Sáng kiến kinh nghiệm Giải phương trình vô tỉ

 sát phương trình ta nhận thấy phương trình có dạng thuộc một hằng bất đẳng thức quen thuộc mà ta dễ dàng chứng minh được bắt đẳng thức luôn đúng với mọi a và b cùng dấu. Dấu “=” xảy ra khi a = b. Hay nói cách khác đẳng thức xảy ra khi a = b.
 	Do và 
 	Phương trình có dạng 
 	Do đó: (*) (thoả mãn )
 	Vậy phương trình có 2 nghiệm là: 
 	* Nhận xét: Vấn đề quan trọng của phương pháp này là phải xác định được phương trình là đẳng thức nào của một bất đẳng thức đã biết (bất đẳng thức chứng minh được) sau đó tìm điều kiện để xảy ra đẳng thức đó trong hằng bất đẳng thức. Do vậy phương trình cần giải sẽ tương đương với điều kiện để xảy ra “=” của bất đẳng thức không chặt.
5. Phương pháp đoán nghiệm và suy ra sự duy nhất của nghiệm (phương pháp duy nhất).
 	* Cơ sở của phương pháp này là: để giải một phương trình ta có thể kiểm nghiệm trực tiếp một số hữu hạn các giá trị của ẩn số là nghiệm của phương trình sau đó chứng minh ngoài nghiệm đó phương trình không còn nghiệm nào khác.
 	Như vậy theo phương pháp này ta nên làm theo hai bước sau:
 	B1: Đoán nhận nghiệm.
 	B2: Chứng minh tính duy nhất của các nghiệm số.
 	* Bài toán 1: Giải phương trình 	(1)
 	Điều kiện để cho phương trình có nghĩa là 
 	Ta thấy x= 1 là nghiệm của phương trình (1).
 	Chứng minh x= 1 là nghiệm duy nhất của (1).
 	- Với x >1 ta có: 
 	Vậy phương trình (1) vô nghiệm với x > 1.
 	- Với x < 1 ta có: 
 	Vậy phương trình (1) vô nghiệm với 0 < x < 1
 	Kết luận: phương trình (1) chỉ có duy nhất một nghiệm là x = 1.
 	* Bài toán 2: Giải phương trình: 	(2)
 	Điều kiện tồn tại của phương trình: 1- x2 > 0 ú -1 < x < 1
 	Nếu tiến hành giải phương trình (2) theo các cách thông thường thì gặp nhiều khó khăn. Song nếu quan sát kỹ ta thấy ngay phương trình (2) có một nghiệm x = 0 việc còn lại là chứng minh trong TXĐ - 1 < x < 1 phương trình (2) không còn nghiệm nào khác.
 	- Nếu 0 < x < 1 ta có: 
 	Vậy phương trình (2) vô nghiệm với 0 < x < 1
 	- Nếu -1 < x < 0 ta có: 
 	Vậy phương trình (2) vô nghiệm với -1 < x < 0
 	Kết luận: phương trình (2) có một nghiệm duy nhất x= 0
 	* Bài toán 3: Giải phương trình 	(3)
 	Điều kiện để phương trình có nghĩa 
 	Ta thấy x= 3 nghiệm đúng phương trình (3).
 	Ta cần chứng minh phương trình (3) không còn nghiệm với 
 	- Với x > 3 ta có 
 	Vậy phương trình (3) vô nghiệm với x > 3
 	- Với x < 3 ta có 
 	Vậy phương trình (3) vô nghiệm với x < 3
 	Kết luận: phương trình (3) có nghiệm duy nhất x = 3
* Nhận xét: Phương pháp “duy nhất” nói trên tỏ ra ưu thế khi học sinh đoán nhận được nghiệm của phương trình đã cho. Song việc chứng minh tính duy nhất của nghiệm số cần chú ý: Khi x = là nghiệm số của phương trình, ta chứng minh cho không phải là nghiệm số của phương trình đã cho. Song các giá trị phải thuộc tập xác định của phương trình. Nên TXĐ của phương trình ban đầu có liên quan tới việc xét các khả năng còn lại của ẩn số x.
 	Tuy nhiên phương pháp này vẫn còn áp dụng trong trường hợp khi nhẩm được nhiều nghiệm của một phương trình đã cho, chỉ lưu ý đến các khả năng còn lại của ẩn x phải chứng minh cho phương trình vô nghiệm.
 	Ví dụ: Khi đoán nhận được là hai nghiệm của phương trình () thì phải chứng minh các trường hợp còn lại:
 	 và x TXĐ mà phương trình đã cho đều vô nghiệm thì mới kết luận được phương trình đã cho có hai nghiệm là 
6. Phương pháp tổng bình phương.
 	* Cơ sở của phương pháp này là: nếu đưa được phương trình ban đầu về dạng: (1) về dạng: thì:
 	(1) 
 	Thực chất của phương pháp trên là biến đổi tương đương phương trình đã cho thành một hệ phương trình đặc biệt đơn giản hơn dễ tìm được nghiệm nhờ vào việc biến đổi vế trái của (1) thành tổng của các bình phương.
 	* Các bài toán áp dụng:
 a. Bài toán 1: Giải phương trình 	(1)
 	Nếu giải phương trình (1) theo cách bình phương hai vế của phương trình học sinh gặp khó khăn vì (1) dẫn tới một phương trình bậc 4 khó tìm nghiệm hơn. 	Ta có thể áp dụng phương pháp “Tổng bình phương) như sau:
 	Điều kiện phương trình có nghĩa 
 	Với điều kiện ta có (*) 	
	X= 4 thoả mãn điều kiện 
 	Vậy phương trình (1) có một nghiệm x= 4.
 b. Bài toán 2: Giải phương trình:
 	(2)
 	Đây là một phương trình vô tỉ có 3 ẩn số x, y, t nên nếu bằng cách giải thông thường học sinh gặp khó khăn. Song nếu áp dụng phương pháp “Tổng bình phương” thì bài toán trở thành đơn giản.
 	Ta giải bài toán như sau:
 	Điều kiện phương trình có nghĩa là: 	(*)
 	Với điều kiện trên thì:
 	(1) 	
	(thoả mãn đk (*))
 	Vậy phương trình (2) có một nghiệm duy nhất 
 	Hay (x, y, t)= (3, 7, 14)
	* Như vậy dùng phương pháp “Tổng bình phương” ta có thể giải một phương trình vô tỉ có nhiều ẩn số một cách đơn giản song cần phải chú ý tránh sai lầm cho học sinh về việc chỉ rõ số nghiệm của phương trình.
 c. Bài toán 3: Giải phương trình 	(3)
 	Bài toán này rất khó khi thực hiện giải bằng phương pháp thông thường. Song nếu tìm cách viết vế trái dưới dạng tổng các bình phương thì bài toán trở nên đơn giản.
 	Điều kiện phương trình (3) có nghĩa là: 
 	Với điều kiện đó ta có:
 	(3)	
 	Thỏa mãn điều kiện 
 	Vậy phương trình (3) có duy nhất một nghiệm là: 
 d. Bài toán 4: Một ứng dụng của phương pháp “Tổng bình phương” vào phương trình có chứa căn thức ở mẫu thức (ẩn ở dưới dấu căn).
 	Ví dụ: Giải phương trình 
	(4)
 	Điều kiện để phương trình có nghĩa: 	(*)
 	Vận dụng “Tổng bình phương” ta đưa (4) về dạng quen thuộc:
 	(4)	
 	(thoả mãn điều kiện (*))
 	Vậy phương trình (4) có duy nhất một nghiệm (x, y, z)= (19, 5, 1890)
 	* Nhận xét: Qua các bài toán ta nhận thấy khi gặp một số phương trình vô tỉ không ở dạng “mẫu mực” việc sử dụng các phương pháp khác gặp khó khăn. Nếu viết được một vế của phương trình f(x) = 0 dưới dạng thì việc giải phương trình f(x) = 0 trở thành đơn giản. Đây là một phương pháp ứng dụng nhiều đối với các phương trình đã gặp trong chương trình phổ thông.
7. Phương pháp sử dụng biểu thức liên hợp
 	* Trong khi thực hiện các phép biến đổi tương đương một phương trình vô tỉ ta có thể nhân (chia) hai vế của phương trình với biểu thức liên hợp của một trong hai vế hoặc của cả hai vế của phương trình đã cho, để được một phương trình đơn giản hơn phương trình ban đầu rồi dùng phương trình ban đầu biến đổi tới một phương trình đã biết cách giải.
 	Tuy nhiên, có trường hợp ta có thể lợi dụng “tế nhị” biểu thức liên hợp của biểu thức có chứa trong dấu căn.
 a. Ví dụ 1: Giải phương trình 	(1)
 	Điều kiện: và 
 	Với điều kiện ta có là biểu thức liên hợp của vế trái. Nhân hai vế của (1) với ta có:
 	 	(1) 	
	(1’)
 	Cộng vế với vế của (1) và (1’) ta được phương trình:
 	 (thoả mãn điều kiện).
 	Vậy phương trình (1) có một nghiệm duy nhất là x= 4
	- Với bài toán này dùng “biểu thức liên hợp” ưu thế hơn việc bình phương hai vế của (1)
 b. Ví dụ 2: Giải phương trình 	(2)
	- Đây là phương trình ẩn số lad mũ của một luỹ thừa nằm trong dấu căn nên việc nâng hai vế lên luỹ thừa sẽ “bế tắc”, nhưng nếu nhận xét tích của hai biểu thức liên hợp thì việc giải phương trình (2) trở nên dễ dàng.
	Ta có: 
 	Nên nếu ta đặt: 
 	Khi đó: 
	Đến đây là có thể tìm được t rồi giải tiếp phương trình:
	 ta tìm được x
	Ta có: có hai nghiệm 
	- Nếu 
 	- Nếu 
	Kết luận: Phương trình có hai nghiệm: 
 	Bài toán này có thể giới hạn yêu cầu là tìm nghiệm nguyên của (2)
 c. Ví dụ 3: Giải phương trình 	(3)
	Điều kiện: với điều kiện này ta có lượng liên hợp của hai vế luôn lớn hơn 0. Ta có thể vừa nhân và chia với lượng liên hợp của hai vế:
	(3) 
	Biến đổi tương đương phương trình trên ta có phương trình thu gọn là:
 	(3’)
	Cộng vế với vế của (3) và (3’) ta được: 	(3’’)
 	Đến đây ta chỉ được ra nghiệm x= 0 thoả mãn điều kiện vì:
 	 (3’’) vô nghiệm
	Vậy x= 0 là nghiệm duy nhất của phương trình (3)
	- Trong bài toán này ta đã sử dụng nhân và chia với biểu thức liên hợp của hai vế rồi dẫn tới một phương trình đơn giản (3’), thực hiện cộng vế với vế của (3) và (3’) dẫn đến một phương trình (3’’) dễ dàng tìm được nghiệm.
 	* Có thể nói sử dụng biểu thức liên hợp để biến đổi tương đương các phương trình vô tỉ được ứng dụng vào các bài toán giải phương trình vô tỉ ở dạng phức tạp có một lợi thế nhất định song cần chú ý cách dùng biểu thức liên hợp phải linh hoạt và sáng tạo.
8. Phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.
 	* Mục đích của phương pháp này là biến đổi phương trình đã cho thành một phương tình tương đương có dạng:
	Rồi giải phương trình chứa giá trị tuyệt đối.
	* Ví dụ 1: Giải phương trình 	(1)
 	Biến đổi tương đương phương trình (1) ta có:
	(1’)
- Nếu x<-2 ta có: 
	Ta có (1’) (loại vì khoảng đang xét)
	- Nếu ta có phương trình 1-x +x+2 = 3 ú 0x = 0 à phương trình có vô số nghiệm: 
	- Nếu x>1 ta có phương trình (loại vì không thuộc khoảng đang xét).
	Kết luận: Vậy phương trình có vô số nghiệm là 
 	* ở bài toán này việc giải phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối học sinh có thể xét 4 trường hợp về dấu của x-1 và x+2, nên chú ý cho học sinh phải đối chiếu nghiệm trong từng khoảng và kết luận nghiệm trong toàn trục số.
 	* Ví dụ 2: Giải phương trình: 	(2)
	Điều kiện: 
	(2)	
	Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là: 
	- ở bài toán trên việc giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối có chú ý tới việc dùng định nghĩa và tính chất về dấu giá trị tuyệt đối làm cho việc phân chia các trường hợp là không cần thiết va lời giải gọn gàng hơn.
 	* Trên đây là 8 phương pháp thường dùng để giải các phương trình vô tỉ. Tuy nhiên việc sử dụng các phương pháp nói trên phải được học sinh lựa chọn cho thích hợp với từng phương trình thực tế. Song không thể quan trọng hóa và đề cao chất lượng của bất kỳ một phương pháp nào trong giải phương trình vô tỉ. Điều quan trọng là dùng phương pháp nào mà việc giải một phương trình đạt hiệu quả nhất (nhanh gọn nhất). Ta cần chú ý các phương pháp trên có mối quan hệ mật thiết với nhau như hai phương pháp: Đặt ẩn phụ và phương pháp hệ phương trình; phương pháp hệ phương trình và phương pháp tổng bình phương Hoặc có khi trong một bài giải phương trình ta có thể phối hợp hai hay nhiều phương pháp nói trên miễn sao đạt hiệu quả cao.
C. Biện pháp thực hiện
1. Thường xuyên khắc phục những sai lầm thường mắc cho học sinh khi dạy về phương pháp giải phương trình.
	- Không đặt điều kiện để biến đổi tương đương.
	- Không chọn nghiệm theo các điều kiện đã đặt ra mà kết luận nghiệm cho phương trình đã cho.
	- Chưa phân biệt được các phép biến đổi tương đương và không tương đương (phương trình tương đương; phương trình hệ quả), phép biến đổi tương đương và phép biến đổi thành phương trình hệ quả.
	* Nêu cho học sinh các bước giải một phương trình vô tỉ theo các thao tác:
 	+ Bước 1: Nhận dạng phương trình, đưa phương trình về dạng quen thuộc (Tìm TXĐ của phương trình).
	+ Bước 2: áp dụng phương pháp giải hợp lý. Giải phương trình.
	+ Bước 3: Chọn nghiệm và kết luận nghiệm (Thử lại nếu cần).
2. Cung cấp cho học sinh những kiến thức kỹ năng cơ bản có liên quan đến giải một phương trình.
	- Các định lý về phép biến đổi tương đương một phương trình (lớp 8).
	- Chú ý các phép biến đổi tương đương có thể dẫn tới hai phương trình không tương đương như: Bình phương hai vế của một phương trình khi chưa rõ về dấu của hai vế (phép biến đổi này chỉ tương đương khi hai vế cùng lớn hơn hoặc bằng 0).
	Vì nên khi A và B không âm.
	Ví dụ: -(5)2 = 52 không 
	Chỉ có: 
	Phép biến đổi bình phương hai vế của một phương trình là phép biến đổi phương trình hệ quả nên xuất hiện nghiệm ngoại lai vì đó mà phải có bước thử lại bắt buộc khi giải phương trình vô tỉ.
	Do đó: 	(1) 	(2)
	Thực chất là phương trình (1) tương đương với hệ hỗn hợp (2) nên việc giải (2) đến kết quả cuối cùng (không cần thử nghiệm nữa). Nhưng nếu tách rời chỉ có phép bình phương hai vế thì phải chọn nghiệm theo điều kiện hoặc thử lại vào ngay phương trình ban đầu.
	- Khái niệm về căn bậc hai số học; điều kiện tồn tại của hằng đẳng thức nếu được thường xuyên ghi nhớ cho học sinh ngay từ chương đầu tiên Đại số 9.
	Cần chú ý cho học sinh: là cơ sở để giải phương trình vô tỉ ở phương pháp 1.
	- Ghi nhớ cho học sinh các công thức quan trọng ở chương căn bậc hai, hoặc ba có liên quan tới kỹ năng biến đổi về căn thức, thực hiện các phép tính chứa dấu căn.
3. Xây dựng các công thức giải các dạng phương trình vô tỉ như:
 ngay sau khi học chương I đại số 9. Yêu cầu học sinh ghi nhớ các công thức đó.
4. Cung cấp cho học sinh các phương pháp giải phương trình vô tỉ sau khi học xong chương Phương trình bậc hai. Bên cạnh đó thường xuyên rèn luyện thành thạo cho học sinh kỹ năng giải các phương trình đã biết như bậc nhất, bậc hai, phương trình tích đã biết nhằm hỗ trợ cho việc giải phương trình vô tỉ sau này.
5. Phối hợp với các bài toán khác (tổng hợp) giúp học sinh thường xuyên rèn luyện các phép biến đổi về căn thức và giải phương trình vô tỉ (Ra các đề toán tổn hợp luôn có câu về giải phương trình vô tỉ).
6 Thường xuyên kiểm tra và uốn nắn kịp thời việc định dạng và vận dụng các phương pháp giải từng dạng phương trình vô tỉ một cách có chủ động.
7. Rèn kỹ năng biến đổi các phương trình ban đầu về các phương trình ở dạng quen thuộc và lựa chọn phương pháp giải cho hợp lý với từng dạng, chú ý tới cách vận dụng linh hoạt.
8. Đề ra cho học sinh các yếu lĩnh cơ bản khi giải một phương trình vô tỉ, theo các bước sau:
	- Bước 1: Quan sát nhận dạng (tìm TXĐ).
	- Bước 2: Huy động phương pháp giải hợp lý (phải lựa chọn phương pháp tối ưu).
	- Bước 3: Giải phương trình.
	- Bước 4: Chọn nghiệm phù hợp và kết luận.
9. Kiểm tra định kỳ rút kinh nghiệm thường xuyên về việc thực hiện các bài tập giáo viên giao cho các nhóm học sinh dưới các hình thức cá nhân, nhóm, lớp. Thống kê chất lượng thông báo kết quả.
D. Kết quả và bài học kinh nghiệm.
I. Kết quả.
1. Đối với diện học sinh đại trà: Sau khi cung cấp các công thức giải các dạng phương trình: . Ra các bài tập cùng dạng kiểm tra trắc nghiệm và tự luận kết quả trắc nghiệm như sau:
	- 75% số học sinh làm đúng phương pháp.
	- 25% số học sinh làm đúng nhưng không theo công thức giải đã cung cấp. Vì học sinh khó khăn trong việc trình bày phương trình hệ hỗn hợp.
2. Đối với diện học sinh khá giỏi:
	- 95% số học sinh giải thành thạo theo công thức giải đối với các phương trình vô tỉ với hệ hỗn hợp.
	- 5% số học sinh giải được phương trình vô tỉ theo công thức giải đối với các phương trình vô tỉ với hệ hỗn hợp.
	- 75% số học sinh giải thành thạo bằng phương pháp đặt ẩn phụ.
	- 85% số học sinh giải thành thạo bằng cách đưa về phương trình tích.
	- 55% số học sinh làm đúng phương pháp Đoán nhận và chứng minh sự duy nhất nghiệm.
	- 65% số học sinh sử dụng lượng liên hợp một cách hợp lý khi giải phương trình vô tỉ.
	- 95% số học sinh làm tốt phương pháp “Tổng bình phương”.
	- 97% số học sinh làm tốt phương pháp đưa phương trình về phương trình chứa ẩn số trong dấu giá trị tuyệt đối.
	- 85% số học sinh vận dụng được phương pháp “đối lập”.
	- 95% số học sinh biết xử lý nghiệm của một phương trình vô tỉ hợp lý và đúng.
	- 70% số học sinh lựa chọn được phương pháp giải hợp lý (hay) cho một phương trình vô tỉ.
3. Qua phương trình vô tỉ theo các phương pháp đã được trang bị, học sinh rèn được nhiều kỹ năng giải toán khác, gây được hứng thú làm toán cho học sinh.
4. Học sinh đã tự mình biết áp dụng các phương pháp giải của phương trình vô tỉ cho các phương trình khác như: phương trình bậc cao; phương trình dạng phân thức  (có trong chương trình).
5. Định hướng học tập bộ môn Toán theo hướng tích cực hoá, chủ động sáng tạo, tìm cách giải hợp lý, hay cho bài toán. Hình thành thói quen kiểm tra lời giải và rút kinh nghiệm sau khi giải toán.
6. Xây dựng cho học sinh phong cách làm toán có khoa học, có phương pháp và biết đề xuất những vấn đề cần giải quyết, đặc biệt là học sinh có niềm tin và tính tự chủ cao hơn.
7. Hình thành mối quan hệ tốt đẹp giữa thầy và trò trong dạy học và trong sự trao đổi thông tin về toán học.
II. Bài học kinh nghiệm.
1. Thường xuyên khắc phục những sai lầm khi giải một phương trình vô tỉ nói riêng và phương trình đại số nói chung có tác dụng giúp cho học sinh hiểu, nắm vững các kiến thức cơ bản và rèn được kỹ năng giải toán chính xác, trình bày lời giải ngắn gọn, rõ ràng.
2. Hệ thống phương pháp giải cho từng dạng phương trình vô tỉ giúp học sinh có được công cụ giải phương trình nên việc giải phương trình được linh hoạt, hợp lý, tránh được máy mọc, rập khuôn mất thời gian vô ích. Đặc biệt là giúp cho học sinh lựa chọn được cách giải hay cho một bài toán, hình thành ở học sinh đức tính linh hoạt, làm việc có khoa học và tránh được những sai lầm nghiêm trọng.
3. Rèn cho học sinh có thói quen khi gặp bất kỳ một phương trình nào đều định hướng được các thao tác:
	- Quan sát, nhận dạng đưa phương trình về dạng quen thuộc (nếu cần).
	- Lựa chọn phương pháp hợp lý.
	- Giải phương trình và kiểm tra lời giải.
4. Thường xuyên ghi nhớ các kiến thức cơ bản và các kỹ năng cần thiết có tác dụng tốt cho học sinh trong khi giải phương trình và thực hiện các phương pháp giải giúp cho học sinh nhìn nhận lời giải một cách triệt để và sáng tạo.
5. Rèn luyện thường xuyên các kỹ năng cơ bản khác như: phân tích (viết) một biểu thức dưới dạng tích, các kỹ năng biến đổi, thực hiện các phép toán về căn thức bậc hai, căn bậc ba tạo điều kiện thuận lợi cho học sinh hoàn thành tốt các khâu biến đổi khi giải một phương trình vô tỉ.
6. Lựa chọn phương pháp giải hợp lý phù hợp với một phương trình đặt ra là một việc làm quan trọng quyết định tới sự thành công nhanh chóng khi giải một phương trình vô tỉ.
7. áp dụng phương pháp giải phương trình vô tỉ cho các dạng phương trình khác vẫn có hiệu quả tích cực và mang lại kết quả tốt trong một bài toán giải phương trình (trong điều kiện có thể thực hiện được).
E. Kết luận.
1. Cung cấp cho học sinh một hệ thống các phương pháp giải phương trình vô tỉ đơn giản đến phức tạp, tạo điều kiện cho học sinh hiểu sâu kiến thức về phương trình, nghiệm của phương trình từ đó nói lên tư tưởng và nội dung của khái niệm phương trình. Đồng thời làm cơ sở cho học sinh có được phương pháp giải phương trình đại số nói chung trong tương lai. Giúp cho học sinh rèn được những phẩm chất của trí tuệ như: độc lập, sáng tạo, mềm dẻo, linh hoạt, độc đáo trong tư duy, làm tiền đề cho sự phát triển tư duy của học sinh trong học tập môn Toán, tạo điều kiện cho học sinh xây dựng cho bản thân phương pháp làm toán, phương pháp học tập một cách có hiệu quả.
2. Nêu ra được giải pháp (phương pháp giải) giải một loại toán khó (phương trình vô tỉ) giúp cho học sinh chống được tư tưởng ngại khó “sợ” giải một bài toán khó, tạo điều kiện cho học sinh hứng thú học tập hăng say nghiên cứu tìm tòi cái mới, khó trong quá trình học tập.
3. Bước đầu hình thành ở học sinh (người học) một thói quen làm toán (học toán) có phương pháp, trang bị cho học sinh phương pháp thực hành một cách phong phú, chuẩn bị cho học sinh những tiền đề để tiếp thu kiến thức mới, phương pháp mới của môn Toán ở các lớp trên.
4. Góp một phần vào thời kỳ đổi mới phương pháp giảng dạy (đổi mới cách dạy, đổi mới cách học của giáo viên và học sinh) nhằm nâng cao chất lượng dạy và học theo hướng phát huy tính tích cực của học sinh ‘lấy lôgic học sinh làm trung tâm”.
5. Trên đây là một số phương pháp giúp cho học sinh biết cách giải một phương trình vô tỉ. Bước đầu đã được thực nghiệm và có kết quả nhất định, nhất là việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi, phần nào đã giúp cho học sinh định hình được một phương pháp giải toán ở thể loại phương trình vô tỉ, phát huy tích cực chủ động sáng tạo trong giải phương trình và giải toán nói chung, giúp cho học sinh rèn luyện được nhiều kỹ năng giải toán thông qua giải một phương trình tạo đà cho học sinh đổi mới cách học trong giai đoạn hiện nay.
Xác nhận của nhà trường
Tài liệu tham khảo
Phương pháp giảng dạy toán học- hoàng chúng
Một số phương pháp giải toán sơ cấp
Một số tài liệu bồi dưỡng học sinh khá giỏi cấp II
Sách giáo khoa đại số 8, 9
Đại số sơ cấp (Cao đẳng sư phạm).