Sáng kiến kinh nghiệm Giải bài toán bằng cách lập phương trình ở chương trình Lớp 8, Lớp 9

am và Lan đi xe đạp cùng một lúc và ngược chiều nhau thì sau 1/4 giờ họ gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi người, biết rằng vận tốc của Lan bằng 3/4 vận tốc của Nam.
Hướng dẫn: Đây là dạng toán chuyển động ngược chiều. Khi 2 người cùng đi và gặp nhau thì 2 người đã đi hết quãng đường đó. Mà vận tốc của Lan bằng 3/4 vận tốc của Nam, như vậy có mối liên hệ như thế nào với cả 2 người trong khi thời gian đi của 2 người như nhau?
Học sinh sẽ hiểu đề bài tự đặt được ẩn và lập phương trình về mối tương quan giữa ẩn và các đại lượng khác.
Lời giải: (Tóm tắt)
Cách 1:
Gọi vận tốc của Nam là x (km/h) (x>0) thì vận tốc của Lan là (km/h)
Sau 1/4 giờ: Nam đi được quãng đường là (km)
Lan đi được quãng đường là (km)
Sau 1/4 giờ cả 2 người đã đi hết quãng đường 7 km nên có phương trình:
. Giải phương trình ta được x = 16 thỏa mãn ĐK.
Vậy vận tốc của Nam là 16km/h; vận tốc của Lan là 16.3/4 = 12 km/h.
Cách 2: 
Gọi quãng đường Nam đi sau 1/4 giờ là y (km). Theo đề bài ta có: x+y=7 (1)
Vận tốc của Nam là x: 1/4 = 4x (km/h); 
Vận tốc của Lan là y: 1/4 = 4y (km/h)
Theo bài ta có: 4y = 3/4.4x hay (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 
Giải hệ phương trình được x = 4; y = 3. Từ đó có vận tốc của mỗi người.
2. Bài 2: Một tàu thủy chạy trên một khúc sông dài 80km cả đi lẫn về mất 8h20 phút. Tính vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng ? Biết rằng vận tốc của dòng nước là 4km/h.
Hướng dẫn: Trong bài này cần lưu ý học sinh xác định vận tốc thực của tàu khi đi ngược dòng và xuôi dòng là khác nhau.
- Vận tốc xuôi dòng = vận tốc thực + vận tốc dòng nước.
- Vận tốc ngược dòng = vận tốc thực - vận tốc dòng nước.
Lời giải (tóm tắt)
Gọi vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng là x (km/h) (x>4)
Khi xuôi dòng vận tốc của tàu là x+4 (km/h)
Khi ngược dòng vận tốc của tàu là x-4 (km/h)
Thời gian tàu đi xuôi dòng là: 
Thời gian tàu đi xuôi dòng là: 
Thời gian tàu đi và về mất 8h20’ = 25/3h.
Nên ta có phương trình 
Giải phương trình bậc hai có 	x1 = 20 thỏa mãn ĐK
x2 = - 0,8 không thỏa mãn ĐK => loại
Vậy vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng là 20km/h
Tóm lại: Với 3 lời giải trên giáo viên đã hình thành cho học sinh làm quen với việc giải toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình, ở đây mới cố gắng nên 3 cách giải đại diện cho các dạng phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai và hệ phương trình.
Trong dạng toán chuyển động học sinh cần nhớ và nắm chắc các đại lượng quãng đường, vận tốc, thời gian liên quan với công thức S = v.t. Do đó khi giải nên chọn một trong 3 đại lượng trên là ẩn và điều kiện luôn luôn dương. Sau khi áp dụng công thức S = v.t hoặc điều kiện của bài toán để xây dựng phương trình (hệ phương trình) .
Trong dạng toán chuyển động cũng có thể chia ra nhiều dạng nhỏ, cần lưu ý:
- Nếu chuyển động trên cùng một quãng đường thì vận tốc và thời gian tỉ lệ nghịch với nhau.
- Nếu chuyển động ngược chiều và gặp nhau thì có thể lập phương trình từ:
S = S1 + S2
- Nếu thời gian của chuyển động đến chậm hơn dự định thì cách lập phương trình có thể từ:
T (dự định đi với v ban đầu) + T (đến chậm) = T (đi với v ban đầu)+ T (đi sau khi giảm tốc độ).
- Nếu chuyển động xuôi dòng và ngược dòng thì:
V (xuôi) + V (ngược) = 2V (thực)
V (xuôi) - V (ngược) = 2V (dòng)
II. Dạng toán liên quan đến số học.
1. Bài 1: Mẫu của một phân số lớn hơn tử số của nó là 3. Nếu tăng cả tử và mẫu thêm 2 đơn vị thì được phân số 1/2. Tìm phân số đã cho ?
Hướng dẫn:
- Để tìm một phân số tức là ta phải tìm những thành phần nào?
- Biết tử số ta có thể tìm được mẫu số không và ngược lại?
- Sau khi tăng cả tử và mẫu 2 đơn vị ta có phân số nào ?
ở đây, ta thấy rằng các thành phần tử và mẫu số của phân số đã cho đều chưa biết, nghĩa là tương đương nhau về giá trị ẩn số. Như vậy ta có thể gọi bất kì tử số hoặc mẫu số là ẩn, cách chọn ẩn nào sẽ dẫn đến cách giải khác. Ngoài ra nếu gọi cả hai thành phần trên là ẩn sẽ dẫn đến giải hệ phương trình. Nhưng ta sẽ chọn cách giải đơn giản nhất. Muốn vậy cần đặt ẩn đơn giản nhất, ở đây là phân số nên thường là tử nhỏ hơn mẫu (bài toán cũng đã cho), do đó gọi tử số là ẩn.
Lời giải (Tóm tắt): Gọi tử của phân số đã cho là x (ĐK xẻZ, x ạ 0)
=> Mẫu số là x +3 (x ạ -3)
Sau khi tăng tử số sẽ là x +2 và mẫu số sẽ là x+3+2 = x+5 (x ạ -5)
Theo bài ra ta có phương trình: 
Giải phương trình được x = 1 thỏa mãn ĐK.
Vậy phân số đã cho là 1/4.
2. Bài 2: Hai số hơn kém nhau 12 đơn vị. Nếu chia số lớn cho 5 và chia số nhỏ cho 7 thì được thương thứ nhất hơn thương thứ hai là 4 đơn vị. Tìm hai số đó?
Hướng dẫn giải: Theo 4 cách ở bảng sau:
Cách
Quá trình
Số lớn
Số nhỏ
Phương trình xây dựng
1
- Chưa tính thương
- Tính tổng
x
x-12
2
- Chưa tính thương
- Tính tổng
x+12
x
3
- Chưa tính thương
- Tính tổng
x
y
4
- Chưa tính thương
- Tính tổng
y
x
Từ 4 cách chọn ẩn khác nhau ta dẫn đến xây dựng 4 phương trình hoặc hệ phương trình khác nahau và có 4 cách giải khác nhau nhưng đều có cùng 1 kết quả.
Giải phương trình (*) ta được:
ú 7x - 5x + 60 = 140
ú 2x =80 ú x = 40 (thỏa mãn ĐK bài toán)
Vậy số lớn là 40, số nhỏ là 28
3. Bài 3:
Tìm hai số biết tổng là 17 và tổng các bình phương của chúng là 157 ?
Hướng dẫn giải:
Đây là bài toán đưa về phương trình bậc 2 cũng có thể có 2 cách giải theo 2 cách đặt ẩn khác nhau:
Cách
Quá trình
Số thứ nhất
Số thứ hai
Phương trình xây dựng
1
- Chưa tính thương
- Tính tổng
x (xạ0)
x2
17 - x
(17 – x)2
x2+(17 – x)2 = 157(*)
2
- Chưa tính thương
- Tính tổng
x (xạ0)
x2
y (yạ0)
y2
x + y = 17
x2 + y2 = 157
Giải phương trình (*) ta có: 2x2 – 34x + 132 = 0
ú x2 – 17x +66 = 0
Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện của bài toán
Vậy só thứ nhất phải tìm là 11, số thứ hai là 6
* Chú ý: Với dạng toán có liên quan đến số học cần cho học sinh hiểu mối liên hệ giữa các đại lượng, đặc biệt giữa hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm Biểu diễn dưới dạng chính tắc của nó là:
Khi đổi chỗ vị trí của các chữ số hàng trăm, chục, đơn vị ta cũng biểu diễn tương tự như vậy. Dựa vào đó đặt điều kiện cho ẩn phải phù hợp.
III. Dạng toán về năng suất lao động.
1. Bài 1: Trong tháng đầu hai tổ sản xuất được 400 chi tiết máy, trong tháng sau tổ 1 vượt mức 10%, tổ 2 vượt mức 15% nên cả hai tổ sản xuất được 448 chi tiết máy. Tính xem trong tháng đầu mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy?
Hướng dẫn.
- Đã biết 2 tổ trong tháng đầu làm được 400 chi tiết, nếu biết số chi tiết của1 trong 2 tổ thì sẽ tính được số chi tiết của tổ kia (chọn ẩn).
- Giả sử đã biết năng suất của tháng đầu có thể tính được tổng chi tiết máy sản xuất tháng sau:
- Tính năng suất của từng tổ tháng sau, từ đó xây dựng phương trình.
Lời giải:
Cách 1:
Gọi x là số chi tiết máy tổ 1 sản xuất trong tháng đầu (xẻZ, 0<x<400)
Như vậy tổ 2 sản xuất được 400-x (chi tiết)
Tháng sau tổ 2 làm răng được 10%.x (chi tiết)
Tổ 2 làm tăng được 15%.(400-x) (chi tiết)
Do cả 2 tổ đã vượt 48 chi tiết nên có phương trình:
10% x +15% (400-x) = 48
Giải phương trình được x = 240 (thỏa mãn ĐK)
Vậy tháng đầu tổ 1 sản xuất được 240 chi tiết máy, tổ 2 sản xuất được 160 chi tiết máy.
Cách 2:
Gọi số chi tiết máy tổ 1, tổ 2 sản xuất được trong tháng đầu lần lượt là x và y (chi tiết) (x,y ẻZ, 0<x,y<400)
Theo bài ra ta có hệ phương trình: 
Giải hệ phương trình: x = 240, y = 160 (thỏa mãn ĐK) => kết luận.
2. Bài 2: Dân số của thành phố Hà Nội sau 2 năm tăng từ 2.000.000 lên 2.048.288 người . Tính xem hàng năm trung bình dân số tăng bao nhiêu phần trăm?
Hướng dẫn: Đã biết số người của năm đầu và 2 năm sau nên học sinh dễ nhầm lấy số sau trừ đi số trước sau đó chia 2 lấy trung bình từ đó tính phần trăm dẫn đến kết quả sai.
Lời giải:
Gọi số phần trăm dân số tăng mỗi năm của Hà Nội là x (%) (x>0).
Số dân năm đầu của Hà Nội tăng là 2.000.000 . x% = 20.000x
Sau năm đầu dân số của Hà Nội là: 2.000.000 + 20.000x = 20.000(x+100)
Năm thứ hai dân số Hà Nội tăng là: 20.000(x+100).x% = 200x (x+100)
Theo bài ra ta có phương trình: 20.000(x+100) + 200x(x+100) = 2048288
ú x2 + 100x -241,44 = 0
Giải phương trình ta được: 	x1 = 1,2 (thỏa mãn ĐK)
x2 = -201,2 (không thỏa mãn ĐK)
Vậy số phần trăm tăng dân số trung bình của Hà Nội là 1,2%.
Tóm lại: Với dạng toán liên quan đến tỉ số phần trăm học sinh thường ngại và khó giải, giáo viên cần gợi mở dần dần để học sinh hiểu rõ bản chất của logic và nội dung bài toán để dẫn tới mối liên quan xây dựng phương trình và giải phương trình như các dạng toán khác.
IV. Dạng toán về công việc làm chung, làm riêng
 (toán Quy về đơn vị)
1. Bài 1: Hai máy xúc nếu làm chung thì mất 6 ngày sẽ làm xong công việc được giao. Nếu làm riêng thì máy 1 làm lâu hơn máy hai là 5 ngày. Hỏi mỗi máy nếu làm riêng thì mất mấy ngày sẽ hoàn thành công việc được giao trên ?
Hướng dẫn giải: Theo bài ra ta có 2 cách giải sau:
Cách
Quá trình
Số thứ nhất
Số thứ hai
Phương trình xây dựng
1
- Làm riêng xong công việc
- Phần công việc làm trong 1 ngày
x (x>5)
x - 5
2
- Làm riêng xong công việc
- Phần công việc làm trong 1 ngày
x (x>5)
y (y>5)
Giải phương trình (*) ta có: x2 -17x +30 = 0
x1 =15
x2 = 2 (loại)
Vậy máy 1 làm trong 15 ngày thì xong công việc, máy 2 làm trong 10 ngày thì xong công việc.
2. Bài 2: Hai vòi cùng chảy vào một bể không có nước trong 12 giờ thì đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 4 giờ và vòi thứ hai chảy trong 6 giờ thì đầy 2/5 bể. Hỏi mỗi vòi chảy một mình thì phải mất bao lâu ?
Lời giải:
Gọi thời gian vòi 1 chảy 1 mình đầy bể là x (giờ) (x>0)
Thời gian 2 vòi chảy 1 mình đầy bể là y(giờ) (y>0)
Sau mỗi giờ: Vòi 1 chảy được 1/x bể, vòi 2 chảy được 1/y bể
=> Có phương trình: 
Sau 4 giờ: Vòi 1 chảy được 4/x bể, vòi 2 chảy được 6/y bể
=> Có phương trình: 
Từ đó giải hệ phương trình ta được x = 20, y = 30 (thỏa mãn ĐK)
Vậy mỗi vòi chảy riêng thì vòi 1 hết 20 giờ, vòi 2 hết 30 giờ.
Tóm lại: ở bài toán này mấu chốt là học sinh phải hiểu đầu bài và đặt đúng ẩn, từ đó xác định công việc trong 1 giờ rồi lập phương trình hoặc hệ phương trình.
V. Dạng toán về tỉ lệ chia phần (thêm, bớt, tăng, giảm, tổng- hiệu, tỉ số của chúng).
1. Bài 1: HTX Hồng Châu có 2 kho thóc, kho thứ nhất chứa nhiều hơn kho thứ hai 100 tấn, nếu chuyển từ kho thứ nhất sang kho thứ hai 60 tấn thì số thóc ở kho thứ nhất bằng 12/13 số thóc ở kho thứ hai. Tính số thóc ở mỗi kho lúc đầu ?
Hướng dẫn giải:
Hướng dẫn học sinh theo bảng:
Cách
Quá trình
Số thứ nhất
Số thứ hai
Phương trình xây dựng
1
- Chưa chuyển
- Đã chuyển
x+100
x+40
x(x>0)
x+60
2
- Chưa chuyển
- Đã chuyển
x(x>0)
x-60
y (y>0)
y+60
x – y = 100
Giải phương trình (*) có: x = 200 (thỏa mãn ĐK).
Vậy kho 1 lúc đầu có 200 tấn thóc, kho 2 có 300 tấn thóc
2. Bài 2:
Một đội xe cần phải chuyên chở 120 tấn hàng. Hôm làm việc có 2 xe bị điều đi nơi khác nên mỗi xe phải chở thêm 16 tấn hàng. Hỏi đội xe có bao nhiêu chiếc?
Lời giải:
Gọi số xe của đội xe lúc đầu là x (xe) (xẻZ, x>0)
Theo dự định mỗi xe phải chở 120/x (tấn)
Nhưng hôm làm việc chỉ có x -2 (xe), nên mỗi xe phải chở tấn
Theo bài ra ta có phương trình: 
Giải ra ta được: 	x1 = 5 (thỏa mãn ĐK)
x2= -3 (không thỏa mãn ĐK)
Vậy đội xe lúc đầu có 5 ô tô.
VI. Dạng toán có liên quan đến hình học.
1. Bài 1: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 280m. Người ta làm một lối đi xung quanh vườn (thuộc đất của vườn) rộng 2m, diện tích đất còn lại để trồng trọt là 4256m2. Tính kích thước của vườn.
Hướng dẫn:
Đối với dạng toán có liên quan đến hình học để học sinh dễ hiểu cần vẽ hình và vận dụng các kiến thức hình học để tìm lời giải.
4256m2
A	B A	P	B	 B’
F
E
M
	 D’	
	M	
Hình A
Hình B
C	D D	N	C
Qua hình vẽ ta thấy nửa chu vi: AB+BC= 140(m)
Nếu vẽ lại hình A thành hình B bài toán dễ nhìn hơn, nếu vẽ thêm chuyển phần diện tích MECN sang BEFB’ ta thấy ngay AB’ = (nửa chu vi) – 4m.
 = 140 - 4 = 236 (m)
Và AD’ = 4m. Vậy ta có thể tìm ra diện t ích lối đi.
Lời giải:
Theo hình vẽ ta thấy diện tích lối đi là 136 x 4 = 544m2
Gọi 1 cạnh ban đầu của hình chữ nhật là x (m), (x > 0)
Thì cạnh thứ hai là 140-x (m)
Theo bài ra ta có phương trình x (140-x) = 4256 + 544 = 4800
ú x2 -140x +4800 = 0
Giải phương trình ta có x1 = 80; x2 = 60 (thỏa mãn ĐK đầu bài)
Vậy kích thước hình chữ nhật ban đầu là 80m, 60m.
2. Bài 2: Cho 1 tam giác vuông. Nếu tăng mỗi cạnh góc vuông lần lượt lên 2cm và 3cm thì diện tích tam giác sẽ tăng 50cm2, nếu giảm cả 2 cạnh đi 2cm thì diện tích giảm đi 32cm2. Tính hai cạnh góc vuông của tam giác.
Lời giải:
Gọi hai cạnh góc vuông của tam giác vuông lần lượt là x, y (cm) (x,y >0) thì diện tích của tam giác là 1/2xy (cm2).
	B’
B	B
	B’’
x	 
A	y	 C	A	 C’’	C C’
Theo bài ta có hệ phương trình:
Giải hệ phương trình có : x = 26, y = 8 (thỏa mãn ĐK)
Vậy hai cạnh góc vuông lần lượt là 26cm và 8cm
3. Bài 3: Cho hai đường tròn đồng tâm. Tìm bán kính của mỗi đường tròn, biết rằng khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm trên hai đường tròn đồng tâm bằng 18cm và khoảng cách nhỏ nhất giữa hai điểm trên hai đường tròn đó bằng 10cm.
Hướng dẫn: Cần phân tích cho học sinh hiểu được khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm trên hai đường tròn đồng tâm là tổng bán kính của 2 đường tròn, khoảng cách nhỏ nhất giữa hai điểm trên hai đường tròn là hiệu của 2 bán kính của 2 đường tròn đó.
Giáo viên hướng dẫn học sinh vẽ hình.
=> M, O, N, M’ thẳng hàng.
Hướng dẫn học sinh theo bảng sau:
	 M’
Cách
Quá trình
Bán kính Đ.T lớn
Bán kính Đ.T nhỏ
Phương trình xây dựng
1
- K/c lớn nhất 
- K/c nhỏ nhất 
x(x>0)
x
18-x
x-10
18-x=x-10 (1)
2
- K/c lớn nhất 
- K/c nhỏ nhất
x(x>0)
x
y(y>0)
y
 (2)
Giải phương trình (1) ta được x = 14cm
=> Bán kính đường tròn nhỏ là 18 -14 = 4cm
Tóm lại: Dạng toán này ngoài việc hướng dẫn học sinh cách giải bài toán bằng cách lập phương trình, còn lưu ý đến học sinh các kiến thức về hình học, các mối quan hệ trong hình học như cách tính diện tích tam giác, hình chữ nhật, định lí Pitago, và kĩ năng vẽ hình thành thạo, từ đó mới thiết lập các mối quan hệ để xây dựng phương trình. Trong hình học cần lưu ý đến điều kiện của ẩn luôn dương.
VII. Dạng toán có nội dung vật lý, hóa học.
1. Bài 1: Có 200g dung dịch chứa 50g muối. Cần pha thêm bao nhiêu gam nước để được một dung dịch chứa 10% muối.
Lời giải
Gọi lượng nước cần pha thêm vào dung dịch đã cho là x (g) (x>0)
Khi đó lượng dung dịch mới là: 200 + x (g)
=> Nồng độ dung dịch là: 
Theo bài ra ta có phương trình: (thỏa mãn ĐK).
Vậy phải thêm 300g nước vào dung dịch đã cho.
Chú ý: Cần cho học sinh hiểu dung dịch gồm chất tan và nước. Nồng độ dung dịch là tỉ số chất hòa tan với dung dịch của chất đó.
2. Bài 2: Dùng hai lượng nhiệt, mỗi lượng bằng 168 KJ để đun nóng 2 khối nước hơn kém nhau 1 kg thì khối nước nhỏ nóng hơn khối nước lớn 20C. Tính xem khối nước nhỏ được đun nóng thêm mấy độ.
Hướng dẫn:
Cần cho học sinh hiểu kĩ về kiến thức vật lí đã học ở đây cần sử dụng công thức tính nhiệt lượng: Q = c m (t1 – t2); trong đó (t1 – t2) là nhiệt độ được tăng thêm.
Và cần nhớ nhiệt dung riêng của nước là: c = 4,2 KJ/kg độ
Lời giải:
Như vậy khối lượng của khối nước nhỏ là: 
Vì khối nước lớn được đun nóng kém hơn khối nước nhỏ 20 nên khối nước lớn là 
Giải ra ta được 	x1 = 10 (thỏa mãn ĐK)
x2= -8 (không thỏa mãn ĐK)
Vậy khối nước nhỏ được đun nóng thêm 100C.
VIII. Dạng toán có chứa tham số.
1. Bài 1: Thả một vật rơi tự do từ một tháp cao xuống đất. Người ta ghi được quãng đường rơi S(m) của một vật theo thời gian t (giây) trong bảng sau:
t
1
2
3
4
5
S
5
20
45
80
125
a. Chứng minh rằng quãng đường vật tơi tỉ lệ với bình phương thời gian tương ứng, tính hệ số tỉ lệ đó?
b. Viết công thức biểu thị quãng đường vật rơi theo thời gian?
Lời giải:
a. Dựa vào bảng trên ta có: 
Vậy: . Do đó hệ số tỉ lệ là 5.
b. Công thức biểu thị quãng đường vât rơi theo thời gian là:
 hay 
2. Bài 2: Một hình tròn có diện tích S= 3,14R2 với R là bán kính.
a. 	Khi R tăng lên 2 lần thì S tăng thêm mấy lần?
	Khi R giảm 3 lần thì S tăng thêm hay giảm mấy lần?
b. 	Khi S tăng 4 lần thì R tăng hay giảm mấy lần?
	Khi S giảm 16 lần thì R tăng hay giảm mấy lần?
Lời giải:
Gọi R = a thì S1 = 3,14a2
a. Nếu R tăng 2 lần thì 	R2 = 2R1 = 2a
S2 = 3,14.42 = 4,3.14a2 = 4S1.
Vậy diện t ích tăng 4 lần.
- Nếu R giảm 3 lần thì 
Khi đó S3 = 3,14.
Vậy diện t ích giảm đi 9 lần
b. Nếu S tăng 4 lần, tức là S4= 4S1 thì ta có:
Vậy bán kính tăng 2 lần.
- Tương tự, nếu S giảm 16 lần thì bán kính giảm 4 lần.
Như vậy: Bài toán đã xác định mối tương quan tỉ lệ giữa độ dài bán kính và diện tích: độ tăng của diện tích bằng bình phương độ tăng của bán kính và ngược lại.
Kết luận: Trên đây là 8 dạng toán thường gặp ở chương trình trung học cơ sở (lớp 8 và lớp 9). Mỗi dạng toán có những đặc điểm khác nhau và có thể còn chia nhỏ từng dạng nhỏ trong mỗi dạng. Việc chia dạng trên đây chủ yếu dựa vào lời văn để phân loại nhưng đều chung nhau ở việc các bước giải cơ bản của các bài toán đó đều là những bước cơ bản của “Giải toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình”.
Mỗi dạng toán tôi lựa chọn một số bài toán điển hình có tính chất giới thiệu về việc xây dựng phương trình theo 3 cách:
+ Bài toán đưa về phương trình bậc nhất một ẩn.
+ Bài toán đưa về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
+ Bài toán đưa về phương trình bậc hai một ẩn.
Đó là các loại chương trình, hệ phương trình các em đã được học và làm quen với cách giải ở THCS.
Những ví dụ tôi không có ý thiên về hướng dẫn cách giải các phương trình, hệ phương trình mà chủ yếu gợi ý giúp các em xây dựng được phương trình cơ bản, để đến khi gặp các dạng toán đó các em hiểu và biết cách làm.
C. kết quả thực hiện và bài học kinh nghiệm:
	Khi chưa thực hiện đề tài này, học sinh chỉ nắm được ba bước cơ bản để giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình nên gặp dạng toán này học sinh rất ngại, hầu hết các em chỉ gọi ẩn, biểu thị các đại lượng khác theo ẩn và một số ít lập được phương trình đúng nhưng trình bày lủng củng thiếu lập luận, điều kiện; một số lúng túng không biết phải làm gì, vì vậy kết quả học tập chưa cao.
Sau khi thực hiện đề tài trên, với hệ thống các phương pháp giải đã xây dựng. Tôi nhận thấy học sinh tiếp cận loại bài tập này với thái độ tích cực, chủ động, hào hứng. Nhiều em giải bài nhanh, trình bày khoa học lập luận chặt chẽ, các em học sinh trung bình đã biết cách giải các bài toán thông thường. Từ đó khích lệ lòng say mê học toán, phát triển tư duy trí thông minh sáng tạo, tự mình tìm ra các phương pháp giải ngắn gọn, hay nhất.
Kết quả cụ thể:
Lớp
Sĩ số
Kết quả bài viết
Giỏi
Khá
Trung bình
 Yếu
Kém
8C
41
5
11
17
8
0
8D
44
3
10
21
10
0
8E
43
6
10
18
9
0
d. Kết luận:
	Trên đây là một vài suy nghĩ, biện pháp, những bài học kinh nghiệm, kết quả mà bản thân tôi đã làm và rút ra trong quá trình giảng dạy.
	Dựa vào hệ thống các bài tập đại diện cho mỗi dạng toán kết hợp với tài liệu tham khảo và nỗ lực phấn đấu học hỏi của mỗi người chắc chắn sẽ giúp ích cho người dạy phần “ Giải bài toán bằng cách lập phương trình ” ở lớp 8 và lớp 9 trường THCS để phát huy tinh thần sáng tạo, độc lập trong nhận thức của học sinh.
	Các bài tập trên tôi đã phân loại theo từng mục song chỉ mang tính chất tương đối và khi trình bày không tránh khỏi những sai sót. Tôi rất mong được sự đóng góp ý kiến và sự chỉ bảo của ban xét duyệt sáng kiến kinh nghiệm và các bạn đồng nghiệp.
 Tôi xin chân thành cảm ơn!
 	Đông Anh, ngày 10 tháng 4 năm 2007
Người thực hiện
Trần Thị Thanh Huyền
Mục lục
 	 	 Trang
Đặt vấn đề.	1
Nội dung	 3
 Phần I: Phương pháp nghiên cứu và yêu cầu giải một bài toán.	 3 	Phần II : Phân loại các bài toán và các giai đoạn giải một bài toán. 7
	Phần III : Hướng dẫn học sinh giải các dạng toán. 10
	- Dạng toán chuyển động. 10
	- Dạng toán liên quan đến số học.	 12
	- Dạng toán về năng suất lao động. 14
	- Dạng toán về công việc làm chung, làm riêng. 16
	- Dạng toán về tỉ lệ chia phần. 17
	- Dạng toán liên quan đến hình học. 18
	- Dạng toán có nội dung vật lý, hoá học. 20
	- Dạng toán có chứa tham số. 21
C. Kết quả thực hiện và bài học kinh nghiệm. 24
D. Kết luận. 25