Sáng kiến kinh nghiệm Kĩ thuật di chuyển điểm trong bài toán khoảng cách

uát kĩ thuật. 
H1: A là chân đường vuông góc kẻ từ đỉnh S xuống mặt đáy, đây chính là điểm cơ 
sở để chúng ta tính được khoảng cách, hãy tìm con đường để di chuyển khoảng 
cách từ điểm M đến điểm A ? 
 Dự đoán hướng trả lời của học sinh: Nối M với A và tìm cách liên hệ 
khoảng cách từ điểm M và từ điểm A đến mặt phẳng  SCD . (đối với học sinh 
câu trả lời vẫn đang mang tính chung chung) 
H2: Liên hệ hai khoảng cách đó bằng cách nào? 
27 
 Ý đồ mong muốn học sinh sẽ suy nghĩ xem xét liệu có thể sử dụng được hai 
kĩ thuật đã biết ở mục trước hay không. 
 Nếu sử dụng kĩ thuật di chuyển khoảng cách trên đường thẳng song song thì 
phải chứng minh được  ||MA SCD . Nếu sử dụng kĩ thuật di chuyển khoảng cách 
trên đường thẳng cắt mặt thì phải tìm được giao điểm của đường thẳng MA với mặt 
phẳng  SCD . Tuy nhiên hai kĩ thuật này sẽ không phải là ý tưởng tốt để giải quyết 
bài toán, vậy liệu có còn kĩ thuật nào khác nữa hay không! 
Lời giải 
M
O
A
B C
D
S
P
Đường thẳng BM cắt  SCD tại S nên 
  
  
, 1
2,
d M SCD MS
BSd B SCD
       
1
, ,
2
d M SCD d B SCD  . 
Đường thẳng  ||AB SCD nên         , , ,d B SCD d AB SCD d A SCD  . 
Do đó:      
1
, ,
2
d M SCD d A SCD . 
+) Kẻ       ,AP SD P SD AP SCD d A SCD AP      
  
1 2
,
2 5 5
a a
AP d M SCD AP     
+) 
2 2 2 2 2 2
1 1 1 5 1 1
2
4 4
SA
AS AP AD a a a a
       
28 
Nhận xét: 
+) Giáo viên có thể đặt câu hỏi cho học sinh khi di chuyển khoảng cách từ điểm M 
đến điểm A chúng ta đã sử dụng những kĩ thuật nào? Và câu trả lời hiển nhiên học 
sinh sẽ phát hiện ra ngay là cả hai kĩ thuật đã tìm hiểu, đầu tiên từ điểm M đến 
điểm B bằng kĩ thuật di chuyển khoảng cách theo đường thẳng cắt mặt và sau đó 
là kĩ thuật di chuyển khoảng cách theo đường thẳng song song với mặt. Như vậy kĩ 
thuật di chuyển khoảng cách theo đường gấp khác chẳng qua là di chuyển qua một 
số điểm trung gian theo đường gấp khúc. 
+) Giáo viên có thể khái quát hóa từ trường hợp của bài toán trên (xét chỉ có một 
điểm trung gian): 
- Di chuyển trên đường gấp khúc và đường song song: 
  
  
,
,
d A P AI
BId B P
 ,      , ,d B P d C P         , , ,
AI AI
d A P d B P d C P
BI BI
   
P
A
I
CB
- Di chuyển trên hai đường gấp khúc: 
  
  
  
  
        
, ,
, , , . ,
, ,
d A P d B PAI BJ AI AI BJ
d A P d B P d C P
BI CJ BI BI CJd B P d C P
     
P
A
I
J
B
C
29 
Bài 2. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông, AB a , SA vuông góc với mặt 
phẳng đáy và S 2A a . Gọi M là trung điểm của CD . Tính khoảng cách giữa điểm 
M và mặt phẳng  SBD . 
Phân tích: Điểm M sẽ được di chuyển đến vị trí điểm C rồi tiếp tục di chuyển đến 
vị trí điểm A ( điểm cơ sở). 
Lời giải 
MI
A
B
D
C
S
H
D là giao điểm của đường thẳng CM và mặt phẳng  SBD nên : 
  
  
     
, 1 1
, ,
2 2,
d M SBD MD
d M SBD d C SBD
CDd C SBD
    
Gọi I là tâm đáy ABCD , khi đó I là giao điểm của đường AC với  SBD nên : 
  
  
     
,
1 , ,
,
d C SBD CI
d C SBD d A SBD
AId A SBD
    
Do đó :      
1
, ,
2
d M SBD d A SBD . 
Dựng AH SI  1 . 
Ta có    2
BD AC
BD SAC BD AH
BD SA

   

. 
Từ  1 và  2 , suy ra  AH SBD . Suy ra   ,d A SBD AH . 
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 9
4 4AH AI AS AB AD AS a a a a
        
2
3
a
AH  . 
Vậy   ,
3
a
d M SBD  . 
30 
Bài 3. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD . Tam giác SAD cân 
tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là điểm thỏa mãn 
2 0SM CM 
  
. Tỷ số khoảng cách D đến mặt phẳng  SAB và từ M đến mặt 
phẳng  SAB là: 
 A. 
2
3
 B. 
3
2
 C. 
1
2
 D. 2 
Lời giải 
O
A
D C
B
S
M
+) Từ 2 0SM CM 
  
  M thuộc đoạn thẳng SC và 2SM MC . 
+) 
  
  
, 2
3,
d M SAB MS
CSd C SAB
  
        
2 2
, , ,
3 3
d M SAB d C SAB d D SAB   
  
  
, 3
2,
d D SAB
d M SAB
  
Một số bài tập vận dụng 
 kĩ thuật di chuyển khoảng cách trên gấp khúc 
Bài 1 (Trích đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2007). Cho hình chóp 
.S ABCD có đáy là hình thang với   090ABC BAD  , BA BC a  , 2AD a . Cạnh bên 
  , 2SA ABCD SA a  . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB . Chứng 
minh tam giác SCD vuông và tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng  SCD . 
31 
Bài 2. Cho hình lăng trụ . ' ' 'ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A , 
 030ABC  . Biết M là trung điểm của AB , tam giác 'MA C đều có cạnh bằng a và 
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy lăng trụ. Tính khoảng cách giữa hai 
đường thẳng AC và 'BB . 
Kết luận chương 2: Trong chương 2 đề tài đã nêu bật được một số vấn đề 
sau: 
+) Hình thành được kĩ thuật di chuyển điểm qua phương pháp dạy học gợi mở vấn 
đáp, dạy học giải quyết vấn đề, dạy học phân hóa và dạy học khám phá. Từ đó giúp 
cho học sinh phát triển năng tư duy, sáng tạo, phát hiện và giải quyết vấn đề. 
+) Nêu được một số bài toán vận dụng các kĩ thuật trên, trước và sau mỗi bài có 
phân tích định hướng cách giải, lối tư duy cho học sinh và sau khi giải xong kèm 
theo các nhận xét để khái quát hóa các vấn đề đưa ra. 
+) Chung quy lại mỗi giáo viên khi dạy các kĩ thuật này cần cho học sinh nhận 
dạng được lúc nào cần sử dụng kĩ thuật gì, có thể tóm tắt vấn đề đó như sau: 
 Cần tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  P mà không trực tiếp 
dựng được hình chiếu của M lên  P , khi đó cần lựa chọn kĩ thuật di chuyển điểm 
M đến điểm cơ sở H bằng cách nối M với H . 
 - Nếu  ||MH P thì kĩ thuật lựa chọn là di chuyển khoảng cách theo đường 
thẳng song song với mặt phẳng. 
 - Nếu MH cắt  P tại điểm I sao cho .IM k IH thì lựa chọn kĩ thuật di 
chuyển khoảng cách theo đường thẳng cắt với mặt phẳng. 
 - Nếu điểm cắt chưa xác định hoặc việc tìm tỉ số k không thật sự thuận lợi thì 
lựa chọn kĩ thuật di chuyển khoảng cách trên đường gấp khúc. 
32 
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm. 
 3.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm 
 Thực nghiệm sư phạm được tiến hành nhằm mục đích kiểm tra tính khả thi 
và hiệu quả của đề tài. 
 3.2. Đối tượng thực nghiệm. 
 Tại trường THPT Nguyễn Đức Mậu, huyện Quỳnh Lưu, Tỉnh Nghệ An tôi 
chọn lớp 11A5 làm lớp thực nghiệm và lớp 11A12 làm lớp đối chứng. 
 3.3. Tiến hành thực nghiệm. 
Tiết tự chọn 10: Khoảng cách 
Chủ đề: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng 
I. Mục tiêu 
1. Về kiến thức: Học sinh nắm được bài toán khoảng cách từ một điểm đến một 
mặt phẳng. 
2. Về kĩ năng: Học sinh biết tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. 
3. Về tư duy, thái độ: Học sinh có tư duy logic và có thái độ nghiêm túc trong học 
tập. 
4. Năng lực hướng tới: Năng lực tự học, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực hợp 
tác, năng lực thuyết trình. 
II. Chuẩn bị của thầy và trò 
- Đồ dùng dạy học: SGK, thước kẻ, một số tranh, phấn màu. 
III.Phương pháp dạy học 
- Gợi mở vấn đáp, đan xen thuyết trình và hoạt động nhóm 
IV.Tiến trình bài học: 
1.Ổn định lớp: Vắng, chậm, kiểm tra sĩ số học sinh 
2. Bài cũ: 
Câu 1: Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc? 
Câu 2: Hệ quả của định lý về điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc? 
33 
3. Bài mới: 
Hoạt động 1: Tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng bằng phương 
pháp tìm hình chiếu. 
Bài 1: Cho tứ diện OABC có , ,OA OB OC đôi một vuông góc với 
, ,OA a OB b OC c   . Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng  ABC . 
Hoạt động của Giáo Viên Hoạt động của Học Sinh 
H1: Nêu cách tính khoảng cách tính 
khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng 
 ABC theo định nghĩa? 
H2: Nêu cách tính OH ? 
Giáo viên yêu cầu học sinh trình bày lời 
giải 
Đ1: Ta tìm hình chiếu vuông góc của O 
lên mặt phẳng  ABC . 
Đ2: 
2 2 2
1 1 1
OH OC OM
  
Học sinh trình bày theo yêu cầu 
Lời giải: 
Kẻ ( )OM AB M AB  ,  OH CM H CM  . 
C
O
A
B
M
H
Ta có:  AB OCM AB OH   
mà  CM OH OH ABC   . 
  ,d O ABC OH 
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 abc
OH
OH OM OC OA OB OC a b b c c a
      
 
. 
34 
Nhận xét: Bài toán này được trình bày theo một cách khác so với sách giáo khoa. 
Đây là bài toán cơ bản nhằm giúp học sinh tìm hình chiếu của một điểm lên một 
mặt phẳng. 
Hoạt động 2: Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng bằng kĩ 
thuật di chuyển điểm. 
Bài 2. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a , 
 SA ABCD . Góc tạo bởi SC và mặt phẳng  SAB bằng 030 . 
a) Tính khoảng cách từ điểm A đến  SBD . 
b) Tính khoảng cách từ điểm C đến  SAB . 
c) Tính khoảng cách từ điểm C đến  SBD 
d) Tính khoảng cách từ điểm I đến  SAB với I là trung điểm SC . 
e) Tính khoảng cách từ điểm I đến  SBD 
Giáo viên gợi mở-vấn đáp để học sinh giải quyết câu a) và b) 
Hoạt động của Giáo Viên Hoạt động của Học Sinh 
a) H1: Có mặt phẳng nào chứa A và 
vuông góc với  SBD không? 
b) Yêu cầu học sinh giải câu b 
Đ1: Mặt phẳng  SAC . 
Học sinh giải theo yêu cầu của giáo viên 
    0, 30SC SAB CSB  
SBC vuông tại B 
0.cot30 3SB BC a  
2 2 2SA SB AB a   
   SAC SBD 
Kẻ AH SO tại H 
  
2 2
. 10
,
5
SA AO a
d A SBD AH
SA AO
  

Đ2:  CB SAB 
  ,d C SAB CB a   
35 
I
O
A
B C
D
S
H
Giáo viên chia lớp thành 4 nhóm cho học sinh giải câu c) và d) 
Nhóm 1, 2: Giải câu c) 
Nhóm 3, 4: Giải câu d) 
Hoạt động của Giáo Viên Hoạt động của Học Sinh 
Yêu cầu học sinh giải và hỗ trợ khi cần 
thiết 
Yêu cầu các nhóm trình bày và đánh giá 
lẫn nhau 
Giáo viên sửa chữa. 
Học sinh giải 
Các nhóm trình bày, đánh giá 
c)  AC SBD O  , 1
CO
AO
 
     
10
, ,
5
a
d C SBD d A SBD   
d)   ,IC SAB S  
1
2
SI
SC
 
     , ,
2
a
d I SAB d C SAB   
Giáo viên cho hoạt động cá nhân để giải câu e 
Hoạt động của Giáo Viên Hoạt động của Học Sinh 
Yêu cầu học sinh giải và hỗ trợ khi cần 
thiết 
Học sinh giải 
36 
Yêu cầu hs trình bày và đánh giá lẫn 
nhau 
Giáo viên sửa chữa. 
Hs trình bày, đánh giá 
e)   ,IC SBD S  
1
2
SI
SC
 
     
  
1
, ,
2
1 10
,
2 10
d I SBD d C SBD
a
d A SBD
 
 
Hoạt động 3: Củng cố 
 Nhấn mạnh cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. 
BTVN: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , 
,SA a    060SAB SAD BAD   . Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng  SCD 
Tiết Tự chọn 11: Khoảng cách 
Chủ đề: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 
I. Mục tiêu 
1. Về kiến thức: Học sinh nắm được bài toán khoảng cách giữa hai đường thẳng 
chéo nhau. 
2. Về kĩ năng: Học sinh biết tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. 
3. Về tư duy, thái độ: Học sinh có tư duy logic và có thái độ nghiêm túc trong học 
tập. 
4. Năng lực hướng tới: Năng lực tự học, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực hợp 
tác, năng lực thuyết trình. 
II. Chuẩn bị của thầy và trò 
- Đồ dùng dạy học: SGK, thước kẻ, một số tranh, phấn màu. 
III.Phương pháp dạy học 
- Gợi mở vấn đáp, đan xen thuyết trình và hoạt động nhóm 
IV.Tiến trình bài học: 
37 
1.Ổn định lớp: Vắng, chậm, kiểm tra sỹ số học sinh 
2. Bài cũ: Giáo viên gọi học sinh lên bảng trình bày lời giải phần bài tập về nhà đã 
giao ở tiết trước và tiến hành nhận xét, cho điểm. 
Gọi H là trọng tâm ,ABD E BH CD   . 
Ta có: 
SA SB SD AB AD BD a      
nên .S ABD là tứ diện đều, suy 
ra  SH ABCD 
Kẻ KH SD tại K suy ra  HK SCD . 
Ta tính được 
  
2 2
3 3
2
,
3
a
SH a HK
a
d H SCD
  
 
,HAB HCE  đồng dạng nên 
     
1 3
2 2
3 2
, ,
2 2
HB HA BE
HE HC HE
a
d B SCD d H SCD
   
  
E
A
B C
D
S
H
K
3. Bài mới: 
Hoạt động 1: Các cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 
 Giáo viên đặt ra câu hỏi: “ Có những cách nào để tính khoảng cách giữa hai 
đường thẳng chéo nhau?” 
 Sau khi học sinh trả lời, giáo viên nhận xét và rút ra kết luận cách tính khoảng 
cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: 
 Cách 1: Dựng đường vuông góc chung, dựa vào các giả thiết để tính độ dài 
đoạn vuông góc chung. 
 Cách 2: a và b là hai đường thẳng chéo nhau,   là mặt phảng chứa b và song 
song với a . Khi đó:        , , ,d a b d a d M   , với M a . 
38 
 Trong quá trình giải toán, việc sử dụng cách 1 đôi khi phức tạp nên ta thường 
dùng cách 2 để giải quyết. Với cách 2 này, ta sẽ chuyển bài toán tính khoảng cách 
giữa hai đường thẳng chéo nhau về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt 
phẳng quen thuộc. 
Hoạt động 2: Tính khoảng cách giữa hai đường thảng chéo nhau 
Bài 1: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , 
,SA a    060SAB SAD BAD   . Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và SD . 
Hoạt động của Giáo Viên Hoạt động của Học Sinh 
H: Nghiên cứu và trả lời với bài toán 
này ta nên dùng cách nào? 
H: Nên chọn mặt nào chứa đường 
nào và song song với đường còn lại? 
Yêu cầu học sinh giải. 
TL: Nên dùng cách 2. 
TL: Chọn mặt phẳng  SCD chứa SD và 
song song với AB . 
Học sinh giải. 
Do AB song song CD nên AB song song 
mặt phẳng  SCD . 
       
2
, , ,
2
a
d AB SD d AB SCD d B SCD  
 ( Lấy kết quả từ bài cũ) 
Bài 2: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . SAB đều và 
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi ,M N lần lượt là trung điểm ,SC AD . 
Tính: a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng BN và SC . 
 b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và CD . 
39 
Hoạt động của Giáo Viên Hoạt động của Học Sinh 
S
J
P
N
M
H
A
B
D
C
E
K
Hãy tìm cách tạo ra mặt phẳng chứa 
đường này và song song đường kia. 
Yêu cầu học sinh giải 
Giáo viên nhận xét, chữa bài 
I
A D
C
E
B
H
N
TL: 
Dựng hình bình hành NBCE thì  ||BN SCE 
Học sinh giải: 
Gọi H là trung điểm AB thì  SH ABCD 
       , , ,d BN SC d BN SCE d B SCE  
Gọi I AB EC  , dễ thấy 
     
4 4
, ,
5 5
BI
d B SCE d H SCE
HI
   
Kẻ HK SC tại K . Suy ra 
  ,d H SCD HK 
2 2
. 30
2
SH HC a
HK
SH HC
 

    
4 30 2 30
, , .
5 2 5
a a
d BN SC d B SCE   
b) Gọi P là trung điểm BC ||CD PN 
40 
    
     
  
, ,
, ,
,
2
d MN CD d CD MNP
d D MNP d A MNP
a
d H MNP HJ
 
 
  
Hoạt động 3: Củng cố 
 Nhấn mạnh cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 
BTVN: Cho hình hộp chữ nhật . ' ' ' 'ABCD A B C D có , , 'AB a AD b AA c   . Tính 
khoảng cách từ 'AB và ' 'A C . 
3.4. Xử lí kết quả thực nghiệm 
 Kiểm tra 15 phút 
Đề 1( Trước khi dạy thực nghiệm) 
Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , mặt bên SAB là tam 
giác cân và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, 2SA a . Tính khoảng cách từ 
A đến mặt phẳng  SBC . 
Lời giải 
H
A
B
C
S
M
K
I
Gọi H là trung điểm cạnh AB , SAB cân SH AB  
     SAB ABC SH ABC   
Ta có:         , , 2 ,
AB
d A SBC d H SBC d H SBC
HB
  
Kẻ HK BC  BC SHK     SBC SHK  và    SBC SHK SK  . 
Kẻ     
2 2
.
,
SH HK
HI SK HI SBC d H SBC HI
SH HK
     

Gọi M là trung điểm của BC , khi đó 
3
,
2
a
AM BC AM  . 
HK là đường trung bình ABM 
1 3
2 4
a
HK AM   , 
41 
2
2 2 2 154
4 2
a a
SH SA AH a     . Vậy   
2 2
15 3
.
352 4, 2.
715 3
4 16
a a
d A SBC a
a a
 

Đề 2 ( Sau khi dạy thực nghiệm) 
Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều 
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách từ A đến 
mặt phẳng  SBD . 
Lời giải 
Gọi H là trung điểm AB . Suy ra  SH ABCD 
Ta có 
  
  
     
, 1
, 2 ,
2,
d H SBD BH
d A SBD d H SBD
BAd A SBD
    
Gọi I là trung điểm OB , suy ra ||HI OA (với O là tâm của đáy hình vuông) 
Suy ra 
1 2
2 4
a
HI OA  . Lại có  
BD HI
BD SHI
BD SH

 

Vẽ  HK SI HK SBD   . Ta có 2 2 2
1 1 1 21
14
a
HK
HK SH HI
    
Suy ra      
21
, 2 , 2
7
a
d A SBD d H SBD HK   
Kết quả kiểm tra ở lớp 11A5 và 11A12: 
Lớp Sĩ 
số 
Đề Giỏi Khá TB Yếu Kém 
SL % SL % SL % SL % SL % 
11A5 40 1 8 20 22 55 9 22,5 1 2,5 0 0 
2 12 30 25 62,5 3 7,5 0 0 0 0 
11A12 40 1 5 12,5 20 50 14 35 1 2,5 0 0 
2 6 15 22 55 11 27,5 1 2,5 0 0 
42 
Kết luận chương 3: 
Sau kết quả thực nghiệm tôi có những kết luận sau: 
- Sau khi được học xong hai tiết tự chọn, cả hai lớp đều có chất lượng kiểm tra 
tăng lên.Với lớp được học thực nghiệm mặc dù yêu cầu cao hơn nhưng chất lượng 
tăng lên rõ rệt , số lượng học sinh khá giỏi nhiều hơn, mức độ hiểu bài tốt hơn.Đặc 
biệt, tác giả đã trích chọn một câu trong đề thi THPT Quốc gia làm đề kiểm tra 15 
phút. Việc trích câu trong đề thi làm bài kiểm tra giúp cho học sinh cảm thấy phấn 
khởi, tự tin hơn khi bản thân giải quyết được bài toán. 
- Nếu có thời gian và được thực hành một cách bài bản theo nội dung mà sáng 
kiến đưa ra có thể tạo cho các em một logic sáng tạo hiểu quả, gây hứng thú cho 
học sinh khi học về chủ đề khoảng cách. 
- Đối với giáo viên nếu tiếp cận được hệ thống kiến thức này có thể có thêm hướng 
dạy mới và phương pháp dạy hiệu quả hơn. 
43 
MỘT SỐ HÌNH ẢNH MINH HỌA 
44 
PHẦN III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 
1. Quá trình nghiên cứu 
 Đề tài này được nghiên cứu một cách nghiêm túc, cẩn thận. Trong quá trình 
giảng dạy, dự giờ đồng nghiệp và tiếp cận với học sinh tôi đã có ý tưởng và tiến 
hành thực hiện đề tài. Bản thân tôi cũng đã cố gắng tìm tòi, tham khảo tài liệu từ 
sách vở, Internet, từ đồng nghiệp, từ các thầy cô giáo và thay đổi phương pháp 
giảng dạy.Qua thực nghiệm đã thu lại những kết quả tích cực, thể hiện sự phù hợp 
của đề tài đối với nhiều đối tượng học sinh khác nhau. 
2. Ý nghĩa của đề tài 
 Qua thời gian nghiên cứu viết và vận dụng sáng kiến vào giảng dạy, tôi rút 
ra một số kết luận mà đề tài đã đạt được như sau: 
- Sử dụng các phương pháp dạy học tích cực giúp học sinh hình thành kĩ thuật di 
chuyển điểm nhằm giải quyết các bài toán tính khoảng cách một cách tối ưu. Học 
sinh được tìm hiểu, khám phá tri thức giúp các em hình thành các năng lực như 
năng lực thuyết trình, năng lực giải quyết vấn đè, năng lực tự học... Ngoài ra, 
phương pháp này cũng có thể áp dụng cho nhiều chủ đề tương tự khác. 
- Tính hiệu quả của đề tài đã được kiểm chứng ở phần thực nghiệm sư phạm. Thực 
tế đề tài đã được chính tác giả áp dụng cho học sinh lớp11 và 12 trường THPT nơi 
mình công tác và đạt hiệu quả cao. 
- Bản thân tác giả cũng nhờ nghiên cứu đề tài mà đã nâng cao được chuyên môn 
thay đổi được phương pháp giảng dạy, đem lại những tiết học nhẹ nhàng kiến thức 
cho học sinh, cảm thấy yêu nghề và đam mê khám phá. Tuy nhiên do thời gian có 
hạn nên có thể có những hạn chế nhất định, mong được sự đóng góp ý kiến từ đồng 
nghiệp, các thầy cô để đề tài được hoàn thiện hơn. 
3. Kiến nghị 
- Nhà trường nên yêu cầu giáo viên tích cực tìm hiểu và vận dụng các phương pháp 
dạy học tích cực nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy. 
- Tổ bộ môn nên đưa chủ đề này vào thảo luận trong sinh hoạt chuyên môn. 
 Quỳnh Lưu, tháng 3 năm 2021 
45 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. SGK hình học 11, Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên)-Nguyễn Mộng Hy (Chủ 
biên)-Khu Quốc Anh-Nguyễn Hà Thanh-Phan Văn Viện, Nhà xuất bản giáo 
dục. 
[2]. Bài tập hình học nâng cao 11, Văn Như Cương (Chủ biên)-Phạm Khắc Ban-
Tạ Mân, Nhà xuất bản giáo dục. 
[3]. Bài giảng chuyên sâu toán THPT, Lê Hồng Đức-Nhóm cự môn, Nhà xuất 
bản Hà Nội. 
[4]. Tuyển chọn 400 bài tập hình học tự luận và trắc nghiệm 11, Nhà xuất bản 
Đại học quốc gia Hà Nội. 
[5]. Phương pháp giải toán trọng tâm, Phan Huy Khải, Nhà xuất bản đại học sư 
phạm. 
[6]. Đề thi đại học năm 2006,2007,2008, 2010. 
[7]. Đề thi THPT Quốc gia các năm 2017 đến nay. 
[8]. Tuyển tập các đề thi thử Thpt Quốc gia của các trường trên cả nước.