Sáng kiến kinh nghiệm Điều kiện về nghiệm của phương trình bậc hai

Phần 1: ĐẶT VẤN ĐỀ
I/ Lý do chọn đề tài:
Cơ sở lý luận:
Giải toán là hình thức chủ yếu của học toán, thông qua việc giải toán giúp HS nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng và phát triển tư duy sáng tạo.
Việc tìm điều kiện về nghiệm của phương trình nó ở phạm vi sách nâng cao; phạm vi bồi dưỡng HS khá, giỏi – HS tham gia đội tuyển vòng Huyện,Tỉnh đây là một chuyên đề hay và khó đòi hỏi sự cần cù chịu khó và sự sáng tạo của người học thì mới đáp ứng yêu cầu.
 Một nhà toán học đã từng nói: Nếu anh chỉ biết giải toán thì anh chỉ như con ong thợ chăm chỉ ; nếu biết xem xét ; tư duy phát triển bài toán thì có thể sáng tạo ra nhiều bài toán “HAY” và “KHÓ”, và đó là yếu tố rất cần thiết đối với HSG – HS tham gia đội tuyển toán.
 Mọi con sông đều bắt nguồn từ những con sóng nhỏ, mọi bài toán dù khó đến mấy cũng bắt nguồn từ những bài toán đơn giản, nhiều khi là bài toán SGK ; nếu biết khai thác và phát triển, khái quát hóa, đặc biệt hóa thì nhiều khi ta đưa ra được những bài toán mới “HAY” và “KHÓ”.
 Việc giảng dạy và bồi dưỡng HSG là nhiệm vụ thường xuyên của mỗi GV đặc biệt là giáo viên tham gia bồi dưỡng HSG vòng tỉnh và việc giải bài toán về điều kiện nghiệm của phương trình bậc 2 cũng không thể thiếu trong các kỳ thi vào THPT, HSG ,GVG. Do vậy bản thân tôi là cán bộ nghiệp vụ trực tiếp chỉ đạo công tác chuyên môn, tôi chọn chuyên đề này để viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm và trực tiếp tham gia bồi dưỡng đội tuyển HSG của huyện.
2. Cơ sơ thực tiễn:
- Giải phương trình bậc 2, tìm điều kiện về nghiệm của phương trình bậc 2 thuộc phần đại số lớp 9 đây là phần quan trọng, có nhiều phương pháp để giải phương trình, tìm điều kiện về nghiệm của phương trình bậc 2. Với HS khá, giỏi và HS tham gia đội tuyển GV phải bồi dưỡng, hướng dẫn để HS thành thạo các dạng.
- Trong các kỳ thi HSG việc giải phương trình, tìm điều kiện về nghiệm của phương trình bậc 2 thuộc chương trình THCS nên là một phần không thể thiếu được trong các kỳ thi HSG.
- Đối với GV tham gia các kỳ thi GVG cũng vậy vì vậy bản thân tôi viết đề tài này cũng là để nâng cao trình độ chuyên môn đồng thời phục vụ việc bồi dưỡng HSG .
II/ Phạm vi đề tài:
 Đề tài chỉ giới hạn trong phạm vi tìm điều kiện về nghiệm của phương trình bậc 2 bằng cách sử dụng định lý Vi-ét để: So sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với số 0; So sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với 1 số bất kỳ ; Điều kiện về nghiệm của phương trình quy về phương trình bậc 2. 
III/ Đối tượng nghiên cứu:
 Đối tượng mà đề tài nghiên cứu là sử dụng định lý Vi-ét để tìm điều kiện về nghiệm của phương trình bậc 2 nguyên thông qua các ví dụ cụ thể thuộc chương trình toán 9 ;sách nâng cao thuộc chương trình toán 9 ; trên báo toán học tuổi trẻ, tuổi thơ 2 có đề cập đến vấn đề này.
IV/ Mục đích nghiên cứu:
 Nghiên cứu đề tài nhằm mục đích nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ, bồi dưỡng quá trình tự học tự nghiên cứu của bản thân đồng thời giúp cho HS tiếp cận phương pháp học chuyên đề phù hợp với yêu cầu đổi mới phương pháp dạy học.
Phần 2: NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI
A. NỘI DUNG
I.cơ sở lý luận:
Giải phương trình, tìm điều kiện về nghiệm của phương trình là một nội dung quan trọng trong chương trình THCS; trong đó việc so sánh nghiệm của phương trình với một số bất kỳ là một nội dung khá hay và khó mà GV và HSG cần nghiên cứu.
Giải phương trình; tìm điều kiện về nghiệm của phương trình có nhiều phương pháp giải và nhiều bài có lời giải khá độc đáo; có ứng dụng thực tế và được áp dụng trong thực tiễn lao động sản xuất; vì vậy giúp người học tư duy sáng tạo, linh hoạt trong quá trình giải toán và yêu thích toán học.
II.Đối tượng phục vụ:
 Đối tượng mà đề tài phục vụ là HSG – HS tham gia đội tuyển 9 cũng như GV tham gia bồi dưỡng HSG; GV tham gia bồi dưỡng đội tuyển HSG.
III.Nội dung và phương pháp nghiên cứu.
a) Nội dung nghiên cứu: Các phương pháp tìm điều kiện về nghiệm của phương trình là :” Phương pháp so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với số 0” ;” Phương pháp so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với 1 số bất kỳ ”; “so sánh nghiệm của phương trình quy về phương trình bậc 2 ”.
b) Phương pháp nghiên cứu:
- Đọc nghiên cứu tài liệu có liên quan: SGK, SNC, báo toán học tuổi trẻ, tuổi thơ 2
-Tìm hiểu các phương pháp giải trên, từ đó khai thác phát triển đưa ra cách giải hợp lý sáng tạo.
- Đưa ra các cách giải cho một bài toán (nếu có thể ) trong đó chú trọng 3 phương pháp trên và phát triển thành những bài toán mới.
IV.Kết quả nghiên cứu:
a) Dấu của các nghiệm của phương trình bậc hai:
Theo hệ thức Vi-ét nếu phương trình bậc hai : có nghiệm thì .
Do đó điều kiện để một phương trình bậc 2 :
	- Có 2 nghiệm dương là: 
	- Có 2 nghiệm âm là: 
	- Có 2 nghiệm trái dấu là: (Khi đó hiển nhiên .
b)So sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với một số:
I/ So sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với số 0:
	Trong nhiều trường hợp ta cần so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với một số cho trước, trong đó có nhiều bài toán đòi hỏi tìm điều kiện để phương trình bậc 2: có ít nhất một nghiệm không âm.
VD1: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có ít nhất một nghiệm không âm:
 (1) .
Cách 1: khi đó phương trình có 2 nghiệm thoả mãn: .
Trước hết ta tìm điều kiện để phương trình (1) có 2 nghiệm đều âm. Điều kiện đó là: 
Vậy điều kiện để phương trình (1) có ít nhất một nghiệm không âm là 
Cách 2: ; .
	-Nếu , thì phương trình (1) tồn tại nghiệm không âm.
	- Nếu thì phương trình có 2 nghiệm cùng dấu . Để thoả mãn đề bài ta phải có . Giải điều kiện P>0; S>0 được m>2 và m<0 không xảy ra.
KL: 
Cách 3: Giải phương trình (1) : 
Ta có: . Do nên ta phải có .
VD2: Cho phương trình: (2) . Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm dương.
Giải
Phương trình (2) có 2 nghiệm dương 
II/ So sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với một số bất kỳ:
Trong nhiều trường hợp để so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với một số bất kỳ ta có thể quy về trường hợp so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với số 0:
VD1: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có ít nhất một nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2: (1) .
Cách 1: Đặt y=x-2 thay vào phương trình (1) ta được:
 (2).
Ta cần tìm m để phương trình (2) có ít nhất một nghiệm không âm. 
. Điều kiện để phương trình (2) có 2 nghiệm đều âm là: .
Vậy với thì phương trình (2) có ít nhất một nghiệm không âm tức là (1) có ít nhất một nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2.
Cách 2: Giải phương trình (1) ta được: . 
Ta thấy nên chỉ cần tìm m để . Ta có 
-Nếu thì (3) có vế phải âm , vế trái dương nên (3) đúng.
-Nếu thì (3) Ta được . 
Gộp và là giá trị cần tìm của m .
VD2:Tìm các giá trị của m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2:	 (1).
Giải:
Cách 1: Đặt thay vào (1) ta được :
 (2)
Cần tìm m để phương trình (2) có 2 nghiệm âm phân biệt. Ta giải điều kiện:
KL: Với thì phương trình (2) có nghiệm âm phân biệt, tức là phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2 .	
Cách 2: Xét phương trình (1). Giải điều kiện:
Giải (2) được: .
Giải (3): 
Giải (4) : -4<0 luôn đúng . 
Vậy ta được -1< .
Cách3: Giải phương trình (1) : .
	Nếu thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt:
 ; . Do nên điều kiện để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2 là: 
Vậy ta được -1< .	
III/ Điều kiện về nghiệm của phương trình quy về phương trình bậc 2:
VD1: Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm.
 (1)
Giải: Đặt . Điều kiện để phương trình (1) có nghiệm là phương trình: có ít nhất một nghiệm không âm ,
Theo kết quả ở VD1 mục I , các giá trị của m cần tìm là: 
VD2: Tìm các giá trị của m để tập nghiệm của phương trình :
 (1) chỉ có 1 phần tử
Giải: (1) (*) 
Do đó tập nghiệm của phương trình (1) chỉ có một phần tử khi và chỉ khi có 1 và chỉ 1 nghiệm của phương trình (2) thoả mãn điều kiện . Đặt
 x-m=y. Khi đó phương trình (2) trở thành 2 (3).
Cần tìm m để chỉ có một nghiệm của phương trình (3) thoả mãn .
Có 3 trường hợp xảy ra :
Phương trình (3) có nghiệm kép không âm:
Phương trình (3) có 2 nghiệm trái dấu:
Phương trình (3) có một nghiệm âm, nghiệm còn lại bằng 0:
.
KL: hoặc -1 .
VD3: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt:
 (1)
Giải: (1). Đặt khi đó (1) trở thành (2)
Với cách đặt ẩn phụ như trên , ứng với mỗi giá trị dương của y có hai giá trị của x . Do đó :
có 4 nghiệm phân biệt (2) có 2 nghiệm dương phân biệt . Do đó ở (2) ta phải có:
KL: 
Bài tập đề nghị
Bài 1: Tìm các giá trị của m để tồn tại nghiệm không âm của phương trình :	
Bài 2: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm:
Bài 3: Tìm các giá trị của m để phương trình: 
 có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn -1.
Bài 4: Tìm các giá trị của m để phương trình: có ít nhất 1 nghiệm lớn hơn hoặc bằng -2.
Bài 5: Tìm các giá trị của m để tập nghiệm của phương trình:
a) Có 4 phần tử.
b) Có 3 phần tử.
c) Có 2 phần tử.
d) Có 1 phần tử.
V. Giải pháp mới:
 Qua những năm chỉ đạo và bồi dưỡng HS giỏi, nhất là với HS giỏi lớp 9, tôi thấy rằng để giúp HS hiểu sâu sắc từng vấn đề thì ngoài việc nghiên cứu kỹ các dạng bài tập, chuẩn bị bài một cách chu đáo, giáo viên còn cần có “nghệ thuật giảng dạy” – Phương pháp giảng dạy hợp lý. Kinh nghiệm cho thấy, với bài tập nâng cao về điều kiện về nghiệm của phương trình bậc 2, cần phải hướng dẫn các em một cách dần dần, đi từ những vấn đề đơn giản, cơ bản, sau đó thay đổi một vài chi tiết để nâng dần đến bài tập phức tạp hơn. Sau mỗi bài giáo viên cần củng cố phương pháp giải quyết và có thể khai thác thành bài toán mới bằng cách thay đổi dữ kiện để HS tự mình vân dụng.
 Việc bồi dưỡng chuyên đề này sẽ giúp HS có thêm kiến thức cơ bản và kỹ năng giải quyết bài tập trong các kỳ thi HS giỏi, góp phần nâng cao chất lượng mũi nhọn trong nhà trường.
 Để hướng dẫn HS lớp 9 giải một số dạng bài tập nâng cao về so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số, thì nên thực hiện một số điều kiện sau đây:
 1/ Đối với học sinh: Các em cần phải nắm được các kiến thức về công thức nghiệm của PT bậc 2, Định lý Vi-ét các kiến thức có liên quan, các em cần có sự say mê, hứng thú với loại này và có điều kiện tiếp cận với nhiều dạng bài tập điển hình.
 2/ Đối với giáo viên: Người thầy giáo phải có trách nhiệm đem lại niềm say mê hứng thú với môn học, hướng dẫn các em cách khai thác, vận dụng từng vấn đề trong mảng kiến thức mà các em đã có. Để đạt hiệu quả cao khi áp dụng chuyên đề này giáo viên nên dành thời gian bồi dưỡng từ 2 – 3 buổi /tuần cho HS khá giỏi. Còn đối với HS đại trà thì tuỳ theo từng đối tượng (có thể chỉ giới thiệu các dạng cơ bản, lấy ví dụ minh hoạ đơn giản...).
- Phát huy năng lực trí tuệ của HS bằng việc cho hs tư duy tìm ra nhiều cách giải khác nhau đối với mỗi bài toán (nếu có thể) muốn như vậy GV cần làm tốt các việc sau:
+ Nắm vững nội dung chương trình SGK
+ Quá trình áp dụng từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp.
+ Chú trọng rèn luyện kỹ năng giải phương trình, phân loại từng dạng toán chia hết để học sinh áp dụng đúng theo các bước giải.
+ Tìm ra cách giải khác (nếu có) 
+ Tìm ra các dạng phương trình mới.
+ Khảo sát đánh giá mức độ nhận thức của từng HS.
+ Điều chỉnh phương pháp dạy sao cho phù hợp với đối tượng HS.
+ Thường xuyên trao đổi giữa thầy với trò, trò với trò đồng thời có giao bài tập về nhà để học sinh luyện tập rèn kỹ năng cũng như năng lực tư duy.
 Trên đây chỉ là một vấn đề về toán nâng cao “ Điều kiện về nghiệm của PT bậc 2’, là một trong những mảng kiến thức mà HS khá giỏi lớp 9 cần nắm chắc. Kinh nghiệm đưa ra mới chỉ đề cập đến đối tượng HS khá giỏi, chứ chưa đề cập nhiều đến các đối tượng khác, nội dung của chuyên đề cũng chưa đề cập đến mảng kiến thức về phương trình bậc 3, bậc 4 Đó là định hướng cho việc tiếp tục nghiên cứu sau này.
B. ỨNG DỤNG VÀO THỰC TIỄN CÔNG TÁC GIẢNG DẠY.
I. Quá trình áp dụng:
Trong quá trình chỉ đạo công tác chuyên môn, bản thân tôi đã áp dụng đề tài này vào bồi dưỡng đội tuyển HSG trong thời gian 2 buổi dạy :
+) Trước tiên HS nắm vững việc giải phương trình bậc 2, phương trình quy về phương trình bậc 2 và Định lý Vi-ét về nghiệm của phương trình bậc 2.
+) GV lấy ví dụ và gợi ý-hướng dẫn để HS giải.
+) Cuối cùng GV đưa ra một số dạng bài tập tổng hợp để HS phán đoán nhận xét ,đưa về phương pháp thích hợp và giải.
II.Hiệu quả:
- 10 học sinh trong đội tuyển: các em hiểu nắm tương đối vững bản chất của vấn đề :
Số bài : Giỏi: 04
 Khá: 04
 TBình: 02
-Các em say mê hứng thú học chuyên đề, biết cách tư duy suy luận và đưa về phương pháp giải hợp lý nhất.
III. Bài học kinh nghiệm:
-Qua nghiên cứu chuyên đề và các phương pháp so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với một số 0 rồi từ đó dẫn đến so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số bất kỳ; so sánh nghiệm của phương trình quy về phương trình bậc 2 đúc rút cho tôi những bài học kinh nghiệm, cách thức nghiên cứu, nâng cao trình độ chuyên môn cho bản thân.
IV.Kiến nghị: 
- Chúng tôi mong muốn phòng GD-Sở GD-ĐT có những chuyên đề hay để đưa ra trao đổi, bàn bạc, học hỏi kinh nghiệm.
- Sở GD-ĐT nên thường xuyên có đợt tập huấn cho GV dạy bồi dưỡng HSG trong toàn tỉnh để GV, cán bộ quản lý, chuyên viên có dịp gặp gỡ trao đổi kinh nghiệm lẫn nhau.
Phần 3: Kết luận
Giải toán là hình thức chủ yếu của học toán, thông qua giải toán giúp cho người học say mê sáng tạo đặc biệt đối với HSG điều đó càng cần thiết ;việc so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với số 0 rồi từ đó dẫn đến so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số bất kỳ; so sánh nghiệm của phương trình quy về phương trình bậc 2 chỉ là một phần nhỏ trong chương trình toán THCS. Tuy nhiên nó có tác dụng lớn trong việc giúp HS khả năng tư duy, suy luận và đồng thời giúp cho việc học các chuyên đề khác tốt hơn; giúp ta có nhiều HSG toán đáp ứng được yêu cầu của nhà trường, của huyện. Đó là hình thức đào tạo nhân tài cho quê hương đất nước và cũng là đáp ứng yêu cầu CNH-HĐH đất nước.
, ngày 1 tháng 3 năm 201
 DUYỆT CỦA PHÒNG GD & ĐT
 NGƯỜI VIẾT CHUYÊN ĐỀ