Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh khá giỏi lớp 9 giải phương trình nghiệm nguyên hai ẩn

cứu của đề tài là chủ đề phương trình nghiệm nguyên hai ẩn số trong chương trình môn Toán THCS. Trong đề tài này tôi chỉ nghiên cứu các phương trình nghiệm nguyên với hai ẩn số.
	Đối tượng áp dụng của đề tài là học sinh khá, giỏi môn Toán lớp 9 ở các đơn vị ( học sinh tham gia bồi dưỡng giải toán qua mạng )
II- PHẦN NỘI DUNG
1. Thực trạng nội dung cần nghiên cứu:
	Thực tế, qua nhiều năm giảng dạy tại đơn vị, trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi nhận thấy học sinh thường ngại giải phương trình nghiệm nguyên, đặc biệt những phương trình không ở dạng mẫu mực, phương trình nhiều ẩn, những phương trình không giải được bằng những phương pháp giải cơ bản đã được giáo viên hướng dẫn. Học sinh thường lúng túng khi gặp những phương trình có dạng lạ hoặc thoáng nhìn thấy có vẻ phức tạp, những bài toán kiểu như vậy làm giảm hứng thú và tính kiên nhẫn của trò trong quá trình học toán. 
	Có nhiều nguyên nhân dẫn đến học sinh gặp khó khăn khi giải các bài toán về phương trình nghiệm nguyên, trong đó phải nhắc đến những nguyên nhân cơ bản, đó là: học sinh không hiểu thế nào là giải phương trình nghiệm nguyên, không nắm được cách biểu diễn nghiệm của phương trình nhiều ẩn, không nắm chắc hoặc nắm không đầy đủ các phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên; không phân loại được các phương trình nghiệm nguyên, học sinh thường mắc một số sai lầm khi giải phương trình nghiệm nguyên.
	Khi áp dụng đề tài này tại đơn vị, tôi đã tiến hành khảo sát đối với đội tuyển bồi dưỡng giải toán qua mạng lớp 9 về chủ đề phương trình nghiệm nguyên hai ẩn, số liệu thu được như sau:
 Loại điểm
Không biết cách làm
Dưới 5,0
5 – 6, 5
6,5 - 8
8 - 10
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SS : 06
02
33,3
03
50,0
01
16,7
0
0
0
0
Trước thực tế đó, tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiến: “Hướng dẫn học sinh khá giỏi lớp 9 giải phương trình nghiệm nguyên hai ẩn” với mong muốn có thể giúp được học trò cảm thấy hứng thú hơn, tự tin hơn và giải quyết tốt hơn khi gặp các bài toán về phương trình nghiệm nguyên trong phương trình hai ẩn số.
2. Các giải pháp:	
2.1 Giải pháp 1: Hướng dẫn học sinh nắm vững các khái niệm, những thuật ngữ về phương trình nghiệm nguyên
Khi đọc đề toán về phương trình nghiệm nguyên, có nhiều học sinh không hiểu vấn đề là gì, tìm nghiệm nguyên là như thế nào; một số không nắm được cách biểu diễn nghiệm của phương trình nhiều ẩn số ...
Để giải quyết vấn đề trên, giáo viên cần chỉ rõ cho học sinh thông hiểu những khái niệm, thuật ngữ cơ bản, biết được cách biểu diễn nghiệm của phương trình một ẩn, phương trình hai ẩn.
Một số khái niệm, thuật ngữ cơ bản, đó là:
Phương trình hai ẩn là phương trình có dạng f(x;y) = 0
Nghiệm của phương trình hai ẩn f(x;y) = 0 là các bộ số (x; y) thỏa mãn phương trình đó.
Nghiệm nguyên của phương trình hai ẩn f(x;y) = 0 là các bộ số nguyên (x;y ) thỏa mãn phương trình đã cho.
Giải phương trình nghiệm nguyên hai ẩn f(x;y) = 0 là tìm tất cả các bộ số nguyên (x,y) thoả mãn phương trình đó.
	2.2. Giải pháp 2: Phân loại các dạng phương trình nghiệm nguyên.
	Dạng 1: Phương trình bậc nhất 2 ẩn
	Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 12x – 7y = 45 (1)
	Giải
	Ta thấy:	45 M 3; 12x M 3 nên 7y M 3 Þ y M 3
	Đặt	y = 3k (k Î Z)
	Thay vào (1) ta có: 12x – 7 . 3k = 45
	Þ 4x – 7k = 15
	Þ x = 
	Đặt 	t = (t Î Z) Þ k = 4t – 1
	Do đó	x = 2(4t – 1) + 4 – t = 7t + 2
	y = 3k	 = 3(4t - 1) = 12t – 3
	Vậy nghiệm nguyên của phương trình được biểu thị bởi công thức:
t Î Z
	 x = 7t + 2
	 y = 12t – 3 
	Dạng 2: Phương trình bậc 2 hai ẩn
	Ví dụ 1: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
	xy – 2y – 3 = 3x – x2
	Giải
	Cách 1: Biểu thị một ẩn qua ẩn kia:
	y(x - 2) = 3x – x2 +3
	Dễ thấy: x = 2 không thoả mãn phương trình
	Vậy	x ¹ 2 Þ y = 
	 = - x + 1 + 
	Để y Î Z ta phải có:	5 M x – 2
x - 2
- 1
1
- 5
5
y
1 
3
- 3
7
x
- 5
3
3
- 5
	Þ
	Vậy nghiệm nguyên của phương trình là:
	(1; - 5); (3; 3); (- 3; 3); (7; - 5)
	Cách 2: Đưa về phương trình ước số:
	 xy – 2y – 3 = 3x – x2
	 y(x - 2) + x2 – 2x – x + 2 = 5
	Û y(x - 2) + x(x - 2) – (x - 2) = 5
	Û (x – 2) (y + x - 1) = 5
	Ta có:
x - 2
- 1
1
- 5
5
x + y - 1
- 5
5
- 1
1
x
1
3
- 3
7
y
- 5
3
3
- 5
	Vậy nghiệm nguyên của phương trình là:
	(1; - 5); (3; 3); ( - 3; 3); (7; - 5)
	Ví dụ 2: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
	x2 – 2x – 11 = y2 (1)	
	Giải
	 x2 – 2x – 11 = y2
	 x2 – 2x + 1 – 12 = y2
	Û (x - 1)2 – y2 = 12
	Û (x – 1 + y) (x – 1 - y) = 12
	* Vì phương trình (1) chứa y với số mũ chẵn nên có thể giả thiết rằng
 y ³ 0. 
Thế thì: x – 1 + y ³ x – 1 – y
	* Do (x – 1 + y) – (x – 1 - y) = 2y nên x – 1 + y và x – 1 – y cùng tính chẵn lẻ. Tích của chúng bằng 12 nên chúng cùng chẵn.
	Từ đó ta có:
x – 1 + y
6
- 2
x – 1 - y
2
- 6
	Suy ra:
x – 1
4
- 4
x
5
- 3
y
2
2
	Vậy nghiệm của phương trình là:
	(5; 2); (5; - 2); (- 3; 2); (- 3; - 2)
	Dạng 3: Phương trình dạng phân thức
	Ví dụ 1: Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình:
	(1)
	Giải
	Nhân hai vế của phương trình với 6xy, ta có:
	6y + 6x + 1 = xy
	Đưa về phương trình ước số ta có:
	x(y - 6) – 6(y – 6) = 37
	Û	 (x - 6) (y - 6) = 37
	Do vai trò bình đẳng của x và y, giả sử x ³ y ³ 1, 
Thế thì x – 6 ³ y – 6 ³ -5
	Chỉ có một trường hợp xảy ra:
Þ
	x – 6 = 37	 x = 43
 	y – 6 = 1 y = 7
	Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình là: (43; 7); (7; 43)
	Dạng 4: Phương trình dạng mũ
	Ví dụ: Tìm các số tự nhiên x và y sao cho:
	2x + 3 = y2
	Giải
	Ta lần lượt xét các giá trị tự nhiên của x
	* Nếu x = 0 thì y2 = 4 suy ra y = ± 2
	* Nếu x = 1 thì y2 = 5: Phương trình không có nghiệm nguyên.
	* Nếu x ³ 2 ta có: 2x M 4 
	Suy ra vế trái chia cho 4 dư 3; vế phải chia cho 4 dư 0 hoặc 1 ( mâu thuẫn).
	Vậy, phương trình có nghiệm là: (0; 2); (0; -2)
2.3 Giải pháp 3: Hướng dẫn các phương pháp thường dùng để giải phương trình với nghiệm nguyên.
	Khi giải phương trình với nghiệm nguyên do phải lợi dụng các tính chất của tập hợp Z nên ngoài các biến đổi tương đương ta còn dùng đến các biến đổi mà các giá trị của ẩn mới chỉ thoả mãn điều cần chứ chưa phải điều kiện cần và đủ của nghiệm. Trong trường hợp này ta cần kiểm tra các giá trị đó bằng cách thử vào phương trình đã cho. Vì vậy, việc giải phương trình với nghiệm nguyên thường gồm 2 bước:
	Bước 1: Giả sử phương trình có nghiệm nguyên (x0, y0, z0) ta suy ra các ẩn phải nhận các giá trị nào đó.
	Bước 2: Thử lại các giá trị đó của ẩn để khẳng định tập hợp nghiệm của phương trình
	Tuy nhiên để đơn giản khi trình bày không tách riêng hẳn 2 bước. Với các bài toán mà các biến đổi đều tương đương ta không cần bước 2.
	Một phương trình với nghiệm nguyên có thể vô nghiệm, có hữu hạn nghiệm, có vô số nghiệm. Trong trường hợp phương trình có vô số nghiệm, các nghiệm nguyên của phương trình thường được biểu thị bởi một công thức có chứa tham số là một số nguyên.
	Để giải các phương trình nghiệm nguyên trong chương trình THCS ta thường dùng các phương pháp sau đây:
	2.3.1. Nhóm phương pháp dùng tính chia hết
	Phương pháp 1: Phát hiện tính chia hết của một ẩn
	Ví dụ 1: Giải phương trình với nghiệm nguyên
	 2x + 13y = 156	(1)
	Giải: Giả sử x, y là các số nguyên thoả mãn phương trình (1)
	Ta thấy 	156 M 13 và 13y M 13 suy ra 2x M 13
 Mà 2 M 13 x M 13
	Đặt x = 13t (t Î Z) thay vào (1) ta được:
	2. 13t + 13y = 156
	Þ	2t + y = 12
	Þ	 y = 12 – 2t
	Vậy nghiệm nguyên của phương trình được biểu thị bởi công thức:
(t Î Z) 
	x = 13t
	y = 12 – 2t
 Ví dụ 2: Số nghiệm nguyên của phương trình 6x – 3y = 5 là  ? ( Đề thi Violympic Toán 9 vòng 13 năm 2013 )
	Giải
	Ta thấy : vì x nguyên, y nguyên nên 	
6x M 3 và 3y M 3 
=> 6x – 3y M 13
 Mà 6x – 3y = 5 => 5 M 3 Điều này là vô lí
Vậy, số nghiệm nguyên của phương trình trên là 0.
	 Phương pháp2 : Đưa về phương trình đưa về ước số:
	Ví dụ 1: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
	3xy + x – y = 1
	Giải:
	Từ:	3xy + x – y = 1
	Û	3(3xy + x – y) = 3
	Û	9xy + 3x – 3y – 1 = 2
	Û	3x(3y + 1) – (3y + 1) = 2
	Û	(3y + 1) ( 3x – 1) = 2 (phương trình ước số)
	Vì x và y là các số nguyên nên 3x – 1 và 3y + 1 là các số nguyên và là ước của 2. Ta có bảng sau:
3x – 1
- 1
1
- 2
2
3y + 1
- 2
2
- 1
1
x
0
/
/
1
y
- 1
/
/
0
Vậy nghiệm của phương trình là: (0; - 1); (1; 0)
Ví dụ 2: Phương trình x + xy +y = 9 có số nghiệm nguyên là ? ( Đề thi Violympic Toán 9 vòng 14 năm 2014 )
	Giải:
	Từ:	x + xy +y = 9
x(1+y) + y = 9
x ( 1 + y ) +(1 + y) = 10
( x + 1) ( 1 + y ) = 10 ( phương trình ước số )
Vì x, y là các số nguyên nên x + 1 và 1 + y là các số nguyên và là ước của 10.
Ta có bảng sau :
x + 1
1
10
-1
-10
2
5
-2
-5
y + 1
10
1
-10
-1
5
2
-5
-2
x
0
9
-2
-11
1
4
-3
-6
y
9
0
-11
-2
4
1
-6
-3
Vậy, số nghiệm nguyên của phương trình là 8.
	 Phương pháp 3: Tách ra các giá trị nguyên
	Ví dụ: Giải phương trình với nghiệm nguyên
	xy – x – y = 2
	Giải
	Biến đổi phương trình đã cho ta có
	x(y – 1) = y + 2
	* Nếu y = 1 thì ta có 0x = 3 => phương trình vô nghiệm
	Do đó y ¹ 1 
	Þ x = = 1 + 
	Do x Î Z nên Î Z Þ y – 1 Î Ư(3)
	Ta có bảng sau:
y - 1
- 1
1
- 3
3
y
0 
2
- 2
4
x
- 2
4
0
2
	Vậy nghiệm nguyên của phương trình là: (- 2; 0); (4; 2); (0; - 2); (2; 4)
	2.3.2. Nhóm phương pháp xét số dư từng vế
	Ví dụ 1: Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm nguyên
	x2 + y2 = 1999
	Giải
	Vì x2, y2 là các số chính phương nên khi chia cho 4 chỉ có số dư là 0; 1 còn vế phải 1999 chia cho 4 dư 3.
	Vậy phương trình không có nghiệm nguyên
	Ví dụ 2: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình 
	9x – y2 – y + 2 = 0
	Giải
	Biến đổi phương trình ta có: 9x + 2 = y(y + 1)
	Ta thấy vế trái chia cho 3 dư 2 nên y(y + 1) chia cho 3 dư 2
	Do đó chỉ có thể: y = 3k + 1; y +1 = 3k + 2 (k Î Z)
	Khi đó 9x + 2 = (3k + 1) (3k + 2)
	Û 9x = 9k(k + 1)
	Û x = k(k + 1)
	Thử lại: x = k(k + 1), y = 3k + 1 thoả mãn phương trình đã cho
	Vậy phương trình có nghiệm nguyên là 
	(k Î Z)
 x = k(k + 1)
	y = 3k + 1 
	2.3.3. Nhóm phương pháp dùng bất đẳng thức:
	Phương pháp 1: Sắp thứ tự các ẩn
	Ví dụ : Tìm 3 số nguyên dương sao cho tích của chúng gấp đôi tổng của chúng
	Giải
	Gọi 3 số nguyên dương phải tìm là a, b, c. Ta có:
	abc = 2(a + b + c) (1)
	Chú ý rằng các ẩn a, b,c có vai trò bình đẳng trong phương trình nên ta có thể sắp xếp thứ tự giá trị của các ẩn. Chẳng hạn: a £ b £ c.
	Ta có: abc = 2(a + b + c) £ 2. 3c = 6c
	Þ ab £ 6
	* Với ab = 1 Þ a = 1, b = 1 thay vào (1) ta có: 	c = - 4 (loại)
	* Với ab = 2 Þ a = 1, b = 2 thay vào (1) loại
	* Với ab = 3 Þ a = 1, b = 3 thay vào (1) ta có: 	c = 8
	* Với ab = 4 Þ a = 1, b = 4 thay vào (1) ta có: 	c = 5
	 Þ a = 2, b = 2 thay vào (1) ta có:	c = 4
	* Với ab = 5 Þ a = 1, b = 5 thay vào (1) ta có:	c = 4 loại vì a £ b £ c
	* Với ab = 6 Þ a = 1, b = 6 thay vào (1) loại
	 Þ a = 2, b = 3 thay vào (1) loại
	Vậy bộ 3 số phải tìm là: 1; 3; 8 hoặc 1; 4; 5 hoặc 2; 2; 4
	Phương pháp 2: Xét từng khoảng giá trị của ẩn
	Ví dụ: Số các nghiệm nguyên dương của phương trình là ...... ( Đề thi vòng 15 Violympic Toán 9 năm 2014 )
	Giải
	Do vai trò bình đẳng của x, y. Giả sử 1 £ x £ y
	Ta có: 4 (1)
	Do 1 £ x £ y 
	Nên ³ 
	Do đó £ + = 
	Þ x £ 8 (2)
Từ (1) và (2) ta có
x
5
6
7
8
y
20
12
Loại
8
	Vì vai trò của x và y bình đẳng nên các nghiệm nguyên của phương trình là (5; 20); (20; 5); (6; 12); (12; 6); (8; 8)
Vậy, số nghiệm nguyên của phương trình là 5
	Phương pháp 3: Chỉ ra nghiệm nguyên rồi nhận xét.
	Ví dụ: Tìm các số tự nhiên x sao cho 2x + 3x = 35
	* Với x = 0 thì vế trái bằng 2 => x = 0 không phải là nghiệm nguyên của phương trình.
	* Với x = 1 vế trái bằng 5 => x = 1 không phải là nghiệm nguyên của phương trình.
	* Với x = 3 ta có 23 + 33 = 35 thoả mãn phương trình. 
	* Với x > 3 ta có 2x + 3x > 23 + 33 = 35 => 2x + 3x > 35
	Vậy, số tự nhiên x duy nhất thỏa mãn phương trình là x = 3
	Phương pháp 4 : Sử dụng điều kiện r ³ 0 để phương trình bậc 2 có nghiệm.
	Ví dụ: Số nghiệm nguyên của phương trình x + y + xy = x2 + y2 (1) là . ?
 ( Đề thi vòng 16 – Violympic Toán 9 năm 2014 )
	Giải
	Viết (1) thành phương trình bậc 2 đối với x
	x2 – (y + 1)x + (y2 – y) = 0 (2)
	Điều kiện để cần phương trình bậc 2 có nghiệm là r ³ 0 
	r = (x + 1)2 – 4(y2 - y) = y2 + 2y + 1 – 4y2 + 4y
	 = - 3y2 + 6y + 1 = - (3y2 – 6y - 1)
	r ³ 0 Û 3x2 – 6y – 1 £ 0
	 Û 3y2 – 6y +3 – 4 £ 0
	 Þ 3(y - 1)2 £ 4
	 Þ (y – 1)2 £ 1
	Vì y nguyên nên y – 1 nguyên, Vậy ta có bảng sau : 
y – 1
- 1
0
1
y
0
1
2
	* Với y = 0 thay vào (2) ta có: x2 – x = 0 Þ x1 = 0; x2 = 1
	* Với y = 1 thay vào (2) ta có: x2 – 2x = 0 Þ x3 = 0; x4 = 2
	* Với y = 2 thay vào (2) ta có: x2 – 3x + 2 = 0 Þ x5 = 1; x6 = 2
	Thử lại các giá trị trên nghiệm đúng (1)
	Do đó, nghiệm nguyên của phương trình là: (0;0); (1; 0); (0; 1); (2; 1); (1; 2); (2;2)
	Vậy, phương trình (1) có 6 nghiệm nguyên
2.3.4. Nhóm phương pháp dùng tính chất về chia hết của một số chính phương 
 	Phương pháp 1: Sử dụng tính chất về chia hết của một số chính phương
	* Các tính chất thường dùng
	- Các số chính phương không có tận cùng là 2; 3; 7; 8
	- Số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì chia hết cho p2.
	- Số chính phương chia cho 3 có số dư là 0; 1.
	- Số chính phương chia cho 4 có số dư là 0; 1.
	- Số chính phương chia cho 8 có số dư là 0; 1; 4.
	Ví dụ: Tìm các số nguyên x để 9x + 5 là tích của 2 số nguyên liên tiếp
	Giải
	Giả sử 	9x + 5 = n(n + 1) với n Î Z 
	Þ n2 + n – (9x + 5) = 0
	Để phương trình bậc 2 đối với n có nghiệm nguyên, điều kiện cần là r là số chính phương. Nhưng r = 1 + 4(9x + 5) = 36x + 21 M 3 nhưng không chia hết cho 32.
	Vậy 36x + 21 không phải là số chính phương
	Do đó không tồn tại số nguyên n nào để 9n + 5 = n(n + 1) tức là không tồn tại số nguyên x để 9x + 5 là tích của 2 số nguyên liên tiếp.
 Phương pháp 2: Tạo ra bình phương đúng
	Ví dụ: Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm nguyên ? 
	3x2 + 4y2 = 6x + 13 (1)
( Đề thi vòng 17 – Violympic Toán 9 năm 2013 )
	Giải
	Biến đổi: 	 3x2 + 4y2 = 6x + 13
	 Þ	 3x2 – 6x + 3 = 16 – 4y2
	 Û 3(x – 1)2 = 4(4 – y2) (2)
	Từ (2) ta thấy:	4 – y2 ³ 0 hay y2 4 và 4 – y2 M 3 
nên y2 = 1 hoặc y2 = 4
	* Với y2 = 1 khi đó (2) có dạng 3(x – 1)2 = 12
	Þ (x - 1)2 = 4
	Þ x – 1 = ± 2
	Þ x = 3 hoặc x = - 1
	* Với y2 = 4 khi đó (2) có dạng 3(x - 1)2 = 0 Þ x = 1
	Các cặp số: (3;1); (- 1; 1); (3; - 1); (1; - 1); (1; - 2) thoả mãn (2) nên là nghiệm của phương trình đã cho.
Vậy, phương trình (1) có 5 nghiệm nguyên
 	Phương pháp 3 : Xét các số chính phương liên tiếp
	Hiển nhiên giữa 2 số chính phương liên tiếp không có số chính phương nào. Do đó với mọi số nguyên a, x ta có:
	- Không tồn tại x để a2 < x2 < (a + 1)2
	- Nếu a2 < x2 < (a + 2)2 thì x2 = (a + 1)2
	Ví dụ: Chứng minh rằng với mọi số nguyên k cho trước không tồn tại số nguyên dương x sao cho:
	x(x + 1) = k(k + 2)
	Giải
	Giả sử x(x + 1) = k(k + 2) với mọi k Î Z; x nguyên dương ta có:
	 x2 + x = k2 + 2k
	Þ x2 + x + 1 = k2 + 2k + 1 = (k + 1)2
	Do x > 0 nên x2 < x2 + x + 1 = (k + 1)2 (1)
	Cũng do x > 0 nên (k + 1)2 = x2 + x + 1 < x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 (2)
	Từ (1) và (2) suy ra: x2 < (k + 1)2 < (x + 1)2. Vô lý.
	Vậy không tồn tại số nguyên dương x để x(x + 1) = k(k + 2)
2.3.5. Nhóm phương pháp đặt ẩn phụ
a) Đặt ẩn phụ kết hợp với xét tính chia hết của ẩn:
Ví dụ 1: Tìm tất cả các nghiệm nguyên x;y thoả mãn: 
 (I)
 Giải: 
Phương trình đã cho tương đương với: (1)
Đặt : x+y=p 
 x-y=q 
Suy ra : ; 
Thế ; vào (1) ta có : (2)
Dễ thấy : và 
Suy ra p=3k (với )
Thay vào (2) ta có : (3)
Vậy suy ra k=3m (với )
Thay k=3m vào (3) ta có : 
Vì 
 mà Suy ra 
+Với m = 0 thì k = 0, suy ra p = q = 0
 và x = y = 0
Giá trị x = y = 0 không thoả mãn phương trình (I).
+Với m = 1 thì k = 3, suy ra p = 9, q = 
Vậy x = 5, y = 4 hoặc x = 4, y = 5
Do đó , nghiệm của phương trình (I) là (4;5) và (5;4)
 Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau : 
 Giải :
Ta có : 
 và
Đặt x = 3u, y = 3v ( u, v ) . Khi đó ta có :
Tương tự , ta đặt : u = 3t , v = 3k ( t , k ) và ta có : , điều này vô lý.
Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên.
Ví dụ 3: Giải phương trình nghiệm nguyên: 
 Giải: 
Ta có 1820=7.13.20. Từ và
Đặt x = 13u , y = 7v ( u, v ) . 
Phương trình đã cho trở thành : (1)
Suy ra và . Vì u, v nên và .
Thử lại chỉ có thoả mãn (1). 
Vậy (1) có 4 nghiệm (u,v) là (1;1) , (1,-1) , (-1;1) và (-1;-1).
Từ đó suy ra , phương trình đã cho có 4 nghiệm nguyên (x, y) là (13;7) , (-13; 7) , (13;-7) và (-13;-7).
 	b) Đặt ẩn phụ kết hợp với phương pháp đưa về phương trình tích:
Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau: 
 Giải : 
Phương trình đã cho tương đương với : 
Đặt : , ta có : hay 
Hay 
Chỉ có thể xảy ra các trường hợp sau :
Trưòng hợp 1: 
Trường hợp 2: 
Trong cả hai trường hợp trên ta có : 
Trưòng hợp 3: 
Trong cả hai trường hợp trên ta có : 
Trường hợp 5: 
Khi đó ta có hoặc 
Trường hợp 6: và
Khi đó ta có hoặc 
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm nguyên (x, y) như sau : (1;12), (-9;12), (1;-12), (-9;-12), (0;0) , (-8;0) , (-1;0) , (-7;0) , (-4;12) , (-4;-12). 
 	c) Đặt ẩn phụ kết hợp với tạo ra bình phương đủ:
Ví dụ 5: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
 Giải : 
Phương trình đã cho được biến đổi về dạng:
 = x(x+1)(x+2)(x+3) + 1 = (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) + 1
Đặt (m nguyên dương), ta có :
Vậy 
Vì x, y là các số nguyên dương nên phương trình đã cho có vô số nghiệm nguyên dương dạng: (x nguyên dương tuỳ ý)
d) Đặt ẩn phụ kết hợp với xét các số chính phương liên tiếp:
Ví dụ 6: Tìm ngiệm nguyên của phương trình:
 Giải: 
Đặt thì 
Nếu a > 0 thì , nên không là số chính phương.
Vậy hay 
Từ đó suy ra , phương trình có các nghiệm nguyên (x;y) là: (0;0) , (0;-1) , (0;-2) , (0;-3)
III- PHẦN KẾT LUẬN :
	1. Ý nghĩa của đề tài, sáng kiến, giải pháp :
	Bài toán phương trình với nghiệm nguyên là một dạng toán khó đối với học sinh. Để giải loại toán này cần phải biết vận dụng nhiều phương pháp khác nhau một cách linh hoạt. Trên đây là một số giải pháp cơ bản mà trong quá trình giảng dạy thực tế hay được sử dụng để hướng dẫn học sinh. Tóm lại, để hướng dẫn học sinh khá giỏi lớp 9 giải phương trình nghiệm nguyên hai ẩn, tôi thực hiện ba nhóm giải pháp chủ yếu đó là : 
	Nhóm giải pháp 1 : Hướng dẫn học sinh nắm vững các khái niệm, những thuật ngữ về phương trình nghiệm nguyên ;
	Nhóm giải pháp 2 : Phân loại các dạng phương trình nghiệm nguyên hai ẩn ; 
	Nhóm giải pháp 3 : Hướng dẫn các phương pháp cơ bản thường dùng để giải phương trình nghiệm nguyên hai ẩn.
	Qua quá trình hướng dẫn một cách cụ thể như vậy tại đơn vị, tôi nhận thấy học sinh đã biết vận dụng một cách linh hoạt các phương pháp vào giải các bài tập cụ thể từ đơn giản đến phức tạp. Đối với học sinh giỏi các em đã biết sử dụng, kết hợp các phương pháp để giải được các bài toán ở dạng khó hơn. Qua đó giúp học sinh hứng thú khi gặp dạng toán này nói riêng và học môn Toán nói chung.
	Kết quả : 
	Sau khi khảo sát đối với đội tuyển giải toán qua mạng lớp 9 năm 2014 với số lượng 06 em về chủ đề phương trình nghiệm nguyên hai ẩn, kết quả thu được như sau :
Loại điểm
Dưới 5,0
5 – 6, 5
6,5 - 8
8 - 10
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SS : 06
0
0
1
16,7
1
16,7
4
66,6
	2. Kiến nghị, đề xuất 
	Trên đây, tôi đã trình bày một số kinh nghiệm “ Hướng dẫn học sinh khá giỏi lớp 9 giải phương trình nghiệm nguyên hai ẩn ”, kính mong độc giả, các thầy cô giáo và hội đồng khoa học góp ý xây dựng cho đề tài được hoàn chỉnh hơn.
	Tôi xin chân thành cảm ơn !
Quảng Bình, tháng 10 năm 2015
NGƯỜI THỰC HIỆN
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
TÊN ĐỀ TÀI, SÁNG KIẾN, GIẢI PHÁP :
‘‘HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHÁ GIỎI LỚP 9 
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN HAI ẨN"
Quảng Bình, tháng 10 năm 2015
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
TÊN ĐỀ TÀI, SÁNG KIẾN, GIẢI PHÁP:
‘‘HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHÁ GIỎI LỚP 9 
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN HAI ẨN"
 Họ và tên: Dương Văn Dũng
 Chức vụ : Giáo viên
 Đơn vị : THCS Thái Thủy - Lệ Thủy - Quảng Bình
	Quảng Bình, tháng 10 năm 2015