Sáng kiến kinh nghiệm Gây hứng thú học tập môn Toán Lớp 9 qua một số bài toán cổ

ó trong các bộ môn mà học sinh được học. Hiện nay trình độ của học sinh thường không đồng đều ở các bộ môn, học sinh thường yếu về các môn tự nhiên, năng lực tư duy cũng như khả năng lập luận của học sinh còn rất nhiều hạn chế, do vậy làm thế nào để học sinh có hứng thú học tập bộ môn là một câu hỏi đặt ra cho tất cả giáo viên toán có tâm huyết với nghề nghiệp.
	Như chúng ta đã biết, ở lứa tuổi học sinh THCS phần lớn các em còn ham chơi, chứa chú trọng đến việc học tập. Qua thời gian giảng dạy tôi nhận thấy đối với những bài toán cổ hay, vừa sức các em rất có hứng tìm tòi và nghiên cứu bởi nó gần gũi, dễ thuộc và cũng như nó dễ gợi trí tò mò ở phía học sinh.
B. THỰC TRẠNG CHẤT LƯỢNG BỘ MÔN TOÁN CỦA HỌC SINH KHỐI LỚP 9 TRƯỜNG THCS LÊ QUÍ ĐÔN:
	Là một giáo viên dạy toán tôi không khỏi lo ngại vì chất lượng bộ môn toán của học sinh khối lớp 9 mà tôi giảng dạy lại thấp đến như vậy. Phần lớn học sinh đã bị hổng kiến thức ngay từ lớp dưới, các em thường có thói quen ỷ lại vào giáo viên bộ môn. 
Các bài toán đơn giản trong chương trình SGK học sinh cũng không tự mình làm mà có tư tưởng chờ cho bạn hoặc thầy cô chữa rồi chép vào vở. Khả năng lập luận của học sinh thì rất yếu, phần đa trong các em không biết cách giải toán, không biết khai thác những gì mà bài toán cho để tìm lời giải. Lời giải của học sinh thường lủng củng, thiếu chặt chẽ và không mang tính thuyết phục đối với người đọc.
Kết quả kiểm tra đầu năm của bộ môn toán ở khối lớp 9 như sau
TSHS
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
97
0
3
36
45
13
Đó là kết quả đáng báo động về chất lượng bộ môn toán nói chung của trường THCS Lê Quí Đôn và của khối lớp 9 nói riêng. Điều này càng thôi thúc bản thân tôi phải nhanh chóng tìm ra những giải pháp để từng bước lấp những lỗ hổng kiến thức ở học sinh. Tôi đã thử phát phiếu thăm dò thái độ học tập bộ môn trong khối lớp 9, kết quả thăm dò như sau:
TSHS
Rất thích
Bình thường
Không thích
97
5
52
40
Tại sao học sinh lại không có niềm đam mê với bộ môn toán đến như vậy? Đó là câu hỏi mà tôi nhiều đêm trăn trở tìm lời giải đáp.
Tôi nhận thấy học sinh thường không thích nghe những lời cứng nhắc mà thích nghe những lời gần gũi, những bài toán nêu ra dưới dạng thơ ca,... Những bài toán cổ đã phần nào tạo cho học sinh một không khí học tập sôi nổi, qua những bài toán vui các em thường có cảm giác phấn chấn, trí tò mò trong các em được đánh thức và từ đó tôi cảm thấy các em dần có hứng thú đối với môn học.
C. GIẢI PHÁP:
Từ thực trạng trên tôi đã tìm cách sưu tầm những bài toán cổ để cho học sinh tự tìm tòi lời giải hay và nhanh nhất, qua đó giúp cho học sinh có niềm đam mê với môn học, hình thành cho học sinh khả năng tự học, biết cách lập luận vấn đề có căn cứ khoa học, phát triển tư duy sáng tạo, tư duy bộ môn.
MỘT SỐ BÀI TOÁN CỔ ÁP DỤNG TRONG CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9:
Bài toán 1: 	Vừa gà, vừa chó.
	Bó lại cho tròn.
	Ba mươi sáu con.
	Một trăm chân chẵn.
	Hỏi có bao nhiêu gà, bao nhiêu chó?
Lời giải:	Giải bằng phương pháp đại số:
Gọi x là số con gà. Điều kiện: x nguyên dương; x < 36.
	Số con chó là: 36 – x (con).
	Số chân gà là: 2x (chân).
	Số chân chó là: 4(36 – x) (chân).
Tổng số chân là 100 chân. Vậy ta có phương trình:
2x + 4(36 – x)	= 100
Û	2x + 144 – 4x	=100
Û	- 2x	= -44
Û	x	= 22
Ta thấy x= 22 thoả mãn điều kiện của ẩn.
Vậy số gà là: 22 con; Số chó là: 36 – 22= 14 con.
Đáp số: 22 con gà; 14 con chó.
Chú ý: Có thể giải bài toán này như sau:
Giả sử ta chặt hết chân trước của chó, như vậy bây giờ chó và gà đều có 2 chân.
Tổng số chân là: 36 x 2 = 72 chân. Nhưng tổng số là 100 chân do vậy vẫn còn thiếu: 100 – 72 = 28 chân ( đó là 28 chân trước của chó).
Vậy số chó là: 28 : 2 = 14 con.
Số con gà là 36 – 14 = 22 con.
Bài toán 2: 	Trăm trâu, trăm cỏ
	Trâu đứng ăn năm
	Trâu nằm ăn ba
	Lụ khụ trâu già, ba con một bó.
	Hỏi mỗi loại có bao nhiêu con?
Lời giải: Giải bằng phương pháp đại số, lẫn số học.
Gọi số trâu đứng, trâu nằm, trâu già theo thứ tự lần lượt là: x; y; z (con)
Điều kiện: x, y, z nguyên dương; x, y, z < 100
Tất cả có 100 con trâu, ta có phương trình: x + y+ z =100 (1).
Theo bài ra: 	Số bó cỏ mà trâu đứng ăn là: 5x (bó).
	Số bó cỏ mà trâu nằm ăn là: 3y ( bó).
	Số bó cỏ mà trâu già ăn là: z: 3 (bó). Ta thấy z là số chia hết cho 3
Có tất cả 100 bó cỏ, ta có phương trình: 5x + 3y + z: 3 = 100 
hay: 15 x + 9 y + z = 300 Û 14x+8y+(x+y+z)=300 hay 14x+8y= 200	Û 2(7x+4y)= 200Û 7x+ 4y = 100. Ta thấy 100 là số chia hết cho 4 mà 4y chia hết cho 4 do vậy 7x phải chia hết cho 4 do vậy x là một số chia hết cho 4.
Vậy x = 0; 4; 8; 12; 16;
x = 0, không thoả mãn điều kiện bài toán.
x= 4, từ 7x+ 4y = 100 ta có y = 18 vậy z= 100 – 4 – 18 = 78, lúc này số bó cỏ là: 5.4 + 3.18 + 78:3= 100.
x= 8, từ 7x+ 4y = 100 ta có y = 11 vậy z= 100 – 11 – 8 = 81, lúc này số bó cỏ là: 8.5 + 11.3 + 81:3 = 100.
x= 12, từ 7x+ 4y = 100 ta có y= 4 vậy z = 100 – 12 – 4 = 84, lúc này số bó cỏ là: 12.5 + 3.4 + 84:3= 100.
x ³ 16 từ 7x+ 4y = 100 ta có y £ - 3 vậy y <0 loại.
Vậy bài toán có 3 đáp số phù hợp như sau:
Trâu đứng 4 con, Trâu nằm 18 con, Trâu già 78 con.
Trâu đứng 8 con, Trâu nằm 11 con, Trâu già 81 con.
Trâu đứng 12 con, Trâu nằm 4 con, Trâu già 84 con.
Chú ý: Loại toán này là loại toán giải phương trình nghiệm nguyên, nếu học sinh chỉ sử dụng giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình hoặc phương trình thì sẽ bế tắc bởi chỉ có hai phương trình mà có đến 3 nghiệm số.
Bài toán 3: Bài toán của Ơle: Hai bà bán trứng mang ra chợ bán tổng cộng 100 quả trứng. Số trứng của hai người không bằng nhau, nhưng số tiền thu được lại bằng nhau.
	Bà thứ nhất nói với bà thứ hai:
Nếu tôi có số trứng bằng số trứng của bà, tôi sẽ thu được 15 crâyxe.
Bà thứ hai nói:
Nếu số trứng của tôi bằng số trứng của bà tôi, tôi chỉ bán được crâyxe.
Hỏi mỗi bà có bao nhiêu quả trứng ?
Lời giải: Giải bằng phương pháp đại số
Gọi số trứng của bà thứ nhất là x(quả), x nguyên dương, x<100.
Số trứng của bà thứ hai là: 100 – x (quả).
Mỗi quả trứng của bà thứ nhất giá là: 
Mỗi quả trứng của bà thứ hai có giá là:
Số tiền hai người thu được bằng nhau nên ta có phương trình:
 	Ûx2+ 160x – 8000 = 0
	Û x1= 40 (thoả mãn điều kiện); x2= -200, loại.
Vậy bà thứ nhất có 40 quả trứng, bà thứ hai có 100 – 40 = 60 quả trứng.
Chú ý: Bài toán này có thể giải theo phương pháp số học như sau:
Gọi tỷ số giá trứng bà I và bà II là k. Họ bán được số tiền bằng nhau nên số trứng của bà II gấp k lần số trứng của bà I.
Giả sử trước khi bán hai người đổi trứng cho nhau, tức là bà nọ bán trứng của bà kia nhưng với giá của mình. Lúc đó số trứng của bà I trở thành gấp k lần số trứng của bà II, giá trứng cũng gấp k lần giá trứng của bà II, do đó số tiên 15 crâyxe gấp k2 lần số tiền crâyxe.
Do đó k2 = 15: = 45:20=9:4 vậy k= 3:2.
Số trứng của bà II mang ra chợ gấp số trứng của bà I.
Tổng số là 100 quả trứng, Vậy ta có: Số trứng bà I + Số trứng của bà I = 100
Hay số trứng bà I = 100, ta có số trứng bà I là: 100: =40 quả
Số trứng của bà II là: 100-40 = 60 quả.
Bài toán 4: Ba bà chung nhau mua một sọt xoài. Bà thứ nhất mua số xoài cộng thêm 8 quả, bà thứ hai mua số xoài còn lại cộng thêm 8 quả, bà thứ ba mua số xoài còn lại cộng thêm 8 quả cuối cùng thì vừa hết. Tìm số xoài mà mỗi người đã mua.
Lời giải: Giải bằng phương pháp đại số
Gọi số quả xoài trong sọt là (quả). Đk x là số nguyên dương.
Vậy bà thứ nhất đã mua: x + 8 (quả).
Số xoài còn lại là: x – (x + 8) = (quả).
Số xoài mà bà thứ hai đã mua là () + 8 = (quả).
Số xoài còn lại là: - () = (quả).
Bà thứ ba mua một phần ba số xoài còn lại cộng thêm 8 quả thì hết số xoài còn lại, vậy bà thứ ba mua (quả).
Vậy ta có phương trình: =() +8
Ta thấy x = 57 thoả mãn điều kiện vậy số xoài trong sọt là: 57 quả.
Bà thứ nhất mua: 57: 3 + 8= 27 quả.
Bà thứ hai mua: (57- 27):3 +8= 18 quả.
Bà thứ ba mua: 57- (27+18)= 12 quả.
Chú ý: Bài này có thể giải theo phương pháp số học, đi từ dưới lên như sau:
Bà thứ ba mua số xoài còn lại và 8 quả cuối cùng, vậy số xoài mà bà thứ ba mua là 8 quả do đó số xoài mà bà thứ ba mua là: 8: = 8.(quả).
Tương tự 12 quả xoài của bà thứ ba mua chiếm số xoài mà bà thứ hai mua do đó số xoài của bà thứ hai mua là 12: =(quả).
Số xoài của bà thứ hai mua bằng số xoài mà bà thứ nhất mua do đó số xoài mà bà thứ nhất mua là (quả).
Đáp số: 	Bà thứ nhất mua: 27 quả.
	Bà thứ hai mua: 18 quả.
	Bà thứ ba mua: 12 quả.
Bài toán 5:
Quýt cam mười bảy quả tươi
Đem chia cho một trăm người cùng vui
Chia ba mỗi quả quýt rồi
Còn cam mỗi quả chia mười vừa xinh
Trăm người trăm miếng ngọt lành
Quýt cam mỗi quả tính ràng là bao?
Lời giải: Giải bằng phương pháp đại số
Gọi x là số cam, y là số quýt: Điều kiện: x; y là số nguyên dương.
Theo bài ra có tất cả 17 quả, vậy ta có phương trình: x + y = 17	(1)
Số miếng quýt là: 3y (miếng).
Số miếng cam là: 10x (miếng).
Có tất cả 100 người, vậy ta có phương trình: 10x + 3y = 100	(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
Giải hệ phương trình: 
Đối chiếu với điều kiện của ẩn ta thấy x=7; y = 10 thoả mãn điều kiện
Vậy số quả cam là: 7 quả; Số quả quýt là: 10 quả.
Chú ý: Bài toán này có thể giải theo phương pháp giả thiết tạm như sau:
Giả sử cả cam và quýt đều chia làm 3, vậy có tất cả 17.3= 51 miếng, vậy còn thiếu tất cả: 100 – 51 = 49 (miếng) đó là 49 miếng cam, cam chia 10 vậy mỗi quả còn thiếu 10 – 3 = 7 miếng, nên có tất cả 49: 7 = 7 quả cam, nên có tất cả 
17 – 7 = 10 quả quýt.
Bài toán 6: 	Thương nhau cau sáu bổ ba
	Ghét nhau cau sáu bổ ra làm mười
	Cả thương cả ghét tám mươi
	Cau mười lăm quả hỏi bao người ghét, thương ?
Lời giải: Giải bằng phương pháp đại số
Gọi số quả cau bổ ba là x ( quả); số quả cau bổ mười là y (quả); điều kiện: x; y nguyên dương.
Theo bài ra có tất cả 15 quả cau, vậy ta có phương trình: x + y = 15.	(1)
Số người thương là: 3x ( người).
Số người ghét là: 10y (người).
Tất cả có 80 người, vậy ta có phương trình: 3x + 10 y = 80.	(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
Đối chiếu với điều kiện ban đầu của ẩn, ta thấy x= 10; y = 5 thoả mãn điều kiện.
Vậy số người thương là: 3.10 = 30(người); Số người ghét là: 10.5 = 50(người).
Chú ý: Bài toán này có thể giải bằng phương pháp số học như sau:
Giả sử tất cả đều thương, mỗi quả cau sẽ được chia làm 3, có tất cả 15 quả cau, do đó có tất cả 3.15 = 45 miếng, còn thiếu 80-45 = 35 miếng. 35 miếng cau này là do có cả người ghét, mỗi quả của người ghét sẽ chia 10 vậy mỗi quả còn thiếu 10 – 3 = 7 miếng. Vậy có tất cả 35: 7 = 5 quả của người ghét, nên số người ghét là: 5. 10 = 50 người, từ đó ta có số người thương là: 80- 50 = 30 người.
Bài toán 7: 
Lừa và ngựa thồ hàng ra chơ,
Ngựa thở than mình chở quá nhiều.
Lừa rằng: “Anh chớ lắm điều!
Tôi đây mới bị chất đầy làm sao!
Anh đưa tôi một bao mang bớt
Thì tôi thồ nhiều gấp đôi anh
Chính tôi phải trút cho anh
Một bao mang đỡ mới thành bằng nhau”.
Hỏi lừa, ngựa chở mấy bao?
Lời giải: Giải bằng phương pháp đại số
Gọi x là số bao mà ngựa thồ; y là số bao mà lừa thồ: Điều kiện: x; y là những số nguyên dương.
Theo bài ra nếu ngựa bớt cho lừa 1 bao thì Lừa thồ gấp đôi ngựa, vậy ta có phương trình: y + 1 = 2(x-1)	Û 2x – y = 3	(1)
Nếu lừa trút cho ngựa một bao thì cả hai sẽ có số bao bằng nhau, vậy ta có phương trình: y-1 = x + 1	Û - x + y = 2	(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
x=5; y=7 thoả mãn điều kiện bài toán.
Vậy số hàng mà ngựa thồ là: 5 bao; số hàng mà lừa thồ là: 7 bao.
Bài toán 8: 
	Buổi sáng mặt trời ló ngọn tre,
	Rủ nhau đi hái mấy giỏ chè.
	Mỗi người một giỏ, thừa ba giỏ.
	Hái vội cho xong kẻo nắng hè!
	Ví thử hái nhanh thêm một giỏ,
	Mỗi người hai giỏ, tiện đường chia.
	Hỏi người làm rẫy bên đồi núi,
	Mấy chị ra đi, mấy giỏ chè?
Lời giải: Giải bằng phương pháp đại số
Gọi số người hái chè là x(người); số giỏ chè là y (giỏ); điều kiện: x; y là những số nguyên dương.
Theo đầu bài: Mỗi người một giỏ thì thừa ba giỏ vậy ta có phương trình biểu thị số người và số giỏ chè: x +3 = y Û y – x = 3	(1).
Nếu thêm một giỏ thì mỗi người được hai giỏ, vậy ta có: 2x = y+1	(2).
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
 	thoả mãn điều kiện của ẩn.
Vậy có tất cả 4 người hái chè và có 7 giỏ chè.
Bài toán 9: 
	Một đoàn em bé tắm bên sông,
	Lấy ống làm phao, nổi bềnh bồng.
	Hai chú một phao, thừa bảy chiếc,
	Hai phao một chú, bốn người không.
	Hỏi người thạo tính, cho hỏi thử,
	Mấy phao, mấy chú, tính cho thông?
Lời giải: Giải bằng phương pháp đại số
Gọi số em bé là x(em); số phao là y(phao); điều kiện x; y nguyên dương.
Theo bài ra: Hai em một phao thì thừa bảy chiếc, vậy ta có: 	(1).
Nếu một em hai phao thì bốn người không, do vậy còn thiếu 4.2 = 8 phao, vậy ta có phương trình: 2x = y +8	(2).
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
Ta thấy: x=10; y=12 thoả mãn điều kiện của ẩn.
Vậy có tất cả: 10 em bé và 12 phao.
Bài toán 10: 	Bé kia chăn vịt khác thường
	Buộc đi cho được chẵn hàng mới ưa.
	Hàng hai xếp thấy chưa vừa,
	Hàng 3 xếp thấy vẫn thừa một con,
	Hàng 4 xếp cùng chưa tròn,
	Hàng 5 xếp thiếu một con mới đầy.
	Xếp thành hàng 7 đẹp thay!
	Vịt bao nhiêu? Tính được ngay mới tài!
	(Biết số vịt chưa đến 200 con)
Lời giải: Theo bài toán ta thấy, số vịt chia cho 5 thiếu 1 nên số vịt có tận cùng là 4 hoặc 9. Số vịt không chi hết cho 2 nên tận cùng không thể là 4, do vậy số vịt có tận cùng là 9.
Số vịt chia hết cho 7, nên ta chỉ xét những số là bội của 7 và có tận cùng là 9.
Xét các số là bội của 7, có tận cùng là 9 và nhỏ hơn 200, ta có:
7.7=49
7.17=119
2.27=189.
Do số vịt chia cho 3 dư 1 nên ta loại các số: 119 và 189. Vậy số vịt là 49 con.
Bài toán 11: Một bác nông dân mang trứng ra chợ bán. Bác bán cho người thứ nhất nửa số trứng bớt đi 6 quả; người thứ hai chỗ còn lại bớt đi 6 quả; người thứ ba chỗ cò lại bớt đi 6 quả. Thế mà bác vẫn còn đúng nửa số trứng mà bác đem ra chợ. Hãy tính xem bác đem ra chợ bao nhiêu quả trứng và bác bán cho mỗi người bao nhiêu quả?
Lời giải: Giải bằng phương pháp đại số
	Gọi số trứng bác mang ra chợ là x(quả); điều kiện x nguyên dương
Số trứng mà người thứ nhất mua là: (x – 6 )(quả)
Số trứng còn lại là: x - (x – 6 )= (quả).
Số trứng mà người thứ hai mua là: (quả).
Số trứng còn lại lúc này là: ((quả).
Số trứng mà người thứ ba mua là: (quả).
Số trứng mà bác nông dân đem về bằng nửa số trứng mang ra chợ, vậy ta có phương trình:
Ta thấy x= 54 thoả mãn điều kiện của ẩn, vậy:
Bác nông dân có tất cả 54 quả trứng.
Người thứ nhất mua: 54: 2 – 6 = 21quả.
Người thứ hai mua: 54: 6 – 4 = 5 quả. 
Người thứ ba mua: quả.
D. KẾT QUẢ:
	Qua việc sử dụng các bài toán cổ, tôi đã giúp cho các em học sinh có hứng thú hơn đối với môn học cũng từ đó chất lượng bộ môn toán của khối lớp 9 của nhà trường đã có những chuyển biến tích cực. Qua kiểm tra học kì I tôi nhận thấy, kết quả của các bài kiểm tra đã cao hơn, học sinh có thể lập luận chặt chẽ để giải các bài toán, thái độ học tập của học sinh đối với bộ môn đã thay đổi theo chiều hướng khả quan.
	Kết quả bộ môn toán trong học kỳ I như sau:
TSHS
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
94
0
6
45
35
8
	Kết quả thăm dò, thái độ học tập đối với bộ môn toán ở khối lớp 9 cuối học kỳ I như sau:
TSHS
Rất thích
Bình thường
Không thích
94
30
45
19
E. BÀI HỌC KINH NGHIỆM:
Trong chương trình bộ môn toán bậc THCS, các bài toán cổ được đưa ra rất ít, do vậy giáo viên cần phải tìm tòi để cho học sinh làm quen, bởi những bài toán này thường rất gần gũi và dễ nhớ, từ một học sinh có thể các em sẽ đố nhau và từ đó nhiều học sinh sẽ biết cách giải. Cách giải bằng số học là cách giải hay, thể hiện tính sáng tạo của học sinh nhưng cách giải bằng đại số là một cách giải không kém tính linh hoạt và giáo viên cần chú trọng đến cách giải bằng đại số, bởi cách giải này sẽ rèn luyện cho các em nhiều vấn đề của toán mà sau này các em học lên, tuy nhiên nếu có điều kiện giáo viên cũng nên hướng dẫn các em cách giải bằng số học để các em được rèn luyện nhiều loại kỹ năng giải toán, nhiều phương pháp giải toán.
Để phát huy hiệu quả của các bài toán cổ người giáo viên cần phải chú ý một số vấn đề cơ bản sau:
1. Sưu tầm và tìm tòi những bài toán cổ hay, gây sự hứng thú và chú ý của học sinh, phải đảm bảo vừa sức với học sinh tránh chọn bài quá khó, lập luận quá cầu kỳ và dài dòng sẽ gây sự chán nản cho học sinh.
2. Định hướng cho học sinh tìm tòi lời giải, tập hợp nhiều lời giải từ phía học sinh, từ đó cho học sinh tìm ra lời giải hay và nhanh nhất.
3. Phát triển bài toán thành nhiều hướng, thành dạng tổng quát để có thể phân loại học sinh, trên cơ sở đó có thể chọn ra đội ngũ học sinh khá giỏi.
	Sau mỗi bài toán cần cho học sinh nhận xét dạng toán đó cần phải chú tâm đến điều gì khi giải, có thể áp dụng lời giải đó cho một số bài tương tự hoặc nâng cao được hay không?
	Bài toán cổ thường liên quan đến thực tế, do vậy cần gợi ý cho học sinh sử dụng những số liệu, dữ kiện có trong thực tế để giải bài toán.
	Trên đây là một số bài toán cổ mà tôi đã sử dụng để giúp học sinh nắm vững kiến thức của môn toán, tuy không phải là nhiều nhưng đó là kết quả của bản thân tôi sau nhiều ngày sưu tầm và vận dụng từ đó rút ra được những điều lý thú cho học sinh thân yêu của mình. Có thể đã có nhiều đồng nghiệp có ý tưởng như tôi nhưng chưa đưa ra để thảo luận. Qua tài liệu này bản thân tôi rất mong được sự góp ý và bổ sung của các bạn đồng nghiệp để tài liệu này phong phú và có chất lượng hơn.
	Tôi xin chân thành cảm ơn !
	GIÁO VIÊN BỘ MÔN
	Trần Văn Diễm