Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán hình

ệc vận dụng phương pháp toạ độ vào giải toán.
2. Khó khăn
- Lực học của học sinh trong một lớp thường có sự chênh lệch lớn nên việc thực hiện giảng dạy toán trên lớp cũng gặp khó khăn trong việc làm sao cho mọi đối tượng học sinh trong lớp đều nắm vững phương pháp qua tiết dạy.
- Không ít học sinh chưa nhận thức đúng về tầm quan trọng của việc chủ động phân tích đề bài, dựng hình và định hướng phương pháp giải quyết bài toán mà các em chỉ làm một cách máy móc, lập luận thiếu căn cứ, không chính xác, dôi lúc không phân biệt được đâu là giả thiết, đâu là phần cần chứng minh. Do đó kết quả không như mong đợi.
- Trong phân công giảng dạy hàng năm, tôi thường được nhận lớp 12 trong khi các em này thường học toán lớp 10 và 11 với những giáo viên khác nên cũng có khó khăn nhất định trong việc làm quen và truyền dạt kiến thức đến các em .Để các em mau chóng tiếp cận được phương pháp giảng dạy mới, đòi hỏi sự nỗ lực và sự quyết tâm của cả thầy và trò.
3. Số liệu thống kê.
Qua thống kê sơ bộ điểm môn toán của 2 lớp; ;năm học 2005 - 2006, lớp; năm học 2006 - 2007, cụ thể là kết qủa 2 bài kiểm tra như sau :
+ Bài kiểm tra một tiết (2005 - 2006 ), trong 92 bài kiểm tra có : 
6 bài diểm 8	tỷ lệ 6,5 %
13 bài điểm 6, 7 	tỷ lệ 14,1 %
21 bài điểm 5 	tỷ lệ 22,8 %
52 bài điểm dưới 5	tỷ lệ 56,6 %
+ Bài kiểm tra một tiết (2006 - 2007 ), trong 91 bài kiểm tra có :
7 bài diểm 8	tỷ lệ 7,7 %
19 bài điểm 6, 7 	tỷ lệ 20,9 %
26 bài điểm 5 	tỷ lệ 28,6 %
39 bài điểm dưới 5	tỷ lệ 42,8 %
Trong các lớp tôi được nhà trường phân công giảng dạy có đến 60 % học sinh có kết quả môn Toán cuối năm học 2004 - 2005 xếp loại trung bình yếu. Qua tìm hiểu, tôi cảm nhận được rằng trong số những em có học lực yếu cũng có những em có kỹ năng tính toán tương đối tốt nhưng khả năng vận dụng kiến thức đã học vào giải toán còn qúa hạn chế .
III. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
Cơ sở lý luận
Vào năm 1637, nhà toán học kiêm triết học Pháp là Réné Descartes đã cho xuất bản cuốn “ La Géométrie ” với nội dung xây dựng hình học bằng phương pháp toạ độ đánh dấu một bước tiến mạnh mẽ của toán học. Descartes là nhà toán học thiên tài đã khai sinh ra phương pháp toạ độ. Phương pháp toạ độ ra đời đã giúp con người dùng ngôn ngữ đại số thay cho ngôn ngữ hình học, giúp con người đạt đến đạt đến đỉnh cao của sự khái quát hoá và trừu tương hoá toán học trong nhiều lĩnh vực.
Quy trình dạy học được hiểu là tổ hợp các thao tác của giáo viên và học sinh được tiến hành theo một trình tự nhất định trên một đối tượng nhận thức nào đó. Chẳng hạn, quy trình bốn bước của Polya để giải một bài toán gồm :
Bước 1 : Tìm hiểu nội dung bài toán 
Bước 2 : Xây dựng thuật giải
Bước 3 : Thực hiện thuật giải
Bước 4 : Kiểm tra, nghiên cứu lời giải
	Một trong những nhiệm vụ dạy học môn toán chương trình phổ thông đặc biệt là dạy hình học là hướng dẫn cho học sinh sử dụng phương pháp toạ độ vào giải toán, nghĩa là biết vận dụng linh hoạt và sáng tạo các kiến thức về toạ độ điểm, toạ độ vectơ và các công thức có liên quan vào giải toán. Để giải một bài toán bằng phương pháp toạ độ ta thực hiện theo các bước sau :
Bước 1 : Thực hiện việc chọn hệ trục toạ độ phù hợp, chuyển bài toán 
đã cho về bài toán hình học giải tích
Bước 2 : Giải bài toán hình học giải tích nói trên. 
Bước 3 : Chuyển các kết luận của bài toán hình học giải tích sang các 
 tính chất hình học tương ứng.
Tuy nhiên qua thực tế , việc học và nắm vững các bước trên để vận dụng vào giải toán thật không hề đơn giản đối với học sinh, vì đây là một qúa trình trừu tượng hoá và khái quát hóa trong việc rèn luyện tư duy toán học. Do vậy, thông qua một số bài toán cụ thể để hướng dẫn các em làm quen dần với việc giải toán bằng phương pháp toạ độ.
Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài
	Trong chương I - § 4 và chương II - § 2 sách giáo khoa (SGK) hình học 10, Trần Văn Hạo chủ biên, NXBGD 1997, ta có các định nghĩa : 
Trong mặt phẳng tọa độ cho :
 và , ta có :
 cùng phương với 
M
M1
M2
O
Trong chương II - § 2 và § 3 sách giáo khoa (SGK) hình học 12, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000, ta có thêm các định nghĩa : 
Trong không gian với hệ tọa độ cho :
 và , ta có :
[]
 cùng phương với []
M1
M
O
Trong khuôn khổ nội dung chuyên đề này, tôi xin phép được trình bày các nội dung sau :
	a. Dùng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để giải bài toán hình.
Bài 1. Cho tam giác cân ABC đỉnh A. Gọi H là trung điểm của BC, D là hình chiếu của H trên AC , M là trung điểm của HD. Chứng minh rằng AM vuông góc với BD. (SGK Hình 10, trang 50, Trần Văn Hạo chủ biên, NXBGD 1997 )
	Bài toán này, học sinh thường dùng phương pháp vectơ để chứng minh, cách giải này khá phức tạp. Tuy nhiên khi sử dụng phương pháp toạ độ bài toán sẽ đơn giản hơn, học sinh dễ tiếp thu hơn.
Hướng dẫn
Bài giải
Dựng hình : 
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc như sau : ; ; ; ; 
Ta chứng minh : 
A
M
D
O
H
C
B
Ta có : 
Toạ độ trung điểm M của HD
Toạ độ vectơ 
Toạ độ vectơ 
Tính : 
 Kết luận
 Vì (đpcm )
Bài 2. Từ một điểm P trong một hình tròn ta kẻ hai dây cung APB và CPD vuông góc với nhau tại P. Chứng minh rằng đường chéo PQ của hình chữ nhật APCQ vuông góc với đường thẳng BD.
Hướng dẫn
Bài giải
Dựng hình : 
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc như sau : 
 ; ; ;; 
Ta chứng minh : 
Q
C
O
p
A
B
D
Ta có : ; 
 ; 
Theo hệ thức lượng trong đường tròn ta có : 
Toạ độ vectơ 
Toạ độ vectơ 
Tính : 
Kết luận
Vì ( đpcm )
Bài 3. Cho tam giác ABC vuông góc tại A, các cạnh góc vuông là b và c. M là một điểm trên cạnh BC sao cho góc BAM .Chứng minh 
( SGK Hình 10, trang 60, Trần Văn Hạo chủ biên, NXBGD 1997 )
Hướng dẫn
Bài giải
Dựng hình : 
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc như sau : ;;; 
Ta chứng minh : 
C
M
A
O
B
 và cùng phương ? 
Ta có : 
 cùng phương 
 Ta có : 
 (đpcm) 
Bài 4. Cho hai điểm A, B cố định. Tìm tập hợp các điểm M sao cho MA = 2MB
Hướng dẫn
Bài giải
Dựng hình : 
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc như sau : 
 ; 
Giả sử :
Giả thiết : MA = 2MB 
M
A
I
–
B
O
Tính : MA và 2MB 
Từ giả thiết ta có : 
Kết luận
Vậy tập hợp các điểm M cần tìm là đường tròn tâm bán kính 
Bài 5. Cho đường tròn tâm O bán kính bằng a, có hai đường kính vuông góc với nhau là AB và CD.Trên đoạn CO lấy điểm N và trên đoạn OD lấy điểm M sao cho . Đường thẳng AM cắt đường tròn tại P. Hãy xét xem khi N thay đổi trên đoạn CO, tam giác ANP có vuông tại N không ? Nếu tam giác ANP vuông thì khi đó điểm N nằm ở vị trí nào ?
Hướng dẫn
Bài giải
Dựng hình : 
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc như sau : 
Đặt với 
 Khi đó : 
Tìm hệ số góc của 2 đường thẳng AN và NP
C
N
O
M
B
A
D
Hệ số góc của đường thẳng AN
Viết phương trình đường thẳng AM ( dạng phương trình đường thẳng theo đoạn chắn )
Tìm giao điểm P của AM với 
đường tròn tâm O 
Toạ độ giao điểm P của AM với đường tròn tâm O là nghiệm của hệ phương trình : 
Giải hệ phương trình : 
Rút từ (1) thay vào (2) ta được : 
Thay vào (1) ta được Đây chính là toạ độ điểm A
 Với ( loại )
Thay vào (1) 
ta được 
Hệ số góc của đường thẳng PN
vuông tại N ?
vuông tại N 
Vậy :
Kết luận 
 vuông tại N trùng với điểm C hoặc trùng với gốc toạ độ O. Các trường hợp khác không vuông tại N 
Bài 6. Cho hai hình vuông ABCD và BKMN có chung đỉnh B và đỉnh M nằm trên DB kéo dài. Chứng minh rằng trung tuyến BE của tam giác ABK nằm trên đường thẳng chứa đường cao BH của tam giác BNC
Hướng dẫn
Bài giải
Dựng hình : 
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc như sau : ; ; 
Giả sử chọn : 
; 
Toạ độ trung điểm 
 Ta chứng minh : 
D
A
E
O
K
C
B
H
M
N
Toạ độ các vectơ và 
Ta có : ; 
Tính . 
.
Kết luận
Vậy hay BE nằm trên đường thẳng chứa đường cao BH của tam giác BNC 
 b. Dùng phương pháp tọa độ trong không gian để giải bài toán hình.
Giải toán hình học phẳng đã khó, giải toán hình học không gian lại càng khó hơn, các em lúng túng từ việc phân tích đề, dựng hình đến việc lập luận trình bày bài giải. Do vậy, với việc sử dụng phương pháp toạ độ để giải toán giúp các em tự tin hơn, dể dàng tiếp thu và chủ động giải quyết một bài toán. Để giúp các em hiểu và vận dụng một cách linh họat và chính xác, tôi đã giới thiệu với các em một số cách chọn hệ trục tọa độ như sau :
 Đối với hình lập phương hoặc hình hộp chữ nhật 
Với hình lập phương . 
Chọn hệ trục tọa độ sao cho : 
 Với hình hộp chữ nhật. 
Chọn hệ trục tọa độ sao cho : 
B’
A’
C’
D’
B
A
D
C
 Đối với hình hộp đáy là hình thoi 
Chọn hệ trục tọa độ sao cho : 
- Gốc tọa độ trùng với giao điểm O của hai đường chéo của hình thoi ABCD
- Trục cao đi qua 2 tâm của 2 đáy
A
B
C
D
D’
C
A’
B’
O
O’
Đối với hình chóp tứ giác đều S.ABCD 
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ 
Giả sử cạnh hình vuông bằng a và đường cao 
Chọn O(0;0;0) là tâm của hình vuông
Khi đó : 
S
O
A
D
C
B
Bài 7. Cho tứ diện OABC có các tam giác OAB,OBC,OCA đều là tam giác vuông tại đỉnh O. Gọi lần lượt là góc hợp bởi các mặt phẳng (OBC),(OCA),(OAB) với mặt phẳng (ABC).Chứng minh rằng : 
( SGK Hình 11, trang 96, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000, SGK Hình 12, trang 106, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000 ) 
 Hướng dẫn
 Bài giải
Dựng hình : 
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc như sau : ; ; ; 
O
C’
C
B
A
Tìm vectơ pháp tuyến của : 
Mặt phẳng (ABC) 
Mặt phẳng (OBC) 
Mặt phẳng (OCA) 
Mặt phẳng (OAB)
 vì : vì : vì : 
Sử dụng công thức tính góc giữa hai mặt phẳng: 
Kết luận
Bài 8. Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng(ABC); ; ; . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) ( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối D năm 2002 )
Hướng dẫn
Bài giải
Dựng hình : 
 có : nên vuông tại A Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc như sau ; ; ; 
Tính : 
I
H
D
C
B
A
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (BCD)
 Phương trình tổng quát của mặt phẳng (BCD) 
Sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng 
Bài 9. Cho hai nửa đường thẳng và vuông góc với nhau và nhận là đoạn vuông góc chung. Lấy điểm M trên và điểm N trên sao cho . Xác định tâm I và tính theo bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN.Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và BI
Hướng dẫn
Bài giải
Dựng hình : 
Dựng 
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc như sau : ; ; 
Toạ độ trung điểm I của MN 
1a. Xác định tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN Chú ý : 
B
N
A
I
M
Hai tam giác AMN và BMN là hai tam giác vuông nhận MN là cạnh huyền nên trung điểm của MN là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN 
 1b.Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN
Ta có : 
 Bán kính mặt cầu : 
 2. Tính 
Chứng minh AM và BI chéo nhau 
Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Ta có : ; ; 
Bài 10. Bằng phương pháp toạ độ hãy giải bài toán sau :
Cho hình lập phương có cạnh bằng a.
a.Chứng minh rằng đường chéo vuông góc với mặt phẳng 
b.Chứng minh rằng giao điểm của đường chéo và mặt phẳng là trọng tâm của tam giác .
c.Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng và 
d.Tìm cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng và 
( SGK Hình 12, trang 112, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000 ) 
Hướng dẫn
Bài giải
Dựng hình : 
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc như sau : ; 
 ; 
 ; 
 ; 
G
–
C’
A’
B’
D’
D
C
B
A
a. Chứng minh : Nếu 
Ta có : 
Vì Nên 
b. Chứng minh : G là trọng tâm của tam giác Phương trình tham số của đường thẳng 
Phương trình tổng quát của mặt phẳng 
Trong đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 
Gọi Toạ độ giao điểm G của đường thẳng và mặt phẳng là nghiệm của hệ : (1) 
 Mặt khác : (2) 
So sánh (1) và (2), kết luận 
Vậy giao điểm G của đường chéo và mặt phẳng là trọng tâm của tam giác 
c. Tính 
 Phương trình tổng quát của mặt phẳng Trong đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 
Ta có : 
 // 
d. Tính 
Vec tơ pháp tuyến của là 
Vectơ pháp tuyến của : 
Vec tơ pháp tuyến của là Vectơ pháp tuyến của : 
Bài 11. Cho hình lập phương có cạnh bằng a.
Chứng minh hai đường chéo và của hai mặt bên là hai đường thẳng chéo nhau. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và 
Hướng dẫn
Bài giải
Dựng hình : 
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc như sau : 
 ; ; ; 
 ; 
 ; 
B
C’
B’
A’
D’
D
C
A
Chứng minh và chéo nhau, ta chứng minh ba vectơ không đồng phẳng.
 Cần chứng minh 
tích hỗn hợp của ba vectơ khác 0
 Ta có : 
 ; 
 ba vectơ không đồng phẳng. 
hay và chéo nhau. 
Tính 
Bài 12. Trong không gian với hệ toạ độ cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi. AC cắt BD tại gốc toạ độ O. Biết ; ; . Gọi M là trung điểm của SC .
	1. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM
	2. Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại N. 
 	 Tính thể tích khối chóp S.ABMN. 
 ( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối A năm 2004 )
Hướng dẫn
Bài giải
Dựng hình : 
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc như sau : ; ; ; 
Ta có : 
; ; ; 
B
 A
C
D
S
N
M
O
1a.Tính góc giữa SA và BM 
 Gọi là góc giữa SA và BM Sử dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng.
Ta có : 
1b. Tính khoảng cách giữa SA và BM
Chứng minh SA và BM chéo nhau Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
 ; 
 2. Tính thể tích khối chóp S.ABMN. 
 Dễ dàng nhận thấy : 
Trong đó : 
 N là trung điểm của SD Toạ độ trung điểm N ; ; 
Kết luận
Vậy (đvtt)
Bài 13. Trong không gian với hệ toạ độ cho hình lăng trụ đứng với ; ; ; .
Tìm toạ độ các đỉnh ;. Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng 
Gọi M là trung điểm của . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, M và song song với . 
 ( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối B năm 2005 )
Hướng dẫn
Bài giải
Dựng hình : 
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc như sau :; 
Với : 
 ; ; ; 
 Toạ độ trung điểm M của 
A1	
 A	
B	
C	
C1	
O	
B1	
–	
M	
Toạ độ hai đỉnh ;.
Ta có : 
Phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng 
 Viết phương trình mp 
 Tìm bán kính của mặt cầu (S) 
Vectơ pháp tuyến của mp 
 Phương trình tổng quát của mp :
 Bán kính của mặt cầu (S) : 
Phương trình mặt cầu (S) :
(S) 
 Phương trình mặt phẳng (P) : 
Tìm vectơ pháp tuyến của (P) ; 
Vectơ pháp tuyến của (P) : 
Phương trình mặt phẳng (P) : 
Bài 14. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh . Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo ) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.
 ( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối B năm 2007 )
Hướng dẫn
Bài giải
Dựng hình :
 Gọi O là tâm của hình vuông ABCD 
 Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc như sau :
; S ; 
A ; C D ; B
O
S
E
M
N
P
D
C
B
A
 Chứng minh MN vuông góc với BD
 Vì : 
 Tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC. 
Chứng minh MN và AC chéo nhau 
 Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 
Toạ độ trung điểm P của SA : P; E;M;
N 
Ta có : 
 Vì : 
 MN và AC chéo nhau 
IV. KẾT QỦA 
Song song với việc tiếp thu những kiến thức về toạ độ điểm, tọa độ vectơ, phương trình đường và mặt, các em đã chủ động hơn, tự tin hơn khi tiếp xúc với bài toán hình, đặc biệt với bài toán hình học không gian qua việc sử dụng công cụ là dùng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng hoặc trong không gian.
Thật vậy, trong các tiết ôn tập cuối năm 12 chuẩn bị cho thi tốt nghiệp năm 2007, học sinh lớp 12 đã giải một số đề thực nghiệm liên quan đến việc sử dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán hình như sau :
Bài 1. Cho hình lập phương có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của các cạnh AD và BB’. Chứng minh : 
Bài 2. Cho tứ diện ABCD có AB,AC.AD đôi một vuông góc với nhau tại A. Gọi
M là một điểm bất kỳ trong tam giác BCD và lần lượt là góc giữa AM 
và các mặt phẳng (ABC),(CAD),(DAB).
Chứng minh rằng : 
Kết qủa như sau :
 Bài
 Số HS làm bài
 Số HS đạt yêu cầu
 Đạt tỷ lệ %
1
87
71
81,6
2
85
66
77,6
Tuy kết qủa chưa thật như mong đợi, nhưng với trách nhiệm của một người thầy, trong một chừng mực nào đó tôi có thể bớt băn khoăn khi học trò của mình 
đã bớt ngán ngại khi gặp một bài toán hình và từng bước đã biết vận dụng phương pháp toạ độ để giải bài toán hình .
V. BÀI HỌC KINH NGHIỆM 
Để giúp học sinh học tốt môn toán nói chung ,qua thực tế giảng dạy và thông qua việc hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp toạ độ để giải bài toàn hình, tôi đã đúc kết được một số kinh nghiệm sau :
1. Học sinh cần có sự chuẩn bị bài trước khi đến lớp. Bởi vì khi chuẩn bị bài học sinh có dịp làm quen với kiến thức mới, quy luật nhận thức của con người không phải một lần là hoàn thành mà trải qua từ không biết đến biết, từ đơn giản đến phức tạp. Chuẩn bị bài giúp học sinh xác định được các ý cơ bản cần chú ý khi học tại lớp, làm cơ sở đề xuất ý kiến với giáo viên về những vương mắc có liên quan đến bài học.
2. Hướng dẫn học sinh phát huy khả năng quan sát. Quan sát trong toán học nhằm hai mục đích: thứ nhất là thu nhận kiến thức mới, thứ hai là vận dụng kiến thức để giải bài tập. Mỗi khi dựng hình, tôi yêu cầu học sinh chú ý từng thao tác và mối quan hệ giữa các thao tác nhằm từng bước nâng cao năng lực nhận thức trước một vấn đề nào đó dù đơn giản hay phức tạp .
3. Nắm vững phương pháp nhớ khoa học. Trí nhớ là chỉ sự việc đã trải qua còn giữ lại được trong đầu và qúa trình tâm lí tái hiện. Sự việc đã trải qua nói ở đây là những sự việc người ta cảm biết được, đã suy nghĩ hoặc đã qua thể nghiệm.Việc làm lại các bài tập đã được hướng dẫn và giải các bài tương tự cũng là một quá trình tái hiện, là mục đích cuối cùng của trí nhớ. Điều này có ý nghĩa rất lớn với việc học và giải bài toán hình học.
4. Bồi dưỡng cho học sinh thói quen tính toán chính xác. Thể hiện qua những nội dung như : đọc kỹ đề, tính toán tỉ mỉ, xác định toạ độ các điểm hợp lý, kiên trì kiểm tra lại kết quả và trình bày bài toán một cách lôgích .
VI. KẾT LUẬN
Tôi luôn nghĩ rằng : sự tiến bộ và thành đạt của học sinh luôn là mục đích cao cả, là nguồn động viên tích cực của người thầy. Do vậy, tôi mong ước được chia sẻ với quý đồng nghiệp một số suy nghĩ như sau :
	Đối với học sinh, cần kiên nhẫn dìu dắt, động viên các em; đừng vội nóng nảy kẻo chúng sợ mà nảy sinh tư tưởng mặc cảm nghĩ rằng mình bị bỏ rơi; hãy tìm ra những điều tốt của chúng để kịp thời động viên chúng, tạo điều kiện cho chúng ngày càng tiến bộ, từng bước chủ động, tự tin hơn trong học tập. 
	Hướng dẫn học sinh giải toán cần có phương pháp phù hợp với từng đối tượng học sinh. Vì thực tế dạy toán là dạy hoạt động toán học cho học sinh, trong đó giải toán là hình thức chủ yếu. Do vậy, ngay từ khâu phân tích đề, dựng hình, định hướng cách giải cần gợi mở, hướng dẫn cho các em cách suy nghĩ, cách giải quyết vấn đề đang đặt ra, nhằm từng bước nâng cao ý thức suy nghĩ độc lập, sáng tạo của các em.
	Điều cuối cùng là làm thế nào để học sinh cảm thấy hứng thú và say mê khi học môn toán ? Thiết nghĩ đây không phải nỗi ưu tư của riêng tôi, ưu tư này cũng chính là mong ước của nhiều đồng nghiệp và học sinh. Giải quyết những ưu tư này đòi hỏi nơi giáo viên không chỉ lòng nhiệt tình với nghề, với bộ môn mà còn phải có nghệ thuật ứng xử, có phương pháp giảng dạy tốt và trên hết là sự cảm thông, thấu hiểu từng hoàn cảnh của học sinh. Đây cũng chính là động lực thôi thúc người thầy ngày càng vươn lên, vững vàng hơn trên bục giảng . 
Rất mong nhận được nhiều sự góp ý, sẻ chia của qúy đồng nghiệp.
VII. TÀI LIỆU THAM KHẢO
Hình học 10 ( sách giáo khoa ) - Trần Văn Hạo (chủ biên), Vũ Thiện Căn - Cam Duy Lễ - NXB Giáo dục, 1997.
Hình học 11 ( sách giáo khoa ) - Văn Như Cương (chủ biên), Trần Đức Huyên -Nguyễn Mộng Hy - NXB Giáo dục, 2000.
Hình học 12 ( sách giáo khoa ) - Văn Như Cương (chủ biên), Tạ Mân - NXB Giáo dục, 2000.
Các bài toán về phương pháp vectơ và phương pháp toạ độ - Nguyễn Mộng Hy - NXB Giáo dục, 1998.
Làm thế nào để học tốt môn Toán - Đào Văn Trung - NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 2001.
Phương pháp toạ độ trong không gian - TS Nguyễn Thái Sơn ( tài liệu bồi dưỡng thường xuyên giáo viên THPT chu kỳ 1997 - 2000 ) - Lưu hành nội bộ, 2000.
Báo Toán học và Tuổi trẻ, số tháng 11/1995 và số tháng 2/1999.
NGƯỜI THỰC HIỆN
 Nguyễn Thanh Lam