Sáng kiến kinh nghiệm Khai thác hai tính chất của hàm số trong chứng minh bất đẳng thức

 bày một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức (biến đổi tương đương, phản chứng, sử dụng các bất đẳng thức cổ điển như TBC – TBN, Bunhia), ở lớp 11 giới thiệu phương pháp chứng minh qui nạp, đặc biệt trong chương trình 12 có ứng dụng của đạo hàm để đi chứng minh bất đẳng thức.
Từ thực tiễn và kinh nghiệm của bản thân trong các năm luyện thi đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi cũng như tìm tòi, tham khảo và tổng hợp ở các tài liệu Toán tôi lựa chọn đề tài: “Khai thác hai tính chất của hàm số trong chứng minh bất đẳng thức” với mong muốn giúp đỡ các em học sinh có thêm một cách nhìn mới đối với bất đẳng thức, qua đó rèn luyện các thao tác tư duy, bồi dưỡng năng lực tự học từ đó góp phần nâng cao chất lượng dạy và học.
2. Giả thuyết khoa học
Nếu xây dựng được hệ thống bài tập một cách hợp lý, lồng ghép vào đó những câu hỏi, tình huống gợi vấn đề trong quá trình giảng dạy để học sinh chủ động tiến hành các hoạt động tư duy như tương tự hóa, tổng quát hóa  các bài toán với sự trợ giúp thích hợp sẽ giúp các em nắm bắt được cách giải dạng toán này đồng thời góp phần bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh THPT.
3. Mục đích của đề tài
- Hướng dẫn học sinh khai thác hai tính chất của hàm số trong chứng minh bất đẳng thức.
- Rèn luyện các thao tác tư duy, bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh THPT.
4. Phạm vi nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu trong phạm vi nội dung môn Toán trong chương trình THPT.
5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu, tổng hợp các tài liệu có liên quan đến đề tài.
Nghiên cứu thực tiễn: Tiến hành dự giờ, quan sát, lấy ý kiến của học sinh, giáo viên về thực trạng dạy học chủ đề này ở trường phổ thông.
Thực nghiệm sư phạm:
- Dạy thử nghiệm ở lớp 10 ở chương chứng minh bất đẳng thức và lớp 11 sau khi học xong ý nghĩa hình học của đạo hàm hoặc đầu năm lớp 12 khi học ứng dụng của đạo hàm.
- Đánh giá tính khả thi và hiệu quả của các hệ thống bài tập minh họa cho các phương pháp thông qua điều tra, kiểm tra và bài thu hoạch của học sinh.
- Đánh giá, thống kê kết quả học sinh thi học sinh giỏi theo từng năm học.
6. Cấu trúc của đề tài
	Ngoài phần mở đầu và kết luận, ở phần nội dung đề tài gồm 2 chương
Chương I trình bày về phương pháp tiếp tuyến trong chứng minh bất đẳng thức.
Chương II khai thác tính chất của hàm số trong chứng minh bất đẳng thức.
Chương I. PHƯƠNG PHÁP TIẾP TUYẾN
Trong khuôn khổ sáng kiến, tôi chỉ đề cập đến một ứng dụng nhỏ của đạo hàm trong việc chứng minh bất đẳng thức, đó chính là phương pháp tiếp tuyến. Ý tưởng chính của phương pháp tiếp tuyến là sử dụng công thức phương trình tiếp tuyến của một đồ thị hàm số để tìm một biểu thức trung gian trong các đánh giá bất đẳng thức.
1.1 Kiến thức chuẩn bị
Trước hết ta nhắc lại một bài toán sau: Cho hàm số liên tục và có đạo hàm trên . Khi đó, nếu tiếp tuyến tại một điểm (giả sử có phương trình ) luôn nằm trên (nằm dưới) đồ thị hàm số trên một lân cận nào đó của thì hiển nhiên ta có .
Từ tính chất này ta thấy với mọi thì
.
Như vậy, nếu một bất đẳng thức có dạng “tổng hàm” như ở vế trái của bất đẳng thức trên và có giả thiết với đẳng thức xảy ra khi tất cả các biến đều bằng nhau và bằng thì ta có thể thử chứng minh nó bằng phương pháp tiếp tuyến, nghĩa là ta sẽ tìm phương trình tiếp tuyến tại điểm của đồ thị hàm số , rồi sau đó tiến hành kiểm chứng BĐT .
1.2 Một số ví dụ minh họa
«Ví dụ 1. Cho thỏa mãn . Chứng minh 
.
Lời giải
+ Từ giả thiết suy ra . Dấu đẳng thức xảy ra khi .
+ PTTT của đồ thị hàm số tại điểm là .
+ Ta có (*)
+ Thay vào trong bất đẳng thức (*), cộng vế theo vế ta có đpcm.
F Nhận xét: 
Khi xét hiệu , ta thường tách được nghiệm kép (điểm dấu đẳng thức xảy ra). 
Khi trình bày lời giải, có thể ta không cần viết ra các giai đoạn tìm tiếp tuyến mà đưa ra luôn bất đẳng thức đặc trưng cho bài toán cần chứng minh.
	Tương tự, ta yêu cầu học sinh lên trình bày Ví dụ 2 và Ví dụ 3.
«Ví dụ 2. Cho thỏa mãn . Chứng minh rằng 
.
Lời giải
+ Từ giả thiết suy ra . Dấu đẳng thức xảy ra khi .
+ PTTT của đồ thị hàm số tại điểm là .
+ Ta chứng minh (*) 
(luôn đúng vì )
+ Thay vào trong bất đẳng thức (*), cộng vế theo vế ta có đpcm.
«Ví dụ 3. Cho thỏa mãn . Chứng minh rằng 
.
Hướng dẫn
+ Xét hàm trên 
+ PTTT của đồ thị hàm số tại điểm là .
+ Ta chứng minh .
«Ví dụ 4. Cho thỏa mãn . Chứng minh 
.
Lời giải
+ Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng 
.
+ PTTT của đồ thị hàm số tại điểm là .
+ Ta có (*).
+ Thay vào trong bất đẳng thức (*), cộng vế theo vế ta có đpcm.
	Qua Ví dụ 4, yêu cầu học sinh tương tự làm Ví dụ 5.
«Ví dụ 5. Cho thỏa mãn . Chứng minh
.
Hướng dẫn
+ Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 
.
+ PTTT của đồ thị hàm số tại điểm là .
+ Ta đi chứng minh 
Thật vậy .
F Nhận xét: 
	Qua các ví dụ trên ta thấy việc xác định dấu của biểu thức trên có thể làm như sau:
Dựa vào dấu của bất đẳng thức cần chứng minh.
Dự đoán bằng cách thay một giá trị bất kì của vào biểu thức .
Phân tích và xác định dấu của trên .
Trong các ví dụ trên ta đều sử dụng cách 3. Tuy nhiên trong một số bài toán việc phân tích như trên gặp khó khăn vì bài toán chứa căn thức. Do đó, ta có thể gợi ý cho học sinh sử dụng phương pháp hàm số, tận dụng luôn kết quả mà các em tính đạo hàm của hàm khi lập phương trình tiếp tuyến và chú ý đạo hàm của hàm số vẫn có nghiệm . Ta xét tiếp ví dụ sau:
«Ví dụ 6. Cho các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng
Hướng dẫn
+ PTTT của đồ thị hàm số tại điểm là .
+ Ta đi chứng minh 
Xét hàm số trên 
. Từ bảng biến thiên ta có điều phải chứng minh.
Bài tập tương tự. Cho thỏa mãn . Chứng minh 
.
Hướng dẫn
+ Xét hàm số trên .
+ PTTT của đồ thị hàm số tại điểm là .
+ Ta chứng minh (sử dụng bảng biến thiên).
	Các ví dụ trên đều cần có giả thiết , để sử dụng phương pháp tiếp tuyến. Tuy nhiên trong các bài toán, có sự đồng bậc của tử và mẫu trong từng số hạng hoặc đồng bậc của hai vế bất đẳng thức cần chứng minh, ta vẫn có thể nghĩ đến phương pháp tiếp tuyến nhờ việc chuẩn hóa bài toán. Ta xét ví dụ sau:
«Ví dụ 7. Cho . Chứng minh 
.
Lời giải
+ Do mỗi số hạng có tử và mẫu là các biểu thức đẳng cấp nên không mất tính tổng quát ta giả sử . Khi đó, bất đẳng thức cần chứng minh là 
.
+ PTTT của đồ thị hàm số tại điểm là .
+ Ta đi chứng minh .
«Ví dụ 8. Cho . Chứng minh .
Lời giải
+ Do mỗi số hạng có tử và mẫu là các biểu thức đẳng cấp nên không mất tính tổng quát ta giả sử . Khi đó, bất đẳng thức cần chứng minh có dạng
+ PTTT của đồ thị hàm số tại điểm là .
+ Ta chứng minh (luôn đúng).
«Ví dụ 9. Cho là độ dài ba cạnh một tam giác. Chứng minh
.
Lời giải
+ Vì vai trò của như nhau và sự đồng bậc của hai vế nên không mất tính tổng quát ta giả sử . Mặt khác, là ba cạnh tam giác nên . Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành .
+ PTTT của đồ thị hàm số tại điểm là .
+ Ta có (*).
+ Thay vào trong bất đẳng thức (*), cộng vế theo vế ta có điều phải chứng minh.
Bài tập tương tự: 
Cho . Chứng minh .
Cho . Chứng minh 
Hướng dẫn: Nếu đem các số hạng của vế trái bất đẳng thức trừ đi 1 thì ta có được các số hạng của bất đẳng thức ở bài 1. 
Cho . Chứng minh .
Hướng dẫn
Bất đẳng thức trên có rất nhiều có cách chứng minh ngắn gọn. Tuy nhiên trong chuyên đề này chúng ta hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp tiếp tuyến. Không mất tính tổng quát ta chứng minh bất đẳng thức cho trường hợp . Khi đó, bất đẳng thức cần chứng minh có dạng . Ta đi chứng minh .
Việc sử dụng tính chất của logarit (), ta có thể sử dụng phương pháp tiếp tuyến để chứng minh bài toán bất đẳng thức với giả thiết nhờ sử dụng ẩn phụ.
«Ví dụ 10. Cho thỏa mãn . Chứng minh 
.
Lời giải
Ta có . Đặt . Khi đó ta có bài toán
Cho các số thực thỏa mãn . Chứng minh 
.
+ Xét hàm số trên .
+ PTTT của đồ thị hàm số tại điểm là 
+ Ta đi chứng minh .
Xét hàm .
Bài tập tương tự: 
Cho thỏa mãn . Chứng minh .
Hướng dẫn
Đặt . Ta có bài toán
Cho các số thực thỏa mãn . Chứng minh 
PTTT của đồ thị hàm số tại điểm là 
Ta chứng minh 
Xét hàm , lập bảng biến thiên suy ra đpcm.
Cho thỏa mãn . Chứng minh .
	Trong một số bài toán việc xét hiệu mặc dù tách được nghiệm bội , nhưng hiệu đó không giữ nguyên một dấu trên . Trong trường hợp đó, ta có thể chia trường hợp để chứng minh. Ta xét một số ví dụ sau:
«Ví dụ 11. Cho thỏa mãn . Chứng minh 
.
Lời giải
Nhận xét: Nếu xét hàm số trên thì phương trình tiếp tuyến tại điểm là 
Khi đó lúc âm, lúc dương trên . Do đó ta cần chia khoảng giá trị cho các biến .
Lời giải
Cách 1.
+ Nếu thì . Khi đó, .
.
+ Ta chỉ xét các số . Khi đó, sử dụng phương trình tiếp tuyến ta có 
.
Cách 2.
Ta thấy nếu có một số trong ba số nhỏ hơn khi đó , bất đẳng thức luôn đúng.
Vậy ta chỉ xét . Vì . 
Khi đó .
«Ví dụ 12. Cho . Chứng minh .
Hướng dẫn
+ Không mất tính tổng quát ta giả sử . Khi đó, bất đẳng thức cần chứng minh có dạng .
+ PTTT của đồ thị hàm số tại điểm là 
+ Xét (*)
+ Vậy nếu thì thay lần lượt bởi trong (*) và cộng các bất đẳng thức theo vế ta có điều cần chứng minh.
+ Nếu có 1 số nào đó trong ba số lớn hơn hoặc bằng . Giả sử 
Ta có .
(Vì ).
	Trong các bài toán trên dấu đẳng thức chỉ xảy ra tại điểm các biến bằng nhau. Tuy nhiên có những bài toán dấu bằng còn xảy ra tại những điểm khác nữa hoặc có một dấu bằng nhưng không phải tại các biến bằng nhau, ta phải đánh giá như thế nào. Khi đó, phương pháp tiếp tuyến có giải quyết được không ?
	Những bài toán như vậy thường là những bài toán khó, việc sử dụng tiếp tuyến tưởng như không thể. Tuy nhiên, trong một số trường hợp, ta vẫn có thể sử dụng phương pháp tiếp tuyến theo từng trường hợp đẳng thức. Cụ thể ta xét ví dụ sau:
«Ví dụ 13. Cho thỏa mãn . Chứng minh
.
Lời giải
+ Viết lại bất đẳng thức dưới dạng 
+ Ta thấy dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hoặc (cùng các hoán vị).
+ PTTT của đồ thị hàm số tại điểm là .
+ Khi đó 
+ Nếu cả ba số thì ta có điều phải chứng minh.
+ Nếu có 1 số nhỏ hơn . Giả sử thì điểm rơi của bài toán không còn là và mà chỉ còn . Do đó, rất tự nhiên ta nghĩ đến lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm . Phương trình đó là .
+ Ta có (*)
+ Ta sử dụng (*) cho ta có 
+ Từ đây ta chỉ cần chứng minh . Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng với .
	Ta đã biết có nhiều bất đẳng thức liên quan đến tổng các số dương. Ví dụ như hoặc . Do đó, trong một số bài toán giả thiết có thể không cho dưới dạng tổng hay kết luận của bài toán các số hạng chứa đồng thời các biến (nghĩa là chưa xác định được hàm đặc trưng cho bất đẳng thức) ta vẫn có thể sử dụng phương pháp tiếp tuyến. Ta xét ví dụ sau:
«Ví dụ 14. Cho thỏa mãn . Chứng minh 
.
Lời giải
+ PTTT của đồ thị hàm số tại điểm là .
+ Ta có (luôn đúng).
+ Do đó, ta có 
 (Vì ).
«Ví dụ 15. Cho thỏa mãn . Chứng minh 
Lời giải
Nhận xét: Trong bài toán trên dấu đẳng thức xảy ra khi . Tuy nhiên trong kết luận của bài toán ta chưa xác định được hàm đặc trưng.
+ Ta có 
+ Ta đi chứng minh 
+ PTTT của đồ thị hàm số tại điểm là .
+ Ta có (*).
+ Thay bởi trong (*) và cộng các bất đẳng thức theo vế ta có đpcm.
Bài tương tự: Cho thỏa mãn . Chứng minh
.
«Ví dụ 16. Cho các số dương thỏa mãn . Chứng minh
.
Lời giải
+ Ta có 
+ Tương tự, ta có 
+ Để vận dụng giả thiết , ta đặt . Khi đó 
+ Ta đi chứng minh 
+ Dự đoán dấu đẳng thức xảy ra tại .
+ PTTT của đồ thị hàm số tại điểm là .
+ Ta có (*).
+ Thay bởi trong (*) và cộng các bất đẳng thức theo vế ta có đpcm.
Tuy nhiên trong bài toán sau (nhìn tương tự như Ví dụ 14) thì phương pháp tiếp tuyến không giải quyết được.
« Ví dụ 17. Cho thỏa mãn . Chứng minh 
.
Nhận xét: Ta thấy, phương pháp tiếp tuyến cũng chỉ là trường hợp riêng của bài toán sau:
Cho các số thực thỏa mãn điều kiện với . Chứng minh ()
Để giải bài toán trên ta thường nghĩ đến một phương án là biểu diễn qua , nên ta xét hàm số với . Ở đây, là số được xác định sao cho là điểm cực tiểu (cực đại) của hàm số đồng thời là giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) của hàm số trên .
Vì là điểm cực tiểu (cực đại) của hàm số nên 
Vì là giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) của hàm số trên nên
 (*)
 Khi đó thay vào trong (*) và cộng theo vế các bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh.
Ta giải bài toán theo phương pháp trên
+ Xét hàm , . Chọn .
+ Xét hàm số trên .
+ Từ bảng biến thiên ta thấy (*).
+ Thay vào trong bất đẳng thức (*), cộng vế theo vế ta có điều phải chứng minh.
	Yêu cầu học sinh thử giải lại các ví dụ theo phương pháp trên.
	Không chỉ trong các bất đẳng thức đại số, mà ngay cả trong một số bất đẳng thức lượng giác, phương pháp tiếp tuyến còn có nhiều áp dụng. Ta xét ví dụ sau:
« Ví dụ 18. Chứng minh rằng
.
, .
 nhọn.
Lời giải
1) 
Nhận xét: Đây là một trong những bất đẳng thức cơ bản của tam giác. Học sinh hoàn toàn có thể giải quyết theo kiến thức lớp 11 nhờ sử dụng bất đẳng thức 
.
Khi đó, ta có 
Vậy .
Tuy nhiên, trong phương pháp trên học sinh cần nhớ được bất đẳng phụ. Do đó, phương pháp tiếp tuyến ta thấy tương đối dễ vận dụng đối với học sinh:
+ PTTT của đồ thị hàm số tại điểm là .
+ Xét hàm số trên . 
Từ bảng biến thiên (*).
+ Thay bởi trong (*) và cộng các BĐT theo vế ta có đpcm.
2) 
+ PTTT của đồ thị hàm số tại là .
+ Xét hàm số trên . 
Từ bảng biến thiên 
 (*).
+ Thay bởi trong (*) và cộng các BĐT theo vế ta có đpcm.
3)
Cách 1.
+ PTTT của đồ thị hàm số tại là .
+ Xét hàm số trên . 
Từ bảng biến thiên (*).
+ Thay bởi trong (*) và cộng các BĐT theo vế ta có đpcm.
Cách 2.
Áp dụng đẳng thức trong tam giác ta có 
 nhọn.
Áp dụng bất đẳng thức TBC-TBN 
 đpcm.
« Ví dụ 19. Chứng minh .
Lời giải
Cách 1.
+ Viết lại bất đẳng thức cần chứng minh dưới dạng .
+ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm là .
+ Xét hàm trên .
+ Từ bảng biến thiên (đpcm).
Cách 2.
+ Áp dụng đẳng thức cơ bản trong tam giác 
+ Theo chứng minh ở Ví dụ 18, ta có .
1.3 Bài tập tự luyện
Cho và . Chứng minh .
Cho thỏa mãn . Chứng minh .
Cho và . Chứng minh 
 .
Cho và . Chứng minh 
 .
Cho và . Chứng minh .
Cho và . Chứng minh 
 .
Cho và . Chứng minh .
Cho . Chứng minh .
Cho . Chứng minh .
Cho . Chứng minh .
Cho . Chứng minh .
Chương II
KHAI THÁC TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ Y = AX + B
TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
2.1 Kiến thức chuẩn bị
Cho hàm số . Nếu xét trên đoạn thì đồ thị của nó là một đoạn thẳng có hai đầu mút là hai điểm và . Do đó,
.
.
.
.
2.2 Một số ví dụ minh họa
«Ví dụ 1. Cho . Chứng minh .
Lời giải
+ Ycbt ,.
.
+ Mà ; ,.
Do đó, (đpcm).
«Ví dụ 2. Cho thỏa mãn . Chứng minh .
Lời giải
	Bài toán trên đã xuất hiện nhiều trong các tài liệu và đều được giải theo phương pháp ứng dụng đạo hàm. 
Vì vai trò bình đẳng ngang nhau của các biến nên việc chọn phần tử nhỏ nhất (lớn nhất) có thể làm cho giả thiết của bài toán được sáng tỏ thêm hay như được cho thêm giả thiết. Tuy nhiên, việc đánh giá để qui về một biến cũng không hề đơn giản. Ta xem lại cách giải sau:
Cách 1. 
+ Vì vai trò của bình đẳng nên ta luôn có thể giả sử .
+ Ta có 
 	 (vì )
+ Xét hàm , với . Lập bảng biến thiên, tìm GTLN của hàm trên , ta có điều phải chứng minh.
Cách 2.
+ Ycbt 
.
+ , 
+ .
Ta có điều phải chứng minh.
	Trong cách giải trên, khi quan sát bất đẳng thức cần chứng minh ta thấy có thể qui về hàm số bậc cao nhất là 1, với biến , tham số . Khi đó, bài toán có hai tham số, mà việc khai thác điều kiện cho hai tham số trong từng trường hợp tại , hoặc tại không phải học sinh nào cũng phát hiện được. Do đó, ta có thể hướng dẫn học sinh sử dụng những biến đổi đại số cơ bản để đưa về hàm số chỉ còn chứa một tham số như Cách 3 sau đây:
Cách 3. 
+ Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh về dạng
 .
+ Ycbt với , .
	.
+ Ta có ,
,.
Ví dụ 3. Cho thỏa mãn . Chứng minh .
Lời giải
Cách 1. 
+ Không mất tính tổng quát, ta giả sử .
+ Khi đó, 
 (vì )
+ Ta đi tìm GTNN của hàm số trên 
Cách 2.
Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh về dạng 
+ Ycbt với ,
.
+ Mà ; ,.
Do đó, điều phải chứng minh.
«Ví dụ 4. Cho thỏa mãn . Chứng minh .
Lời giải
Cách 1.
+ Vì vai trò của bình đẳng nên ta luôn có thể giả sử 
+ Khi đó, 
 (vì )
+ Xét hàm số , với . Tìm GTNN của hàm trên ta có điều phải chứng minh.
Cách 2.
+ Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh về dạng 
+ Ycbt với 
+ Ta có ; , đpcm.
«Ví dụ 5. Cho . Chứng minh .
Lời giải
+ Ycbt ,.
	.
+ Mà .
+ Ta cần chứng minh .
+ Ta xét bài toán: Chứng minh (1).
	Ta thấy bài toán (1) tương tự bài toán ban đầu, tuy nhiên đã giảm bớt đi một biến. Do đó, tiếp tục cách làm trên ta có thể giải quyết triệt để được bài toán ban đầu.
Ycbt (1) 
.
+ Mà 
Ta có điều phải chứng minh.
	Một số bài toán, không phải lúc nào cũng có sẵn dạng hàm số . Tuy nhiên, trong một số trường hợp, nhờ những biến đổi, đánh giá bất đẳng thức đại số thích hợp ta có thể áp dụng tính chất hàm số trong chứng minh. Ta xét các ví dụ sau:
«Ví dụ 6. Chứng minh 
Lời giải
+ Không mất tính tổng quát ta giả sử . Khi đó
+ Ta chứng minh .
+ , ta có
Ta có điều phải chứng minh.
«Ví dụ 7. Cho . Chứng minh .
Lời giải
+ Biến đổi bất đẳng thức về dạng 
+ Vì nên , suy ra 
.
+ Ta đi chứng minh .
 với , .
.
+ Ta có 
Vậy (đpcm).
«Ví dụ 8. Cho và . Chứng minh .
Lời giải
+ Không mất tính tổng quát ta giả sử .
Khi đó, 
+ Ycbt 
.
+ Ta có ,.
 	 . 
Vì thì nên 
Vậy ta có điều phải chứng minh.
	Ta đã biết, bất đẳng thức xuất hiện rất nhiều trong các bài toán (có thể trực tiếp hoặc gián tiếp), và ở một số trường hợp nhất định việc khai thác tính chất của hàm số để chứng minh bất đẳng thức vẫn còn hiệu quả trong việc giải quyết lớp bài toán đó. Ta xét một số ví dụ sau:
Ví dụ 9. 
Tìm để hàm số nghịch biến trên .
Tìm để hàm số đồng biến trên .
Lời giải
1)
+ Ycbt 
 + Do đồ thị hàm số là một đoạn thẳng nên ycbt .
2) Học sinh trình bày tương tự.
Ví dụ 10. Tìm để bất phương trình đúng với mọi .
Lời giải
+ Đặt 
+ Ycbt Tìm để 
Ví dụ 11. Chứng minh với mọi thì , với mọi .
Lời giải
+ Ycbt .
 (1).
+ Vì là hàm bậc nhất với hệ số góc nên 
 (luôn đúng) Điều phải chứng minh.
2.3 Bài tập tự luyện
Cho là ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 1. Chứng minh .
Cho và . Chứng minh .
Cho và . Chứng minh .
Cho thỏa mãn . Chứng minh rằng .
Cho thỏa mãn . Chứng minh rằng .
 Cho thỏa mãn . Chứng minh .
Chứng minh rằng với mọi thì , với mọi .
KẾT LUẬN
Sáng kiến đã có các kết quả chính sau đây:
1. Sáng kiến đã trình bày hai phương pháp chứng minh bất đẳng thức thông qua khai thác hai tính chất của hàm số.
 2. Kết quả thực nghiệm cho thấy tính khả thi và hiệu quả của sáng kiến. Việc tự giải quyết hệ thống bài tập giúp học sinh hiểu rõ bản chất, phương pháp chứng minh bất đẳng thức. Từ đó, học sinh có thể tự xây dựng các bài toán tương tự, hoặc các bài toán mới. Chính điều đó kích thích sự say mê, tìm tòi khám phá, nâng cao năng lực tự học ở mỗi học sinh. Sáng kiến được kết tinh những kinh nghiệm đã được kiểm chứng qua các hoạt động giảng dạy các lớp ôn bồi dưỡng HSG trong nhiều năm và đã đạt được những kết quả đáng khích lệ. 
3. Xây dựng bộ tài liệu tham khảo bổ ích cho các em học sinh ôn thi ôn thi học sinh giỏi THPT, cũng như các bạn đồng nghiệp. 
Tuy nhiên chắc chắn nội dung sáng kiến không tránh khỏi những khiếm khuyết nhất định. Rất mong nhận được sự góp ý, phê bình của các thầy, cô và bạn bè đồng nghiệp.
Xác nhận của BGH
Tổ trưởng chuyên môn
Tống Thị Nguyệt
Ninh Bình, ngày 5 tháng 5 năm 2014
NGƯỜI VIẾT SÁNG KIẾN
Nguyễn Tử Phúc
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Đoàn Quỳnh (Chủ biên), Tài liệu chuyên toán Giải tích 12, NXBGD.
Đoàn Quỳnh (Chủ biên), Tài liệu chuyên toán Bài tập Giải tích 12, NXBGD.
Trần Lưu Cường, Toán Olympic cho sinh viên, NXBGD 1998.
Trần Phương, Những viên kim cương trong bất đẳng thức toán học, NXB Tri Thức.
Trần Phương, Tuyển chọn các chuyên đề luyện thi Đại học môn Toán Hàm số, NXBĐHQGHN.
Phạm Kim Hùng, Sáng tạo bất đẳng thức, NXB Tri Thức.
Tạp chí THTT, số 408, tháng 6/2011.
 Tuyển tập 30 năm tạp chí THTT, NXBGD 1998.
Tuyển tập đề thi Olympic 30/4, lần XV, NXBGD 2009.
Tuyển tập đề thi Olympic 30/4, lần XVI, NXBGD 2010.
Tuyển tập đề thi Olympic 30/4, lần XVII, NXBGD 2011.
Tuyển tập đề thi Olympic 30/4, lần XVIII, NXBGD 2012.
Tài liệu trên mạng Internet qua một vài trang web sau 
www.mathlinks.ro/
www.toanthpt.net/ 
www.mathvn.com/