Sáng kiến kinh nghiệm Kỹ thuật tính một số tổng hữu hạn ở THCS và bài tập vận dụng

A. PHẦN MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Trong quá trình học toán ở trường THCS học sinh cần biết cách tổ chức công việc của mình một cách hợp lí, sáng tạo. Người thầy cần rèn luyện cho các em kỹ năng độc lập suy nghĩ một cách sâu sắc, sáng tạo. Điều đó đặt ra cho người thầy một sự lao động tập trung, nghiêm túc, biết tìm tòi ra những phương pháp hay để giúp học sinh trau dồi tư duy logic trong việc giải các bài toán cũng như tổ chức các hoạt động học tập.
	Là một giáo viên dạy Toán ở trường THCS trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi nhiều năm tôi nhận thấy việc giải các bài toán ở chương trình THCS không chỉ đơn thuần là đảm bảo các kiến thức trong sách giáo khoa, đó mới chỉ là điều kiện cần nhưng chưa đủ. Muốn giỏi toán học sinh cần phải luyện tập nhiều thông qua việc giải các bài toán đa dạng, giải các bài toán một cách khoa học, kiên nhẫn, tỉ mĩ, sáng tạo, để tự tìm ra cách giải và đến đích một cách gần nhất, mĩ mãn nhất. Muốn vậy người thầy phải biết vận dụng kiến thức một cách linh hoạt trong nhiều bài toán khác nhau để tạo ra được sự hứng thứ, tinh thần yêu thích cho học sinh. 
	Trong nhiều nội dung toán học luôn đòi hỏi giáo viên phải có được một cái nhìn tổng thể về dạng toán mà mình định giải cho học sinh, để từ đó giáo viên đưa ra được một phương pháp hướng dẫn gần nhất, dể hiểu nhất nhằm giúp học sinh tiếp thu tốt nhất.
	Trong chương trình Toán THCS các bài toán liên quan đến tính tổng rất đa dạng, phong phú và có một ý nghĩa rất quan trọng đối với các em học sinh ở bậc học này. Để giải quyết các bài toán liên quan đến tính tổng, người ta phải bằng các cách giải thông minh nhất, tìm ra các biện pháp hữu hiệu và phù hợp nhất với trình độ kiến thức ở bậc học THCS để giải quyết các bài toán loại này. Do đó, đòi hỏi người học phải có một cách suy nghĩ logic sáng tạo, biết kết hợp kiến thức cũ với kiến thức mới một cách logic có hệ thống.
	Trong khi đa số học sinh tại các trường THCS không có hứng thú với loại toán này, bởi hầu hết các em học sinh cảm thấy khó khăn khi gặp các bài toán tính tổng và không biết vận dụng để giải quyết các bài tập khác. Đồng thời tài liệu tổng hợp cho dạng toán này là rất ít, mỗi tài liệu chỉ đưa ra một số bài mà thôi.
	Vì vậy để giúp các em khắc phục được những khó khăn đó, tôi đã chọn nghiên cứu đề tài sáng kiến kinh nghiệm: " Kỹ thuật tính một số tổng hữu hạn ở THCS và bài tập vận dụng". Nhằm cung cấp cho các em một cách hệ thống các bài tập tính tổng và các bài tập liên quan đến tổng cũng như bài tập tự luyện.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:
 - Cung cấp cho học sinh, phụ huynh và các bạn đồng nghiệp có một tài liệu bổ sung về các bài toán liên quan đến tính tổng.
 - Rèn luyện cho học sinh tư duy sáng tạo khi giải toán nói chung và các toán về tính tổng nói riêng. Cung cấp cho học sinh một hướng tiếp cận khi gặp bài tập ở dạng toán này.
 - phát huy trí lực của học sinh nhằm tìm ra nhiều cách giải hay, phát triển nhiều bài toán mới.
 - Giúp học sinh tự tin khi gặp bài toán tương tự khi giải toán cũng như trong thi cử.
III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU, PHẠM VI NGHIÊN CỨU.
1. Đối tượng nghiên cứu
Học sinh THCS
Một số giáo viên và phụ huynh học sinh
2. Phạm vi nghiên cứu : Hệ thống kiến thức Số học và Đại số THCS
IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU, TÀI LIỆU NGHIÊN CỨU. 
1. Phương pháp nghiên cứu
 - Đánh giá
 - Suy diễn
 - Phân tích – tổng hợp.
2. Tài liệu hổ trợ nghiên cứu
 - Tạp chí toán học và tuổi trẻ, toán tuổi thơ 2.
 - 1001 bài toán sơ cấp( quyển 1).
 - Một số sáng kiến kinh nghiệm trên mạng internet của đồng nghiệp về tính tổng ở THCS.
 - Nâng cao và phát triển toán 6, 7, 8, 9.(Vũ Hữu Bình – NXBGD)
 - Một số tài liệu khác.
3. phạm vi áp dụng
 - Áp dụng vào việc giảng dạy các chuyên đề trong trường học.
 - Bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS, ôn tập cho học sinh thi vào các trường chuyên, lớp chọn THPT.
 - Bổ sung tài liệu tham khảo cho học sinh, phụ huynh học sinh cũng như cán bộ giáo viên.
V. ĐÓNG GÓP VỀ MẶT KHOA HỌC CỦA ĐỀ TÀI:
 - Đề tài nhằm cung cấp cho học sinh, các bạn đồng nghiệp và quý phục huynh một số bài toán về kỹ thuật làm các bài toán liên quan đến tổng hữu hạn ở THCS. Giúp các em có được hệ thống các phương pháp giải dạng toán này.
 - Giúp học sinh có định hướng khi gặp bài toán liên quan đến tổng hữu hạn ở THCS.
 - Cung cấp thêm một tài liệu phục vụ công tác bồi dưỡng học sinh giỏi và thi vào THPT.
B. NỘI DUNG
CHƯƠNG I :
KỸ THUẬT TÍNH MỘT SỐ DẠNG TỔNG HỮU HẠN Ở THCS
1. Dạng tổng 1: Tổng hữu hạn các số tự nhiên
Bài toán 1.1: Với n là số tự nhên, tính các tổng sau:
a) S1 = 1 + 2 + 3 +  + n . 
b) S2 = 1.2 + 2.3 + 3.4 +  + n.(n + 1) .
c) S3 = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 +  + n.(n + 1).(n + 2) .
Lời giải:
a) S1 = 1 + 2 + 3 +  + n (1)
Ta viết lại tổng S1 theo thứ tự ngược lại như sau: 
 S1 = n + n - 1 +  + 1 (2)
Cộng (1) và (2) theo vế ta được:
 2S1 = (n + 1) + (n + 1) +  + (n + 1) = n. (n + 1) 
Nhận xét: Đây là tổng quen thuộc đơn giản mà các em đã biết. Việc tính tổng này là đơn giản song có nhiều vận dụng quan trọng. Chẳng hạn ta sẽ sử dụng nó để tính tổng S2.Chúng ta có thể mở rộng tổng trên với khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp lớn hơn 1. Bài toán tổng quát là:
S = a + (a + k) + (a + 2k) +  + (a + nk) (Khoảng cách giứa hai số liên tiếp là k; với a, n, k là các số tự nhiên)
Ta tính được S = n(nk + 2a)/2
b) Ta có:
Cộng theo vế các biểu thức trên, ta có: 
Nhận xét: Kỹ thuật để tính tông trên xuất phát ở chổ : Tích n(n + 1) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp ta tạo thêm số tự nhiên liền sau tiếp theo là n + 2 và số tự nhiên liền trước là n – 1 để tạo ra thừa số rồi rút gọn. bằng cách tương tự ta tính được tổng S3 .
c)Với số tự nhiên k ta có:
Cộng liên các đẳng thức trên theo vế ta được: 
Nhận xét: Tổng trên có thể tổng quát lên nhiếu số hạng của mỗi tích, với cách tính như đã nêu ở nhận xét trong câu b).
Bài toán 1.2: Với n là số tự nhiên, tính các tổng sau:
a) S1 = 1.3 + 3.5 + 5.7 + 7.9 +  + (2n + 1)(2n + 3)
b) S2 = 1.99 + 2.98 + 3.97 +  + 99.1
Lời giải: 
a) Với số tự nhiên k ta có:
Cộng các đẳng thức trên theo vế ta được : 
Nhận xét : Về kỹ thuật tính tổng trên cũng giống như tính các tổng ở bài 1, đó là chúng ta tạo ra số liền sau và liền trước của các số hạng trong tích 
(2n + 1)(2n + 3) là (2n + 5) và (2n – 1), sau đó khai triển và rút gọn. Đặc biệt tổng trên chúng ta có thể nới rộng khoảng cách giữa 2 số hạng trong tích thành bài toán tổng quát như sau :
b) S2 = 1.99 + 2.98 + 3.97 +  + 99.1
Nhận xét: Bài toán tổng quát của tổng S2 là:
Sn = 1.n + 2.(n - 1) + 3.(n - 2) +  +( n - 1).2 + n.1 =
Bài toán 1.3: Tính các tổng sau:
; 
Lời giải:
a) Ta có:
Xét riêng tổng : S = 10 + 102 + 103 + 10n
Ta có 10.S = 102 + 103 + 10n + 10n+1 
Suy ra : 10.S – S = 10n+1 – 10. Hay : 
Từ đó ta có: 
Bài toán 1.4: Với n là số tự nhiên khác 0, tính tổng:
S=1! + 2.2! + 3.3! +  + n.n!
Lời giải:
Ta có : 1! = 2! – 1!
 2.2! = 3! – 2!
 3.3! = 4! - 3!
 ..
 n.n! = (n + 1)! – n!
Suy ra S = 2! – 1! + 3! – 2! + 4! - 3! +  + (n + 1)! – n! = (n + 1)! - 1
2. Dạng tổng 2: Tổng phân thức
Bài toán 2.1: Với n là số tự nhiên khác không. Tính các tổng sau:
Lời giải:
a) Ta có:
b) Ta có:
Cộng theo vế các đẳng thức trên ta được: 
 Nhận xét: Tổng A và B có thể mở rộng thêm nhiều tích liên tiếp ở mỗi mẫu, với cách làm tương tự. Bài toán tổng quát như sau:
Ta có ngay:	
(với m và n là các số tự nhiên khác không).
c) Ta có: C = 1-
C = 1-
Nhận xét: Tổng C ta có thể nới rộng khoảng cách của 2 số trong tích của mỗi mẫu. Bài toán tổng quát như sau:
(với a là số tự nhiên khác không, m và n là các số tụ nhiên)
	Ta tính được: 
Và ta cũng có thể nới rộng nhiều tích với cùng khoảng cách ở mỗi mẫu.
Bài toán 2.2: Với n là số tự nhiên khác không, tính tổng :
Lời giải:
Bài toán 2.3: Với n là số tự nhiên khác 0, tính tổng
Lời giải:
a) Ta có: 
Cộng theo vế các đẳng thức trên ta được : 
b)Ta có : 
Cộng theo vế các đẳng thức trên ta được: 
Bài toán 2.4: Với n là số tự nhiên khác 0, tính các tổng sau:
Lời giải:
Từ đó: 
Bài toán 2.5: Tính:
Lời giải:
3. Dạng tổng 3: Tổng lũy thừa.
Bài toán 3.1: Với a và n là các số tự nhiên lớn hơn 1, tính tổng:
A = a + a2 + a3 +  + an .
Lời giải:
Ta có: a.A = a(a + a2 + a3 +  + an) = a2 + a3 + a4 +  + an + an + 1
Suy ra: a.A – A = (a2 + a3 + a4 +  + an + an + 1) – (a + a2 + a3 +  + an)
Hay: (a – 1).A = an + 1 – a 
Nhận xét: Với việc thay a = 2, ta có : A = 2 + 22 + 23 +  + 2n = 2n + 1 – 2.
Thay a = 3, ta có : A = 3 + 32 + 33 +  + 3n = (3n + 1 – 3)/2
.
Tổng A có dạng tổng quát là: A = ak + ak + k + ak + 2k +  + ak + nk
Chẳng hạn thay k = 2, ta có : A = a2 + a4 + a6 +  + a2 + 2n 
Bài toán 3.2: Với n là số tự nhiên khác 0, tính các tổng sau :
a) A = 12 + 22 + 32 +  + n2
b) B = 13 + 23 + 33 +  + n3
Lời giải:
a) Với đẳng thức đúng: (x + 1)3 = x3 + 3x2 + 3x + 1
Thay x = 0, ta có: 13 = 03 + 3.02 + 3.0 + 1
Thay x = 1, ta có: 23 = 13 + 3.12 + 3.1 + 1
Thay x = 2, ta có: 33 = 23 + 3.22 + 3.2 + 1
.
Thay x = n, ta có : (n + 1)3 = n3 + 3n2 + 3n + 1
Cộng theo vế các đẳng thức trên ta được :
13 + 23 + 33 +  + n3 + (n + 1)3 = 03 + 13 + 23 + 33 +  + n3 + 3.(02 + 12 + 22 + 32 +  + n2) + 3.(0 + 1 + 2 + 3 +  + n) + (1 + 1 + 1 +  + 1)
Chuyển vế thu gọn với lưu ý ‎‎ A = 12 + 22 + 32 +  + n2; 1 + 2 + 3 +  + n = n(n + 1)/2 và 1 + 1 +  + 1 = n + 1
Þ (n + 1)3 = 3.A + 3.(1 + 2 + 3 +  + n) + (n + 1)
b) Bằng cách sử dụng hằng đẳng thức (x + 1)4 = x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 1
rồi thực hiện tính như câu a) ta sẽ được kết quả.
Sau đay xin nêu thêm một kỹ thuật khác để tính tổng B như sau:
Cộng theo vế các đẳng thức trên ta được: 
4. Dạng tổng 4: Tổng phần nguyên, phần lẻ
Bài toán 4.1: Với n là số tự nhiên khác 0, tính tổng:
(Ở đây [x] là k‎ hiệu phần nguyên của số tự nhiên x)
Lời giải
Bài toán 4.2: Với n là số tự nhiên khác 0, tính tổng:
Lời giải: Với số tự nhiên k, ta có:
Suy ra:
Cộng theo vế các đẳng thức trên ta được:
CHƯƠNG II: BÀI TẬP VẬN DỤNG.
Bài toán 1: Chứng minh rằng: 
Lời giải:
Bài toán 2: Tìm x, biết:
(Trích đề thi HSG lớp 6 Huyện Lộc Hà – Năm học: 2013 – 2014)
Lời giải: Sử dụng kết quả bài toán 1, ta có:
Bài toán 3: Chứng minh rằng:
(Trích đề thi HSG lớp 7 Huyện Hậu Lộc – Thanh Hóa – Năm học: 2012 - 2013)
Lời giải: Sử dụng kết quả bài toán 1, ta có:
Suy ra: 
Bài toán 4: Tính tổng gồm 2014 số hạng :
. Trong đó: 
(Trích đề thi HSG huyện Lộc Hà – Lớp 7 – Năm học: 2013 - 2014)
Lời giải: 
Trước hết ta xét a và b là hai số thỏa mãn a + b = 1. Khi đó:
Áp dụng cho tổng trên ta có:
Cộng theo vế của 1007 đẳng thức trên ta được:
Bài toán 5: Chứng minh rằng:
Lời giải :
c) Đặt : 
Lại đặt :
Bài toán 6: Với n là số tự nhiên lớn hơn 1, chứng minh rằng :
Lời giải:
Cộng theo vế các đẳng thức trên ta có :
Bài toán 7: Tìm số nguyên dương n sao cho :
(Trích đề thi Olympic 30 - 04)
Lời giải : Với mÎN*, xét : 
ÞVới mỗi số k cho trước, số các số m thỏa mãn : là: 
Gọi tổng tương ứng của chúng là Sk , ta có :
Sk = k() = 
Do Với n > 1
Suy ra: 
Bài toán 8: Cho a1 , a2 , , an là các số thực thỏa mãn:
Chứng minh rằng:
(Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán – ĐH Vinh – năm học: 2009 – 2010)
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 dãy số:
a1 , a2 , , an và . Ta có: 
Lại có: 
Với k = 1, ta có:
Với k = 2, ta có:
Với k = n, ta có:
Cộng theo vế các đẳng thức trên ta được:
Bài toán 9: Rút gọn biểu thức:
Lời giải: Ta có: n4 + 4 = (n2)2 + 4n2 + 4 - 4n2 = (n2 + 2)2 - 4n2 
= (n2 + 2 - 2n).(n2 + 2 + 2n) = [(n - 1)2 + 1]. [(n + 1)2 + 1]. Do đó :
Nhận xét : Bài toán tổng quát : Với n là số tự nhiên lớn hơn 1, ta có :
Bài toán 10 : Với n là số tự nhiên lớn hơn 1, tính :
Lời giải : 
Bài toán 11: Với n là số nguyên dương (n ³ 2), đặt :
Tìm tất cả các số nguyên dương n (n ³ 2) sao cho là số nguyên
( Trích đề thi HSG Tỉnh lớp 9 – Hà Tĩnh – Năm học : 2014 – 2015)
Lời giải : Với số tự nhiên k lớn hơn 1, ta có :
Thay k = 2, ta được: 
Thay k = 3, ta được: 
Thay k = 4, ta được: 
..
Thay k = n, ta được: 
Nhân theo vế các đẳng thức trên, ta có :
Suy ra : 
Do đó để là số nguyên thì là số nguyên, suy ra n + 2 là Ư(6)
Từ đó tìm được n = 4.
CHƯƠNG III : BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có :
Bài 2: Với n là số tự nhiên khác 0, tính :
Bài 3: Với n là số tự nhiên lớn hơn 1, chứng minh rằng :
Bài 4: Tìm số tự nhiên x, biết:
Bài 5: Tính:
Bài 6: a)Viết số 108 thành tổng của các số tự nhiên liêp tiếp lớn hơn 0.
b) Hãy viết số 100 thành tổng của các số tự nhiên lẽ liên tiếp.
C. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
	Trên đây là các kỹ thuật và một số bài toán liên quan đến tổng hữu hạn ở THCS điển hình thường gặp. Tuy nhiên việc sử dụng các phương pháp nói trên phải được vận dụng sao cho thích hợp, mỗi một phương pháp không nên quan trọng hóa và đề cao trong khi giải dạng toán này. Điều cốt yếu là sử dụng phương pháp nào cho phụ hợp để đạt hiệu quả tốt nhất, nhanh nhất. Điều này đòi hỏi người thầy phải có một kinh nghiệm tốt trong giảng dạy, phải thật sự đào sâu trong giảng dạy.
	Sau nhiều năm giảng dạy và tâm đắc với các bài toán liên quan đến tổng hữu hạn ở THCS tôi tự rút ra một số kinh nghiệm quý báu sau : 
	- Thường xuyên khắc phục những sai lầm trong khi giải một bài toán tính tổng nói riêng và các bài tập nói chung. Điều này có ý nghĩa rất lớn trong việc giúp học sinh hiểu sâu, nắm vững các kiến thức cơ bản, rèn luyện kỹ năng trình bày chính xác, ngắn gọn.
	- Hệ thống các kỹ thuật cần thiết cho các bài toán ở dạng này, giúp học sinh và các bạn đồng nghiệp có công cụ hữu hiệu để giải các bài tập một cách chắc chắn, hiệu quả và tiết kiệm thời gian.
	- Luôn luôn nắm chắc kiến thức cơ bản, các kỹ năng cần thiết trong mỗi bài toán liên quan đến tổng hữu hạn giúp học sinh có được một cách giải sáng tạo.
	- Biết sử dụng mối liên hệ giữa đại số và số sẽ giúp thêm công cụ hữu ích cho các em khi giải các bài toán liên quan đến tổng hữu hạn.
	Dù đã rất cố gắng nhưng với tuổi đời và tuổi nghề con non trẻ nên đề tài tôi đã trình bày không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tôi mong nhận được nhiều ý kiến đóng góp từ cấp trên, các bạn đồng nghiệp cũng như quý phụ huynh học sinh để bài viết được hoàn chỉnh hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
MỤC LỤC
TRANG
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
1
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
2
III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU, PHẠM VI NGHIÊN CỨU 
2
IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU, TÀI LIỆU NGHIÊN CỨU
2
V. ĐÓNG GÓP VỀ MẶT KHOA HỌC CỦA ĐỀ TÀI
2
B. NỘI DUNG
3
CHƯƠNG I :KỸ THUẬT TÍNH MỘT SỐ DẠNG TỔNG HỮU HẠN Ở THCS
3
Dạng tổng 1: Tổng hữu hạn các số tự nhiên
3
Dạng tổng 2: Tổng phân thức
6
Dạng tổng 3: Tổng lũy thừa.
9
Dạng tổng 4: Tổng phần nguyên, phần lẻ
10
CHƯƠNG II: BÀI TẬP VẬN DỤNG
12
CHƯƠNG III : BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
18
C. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
20