Sáng kiến kinh nghiệm Giải pháp giúp học sinh học tốt phần giới hạn

MỤC LỤC
STT
Nội Dung
Trang
1
Mục lục
1
2
Phần thứ nhất: Mở Đầu
2
3
1. Lý do chọn đề tài
2
4
2. Mục đích nghiên cứu
2
5
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
2
6
4. Đối tượng nghiên cứu
3
7
5. Phương pháp nghiên cứu
3
8
6. Thời gian nghiên cứu
3
9
Phần thứ hai: Nội dung
3
10
Phần I: Giới hạn dãy số
3
11
A. Kiến thức cơ bản
3
12
B. Phương pháp giải toán
4
13
C. Các ví dụ
5
14
Bài tập tự giải
7
15
Phần II: Giới hạn hàm số
7
16
A. Kiến thức cơ bản
7
17
B. Phương pháp giải toán
8
18
C. Các ví dụ
9
19
Bài tập tự giải
12
20
Phần III: Hàm số liên tục
15
21
A. Kiến thức cơ bản
15
22
B. Phương pháp giải toán
16
23
C. Các ví dụ
17
24
Bài tập tự giải
21
25
Phần ba: Kết luận 
24
26
Kiến nghị
24
Phần thứ nhất: Mở Đầu
1. Lý do chọn đề tài :
I. Lý do pháp chế:
- Căn cứ vào yêu cầu và mục tiêu của hệ thống giáo dục ở bậc học phổ thông.
- Căn cứ vào tình hình học tập của học sinh trung học phổ thông trong việc học tâp bộ môn Đại số và Giải tích.
II. Cơ sở lý luận: 
Kinh nghiệm giảng dạy của bản thân và học hỏi một số giáo viên khác
III. Cơ sở thục tiễn: 
Những thuận lợi và khó khăn trong quá trình giảng dạy bộ môn Đại số và Giải tích và nhất là phần giới hạn.
2. Mục đích nghiên cứu:
 Nhằm nâng cao nghiệp vụ chuyên môn và rút ra kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu:
I. Nhiệm vụ:
Những nội dung chính của phần giới hạn:
- Giới hạn dãy số
- Giới hạn hàm số
- Hàm số liên tục của hàm số 
II. Yêu cầu:
Học sinh nắm rõ các định nghĩa, các công thức tính giới hạn đã học
Học sinh nắm rõ các phương pháp đã học
Phương pháp tìm giới hạn dãy số
Phương pháp tìm giới hạn hàm số
Phương pháp xét tính liên tục của hàm số và chứng minh phương trình có nghiệm
Áp dụng để giải bài tập
4. Đối tượng nghiên cứu:
Học sinh khối 11 bậc trug học phổ thông
5. Phương pháp nghiên cứu: 
- Tham khảo tài liệu, mạng internet
- Thạm gia đầy đủ các lớp học bồi dưỡng do Sở tổ chức, các buổi sinh hoạt HĐBM, tổ chuyên môn.
6. Thời gian nghiên cứu:
Trong suốt quá trình được phân công giảng dạy khối 11 bậc trung học phổ thông
Phần thứ hai: Nội Dung
PHẦN I: GIỚI HẠN DÃY SỐ:
KIẾN THỨC CƠ BẢN:
Định nghĩa:
Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới vô cực, nếu có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu:
Định nghĩa 2:Ta nói dãy số (un) có giới hạn là a hay (un) dần tới a khi n dần tới vô cực (), nếu Kí hiệu: 
Chú ý: .
Một vài giới hạn đặc biệt.
với .
Lim(un)=c (c là hằng số) => Lim(un)=limc=c.
Một số định lý về giới hạn của dãy số.
Định lý 1: Cho dãy số (un),(vn) và (wn) có : và .
Định lý 2: Nếu lim(un)=a , lim(vn)=b thì:
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội q ,với 
Dãy số dần tới vô cực:
Ta nói dãy số (un) dần tới vô cực khi n dần tới vơ cực nếu un lớn hơn một số dương bất kỳ, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim(un)= hay un khi .
Ta nói dãy số (un) có giới hạn là khi nếu lim.Ký hiệu: lim(un)= hay un khi .
Định lý:
Nếu : thì 
Nếu : thì 
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN:
Giới hạn của dãy số (un) với với P,Q là các đa thức:
Nếu bậc P = bậc Q = k, hệ số cao nhất của P là a0, hệ số cao nhất của Q là b0 thì rút nk ra đơn giản và đi đến kết quả: .
Nếu bậc P nhỏ hơn bậc Q = k, thì rút nk ra đơn giản và đi đến kết quả : lim(un)=0.
Nếu k = bậc P > bậc Q, rút nk ra đơn giản và đi đến kết quả : lim(un)=.
Giới hạn của dãy số dạng: , f và g là các biển thức chứa căn.
Rút nk ra đơn giản và đi đến kết quả với k chọn thích hợp.
Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp.
CÁC VÍ DỤ:
Chú ý : là biểu thức liên hợp của 
Bài 1. Tính các giới hạn sau:
	b. .	c. 	d. 
Bài giải:
a..
b. .
c. .
d. .
Bài 2. Tính các giới hạn sau:
a. 	b. 	c. 	
d. .	e. 	f. 
Bài 3. Tính các giới hạn:
a. 	b. 	c. 	
Bài giải.
BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1. Tính các giới hạn sau:
Bài 2. Tính các giới hạn:
PHẦN II. GIỚI HẠN HÀM SỐ:
KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Định nghĩa:Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K.Ta nói rằng hàm số f(x) có giới hạn là L khi x dần tới a nếu với mọi dãy số (xn), xn K và xn a , mà lim(xn)=a đều có lim[f(xn)]=L.Kí hiệu:.
2. Một số định lý về giới hạn của hàm số:
a. Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn bằng L thì giới hạn đó là duy nhất.
b. Định lý 2:Nếu các giới hạn: thì:
c) Cho ba hàm số f(x), h(x) và g(x) xác định trên khoảng K chứa điểm a (có thể trừ điểm a), g(x)f(x)h(x) và .
2. Mở rộng khái niệm giới hạn hàm số:
Trong định nghĩa giới hạn hàm số , nếu với mọi dãy số (xn), lim(xn) = a , đều có lim[f(xn)]= thì ta nói f(x) dần tới vô cực khi x dần tới a, kí hiệu: .
Nếu với mọi dãy số (xn) , lim(xn) = đều có lim[f(xn)] = L , thì ta nói f(x) có giới hạn là L khi x dần tới vô cực, kí hiệu:.
Trong định nghĩa giới hạn hàm số chỉ đòi hỏi với mọi dãy số (xn), mà xn > a , thì ta nói f(x) có giới hạn về bên phải tại a, kí hiệu :. Nếu chỉ đòi hỏi với mọi dãy số (xn), xn < a thì ta nói hàm số có giới hạn bên trái tại a , kí hiệu: 
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN:
Khi tìm giới hạn hàm số ta thường gặp các dạng sau:
Giới hạn của hàm số dạng: 
Nếu f(x) , g(x) là các hàm đa thức thì có thể chia tử số , mẫu số cho (x-a) hoặc (x-a)2.
Nếu f(x) , g(x) là các biểu thức chứa căn thì nhân tử và mẫu cho các biểu thức liên hợp.
Giới hạn của hàm số dạng: 
Chia tử và mẫu cho xk với k chọn thích hợp. Chú ý rằng nếu thì coi như x>0, nếu thì coi như x<0 khi đưa x ra hoặc vào khỏi căn bậc chẵn.
Giới hạn của hàm số dạng: . 
Ta biến đổi về dạng: 
Giới hạn của hàm số dạng: 
Đưa về dạng: 
C. CÁC VÍ DỤ:
.Chia tử và mẫu cho (x-2).
Bài 1. Tính các giới hạn sau: (Tính trực tiếp)
a. 	b. 	c. 
d. 	e. 	
Bài giải.
b. 
c. 
d. 
e. 
Bài 2. Tính các giới hạn sau: (dạng nhân chia lượng liên hợp)
	b. 	c. 
Bài gải.
Bài 3. Tính các giới hạn sau: ( Dạng chia đa thức)
a. 	b. 
Bài giải.
Bài 4. Tính các giới hạn sau: (Dạng đưa x mũ lớn nhất của tử và mẫu làm nhân tử chung (rút nhân tử chung sau đó chia tử và mẫu cho x mũ lớn nhất)
a.	b. 	c. 
d..	e. 	f. 
Bài giải.
a. 	
b.
c.	
d.
e. 	
f. 
BÀI TẬP TỰ GIẢI
Tính các gới hạn
Bài 1: (Tính trực tiếp)
1. 	2. 	3. 
4. ; 	5.
Bài 2: (Tính giới hạn dạng của hàm phân thức đại số)
Bài 3: (Tìm giới hạn dạng của hàm phân thức đại số chứa căn thức bậc hai)
Bài 4: (Tìm giới hạn dạng của hàm phân thức đại số chứa căn thức bậc ba và bậc cao)
Bài 5: (Tính giới hạn dạng của hàm số sử dụng phương pháp gọi hằng số vắng)
Bài 6: (Tính giới hạn dạng của hàm số )
Bài 7: (Tính giới hạn dạng của hàm số)
Bài 8: (Giới hạn một bên)
Bài 9: (Tính giới hạn dạng của hàm số)
Bài 10: Gọi d là hàm dấu: . 
Tìm (nếu có).
Bài 11: Cho hàm số . 
Tìm (nếu có).
Bài 12: Cho hàm số . 
Tìm (nếu có).
Bài 13: Cho hàm số . 
Tìm (nếu có).
Bài 14: Cho hàm số . 
Tìm (nếu có).
Bài 15: Tìm giới hạn một bên của hàm số 
khi 
PHẦN II: HÀM SỐ LIÊN TỤC:
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a;b). Hàm số được gọi là liên tục tại điểm x0 (a;b) nếu:.Điểm x0 tại đó f(x) không liên tục gọi là điểm gián đoạn của hsố
f(x) xác định trên khoảng (a;b) liên tục tại điểm x0 (a;b) .
f(x) xác định trên khoảng (a;b) được gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng ấy.
f(x) xác định trên khoảng [a;b] được gọi là liên tục trên khoảng [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) và 
Hàm số đa thức liên tục trên R
Hàm số phân thức, hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng
Giả sử
Nếu y = f(x) liên tục trên[a; b] và f(a).f(b) <0 thì tồn tại ít nhất một số c Î (a; b): f(c) = 0
Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục trên[a; b] và f(a).f(b) <0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c Î (a; b)
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN:
1. Hàm số liên tục tại điểm: 
Để xét tính liên tục của hàm số y=f(x) tại điểm xo ta thực hiện các bước sau:
B1: Tính f(x0)
B2: Tính ( trong nhiều trường hợp ta cần tính ,)
B3: So sánh 
B4: Rút ra kết luận
2. Hàm số liên tục trên một khoảng: y=f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó
Để xét tính liên tục của hàm số y=f(x) trên một khoảng ta thực hiện như sau:
* Xét 
* Xét tại 
B1: Tính f(x0)
B2: Tính ( trong nhiều trường hợp ta cần tính ,)
B3: So sánh 
B4: Rút ra kết luận
* Kết luận chung về hàm số có liên tục trên khoảng hay đó hay không
3. Hàm số liên tục trên đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục trên (a;b) và
4. Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm:
Để chứng minh phương trình có ít nhất một nghiệm trên khoảng (a,b) ta làm như sau :
B1: Đặt y = f(x) à hàm số liên tục trên (a;b)
B2: Tính f(a), f(b) à f(a). f(b)<0
B3: Kết luận về sự có nghiệm của phương trình
C. CÁC VÍ DỤ:
Bài 1. Tính các giới hạn sau:
a. ;	c. 	e. 
b. 	d	f. 
Bài giải.
a. ;	
b.	
c. 	
d. 	
e. 
f. 
Bài 2. Cho các hàm số: 
	b. 
Tính các: ; ; ; f(1)?
Bài giải.
a1. x®1+ tức là x>1, khi đó .Vậy 
a2. x®1- tức là x<1, khi đó . Vậy 
Vậy không tồn tại . f(1)=5.(1)+3=8
b1. x®1+ tức là x>1, khi đó .
Vậy 
b2. x®1- tức là x<1, khi đó .
Vậy .
Vậy .
Bài 3. Xét tính liên tục của các hàm số sau lại x0=1 : 
a. 	b. 
Bài giải.
Ta có 
f(1)=1.
Do đó . 
Vậy f(x) liên tục tại x0=1
Ta có 
f(1)=3.
Do đó . 
Vậy f(x) liên tục tại x0=1
Bài 4. Cho hàm số .
Giá trị của a là bằng bao nhiêu để hàm số liên tục tại x0=0.
Bài giải.
Ta có 
f(0)=2a+1
.
Hàm số f(x) liên tục lại x0=0 khi và chỉ khi 
Bài 5. Cho hàm số .
Giá trị của a là bằng bao nhiêu để hàm số liên tục tại x0=4.
Bài giải.
Ta có
f(4)=2a+1
Hàm số f(x) liên tục lại x0=4 khi và chỉ khi 
Bài 6. Cho hàm số .
Giá trị của a là bằng bao nhiêu để hàm số liên tục tại x0=-1.
Bài giải.
Ta có 
f(1)=a+1
Hàm số f(x) liên tục lại x0=-1 khi và chỉ khi 
BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1: xét tính liên tục của hàm số tại điểm đã chỉ ra :
Bài 2: xét tính liên tục của hàm số tại x0=1
Bài 3: xét tính liên tục của hàm số tại x=0và x=3 
Bài 4: Tìm a để hàm số liên tục tại x=0
Bài 5: Cho hàm số .
a) Tìm a để hàm số liển tục trái tại x=1; 
b) Tìm a để hàm số liển tục phải tại x=1;
c) Tìm a để hàm số liển tục trên 
Hàm số liên tục trên một khoảng
Bài 1: Chứng minh rằng:
a)Hàm số f(x)= liên tục trên 
b)Hàm số liên tục trên khoảng (-1; 1)
c)Hàm số f(x)= liên tục trên nửa khoảng .
Bài 2: Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây liên tục trên tập xác định của nó:
Bài 3: Giải thích vì sao:
a)Hàm số f(x)= liên tục trên 
b)Hàm số 
c)Hàm số 
Bài 4: Tìm các khoảng, nửa khoảng trên đó mỗi hàm số sau đây liên tục:
Bài 5: Hàm số có liên tục trên R ? 
Bài 6: Xét tính liên tục của các hàm số sau đây trên tập xác định của nó
Bài 7: Xét tính liên tục của hàm số trên R.
Phần thứ ba : Kết Luận
Đối với các bài toán có liên quan đến phần giới hạn trong khi giảng dạy giáo viên cần :
- Nhắc lại các công thức đã học
- Nêu lại các định nghĩa và các giới hạn đặc biệt
- Nêu lại phương pháp giải đối với từng dạng bài toán
* Kiến nghị :
- Thời gian phân phối chương trình còn ít, cần tăng thêm thời gian luyện tập cho học sinh.
- Cần bổ sung thêm hệ thống bài tập vừa sức với học sinh.
- Tạo điều kiện cho giáo viên và học sinh có thêm nhiều cơ hội tham khảo tài liệu.