Sáng kiến kinh nghiệm Giải hệ phương trình SGK 10

ng chỉ kiến thức mà cả phương pháp suy luận, khả năng tư duy. Từ những kiến thức cơ bản phải dẫn dắt hoc sinh có được những kiến thức nâng cao một cách tự nhiên (chứ không áp đăt kiến thức nâng cao).
2. Các biện pháp thực hiện 
Trong các tiết học thông qua các vấn đề hoặc các bài tập trong sách giáo khoa, người thầy phải hướng dẫn học sinh khai thác, mở rộng bài toán,biết nhìn bài toán dưới nhiều góc độ.
Để cụ thể hoá điều trên, tôi đã trình bày trong đề tài này : Xuất phát từ môt bài toán rất đơn giản dành cho hoc sinh trung bình yếu, với cách giải là áp dụng thuật toán có sẵn. Nhưng nếu suy nghĩ ta sẽ: 
* Tìm thấy nhiều cách giải thú vị.
* Đồng thời từ bài này đặt ra nhiều bài toán nâng cao, tổng quát thành nhiều bài toán mới.
*Qua đó đưa ra và giải quyết những vấn đề mới, có liên quan trưc tiếp đến thi đại hoc và thi hoc sinh giỏi. 
3. Ví dụ 1:
 Giải hệ phương trình : a) 
GV: Gọi học sinh lên bảng làm bài, sau đó gọi một em khác lên kiểm tra bài cũ với câu hỏi:
“nêu cách giải hệ phương trình gồm một phương trình bậc hai và một phương trình bậc nhất hai ẩn”
 Khi học sinh hoàn thành lời giải trên bảng ta bắt đầu sửa lời giải :
Từ (2) rút ra x = 6 - 3y (3) thế vào (1)
(GV: Nên rút x vì khi đó biểu thức sau khi rút sẽ gọn hơn)
Ta được : (*) 
 thay vào biểu thức (3) ta có : x=3
Vây hệ có nghiệm duy nhất :
GV:còn cách giải nào khác để giải hệ trên không?
GV:Yêu cầu học sinh nhận xét về các số hạng tương ứng ở hai phương trình(1) và (2).
 Rõ ràng đây không phải là hệ đối xứng với hai ẩn x,y, nhưng hãy tìm ẩn mới để hệ đối xứng. Từ đó ta có cách 2:
Cách 2: Hệ (1.2) Đặt : 3y=t khi đó hệ trở thành 
(Đây là hệ đối xứng với hai ẩn x và t )
 Hệ 
Vậy x, t là nghiệm của phương trình (**)
 nên hệ có nghiệm x=t=3 . Suy ra nghiêm của hệ (3.1) là :
Để rèn luyện tư duy cho học sinh GV đặt câu hỏi : Nếu ta thay 18 bằng 0 ai trả lời nhanh nghiệm của phương trình : ?
TL: Ta thấy . Suy ra vậy PT trên có nghiệm x=y=0
nhưng khi đó : nên hệ VN
GV:Từ PT(*) ở cách 1và(**) ở cách 2 ta thấy chúng đều có nghiệm kép hay hai PT đó đều là “danh giới của sự vô ngiệm”.
Vì vây ta phán đoán thêm một cách giải nữa của hệ, đó là phương pháp đánh giá.
Vấn đề bây giờ là phải đánh giá như thế nào ?
Ta để ý : Hạng tử thứ nhất của PT thứ nhất là 
 Hạng tử thứ nhất của PT thứ hai là x
 Hạng tử thứ hai của PT thứ nhất là 
 Hạng tử thứ hai của PT thứ hai là 3y
Ta nghĩ ngay đến bất đẳng thức liên hệ giữa các số a,b và , 
Ta dễ dàng chứng minh công thức 
Ta có cách 3
Cách 3: áp dụng bất đẳng thức này cho 4 số : x; 3y; 1; 1 ta có:
 (4)
Vậy theo (2) ta có : 
Để có (1) cần có , thay vào (2) ta được : y=1 ; x=3.
 GV: Vẫn với phân tích để tìm ra cách 3 , ta còn thấy một phép toán hình học có liên quan đến mối liên hệ giữa 2cặp số (a,b) và .
Đó là : 
Vậy nếu chọn . Từ đó gợi cho ta cách giải 4.
Cách 4: 
Đặt 
Mặt khác : 
GV:lưu ý cho hoc sinh: ở bên trái là trị tuyệt đối của một số 
 ở bên phải là độ lớn của một véc tơ.
Vậy ta được : 
 (5) . 
Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi 
‌ hoặc cùng phương hay tồn tại 
 để :
GV: Ta để ý bất đẳng thức (4)ở cánh 3 và bất đẳng thức (5) ở cách 4 là giống nhau mặc dù hai cách dẫn đến là khác nhau.
Vì vậy mà gợi cho ta nghĩ đến việc đặt vấn đề ngược lại, tìm cách chứng minh bài tậpbằng cách sử dụng tích vô hướng của hai véc tơ .
Nếu bắt trước cách làm 4 của bài 1.a ta có cách chứng minh bài toán như sau: 
Xét 
,và 
do: ‌‌‌‌‌ nên .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
GV:Cũng với việc phân tích để dẫn đến cách 3 gợi cho ta nghĩ đến việc áp dụng bất đẳng thức quen thuộc khác:
 (***)
từ đó ta có cách 5:
Cách 5: áp dụng BĐT (***) với a = x và b = 3.y ta sẽ trở về BĐT(4)
GV:Nếu để ý đến phương trình (1) ta thấy VT có dạng : x2+(3y)2 . Điều đó lại gợi cho ta liên tưởng đến một công thức trong hình học 
Nhưng vấn đề vế trái của công thức là 1 , để được điều đó ta chia hai vế của phương trình (1) cho 18 khi đó:
 (1).
Vậy nếu có góc α để thì . Nhưng để có : cần có điều kiện . Ta quay lại xét hệ (1.2). Ta thấy :
Từ PT(1) .
Nếu có một trong hai số x hoặc 3y nhỏ hơn không thì từ PT(2):x+3y=6 dẫn đến số còn lại phải lớn hơn, điều này mâu thuẩn với (*). Vậy ta được ; .
Từ đây ta có cách 6:
Cách 6: 
Theo lý luận trên thì có góc α để 
Thay vào PT(1) suyra: 
Ta được 
thay vào phương trình (2) ta được : 
GV: Mặt khác ta có: Với thì 
Vậy 
Suy ra 
GV:Ta thấy từ việc giải BT1.a đã đẫn đến việc tìm thêm được một cách giải BT
Ta đặt vấn đề ngược lại từ các cách chứng minh BĐT trên ta thử tìm cách giải phương trình 1.a .
Ta thử bắt trước cách đó để làm BT1.a.
Cách 7:
 Gọi (xo,yo) là nghiệm của hệ phương trình, tức 
Ta xét phương trình bậc hai ẩn α : (**)
Rõ ràng PT đã cho nếu có nghiệm thì nghiệm đó là : α = x0= 3y0
Mặt khác ta thấy
 phương trình (**)
Vậy xo = 3 ; yo =1 . Thử lại kết quả ta thấy thoả mãn.
GV: Ta đã có cách giải rất mới và thú vị.
GV: Mặt khác nếu để ý khi đặt : 3y = t ta được hệ phương trình : 
thì phương trình là phương trình đường tròn tâm O(0,0) và bán kính R = 
(ở lớp 10 đăc biệt là các lớp mũi nhọn ta nên giới thiệu cho hoc sinh biết phương trình đường tròn tâm O(0,0) và bán kính a có dạng . Thông qua các bài toán như :CMR điểm M(x0;y0) thoả mản : là cách gốc toạ độ một khoảng a (a>0) . hoặc bài toán :cho điểm M(x,y) nằm trên đường tròn tâm O(0,0) bán kính a>0 hãy tìm mối liên hệ giữa x và y .
Hai bài này làm không khó, chỉ cần học sinh học song phần toạ độ của một điểm là làm được )
Còn phương trình thứ hai của hệ : x+t = 6 là phương trình đường thẳng cắt trục Ox tại điểm A(6,0) cắt trục Ot tại điểm B(0,6) . Khi thử biểu diễn hình học của hai đường, trên hệ trục toạ độ Oxt ta thấy đường thẳng tiếp xúc với đường tròn, vậy ta có cách giải thứ 8 :
Cách 8: 
 Đường thẳng x+t=6 cắt Ox tại điểm A và Ot tại điểm B , khi đó ∆OAB là tam giác vuông cân, suy ra khoảng cách từ O đến đường thẳng có phương trình :
 x+t =6 là độ dài đường cao OH = và bằng bán kính của đường tròn có phương trình , vậy đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại điểm H, hay nghiệm của hệ là toạ độ điểm H . Mặt khác ∆OAB là tam giác vuông cân tại O nên 
GV: Tinh tế hơn ta còn thấy một cách giải khác. 
Cách 9:
 Nhân phương trình (2) với - 6 sau đó cộng vế với vế vào phương trình (1) ta được:
 (sử dụng tính chất A2 + B2 = 0 )
thế vào hệ (1.2) thấy thoả mãn, vậy hệ có nghiệm duy nhất x=3 ,y=1.
GV:Ta chưa dừng lại ở đây , nếu ta tham số hoá hệ phương trình ta sẽ có những bài toán mới .
Chẳng hạn: ta thay 18 bởi m ( tham số)
ta được hệ (II)
và ta có thể đưa ra một số bài toán.
Bài toán 1: Tìm m để hệ II có nghiệm 
Bài làm: 
Cách 1:
 Dựa vào cách 1 của bài 1.a ta có cách sau:
Rút từ phương trình (7) : x= 6 - 3y (6’) thế vào phương trình (6) ta được :
 (6 - 3y)2 + 9y2 = m 18y2- 36y+ 36 - m = 0 
GV: ta nên chia hai vế cho 18 để được phương trình với hệ số gọn hơn:
 (7’)
ta để ý :với mỗi nghiệm y0 của phương trình (7’) ta được một nghiệm (xo,yo)
Vậy để hệ (II) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (7’) có nghiệm tức là
 Cách 2:
 GV: Nếu ta phân tích cách giải 2 ở bài 1a với phép đặt 3y= t ta đưa hệ về dạng
 Để hệ có nghiệm cần và đủ là:
GV: yêu cầu học sinh phân tích cách 8 của bài 1a để tìm cách giải 3
Bài toán 2: Tìm m để hệ (II) có nghiệm duy nhất 
Bài làm:
Cách 1:
Với việc phân tích bài toán 1 ta thấy để hệ có nghiệm duy nhất cần và đủ là
 D’= 0 
 GV:để rèn luyện thói quen kiểm tra kết quả sau khi giải toán và khả năng tư duy biện chứng cho hoc sinh, ở đây giáo viên có thể đặt câu hỏi cho học sinh như :
GV:Ta thấy đáp số là đáng tin cậy .Vì sao?
TL: vì m= 8 ta trở lại bài toán 1a .
GV: còn nếu học sinh làm ra đáp số không phải là 8 GV khẳng định ngay kết quả là sai mặc dù chưa cần kiểm tra các bước tính toán .
GV:yêu cầu học sinh phân tích cách 2 và cách 8 của BT1a để tìm cách 2 và 3 của bài này. 
GV: với phép đặt :2y = t ta đã đưa hệ về dạng hệ đối xứng 
Theo tính chất của hệ đối xứng nếu (x0,to) là nghiệm của hệ thì (x0,to) cũng là nghiệm của hệ, vậy để hệ có nghiệm duy nhất cần x0=to(chú ý đây mới là điều kiện đủ ) từ đây ta có cách giải :
Cách 4 :
 ĐK cần : (x0, to) là nghiệm của hệ thì (t0, xo) cũng là nghiệm của hệ, vậy để hệ có nghiệm duy nhất cần x0=to 
ĐK đủ : Thay m =8 vào hệ ta thấy thoả mãn 
Vậy m=8 là kết quả cần tìm 
GV: Đây là một phương pháp rất quan trọng để giải bài toán nghiệm duy nhất của hệ đối xứng .Đối với các bài toán sau ta sẽ thấy tầm quan trọng của phương pháp này :
Bài toán a: Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất :
a/
b/
c/ 
GV: Yêu cầu học sinh tự làm .
Bài toán b: 
Tìm a để các hệ sau có nghiệm duy nhất :
a) b) 
GV: yêu cầu học sinh về nhà làm .
GV:tiếp tục ta mở rộng bài toán với sự rằng buộc của nghiệm.
Bài toán 3: Tìm m đê hệ (II) có hai nghiệm (x1, y1) và (x2, y2) sao cho
Bài làm :
Cách 1:
Để hệ có 2 nghiệm (x1,y1) và (x2,y2) sao cho sao chocần và đủ là phương trình (7’) phải có 2 nghiệm y1,y2 thoả mản điều kiện tức a.c < 0
Cách 2:
 Nếu sử dụng cách 2 trong bài 1a với phép đặt 3y = t đưa về hệ vậy để hệ ban đầu có hai nghiệm thoả mãn điều kiện thì hệ này phải có hai nghiệm thoả mãn 
Vì vậy phương trình : có 2 nghiệm trái dấu tức a.c < 0
Cách 3:
Từ cách 8 với sự biểu diễn hình học thì yêu cầu bài toán tương đương với việc đường tròn có phương trình : x2 + t2 = m phải cắt đường thẳng : x + t = 6 tại hai điểm nằm ở góc phần tư thứ 2 và thứ 4 tức bán kính :R= .
Bài toán 4: Tìm m để hệ (6.7) có hai nghiệm (x1,y1) và (x2,y2) sao cho( thực chất đây là bài toán tìm điều kiện để phương trình bậc 2 một ẩn có hai nghiệm dương phân biệt và điều kiện là 
Vẫn sử dụng được cả 3 cách ở bài toán 3. Đáp số: 
GV: Ta lại thay đổi yêu cầu bài toán từ ràng buộc của y thay bằng ràng buộc của x tức là:
Bài toán 5 : Tìm m để hệ phương trình (II) có 2 nghiệm (x1,y1) và (x2,y2) sao cho : 
 0 < x1, x2.
GV : Đây là vấn đề đặt lên cho học sinh vướng mắc.
Vấn đề ở đây là ta đưa về phương trình ẩn y trong đó yêu cầu là ràng buộc của x.
Vì vậy ta có hai hướng giải quyết :
Chuyển ràng buộc của x thành ràng buộc của y.
Chuyển thành phương trình của x.
 Ta thấy cách 2 khả thi hơn.
Bài làm:
 Từ pt (7) y = thế vào (6) x2 + (6 - x)2 = m 2x2- 12x +36 - m = 0 (8)
Vậy yêu cầu bài toán phương trình (8) có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện:
 0 < x1, x2
(GV:Tất nhiên bài toán này có thể giải dựa theo cách 2 và cách 3 của bài toán 3)
GV: Tiếp tục ta đưa ra các bài toán ràng buộc giữa các nghiệm với áp dụng định lý Viét như:
Bài toán 6: Tìm m để hệ phương trình có hai nghiệm (x1,y1),(x2,y2) thoã mãn điều kiện : y21+y22 = 20 .(*)
Bài làm: 
Để hệ có 2 nghiệm (x1,y1),(x2,y2) theo bài toán 1 cần ĐK : m 18.
 Khi đó phương trình : có 2 ngiệm y1,y2 và khi đó (*) (y1+y2)2- 2y1y2=1
 22 - 2( 2 - ) = 20 4- 4 +m/9 =20 m=180.
Vậy m = 180 là giá trị cần tìm.
Bài toán 7: Tìm m để hệ phương trình (II) có 2 nghiệm (x1,y1) và (x2,y2) thoã mãn điều kiện : x12+x22+y12+y22=4 (**)
Cách 1:
 Với m 18 khi đó x1,x2 là nghiệm của phương trình: 2 x2 - 12x + 36 - m=0
=>x12+x22= (x1+x2)2 -2x1x2 =36 -2.(36-m)/2 = m
TT ta có y1,y2 là nghiệm của phương trình: nên y12+y22= m/9. 
Vậy (**) m+m/9 =20 10m/9 =20 m=18
Vậy m=18 là giá trị cần tìm của m.
Cách 2 :
 (x,y) là nghiệm của hệ nên ta có : x+3y = 6 hay x = 6- 3y
Vậy (**) (6- 3y1)2 + (6-3y2)2 +y12+y22= 20
 36 -36y1+9y12+36-36y2+9y22 +y12+y22= 20
 72 -36(y1+y2)- 10(y12+y22) =20
 72 - 36 . 2 + 10 . m/9 = 20 m=18
GV: Sử dụng định nghĩa của hệ ta tiếp tục đưa ra các bài toán sau:
Bài toán 8: Tìm m để hệ pt (II) có 2 nghiệm (x1,y1) và (x2,y2) sao cho :
 x12 + 2x22 +y12+10y22 =38 (***) 
Bài làm: 
Với m 18 khi đó: do x2,y2 là nghiệm của hệ phương trình nên : x22 + 9y22 = m
(***) x12 + x22 +y12+y22 +( x22 + 9y22 ) = 38
 m+m/9 +m =27 m = 18 
Bài toán 9: Gọi (x,y) là nghiệm của hệ phương trình (II) tìm m để :
x (x3 -9) = 27y(3y3-1)
Bài làm: 
Với m 18 khi đó: 
 x (x3-9) = 27 y( 3y3- 1) x4 -9x =81y4 -27y
 (x2 – 9y2) (x2+ 9y2) = 9(x-3y)
 (x-3y) 6m = 9 (x-3y)
 6(x-3y) (6m-9) = 0 (loại)
 Vậy không tồn tại giá trị nào m thoả mãm bài toán
Bài toán 10: Gọi x,y là nghiệm của hệ pt: 
Tìm m để A=x đạt giá trị lớn nhất.
Bài làm: áp dụng bất đẳng thức ta có:
A2 = (x)2 Ê (x2+9y2) [(6+3y)+(6+x)] 
 = 18 (12+3y+x) Ê 8 (12+) = 8(12+6) = 18.18 = 324
Dấu “=” xảy ra khi x=3y=3 m = 6 Max A=18
GV: Ta vẫn chưa dừng lại ở đây, ta sẽ tìm cách tổng quát bài toán 1a.
Từ việc xem xét cách giải 3 và cách giải 7 ta thấy có thể tổng quát bài toán1a.
Bài toán 1: Giải hệ phương trình: 
GV:Ta lại nhận xét có thể thay thê hệ số gắn với x,y để được bài toán tổng quát hơn.
Bài toán 2: Giải hệ phương trình 
GV:Tiếp tục ta lại tổng quát bài toán với việc thêm số ẩn của hệ.
Bài toán 3: Giải hệ phương trình: (I) 
Ta giải bài toán (I):
Cách giải:( Dựa theo cách 7 của bài 1-a)
Gọi ( x01, ....,x0n) là nghiệm của hệ.
Xét phương trình bậc 2 ẩn t : (t - a1x01)2 + ...+(t - anx0n )2 = 0
rõ ràng phương trình trên nếu có nghiệm thì có nghiệm duy nhất
 t=a1x01 = ....= anx0n (*) 
Mặt khác: phương trình tương đương với:
( t2 - 2a1x01t + a1x201) + ...+(t2- 2anxont + anx0n2) = 0
 nt2 - 2t(a1x01 + ...+ anx01) + (a21x0n2 + ...+ a2nx0n2) =0
 nt2 - 2kt + k2/n =0
Pt có D’= k2 - k2 = 0, Vậy phương trình có nghiệm duy nhất t = k/n.
Vậy theo (*) suy ra x0i = (i = ) là nghiệm của hệ phương trình. 
4. Chuyeồn bieỏn sửù vieọc:
- Neỏu hoùc sinh chuaồn bũ baứi ụỷ nhaứ toỏt, naộm vửừng phửụng phaựp giaỷi toaựn thỡ tieỏt hoùc dieón ra soõi noồi. Hoùc sinh coự theồ phaõn tớch ủửụùc nhieàu hửụựng giaỷi hay ngoaứi dửù kieỏn cuỷa giaựo vieõn.
- ẹa soỏ hoùc sinh trong lụựp tham gia traỷ lụứi caõu hoỷi hửụựng daón phaõn tớch cuỷa giaựo vieõn vaứ chaờm chuự nghe yự kieỏn cuỷa baùn.
- Neỏu hoùc sinh chuaồn bũ baứi khoõng toỏt thỡ tieỏt daùy seừ maỏt thụứi gian hụn nhửng lụựp vaón soõi noồi hụn laứ daùy phửụng phaựp cuừ.
5. Kieồm chửựng keỏt quaỷ thửùc hieọn:
a. Thoỏng keõ:
Sau ủaõy toõi xin trỡnh baứy keỏt quaỷ hoùc taọp, thoõng qua 2 baứi kieồm tra 1 tieỏt
Laàn thửự
Toồng soỏ h/s
ẹieồm
Ghi chuự
0 đ 2
3 đ 4
5 đ 6
7đ 8
9 đ 10
I
52
3
5
22
15
7
5.76 %
9.62%
42.3 %
28.8%
13.52%
II
52
2
2
23
16
9
3.85 %
3.85 %
44.3 %
30.78 %
17.1%
b. Phaõn tớch, ủaựnh giaự keỏt quaỷ:
- Hoùc sinh yeỏu keựm giaỷm:
	+ Keựm 	: giaỷm tửứ 5.76 % coứn 3.85 %
	+ Yeỏu	: giaỷm tửứ 9.62 % coứn 3.85 %
Vụựi keỏt quaỷ treõn cho thaỏy hoùc sinh yeỏu keựm daàn naộm ủửụùc phửụng phaựp giaỷi toaựn hỡnh hoùc khoõng gian, caực em ủaừ baột ủaàu phaựt huy ủửụùc naờng lửùc hoùc taọp cuỷa mỡnh.
- Hoùc sinh trung bỡnh, khaự, gioỷi taờng:
	+ Trung bỡnh	: taờng tửứ 42.30% leõn 44.3 %
	+ Khaự	: taờng tửứ 28.80% leõn 30.78 %
	+ Gioỷi	: taờng tửứ 13.52% leõn 17.1 %
Caực em hoùc sinh trung bỡnh, khaự ủaừ coự bửụực tieỏn, bieỏt phaõn tớch, baỷn thaõn tửù tỡm ra lụứi giaỷi, trỡnh baứy baứi giaỷi logớc theo sửù chuỷ ủoọng cuỷa baỷn thaõn.
Caực em hoùc sinh gioỷi phaựt huy ủửụùc tớnh saựng taùo cuỷa mỡnh vaứ caực em baột ủaàu hoùc toaựn n baống sửù hửựng thuự vaứ ủam meõ.
II. Kieồm nghieọm laùi keỏt quaỷ:
1. Keỏt quaỷ cuỷa bieọn phaựp mụựi:
Ban ủaàu hoùc sinh chửa laứm quen ủửụùc phửụng phaựp mụựi, caực em coứn nhuựt nhaựt, thuù ủoọng, ủụùi ủeỏn giaựo vieõn goùi thỡ caực em mụựi phaựt bieồu. Vaứ caực em khoõng tửù mỡnh phaõn tớch ủửụùc baứi giaỷi maứ phaỷi coự sửù gụùi yự cuỷa giaựo vieõn neõn keỏt quaỷ tieỏt daùy khoõng cao. Daàn veà sau hoùc sinh hoaùt ủoọng tớch cửùc vaứ coự tớnh tửù giaực, caực em maùnh daùn ủửựng leõn phaõn tớch vaứ tửù mỡnh trỡnh baứy baứi giaỷi moọt caựch logớc, coự khoa hoùc.
2. Phaùm vi taực duùng cuỷa saựng kieỏn kinh nghieọm:
a. ẹoỏi vụựi baỷn thaõn:
- Giaựo vieõn phaỷi nghieõn cửựu saõu, kyỷ veà kieỏn thửực chuyeõn moõn vaứ caực kieỏn thửực lieõn quan ủeỏn baứi daùy. Neõn tửứ ủoự ủaừ xoaự ủi tớnh chuỷ quan cuỷa giaựo vieõn, daàn theo thụứi gian giaựo vieõn ủaừ tửù boài dửụừng cho mỡnh moọt kieỏn thửực chuyeõn moõn vửừng vaứng.
- Nhửừng caựch giaỷi quyeỏt vaỏn ủeà khaực nhau cuỷa hoùc sinh laứm cho giaựo vieõn coự nhieàu kinh nghieọm trong dửù ủoaựn caực tỡnh huoỏng vaứ xửỷ lyự tỡnh huoỏng.
b. ẹoỏi vụựi hoùc sinh:
- Hoùc sinh hoùc moõn khoõng coứn goứ boự theo khuoõn maóu, maứ caực em phaựt huy ủửụùc tớnh cửùc, ủoọc laọp, saựng taùo trong hoùc taọp. 
- Hoùc sinh hoùc moõn tửứ nhửừng bửụực ủi cụ baỷn vửừng chaộc, daón ủeỏn ủam meõ, roài caực em hieồn nhieõn trụỷ thaứnh moọt hoùc sinh gioỷi toaựn 
c. ẹoỏi vụựi ủoàng nghieọp, toồ nhoựm chuyeõn moõn:
ẹaõy laứ phửụng phaựp khoõng khoự, giaựo vieõn naứo cuừng coự theồ thửùc hieọn ủửụùc. Vaứ ủaởc bieọt laứ aựp duùng ủửụùc ủoỏi vụựi taỏt caỷ caực ủoỏi tửụùng hoùc sinh. Neõn toõi ủaừ ủem phoồ bieỏn trong toồ, caực anh em trong toồ cuừng coự nhieàu goựp quớ baựu vaứ ủaừ maùnh daùn aựp duùng phửụng phaựp naứy vaứo lụựp mỡnh phuù traựch vaứ bửụực ủaàu ủaừ mang laùi thaứnh coõng.
3. Nguyeõn nhaõn thaứnh coõng vaứ toàn taùi:
a. Nguyeõn nhaõn thaứnh coõng:
- Baỷn thaõn, ủaừ coự sửù ủam meõ moõn hỡnh hoùc tửứ luực khi coứn ngoài dửụựi gheỏ nhaứ trửụứng phoồ thoõng.
- ẹửụùc sửù giuựp ủụừ, ủoựng goựp yự kieỏn nhieọt tỡnh cuỷa caực anh em ủoàng nghieọp trong toồ chuyeõn moõn.
- Lụựp toõi phuù traựch phaàn lụựn hoùc sinh ủeàu coự tinh thaàn vửụùt khoự, tửù giaực hoùc taọp.
b. Toàn taùi:
- Caực baứi toaựn coự nhieàu phửụng phaựp giaỷi, thỡ laứm maỏt raỏt nhieàu thụứi gian.
- Caực baứi toaựn phaỷi keỷ theõm ủửụứng phuù thỡ ủoỏi tửụùng hoùc sinh trung bỡnh yeỏu gaởp raỏt nhieàu khoự khaờn trong trong quaự trỡnh phaõn tớch baứi giaỷi.
4. Baứi hoùc kinh nghieọm:
ẹoỏi vụựi caực baứi toaựn coự nhieàu phửụng phaựp giaỷi, thỡ hoùc sinh ủoõi luực phaõn tớch hửụựng giaỷi khoõng ủuựng vụựi yự ủoà cuỷa giaựo vieõn. Khi ủoự giaựo vieõn phaỷi toõn troùng vaứ phaõn tớch theo hửụựng giaỷi cuỷa caực em, sau ủoự chổ roừ caực ửu khuyeỏt ủieồm cuỷa hửụựng giaỷi maứ caực em ủaừ ủửa ra. 
Theo phửụng phaựp treõn laứm cho hoùc sinh tieỏp thu baứi hoùc moọt caựch tớch cửùc vaứ giaỷi quyeỏt vaỏn ủeà moọt caựch saựng taùo coự khoa hoùc. Keỏt quaỷ thu ủửụùc goựp phaàn khoõng nhoỷ, ủaựp ửựng nhu caàu ủoồi mụựi phửụng phaựp maứ ngaứnh giaựo duùc ủeà ra.
C - Kết luận
Đề tài đã làm được:
Từ một bài toán đơn giản trong sách giáo khoa đã tìm ra 9 cách giải về bài toán này, ở mỗi cách giải đều nêu ra hướng tư duy, suy nghĩ để dẫn đến cách giải đó.
Sau đó đặt ra 10 bài toán khác dựa trên bài toán xuất phát ban đầu.
Tiếp theo từ việc phân tích các cách giải đã tổng quát bài toán ban đầu thể hiện ở 3 bài toán, với nhiều bài có thể lấy làm đề thi học sinh giỏi( trong đó có nhiều bài cho dưới dạng tổng quát vì vậy mà từ bài toán dạng tổng quát đó ta thay số cụ thể vào sẽ đưa ra vô số bài toán khác nhau).
Sau khi nhận xét về đặc điểm của hệ đối xứng đã đưa ra phương pháp tổng quát để tìm điều kiện để hệ đối xứng có nghiệm duy nhất và đưa ra 3 bài toán dạng này.
Đồng thời với việc phân tích cách 3 và cách 4 của bài toán gốc đã dưa ra phương pháp giải véc tơ 
Hơn nữa trong qúa trình đặt ra các bài toán mới đã giải quyết bài toán so sánh nghiệm với một số không qua ứng dụng của định lý Viet
Với dung lượng 14 trang giấy A4 tưng đương với 4 tiết học trên lớp. Không nhất thiết giảng dạy triệt để theo nội dung đề tài này , mà ta có thể chọn lọc những vấn đề cần thiết ,đặc biệt là tư tưởng và lối suy nghĩ trong sáng kiến kinh nghiệm này để giảng dạy cho học sinh 
Sáng kiến này mới chỉ là một ví dụ nhỏ về tư tưởng khai thác bài toán thông qua một bài tập . Tôi hi vọng rằng nó sẽ giúp các thầy cô giáo một phần nào đó trong công tác giảng dạy.
Thời gian làm sáng kiến kinh nghiệm này là ngắn, hơn nữa cũng là do yêu cầu dung lượng một sáng kiến kinh nghiệm là không nhiều. Vì vậy mà Tôi chưa khai thác được hết các vấn đề xung quanh bài tập này. Mong được sự giúp đỡ của các Thầy cô và các em học sinh. 
Theo phửụng phaựp treõn laứm cho hoùc sinh tieỏp thu baứi hoùc moọt caựch tớch cửùc vaứ giaỷi quyeỏt vaỏn ủeà moọt caựch saựng taùo coự khoa hoùc. Keỏt quaỷ thu ủửụùc goựp phaàn khoõng nhoỷ, ủaựp ửựng nhu caàu ủoồi mụựi phửụng phaựp maứ ngaứnh giaựo duùc ủeà ra.
Tôi xin chân thành cảm ơn !