Sáng kiến kinh nghiệm Giúp học sinh phát hiện và tránh sai lầm trong khi giải toán về căn bậc hai

ếu tố mới, những điều kiện khác để xem xét mức độ nhận thức và suy luận của học sinh.
Phần b. giải quyết vấn đề:
I - Các bước tiến hành :
1. Lập kế hoạch nghiên cứu nội dung viết sáng kiến kinh nghiệm.
2. Trao đổi thảo luận cùng đồng nghiệp.
3. Đăng ký sáng kiến, làm đề cương.
4. Thu thập, tập hợp số liệu và nội dung phục vụ cho việc viết sáng kiến. Qua khảo sát, các bài kiểm tra, các giờ luyện tập, ôn tập.
5. Phân loại các sai lầm của học sinh trong khi giải các bài toán về căn bậc hai thành từng nhóm.
6. Đưa ra định hướng, các phương pháp tránh các sai lầm đó. Vận dụng vào các ví dụ cụ thể.
7. Tổng kết, rút ra bài học kinh nghiệm.
II - Khảo sát đánh giá : 
Những giờ giảng dạy trên lớp, qua bài kiểm tra đầu giờ, qua luyện tập, ôn tập. GV cần lưu ý đến các bài toán về căn bậc hai, xem xét kĩ phần bài giải của học sinh, gợi ý để học sinh tự tìm ra những sai sót(nếu có) trong bài giải, từ đó giáo viên đặt ra các câu hỏi để học sinh trả lời và tự sửa chữa phần bài giải cho chính xác.
Qua bài kiểm tra 15 phút thì tỉ lệ học sinh mắc sai lầm trong khi giải toán tìm căn bậc hai của 65 họcsinh lớp 9 năm học 2010-2011: 18/65 em chiếm 27,69%.
Trong bài kiểm tra chương I - Đại số 9 năm học 2010-2011 của 65 học sinh thì số học sinh mắc sai lầm về giải toán có chứa căn bậc hai là 26/65 em chiếm 40%
Như vậy số lượng học sinh mắc sai lầm trong khi giải bài toán về căn bậc hai là tương đối cao, việc chỉ ra các sai lầm của học sinh để các em tránh được khi làm bài tập trong năm học 2010-2011 này là một công việc vô cùng quan trọng và cấp thiết trong quá trình giảng dạy ở trường THCS Hải Nhân.
III - Những sai lầm thường gặp khi giải toán về căn bậc hai :
Như đã trình bày ở trên thì học sinh sẽ mắc vào hai hướng sai lầm chủ yếu sau :
1. Sai lầm về tên gọi hay thuật ngữ toán học :
a) Định nghĩa về căn bậc hai :
* ở lớp 7 : - Đưa ra nhận xét 32=9; (-3)2 =9. Ta nói 3 và -3 là các căn bậc hai của 9.
- Định nghĩa : Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x2 =a.
- Số dương a có đúng hai căn bậc hai, một số dương ký hiệu là và một số âm ký hiệu là-.
* ở lớp 9 chỉ nhắc lại ở lớp 7 rồi đưa ra định nghĩa căn bậc hai số học.
b) Định nghĩa căn bậc hai số học :
Với số dương a, số được gọi là căn bậc hai số học của a.
Sau đó đưa ra chú ý : với a ≥ 0, ta có :
Nếu x = thì x ≥ 0 và x2 =a;
Nếu x ≥ 0 và x2 =a thì x =. Ta viết
x= 
Phép toán tìm căn bậc hai số học của số không âm gọi là phép khai phương (gọi tắt là khai phương).
- Nguy cơ dẫn đến học sinh có thể mắc sai lầm chính là thuật ngữ “ căn bậc hai” và"căn bậc hai số học”. 
Ví dụ 1 : Tìm các căn bậc hai của 16.
Rõ ràng học sinh rất dễ dàng tìm ra được số 16 có hai căn bậc hai là hai số đối nhau là 4 và - 4.
Ví dụ 2 : Tính 
Học sinh đến đây sẽ giải sai như sau :
 = 4 và - 4 có nghĩa là = 4
Như vậy học sinh đã tính ra được số có hai căn bậc hai là hai số đối nhau là :
 =4 và = -4
Do đó việc tìm căn bậc hai và căn bậc hai số học đã nhầm lẫn với nhau.
Lời giải đúng : = 4 ( có thể giải thích thêm vì 4 > 0 và 42 = 16)
Trong các bài toán về sau không cần yêu cầu học sinh phải giải thích.
c) So sánh các căn bậc hai số học :
Với hai số a và b không âm, ta có a < b 
Ví dụ 3 : so sánh 4 và 
Học sinh sẽ loay hoay không biết nên so sánh chúng theo hình thức nào vì theo định nghĩa số chính là căn bậc hai số học của 15 do đó nếu đem so sánh với số 4 thì số 4 có hai căn bậc hai số học là 2 và -2 cho nên với suy nghĩ đó học sinh sẽ đưa ra lời giải sai như sau : 4 < (vì trong cả hai căn bậc hai của 4 đều nhỏ hơn ).
Tất nhiên trong cái sai này của học sinh không phải các em hiểu nhầm ngay sau khi học song bài này mà sau khi học thêm một loạt khái niệm và hệ thức mới thì học sinh sẽ không chú ý đến vấn đề quan trọng này nữa.
Lời giải đúng : 16 > 15 nên > . Vậy 4 = > 
ở đây giáo viên cần nhấn mạnh luôn là ta đi so sánh hai căn bậc hai số học!
d) Sai trong thuật ngữ chú ý của định nghĩa căn bậc hai số học : 
với a ≥ 0, ta có :
Nếu x = thì x ≥ 0 và x2 =a;
Nếu x ≥ 0 và x2 =a thì x =.
Ví dụ 4 : Tìm số x, không âm biết :
 = 15 
Học sinh sẽ áp dụng chú ý thứ nhất và sẽ giải sai như sau : 
Nếu x = thì x ≥ 0 và x2 =a; vì phương trình x2 = a có 2 nghiệm là x = và x =- học sinh đã được giải ở lớp 7 nên các em sẽ giải bài toán trên như sau :
 Do x ≥ 0 nên = 152 hay x = 225 và x = -225. 
Vậy tìm được hai nghiệm là x1 =225 và x2 =-225
Lời giải đúng : cũng từ chú ý về căn bậc hai số học, ta có x = 152. Vậy x =225.
e) Sai trong thuật ngữ khai phương :
Ví dụ 5 : Tính - 
- Học sinh hiểu ngay được rằng phép toán khai phương chính là phép toán tìm căn bậc hai số học của số không âm nên học sinh sẽ nghĩ - là một căn bậc hai âm của số dương 25, cho nên sẽ dẫn tới lời giải sai như sau : 
 - = 5 và - 5
Lời giải đúng là : - = -5 
g) Sai trong khi sử dụng căn thức bậc hai và hằng đẳng thức = | A|
∙ Căn thức bậc hai : 
Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi là căn thức bậc hai của A, còn A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.
 xác định (hay có nghĩa ) khi A lấy giá trị không âm.
∙ Hằng đẳng thức : = | A|
Cho biết mối liên hệ giữa phép khai phương và phép bình phương.
Ví dụ 6 : Hãy bình phương số -8 rồi khai phương kết quả vừa tìm được.
Học sinh với vốn hiểu biết của mình sẽ có lời giải sau (lời giải sai) : 
 (-8)2 = 64 , nên khai phương số 64 lại bằng -8
Lời giải đúng : (-8)2 = 64 và = 8.
Mối liên hệ = | a| cho thấy “ Bình phương một số, rồi khai phương kết quả đó, chưa chắc sẽ được số ban đầu”
Ví dụ 7 : Với a2 = A thì chưa chắc đã bằng a
Cụ thể ta có (-5)2 = 25 nhưng = 5; rất nhiều ví dụ tương tự đã khảng định được kết quả như ở trên.
2. Sai lầm trong các kỹ năng tính toán :
a) Sai lầm trong việc xác định điều kiện tồn tại của căn bậc hai :
Ví dụ 8 : Tìm giá trị nhỏ nhất của :
A = x + 
 * Lời giải sai : A= x + = (x++ ) - = (+)2 ≥ - 
Vậy min A = -.
 * Phân tích sai lầm : 
Sau khi chứng minh f(x) ≥ -, chưa chỉ ra trường hợp xảy ra f(x) = -. Xảy ra khi và chỉ khi = -(vô lý).
 * Lời giải đúng : 
Để tồn tại thì x ≥0. Do đó A = x + ≥ 0 hay min A = 0 khi và chỉ khi x=0
Ví dụ 9 : Tìm x, biết : - 6 = 0
 * Lời giải sai :
- 6 = 0 2(1-x) = 6 1- x = 3 x = - 2.
 * Phân tích sai lầm : Học sinh có thể chưa nắm vững được chú ý sau : Một cách tổng quát, với A là một biểu thức ta có = | A|, có nghĩa là :
 = A nếu A ≥ 0 ( tức là A lấy giá trị không âm );
 = -A nếu A < 0 ( tức là A lấy giá trị âm ).
Như thế theo lời giải trên sẽ bị mất nghiệm.
 * Lời giải đúng : 
- 6 = 0 | 1- x | = 3. Ta phải đi giải hai phương trình sau : 1) 1- x = 3 x = -2
2) 1- x = -3 x = 4. Vậy ta tìm được hai giá trị của x là x1= -2 và x2= 4.
Ví dụ 10 : Tìm x sao cho B có giá trị là 16.
B = - + + với x ≥ -1
* Lời giải sai :
B = 4-3+ 2+ 
B = 4
16 = 4 4 = 42 = ()2 hay 16 = 
 16 = | x+ 1|
Nên ta phải đi giải hai phương trình sau : 1) 16 = x + 1 x = 15
 2) 16 = -(x+1) x = - 17.
* Phân tích sai lầm : Với cách giải trên ta được hai giá trị của x là x1= 15 và x2=-17 nhưng chỉ có giá trị x1 = 15 là thoả mãn, còn giá trị x2= -17 không đúng. Đâu là nguyên nhân của sự sai lầm đó ? Chính là sự áp dụng quá dập khuôn vào công thức mà không để ý đến điều kiện đã cho của bài toán, với x ≥ -1 thì các biểu thức trong căn luôn tồn tại nên không cần đưa ra biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối nữa.!
* Lời giải đúng : 
B = 4-3+ 2+ 
B = 4
16 = 4 4 = (do x ≥ -1)
 16 = x + 1. Suy ra x = 15.
b) Sai lầm trong kỹ năng biến đổi :
Trong khi học sinh thực hiện phép tính các em có đôi khi bỏ qua các dấu của số hoặc chiều của bất đẳng thức dẫn đến giải bài toán bị sai.
Ví dụ 11 : Tìm x, biết : 
(4- .
* Lời giải sai :
(4- 2x < ( chia cả hai vế cho 4-)
 x < .
* Phân tích sai lầm : Nhìn qua thì thấy học sinh giải đúng và không có vấn đề gì. Học sinh khi nhìn thấy bài toán này thấy bài toán không khó nên đã chủ quan không để ý đến dấu của bất đẳng thức : “Khi nhân hoặc chia cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm thì bất đẳng thức đổi chiều”.
Do đó rõ ràng sai ở chỗ học sinh đã bỏ qua việc so sánh 4 và cho nên mới bỏ qua biểu thức 4 - là số âm, dẫn tới lời giải sai.
* Lời giải đúng : Vì 4 = < nên 4 - < 0, do đó ta có
(4- 2x > x > .
Ví dụ 12 : Rút gọn biểu thức :
* Lời giải sai : = = x - .
* Phân tích sai lầm : Rõ ràng nếu x = - thì x + = 0, khi đó biểu thức sẽ không tồn tại. Mặc dù kết quả giải được của học sinh đó không sai, nhưng sai trong lúc giải vì không có căn cứ lập luận, vì vậy biểu thức trên có thể không tồn tại thì làm sao có thể có kết quả được.
* Lời giải đúng : Biểu thức đó là một phân thức, để phân thức tồn tại thì cần phải có x + ≠ 0 hay x ≠ -. Khi đó ta có 
 = = x - (với x ≠ -).
Ví dụ 13 : Rút gọn M, rồi tìm giá trị nhỏ nhất của M.
M = với a > 0.
* Lời giải sai :
M = = 
M = . 
M = 
Ta có M = = - = 1- , khi đó ta nhận thấy M 0
Do đó min M = 0 khi và chỉ khi a = 1.
* Phân tích sai lầm : Nhìn vào kết quả của bài toán rút gọn thì không sai, nhưng sai ở chỗ học sinh lập luận và đưa ra kết quả về giá trị nhỏ nhất của M thì lại sai.
Rõ ràng học sinh không để ý đến chi tiết khi a = 1 thì = 1 do đó - 1= 0, điều này sẽ mâu thuẫn trong điều kiện tồn tại của phân thức.
* Lời giải đúng :
M = có a > 0 và - 1 ≠ 0 hay a >0 và a ≠ 1.
Với điều kiện trên, ta có :
M = . 
M = 
khi đó ta nhận thấy M 0. Nếu min M = 0, khi và chỉ khi a = 1(mâu thuẫn với điều kiện).
Vậy 0 < min M < 1, khi và chỉ khi 0< a <1.
Ví dụ 14 : Cho biểu thức : 
Q = với x ≠ 1, x > 0
a) Rút gọn Q
b) Tìm x để Q > -1.
 Giải : a) Q = 
 Q = - 
 Q = 
 Q = = 
 Q = = 
 Q = - 
 b) * Lời giải sai : Q > -1 nên ta có 
 - > -1 3 > 1+ 2 > 4 > x hay x < 4.
 Vậy với x < 4 thì Q < -1.
 * Phân tích sai lầm : Học sinh đã nghiễm nhiên bỏ dấu âm ở cả hai vế của bất đẳng thức vì thế có luôn được bất đẳng thức mới với hai vế đều dương nên kết quả của bài toán dẫn đến sai.
 * Lời giải đúng : 
 Q > -1 nên ta có 
 - > -1 3 > 2 x > 4.
 Vậy với x > 4 thì Q > - 1.
IV - Những phương pháp giải toán về căn bậc hai :
Xét thuật ngữ toán học : Vấn đề này không khó để ta có thể khắc phục được nhược điểm này của học sinh.
Xét biểu thức phụ có liên quan :
Ví dụ 1 : Với a > 0, b > 0 hãy chứng minh < 
Giải : Ta đi so sánh hai biểu thức sau : a + b và (+ )2
Ta có : (+ )2 = a+ b + 2
Suy ra a + b < (+ )2 do đó ta khai căn hai vế ta được :
 0, b > 0 nên ta được :
 < 
* Như vậy trong bài toán này muốn so sánh được với thì ta phải đi so sánh hai biểu thức khác có liên quan và biết được quan hệ thứ tự của chúng, do đó biểu thức liên quan đó ta gọi là biểu thức phụ.
Ví dụ 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức A :
 A = 
Giải :
Ta phải có |x| ≤ 3. Dễ thấy A > 0 . Ta xét biểu thức phụ sau :
 B = 2- 
Ta có : 0 ≤ ≤ => - ≤- ≤ 0 => 2- ≤ 2 - ≤ 2 giá trị nhỏ nhất của B = 2- = x = 0
Khi đó giá trị lớn nhất của A = = 2+ .
Giá trị lớn nhất của B = 2 khi và chỉ khi = 0 x = , khi đó giá trị nhỏ nhất của A = = .
* Nhận xét : Trong ví dụ trên, để tìm được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A, ta phải đi xét một biểu thức phụ .
3. Vận dụng các hệ thức biến đổi đã học :
Giáo viên chú ý cho học sinh biến đổi và thực hiện các bài toán về căn bậc hai bằng cách sử dụng các hệ thức và công thức đã học : Hằng đẳng thức, Quy tắc khai phương một tích, quy tắc nhân các căn bậc hai, quy tắc khai phương một thương, quy tắc chia hai căn bậc hai, đưa thừa số ra ngoài dấu căn, đưa thừa số vào trong dấu căn, Khử mẫu của biểu thức lấy căn, trục căn thức ở mẫu
Ngoài các hệ thức đã nêu ở trên, trong khi tính toán học sinh gặp những bài toán có liên quan đến căn bậc hai ở biểu thức, nhưng bài toán lại yêu cầu đi tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức đã cho. Hay yêu cầu đi tìm giá trị của một tham số nào đó để biểu thức đó luôn âm hoặc luôn dương hoặc bằng 0 hoặc bằng một giá trị nào đó thì giáo viên cần phải nắm vững nội dung kiến thức sao cho khi hướng dẫn học sinh thực hiện nhẹ nhàng mà học sinh vẫn hiểu được bài toán đó .
Ví dụ 3 : Cho biểu thức :
P = với a > 0 và a ≠ 1.
a) Rút gọn biểu thức P;
b) Tìm giá trị của a để P < 0 
Giải : a) 
P = 
 = = 
 = = .
Vậy P = với a > 0 và a ≠ 1. 
b) Do a > 0 và a ≠ 1 nên P < 0 khi và chỉ khi 
 1.
Ví dụ 4 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A :
A = + biết x + y = 4
Giải : Ta có A2 = ( x-1) + (y - 2) + 2 = 
 = (x + y) - 3 + 2= 1+ 2
Ta lại có 2 ≤ (x -1) + (y- 2) = 1
Nên A2 ≤ 2 
=> Giá trị lớn nhất của A = khi và chỉ khi .
Trên đây là một số phương pháp giải toán về căn bậc hai và những sai lầm mà học sinh hay mắc phải, xong trong quá trình hướng dẫn học sinh giải bài tập, giáo viên cần phân tích kỹ đề bài để học sinh tìm được phương pháp giải phù hợp, tránh lập luận sai hoặc hiểu sai đầu bài sẽ dẫn đến kết quả không chính xác.
V- Kết quả thực hiện :
Qua thực tế giảng dạy chương I- môn đại số 9 năm học 2010-2011 này. Sau khi xây dựng đề cương chi tiết của sáng kiến kinh nghiệm được rút ra từ năm học 2010-2011 tôi đã vận dụng vào các giờ dạy ở các lớp 9B, 9C chủ yếu vào các tiết luyện tập, ôn tập. Qua việc khảo sát chấm chữa các bài kiểm tra tôi nhận thấy rằng tỉ lệ bài tập học sinh giải đúng tăng lên.
Cụ thể : 
Bài kiểm tra 15 phút : Tổng số 65 em
Số bài kiểm tra học sinh giải đúng là 59 em chiếm 90,8%. Tuy mới dừng lại ở các bài tập chủ yếu mang tính áp dụng nhưng hiệu quả đem lại cũng đã phản ánh phần nào hướng đi đúng.
Bài kiểm tra chương I : Tổng số 65 em
Số bài kiểm tra học sinh giải đúng là 52 em chiếm 80% (ở năm học 2009-2010 là 60%) các bài tập đã có độ khó, cần suy luận và tư duy cao.
Như vậy sau khi tôi phân tích kỹ các sai lầm mà học sinh thường mắc phải trong khi giải bài toán về căn bậc hai thì số học sinh giải đúng bài tập tăng lên, số học sinh mắc sai lầm khi lập luận tìm lời giải giảm đi nhiều. Từ đó chất lượng dạy và học môn Đại số nói riêng và môn Toán nói chung được nâng lên. 
VII- Bài học kinh nghiệm và giải pháp thực hiện :
Qua quá trình giảng dạy bộ môn Toán, qua việc nghiên cứu các phương án giúp học sinh tránh sai lầm khi giải toán về căn bậc hai trong chương I-Đại số 9, tôi đã rút ra một số kinh nghiệm như sau :
* Về phía giáo viên :
- Người thầy phải không ngừng học hỏi, nhiệt tình trong giảng dạy, quan tâm đến chất lượng của từng học sinh, nắm vững được đặc điểm tâm sinh lý của từng đối tượng học sinh và phải hiểu được gia cảnh cũng như khả năng tiếp thu của học sinh, từ đó tìm ra phương pháp dạy học hợp lý theo sát từng đối tượng học sinh. Đồng thời trong khi dạy các tiết học luyện tập, ôn tập giáo viên cần chỉ rõ những sai lầm mà học sinh thường mắc phải, phân tích kĩ các lập luận sai để học sinh ghi nhớ và rút kinh nghiệm trong khi làm các bài tập tiếp theo. Sau đó giáo viên cần tổng hợp đưa ra phương pháp giải cho từng loại bài để học sinh giải bài tập dễ dàng hơn.
- Thông qua các phương án và phương pháp trên thì giáo viên cần phải nghiêm khắc, uốn nắn những sai sót mà học sinh mắc phải, đồng thời động viên kịp thời khi các em làm bài tập tốt nhằm gây hứng thú học tập cho các em, đặc biệt lôi cuốn được đại đa số các em khác hăng hái vào công việc.
- Giáo viên cần thường xuyên trao đổi với đồng nghiệp để học hỏi và rút ra kinh nghiệm cho bản thân, vận dụng phương pháp dạy học phù hợp với nhận thức của học sinh, không ngừng đổi mới phương pháp giảng dạy để nâng cao chất lượng dạy và học.
- Giáo viên phải chịu hy sinh một số lợi ích riêng đặc biệt về thời gian để bố trí các buổi phụ đạo cho học sinh.
* Về phía học sinh :
- Bản thân học sinh phải thực sự cố gắng, có ý thức tự học tự rèn, kiên trì và chịu khó trong quá trình học tập.
- Trong giờ học trên lớp cần nắm vững phần lý thuyết hiểu được bản chất của vấn đề, có kỹ năng vận dụng tốt lí thuyết vào giải bài tập. Từ đó học sinh mới có thể tránh được những sai lầm khi giải toán.
- Phải có đầy đủ các phương tiện học tập, đồ dùng học tập đặc biệt là máy tính điện tử bỏ túi Caisiô f(x) từ 220 trở lên; giành nhiều thời gian cho việc làm bài tập ở nhà thường xuyên trao đổi, thảo luận cùng bạn bè để nâng cao kiến thức cho bản thân.
Phần c: Kết luận : 
Phần kiến thức về căn bậc hai trong chương I- Đại số 9 rất rộng và sâu, tương đối khó với học sinh, có thể nói nó có sự liên quan và mang tính thực tiễn rất cao, bài tập và kiến thực rộng, nhiều. Qua việc giảng dạy thực tế tôi nhận thấy để dạy học được tốt phần chương I- Đại số 9 thì cần phải nắm vững những sai lầm của học sinh thường mắc phải và bên cạnh đó học sinh cũng phải có đầy đủ kiến thức cũ, phải có đầu óc tổng quát, lôgic do vậy sẽ có nhiều học sinh cảm thấy khó học phần kiến thức này.
Để nâng cao chất lượng dạy và học giúp học sinh hứng thú học tập môn Toán nói chung và phần chương I- Đại số 9 nói riêng thì mỗi giáo viên phải tích luỹ kiến thức, phải có phương pháp giảng dạy tích cực, củng cố kiến thức cũ cho học sinh và là cây cầu nối linh hoạt có hồn giữa kiến thức và học sinh.
Với sáng kiến “Giúp học sinh phát hiện và tránh sai lầm trong khi giải toán về căn bậc hai” tôi đã cố gắng trình bày các sai lầm của học sinh thường mắc phải một cách tổng quát nhất, bên cạnh đó tôi đi phân tích các điểm mới và khó trong phần kiến thức này so với khả năng tiếp thu của học sinh để giáo viên có khả năng phát hiện ra những sai lầm của học sinh để từ đó định hướng và đưa ra được hướng cũng như biện pháp khắc phục các sai lầm đó.
Bên cạnh đó tôi luôn phân tích các sai lầm của học sinh và nêu ra các phương pháp khắc phục và định hướng dạy học ở từng dạng cơ bản để nâng cao cách nhìn nhận của học sinh qua đó giáo viên có thể giải quyết vấn đề mà học sinh mắc phải một cách dễ hiểu. Ngoài ra tôi còn đưa ra một số bài tập tiêu biểu thông qua các ví dụ để các em có thể thực hành kỹ năng của mình.
Vì thời gian nghiên cứu đề tài có hạn và tối chỉ nghiên cứu ở một phạm vi. Vì vậy tôi chỉ đưa ra những vấn đề cơ bản nhất để áp dụng vào trong năm học này qua sự đúc rút của các năm học trước đã dạy. Tôi xin được đề xuất một số ý nhỏ như sau nhằm nâng cao chất lượng dạy và học của giáo viên và học sinh :
- Giáo viên cần nghiên cứu kĩ nội dung và chương trình sách giáo khoa, soạn giáo án cụ thể và chi tiết, thiết kế đồ dùng dạy học và TBDH sao cho sinh động và thu hút đối tượng học sinh tham gia.
- Giáo viên cần tích cực học hỏi và tham gia chuyên đề, hội thảo của tổ, nhóm và nhà trường, tham gia tích cực và nghiên cứu tài liệu về bồi dưỡng thường xuyên.
- Học sinh cần hóc kĩ lý thuyết và cố gắng hiểu kĩ kiến thức ngay trên lớp.
- Học sinh về nhà tích cực làm bài tập đầy đủ, phân phối thời gian hợp lý.
- Gia đình học sinh và các tổ chức đoàn thể xã hội cần quan tâm hơn nữa và trách nhiệm hơn nữa tới việc học tập của con em mình.
Vì khả năng có hạn, kinh nghiệm giảng dạy môn Toán 9 chưa nhiều, tầm quan sát tổng thể chưa cao, lại nghiên cứu trong một thời gian ngắn, nên khó tránh khỏi thiếu sót và khiếm khuyết. Rất mong được lãnh đạo và đồng nghiệp chỉ bảo, giúp đỡ và bổ xung cho tôi để sáng kiến được đầy đủ hơn có thể vận dụng được tốt và có chất lượng trong những năm học sau.
Tôi xin chân thành cám ơn !
 Hải Nhân, ngày 20 tháng 3 năm 20
 Người nghiên cứu
 Lê Thị Kim Chi
Tài liệu tham khảo :
1. Sách " Một số vấn đề về đổi mới PPDH ở trờng THCS môn toán" của Bộ giáo dục và Đào tạo
2. Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên cho GV THCS chu kỳ III ( 2004-2007) môn toán của Bộ giáo dục và Đào tạo.
3. Những vấn đề chung về đổi mới giáo dục trung học cơ sở môn toán của Bộ giáo dục và Đào tạo.
4. Giáo trình " Phương pháp dạy học toán" tác giả Hoàng Chúng - BGD&ĐT
5. SGK và SGV toán 6,7,8,9.(BGD&ĐT)
Mục lục :
TT
Nội dung
Trang
1
Phần A : Đặt vấn đề
1
2
I - Lý do chọn đề tài : 
1
3
II Thực trạng vấn đề cần nghiên cứu 
2
4
Phần b : giải quyết vấn đề :
3
5
I. Các bước tiến hành 
3
6
II. Khảo sát đánh giá
3
7
III. Những vấn đề sai lầm thường gặp khi giải toán căn bậc hai
4
8
VI. Những phương pháp giải toán về căn bậc hai
12
9
V. Kết quả thực hiện 
15
10
PHầN C: Kết luận
17
11
Tài liệu tham khảo
19
11
Mục lục
19