những nguyên nhân gây khó giải quyết của nó là vì phương pháp tiếp 
cận, mổ xẻ vấn đề không phải là các phương pháp thông thường hay được áp dụng 
trong hình học.
- Tìm hiểu kiến thức toán rộng hơn sách giáo khoa, vận dụng sáng tạo những định li ́
đã học vào giải các bài toán như: Khai thác các bài toán ( từ bài 1 đến bài 4 ); Nhìn 
bài toán từ nhiều hướng( từ bài 5 đến bài 12 ); cung cấp những phương pháp học 
cho các bạn yêu thích toán học, làm tài liệu tham khảo và tiếp tục phát triển.
2. Tổ chức thực nghiêṃ:
 - Hướng dẫn học sinh khá, giỏi các lớp 9A1; 9A2; 9A3 và 9A4 khai giảng dạy 
nghiên cứu về định lí Mê-Nê-La-Uýt. ( Tôi đã tiến hành giảng dạy cho học sinh các 
bài tập theo trình tự trong đề tài ).
 - Tiến hành từ tháng 10 đến tháng 12 năm học 2007-2008 tại trường THCS Nhơn 
Lộc. 
3. Kêt́ quả thực hiện:
Sau 3 tháng triển khai giảng dạy, tôi nhận thấy các em rất hứng thú và quan tâm đến 
đề tài mà tôi đưa ra. Hầu hết các em tiếp thu nhanh bài giảng ( bởi lẽ chỉ là sự kết 
hợp giữa các định lí đã học ), hiểu thấu đáo tầm quan trọng của định lí và cách vận 
dụng định lí Mê-Nê-La-Uýt vào một bài toán như thế nào. Kiến thức các em đã 
được nâng cao, kỹ năng lập luận, tư duy trừu tượng đã được phát triển, sử dụng 
thành thạo các định lí vào một bài toán. Khi kiểm tra đề tài tôi thu được kết quả như 
sau: 
STT Lớp Tổng Kết quả
Đoàn Cát Nhơn12
số 9 – 10 7 – 8 5 – 6 3 – 4 0 – 2
1 9A1 15 3 7 5 0 0
2 9A2 22 4 12 5 1 0
3 9A3 17 4 10 3 0 0
4 9A4 18 5 6 6 1 0
VI/ LỜI KẾT.
Nếu các bạn đã học định lý Mê-nê-la-uyt và đọc bài viết này rồi tôi nghĩ bạn có 
thể giải các bài toán hình học gọn hơn rất nhiều. Cần nói thêm rằng phương pháp dùng 
Mê-nê-la-uyt mà ta nghiên cứu trên kia không phải lúc nào cũng thực hiện được ( chỉ 
thực hiện được một chiều ) và không thí điểm rộng rãi ( không có trong chương trình 
sách giáo khoa, thành thử chỉ áp dụng cho các bạn khá, giỏi. Hy vọng ta sẽ tìm ra 
những bài toán cơ bản nhưng vẫn áp dụng được định lí Mê-nê-la-uyt để giải cho học 
sinh trung bình và tiến đến học sinh yếu kém. Điều này không thể riêng một cá nhân 
tôi làm được mà phải kết hợp với toàn bộ giáo viên có nhiệt huyết về toán ). Nhưng các 
bạn cứ tập suy nghĩ như thế đi, các bạn sẽ nhận thấy nhiều điều mới lạ, tăng thêm trí 
suy luận, nâng cao nhận thức về tư duy trừu tượng, rèn luyện tôt́ kĩ năng, kĩ xảo. Đó 
cũng là bước đầu để các bạn tập làm quen với tìm tòi nghiên cứu sau này. Trên đây tôi 
đã trao đổi với các bạn vài kinh nghiệm, sáng tạo khi học toán và làm toán cũng như 
việc rèn luyện sự linh hoạt trong suy nghĩ. Vấn đề này hết sức phong phú, bao gồm 
nhiều mặt, và có lẽ nói không khi nào hết. Mong các bạn hãy suy nghĩ về phong cách 
học tập của mình, đúc rút kinh nghiệm, tìm ra phương pháp học tập thích hợp tôt́ nhất 
để đạt nhiều kết quả cao nhất. Xin dừng bài viết của tôi tại đây, chúc các bạn đạt được 
nhiều thành công trong học tập.
VII- NHỮNG KIẾN NGHỊ:
Cách dạy, cách học truyền thụ một chiều tồn tại đã khá lâu trong nhà trường tư ̀
THCS đến THPT, lại bị nạn “dạy thêm, học thêm” tràn lan làm cho năng lực tự học bi ̣
thoái hóa ngày càng trầm trọng hơn. Do vậy tôi xin đề nghị các cơ quan, ban ngành 
đoàn thể quan tâm đến các vấn đề sau:
+ Phải sớm thay đổi mối quan hệ thầy trò trong quá trình dạy và học. Phải từ 
quan hệ “thầy giảng, trò chép” thụ động chuyển sang quan hệ “thầy hướng dẫn, trò nỗ 
lực thực hành đến mức cao nhất”. Đẩy lùi những tiêu cực như học thêm, học tủ, gian 
lận trong thi cử
+ Phát huy năng lực tự học, tự nghiên cứu của giáo viên hằng năm thông qua các 
hội thảo về toán học, viết chuyên đề, viết sáng kiến kinh nghiệm dạy cho học sinh khá 
giỏi, học sinh yếu kém  để từ đó khơi dậy và phát huy tốt nhất nội lực tự học của học 
sinh. Biết cách tổ chức và xây dựng quy trình tự học ( làm thí điểm ở vài lớp ) tiến đến 
phong trào tự học trong toàn học sinh.
+ Đổi mới nội dung thi cử (nhất là kì thi học sinh giỏi cấp huyện), làm cho thi cư ̉
không còn chỉ là kiểm tra trí nhớ, thách đố bằng những bài toán lắc léo mà thử thách 
năng lực nắm bản chất vấn đề, năng lực tư duy, năng lực phát hiện vấn đề và giải quyết 
vấn đề.
+ Gia đình, nhà trường và xã hội phải luôn khắn khít với nhau trong quá trình 
đào tạo, rèn luyện con người mới. Cần tránh đi quan điểm cho rằng: “khi nghĩ đến gia 
Đoàn Cát Nhơn13
đình, chỉ mới nghĩ đến giáo dục đạo đức làm cho con chăm ngoan, còn phát triển trí tuệ 
thì nhường cho nhà trường” mà phải trả lời những câu hỏi sau đây: Ở trường đã có các 
thầy cô dạy theo hướng phát huy nội lực của con em thì về nhà ông, bà, cha, mẹ dạy 
cái gì, dạy như thế nào, vào những lúc nào?
+ Tôi luôn có niềm tin rằng đến một khi nào đó ta sẽ tìm ra những bài toán cơ 
bản nhưng vẫn áp dụng được định lí Mê-nê-la-uyt để giải cho học sinh trung bình va ̀
tiến đến học sinh yếu kém chứ không phải chỉ để dành cho học sinh khá giỏi như hiện 
nay. ( Đây cũng là băn khoăn và khuyết điểm của sáng kiến vì không được ứng dụng 
rộng rãi trong nhà trường ). Điều này không thể riêng một cá nhân tôi làm được mà 
phải kết hợp với toàn bộ giáo viên có nhiệt huyết về toán. 
Trên đây là một đề tài nhỏ mà tôi nghiên cứu và tìm hiểu với bao tâm huyết. Du ̀
đã cố gắng nhiều song nó vẫn còn tồn tại nhiều hạn chế mong thầy cô góp ý tận tình để 
lần sau thực hiện đề tài tốt hơn.
 Bình Định, ngày 3 tháng 1 năm 2008.
 ĐOÀN CÁT NHƠN.
Đoàn Cát Nhơn14