Sáng kiến kinh nghiệm Bất đẳng thức a² + b² + c² >= ab + bc + ca và các bài toán áp dụng

	- Bài tập luyện tập
	Phần này đưa ra một số bài tập tương tự để luyện tập. 
	4. Khẳng định giá trị, kết quả đạt được của sáng kiến
	Sáng kiến này được tôi áp dụng với các em học sinh khá giỏi lớp 8, 9 của trường. Kết quả là kỹ năng chứng minh bất đẳng thức của các em tăng lên rõ rệt, đồng thời cũng làm tăng thêm niềm yêu thích và ham mê làm toán, đặc biệt là toán về bất đẳng thức – một dạng toán đa dạng và hấp dẫn.
	5. Đề xuất kiến nghị để thực hiện áp dụng hoặc mở rộng sáng kiến
	Bất đẳng thức là mảng kiến thức khó và rộng. Trong quá trình giảng dạy, giáo viên có thể nồng ghép trong các giờ luyện tập, ôn tập và trong các tiết dạy có phần kiến thức liên quan.
MÔ TẢ SÁNG KIẾN
Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến
Trong quá trình giải toán ở nhà trường, chuyên đề bất đẳng thức là một chuyên đề hay và lý thú. Chính vì vậy mà nó thường xuyên có mặt trong các kỳ thi chọn HSG các cấp, đặc biệt là cấp THCS và kỳ thi vào lớp 10. 
Đa số học sinh khi gặp bất đẳng thức thường hay lúng túng, không biết nên xuất phát từ đâu? Phương pháp giải thế nào? Với vai trò là một giáo viên dạy môn Toán, tôi muốn học sinh nắm được các phương pháp và kỹ thuật cơ bản nhất để chứng minh bất đẳng thức, từ đó không thấy sợ khi gặp dạng toán này mà ngược lại có niềm yêu thích và đam mê tìm hiểu nó.
	Có nhiều phương pháp để chứng minh bất đẳng thức. Đối với bậc THCS thì các phường pháp hay dùng là biến đổi tương đương, dùng bất đẳng thức phụ, sử dụng bất đẳng thức Cô-si, Bunhiacopski, phương pháp tổng bình phương, phương pháp làm trội .... Đôi khi, việc ta sử dụng những bất đẳng thức đơn giản, quen thuộc lại mang đến những hiệu quả bất ngờ. Chính vì vậy, tôi đã viết sáng kiến: “ Bất đẳng thức và các bài toán áp dụng”.
Cơ sở lý luận của vấn đề 
Hiện nay, bồi dưỡng học sinh giỏi là một trong những nhiệm vụ trọng tâm của giáo dục và đào tạo. Là một giáo viên dạy toán ở trường THCS trực tiếp bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi, tôi nhận thấy người thầy giáo giỏi không phải là người có khả năng “nhồi nhét” lượng kiến thức đồ sộ cho HS, mà phải là người trong thời gian ngắn nhất, truyền thụ được cho HS những kiến thức cần thiết nhất một cách hiệu quả nhất và tối ưu nhất. Muốn vậy người thầy phải hướng dẫn HS có các kiến thức và kỹ năng cần thiết nhất để giải toán và vận dụng linh hoạt kiến thức trong nhiều tình huống khác nhau từ đó tạo hứng thú cho học sinh học tập và sáng tạo. 
Thực trạng của vấn đề
Qua thực tê giảng dạy môn Toán 8, 9, tôi nhận thấy trong chương trình THCS phần bất đẳng thức là một trong những chuyên đề khó, nhiều học sinh khá thậm chí giỏi còn lo ngại tránh né. Hơn nữa, thời lượng dành cho nó rất ít. Do đó, tôi mạnh dạn làm sáng kiến này với mong muốn là một tài liệu nhỏ giúp học sinh đỡ khó khăn khi gặp một số bài bất đẳng thức có dạng trên hoặc có thể vận dụng được bất đẳng thức trên làm công cụ để giải toán.
Các giải pháp, biện pháp thực hiện
	4.1. Bất đẳng thức và một số cách 
khai thác
	4.1.1. Bài toán cơ sở: 
	Cho a, b, c là các số thực. Chứng minh rằng: 
	 (1)
Chứng minh
	 luôn đúng .
	Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
	Đây là một đánh giá cơ bản, phổ biến và thường gặp. Song làm sao để áp dụng đánh giá có vẻ “lỏng lẻo” này vào những bài toán phức tạp thì là cả một vấn đề. Có nhiều cách để khai thác và tiếp cận bất đẳng thức này trong qua trình giải toán. Sau đây tôi xin trình bày một số ý tưởng khai thác bài toán như sau:
4.1.2. Một số cách khai thác
* Khai thác 1: Sử dụng phép biến đổi tương đương để tạo thành các bất đẳng thức mới
- Từ bất đẳng thức (1), nhân hai vế với 2 ta được:
Sau đó cộng hai vế của bất đẳng thức trên với ta được bất đẳng thức sau: hay hay 
- Cộng hai vế của bất đẳng thức (1) với , ta được bất đẳng thức sau: 
Bất đẳng thức này còn được viết dưới dạng như sau: 
	 với a, b, c > 0
Như vậy bất đẳng thức (1) và các bất đẳng thức sau là tương đương:
1.1) 	hay 	
 hay 	 
1.2) hay với a, b, c > 0 
* Khai thác 2: Thay biến để tạo ra các bất đẳng thức mới
+) Từ bất đẳng thức (1), nếu một biến bằng 1, giả sử c = 1 ta có bất đẳng thức: 	a2 + b2 + 1 ab + a + b. Dấu = xảy ra khi a = b = 1
+) Từ bất đẳng thức (1), nếu thay ta được bất đẳng thức sau: 	
+) Thay a = xy, b = yz, c = zx ta có:
	Đẳng thức xảy ra khi xy = yz = zx hay x = y = z hoặc x = y = 0 hoặc y = z = 0 hoặc x = z = 0.
+) Từ bất đẳng thức (1.2), thay a = xy, b = yz, c = zx ta có:
Đẳng thức xảy ra khi xy = yz = zx hay x = y = z hoặc x = y = 0 hoặc y = z = 0 hoặc x = z = 0.
+) Để có các bất đẳng thức dạng phân thức, từ bất đẳng thức (1), thay ta được bất đẳng thức sau: 
 (*)
Nhân hai vế của bất đẳng thức trên với xyz dương, ta được bất đẳng thức đẹp hơn như sau:
(*) 
hay 
+) Nếu thay ta có bất đẳng thức: 	
Như vậy với một số cách thay biến như trên, ta có thể tạo ra các bất đẳng thức thông dụng, hay dùng là cơ sở để chứng minh các bất đẳng thức phức tạp hơn: 
	1) 
	2) 
	3) 
	4) 
	5) với x, y, z > 0
* Khai thác 3: Áp dụng bất đẳng thức nhiều lần
+) Áp dụng bất đẳng thức (1) hai lần: lần đầu với a = x2 ; b = y2; c = z2 ta được :	
sau đó tiếp tục áp dụng với a = xy, b = yz, c = zx ta thu được bất đẳng thức sau:	
Như vậy ta có một bất đẳng thức thông dụng: 
	với mọi x, y, z
+ Áp dụng bất đẳng thức (1) ba lần: lần đầu với a = x4 ; b = y4; c = z4, sau đó tiếp tục áp dụng với a = x2y2, b = y2z2, c = z2x2 , cuối cùng là với a = xy2z, b = xyz2, c = x2yz ta được:
Hay 
Chia hai vế của bất đẳng thức trên cho xyz dương ta thu được bất đẳng thức sau: 	
	 với x, y, z dương
(Đề tuyển sinh vào THPT chuyên Lê Hồng Phong, TP.HCM 2001 – 2002).
* Khai thác 4: Đặc biệt hóa
Bằng cách cho thêm điều kiện của biến, ta sẽ được các bất đẳng thức mà vế phải là các số
+) Cho x + y + z = 3. Chứng minh rằng xy + yz + zx 3
+) Cho x + y + z = -3. Chứng minh rằng x2 + y2 + z2 
Hai bất đẳng thức trên ta dễ dàng chứng minh được nhờ bất đẳng thức (1.1) và (1.2):
Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 1
Tổng quát, ta có bài toán sau: 
Cho các số không âm x, y, z thỏa mãn x + y + z = a
a) Tìm GTLN của biểu thức A = xy + yz + zx
b) Tìm GTNN của biểu thức B = x2 + y2 + z2
4.2. Một số bài toán áp dụng
Khi nắm được một số dạng cơ bản của bất đẳng thức cơ sở, ta sẽ có cái nhìn và định hướng tốt hơn khi chứng minh các bất đẳng thức có liên quan. 
Sau đây là một số bài toán vận dụng bất đẳng thức để chứng minh
Bài toán 1: 
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: a + b + c = abc. Chứng minh rằng:	
Chứng minh
Với bài toán này, ta sử dụng phép biến đổi tương đương để đưa về bất đẳng thức (1):
 Ta có: 
	 (do giả thiết abc = a + b + c)
	 đúng do (1)
	Đẳng thức xảy ra khi 
Bài toán 2:
	Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx = 4. 
	Chứng minh rằng: 
Chứng minh
	Áp dụng trực tiếp (1), ta có:
	Suy ra: . 
	Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 
Bài toán 3: 
	Với x, y, z là các số thực dương, ta có: 
Chứng minh
	Áp dụng bất đẳng thức với , ta có: 
	Mặt khác, theo bất đẳng thức Cô-si với 3 số không âm, ta có: 
	Suy ra hay 
+ Khi đã quen thuộc với bất đẳng thức này, ta nhìn ra cách làm của các bài toán có các đại lượng liên quan dễ dàng hơn. Bài toán dưới đây là một ví dụ:
Bài toán 4:
	Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z + xy + yz + zx = 6. 
	Chứng minh rằng:	
	(THPT chuyên KHTN, ĐHQG Hà Nội 2003 – 2004)
Chứng minh
	Ta có: 
	Cộng từng vế của các bất đẳng thức trên ta được:
	 (do giả thiết x + y + z + xy + yz + zx = 6)
	 (đpcm).
+) Từ bài toán 3, nếu thay ta có bài toán sau:
Bài toán 5:
	Cho các số dương a, b, c thỏa mãn: . 	
	Chứng minh: 
	(Tuyển sinh vào 10 THPT Hà Nội 2013 – 2014)
Chứng minh
	Từ giả thiết đã cho, ta có . 
	Đặt suy ra: x + y + z + xy + yz + xz = 6
	Cần chứng minh . Đây chính là nội dung của bài toán 4.
+ Đổi giả thiết và kết luận của bài toán 4, ta có bài toán sau:
Bài toán 6:
	Cho x2 + y2 + z2 = 3. Tìm GTLN của biểu thức:
	 A = x + y + z + xy + yz + zx
Chứng minh
	Ta có: 	 
	 Và 
	Suy ra: A 
	=> GTLN của A là 6 khi x = y = z = 1
Bài toán 7:
	 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = 1. 
	Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Chứng minh
	Ở bài toán này, cái khó là làm sao vận dụng được bất đẳng thức (1) để làm xuất hiện giả thiết a2 + b2 + c2. Nếu áp dụng trực tiếp thì S a + b + c không được. Mặt khác ta có: 	. 
	Vì vậy ta nghĩ đến việc bình phương S
	Ta có:
	Áp dụng bất đẳng thức (1) ta có: 	
	Suy ra (do giả thiết a2 + b2 + c2 = 1)
	Mà S > 0 nên 
	Vậy giá trị nhỏ nhất của S là , đạt được khi và chỉ khi 
Bài toán 8:
	Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P = x + y + z biết:
	x(x – 1) + y(y – 1) + z(z – 1) 
Chứng minh
	Từ giả thiết ta có: 
	Theo bất đẳng thức (1) ta có:
	Cộng từng vế của hai bất đẳng thức trên, ta có: 
	Hay P2 – 3P – 4 0 
	Suy ra: GTLN của P là 4 khi x = y = z = 
	GTNN của P là -1 khi x = y = z = 
+ Khi chứng minh bất đẳng thức hoặc bài toán tìm cực trị, ta nên chú ý đến biến đổi hay sử dụng là: a2 + ab + bc + ca = (a + b)(a + c)
Bài toán 9:
	Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta luôn có:
Chứng minh
	Cộng thêm hai vế của bất đẳng thức cần chứng minh với a + b + c ta được:
	Mặt khác lại để ý rằng: 
	Suy ra bất đẳng thức trên tương đương với:
	 (*)
	Tới đây, đặt: x = a + b; y = b + c; z = c + a thì (*) trở thành:
	 . 
	Bất đẳng thức này đã được chứng minh ở phần khai thác 2.
Bài toán 10:
	Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng:
	 (*)
Chứng minh
Ta có (*) 
	Đặt với x, y, z > 0
Khi đó: (*) ta được bất đẳng thức đúng => đpcm
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
+ Kết hợp với việc sử dụng các bất đẳng thức kinh điển như Côsi hay Bunhiacopxki ta chứng minh được các bài toán sau:
Bài toán 11:
	Cho ba số a, b, c không âm thỏa mãn a + b + c = 1. 
	Tìm GTNN của biểu thức: 
Chứng minh
	Áp dụng bất đẳng thức (1) và các bất đẳng thức triển khai để sử dụng giả thiết a + b + c = 1
	Ta có: 
	Mà (do giả thiết a + b + c = 1)
	Dễ dàng chứng minh được: 
	=> 
	=> 
	Vậy GTNN của P là khi 
Bài toán 12:
	Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn: . 
	Chứng minh rằng:	 
Chứng minh
	Ta có: 
	Ta đưa bài toán ban đầu về bài toán quen thuộc sau: Chứng minh:
	Thật vậy:
	Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
	Suy ra: 
	hay: => đpcm
Bài toán 13:
	Cho ba số a, b, c thỏa mãn: a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
Chứng minh
	Theo bất đẳng thức (1) ta có:
 (vì )
	Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
	Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có:
	Mặt khác (chứng minh trên)
	Suy ra 
	Hay (đpcm)
+ Một trong những kỹ thuật quan trọng trong chứng minh bất đẳng thức là kỹ thuật đặt ẩn phụ. Chú ý rằng các nhóm và có liên hệ với nhau nhờ hằng đẳng thức . Bằng phép đặt ẩn phụ và sử dụng bất đẳng thức (1) để đánh giá ẩn phụ, ta chứng minh được các bài toán sau:
Bài toán 14:
	Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. 
	Tìm GTNN của biểu thức: 
Chứng minh
	Đặt a2 + b2 + c2 = t 
	Suy ra: 2(ab + bc + ca) = (a + b + c)2 – (a2 + b2 + c2)
	 => 
	Theo bất đẳng thức (1) ta có 
	Đến đây, ta sử dụng bất đẳng thức Cô-si với kỹ thuật chọn điểm rơi: 
	Vậy GTNN của P là 4 khi t = 3 a = b = c = 1
Bài toán 15:
	Cho x, y là các số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
(Đề thi HSG lớp 9 tỉnh Hải Dương 2009 – 2010)
Chứng minh
	Đặt 
	Ta có: . Suy ra 
	Ta có: 
	Vậy GTNN của A là khi x = y = 1
Bài toán 16:
	Cho các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1.
	 Chứng minh rằng:	 
 (THPT chuyên Trần Phú, Hải Phòng 2003 – 2004)
Chứng minh
	Đặt t = xy + yz + zx 
	thì x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 – 2(xy + yz + zx) = 1 – 2t
	Theo bất đẳng thức (1.1) ta có: 
	Suy ra 
	Với phép đặt ẩn phụ này, ta đưa bài toán ba biến về dạng bài toán một biến đơn giản hơn là chứng minh: với 
	 (luôn đúng, dấu bằng không xảy ra)=> đpcm
Bài toán 17:
	Cho các số dương a, b, c thỏa mãn . Chứng minh rằng:
(Đề thi HSG Tỉnh Đồng Nai 2009 – 2010)
Chứng minh
	Ta có: (do giả thiết ) 	
	Áp dụng bất đẳng thức: với a, b, c dương, ta có:
	Suy ra 	 	
Bài toán 18:
	Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. 
	Tìm GTNN của biểu thức: 
(THPT chuyên Phân Bội Châu, Nghệ An 2009 – 2010)
Chứng minh
	Chú ý tạo ra bằng cách:
	= 
	(do giả thiết a + b + c = 3)
	Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ta có:
	=> 
 	hay 
	Suy ra (theo bài toán 14)
	Vậy GTNN của P là 4 khi t = 3 a = b = c = 1
Bài toán 19:
	Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z ta có:
Chứng minh
	Ta có: => 
	Suy ra: 	
	Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với 3 số dương ta có:
	=> 
	Suy ra:
4.3. Bài tập luyện tập
	Bài 1:
	Tìm GTNN của với x, y, z là các số dương thỏa mãn:
	a) x + y + z = 1
	b) x2 + y2 + z2 = 1
Bài 2:
	Cho 3 số thực a, b, c thỏa mãn . Chứng minh rằng:
Bài 3:
	Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 + z2 = 3. 
	Chứng minh: 
Bài 4: 
	Với mọi x, y, z dương, chứng minh rằng: 
 (Canada MO 2002)
Bài 6:
	Cho abc là các số thực dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng:
Bài 7:
	Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1. 
	Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Bài 8:
	Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài 9:
	Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
Bài 10:
	Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện: 
	Chứng minh rằng: 
(THPT chuyên Hùng Vương, Phú Thọ 2013- 2014)
Kết quả đạt được
	Khi chưa thực nghiệm đề tài này, các em học sinh thường tỏ ra chán lản và lúng túng khi gặp dạng toán chứng minh bất đẳng thức. Sau một thời gian áp dụng sáng kiến trên vào thực tế giảng dạy, tôi thấy hứng thú học tập của học sinh được nâng lên rõ rệt ở các đối tượng học sinh nhất là các em trong đội tuyển. Các em định hướng phương pháp chứng minh tốt hơn, từ đó trở lên tin tưởng hơn, vững vàng hơn, say mê hăng hái học môn toán . Điều đó chứng tỏ nếu có phương pháp dạy phù hợp cho một dạng toán ,với từng đối tượng học sinh thì chắc chắn kết quả giáo viên thu được sẽ rất tốt, hiệu quả giáo dục được nâng lên.
	Trước khi triển khai sáng tôi có kiểm tra 20 học sinh giỏi với đề bài
ĐỀ BÀI
(Thời gian làm bài 30')
	Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:
	1) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: a + b + c = abc. 	
	Chứng minh rằng: 
	2) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. 
	Tìm GTNN của biểu thức: 
	 Sau khi triển khai đề tài, tôi lại cho 20 học sinh giỏi làm bài kiểm tra với mức độ đề khó hơn:
ĐỀ BÀI
(Thời gian làm bài 30')
	Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:
	1) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: abc = 1. 
	Chứng minh rằng: 	
	2) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
*) Kết quả:
a, Khi chưa áp dụng sáng kiến:
điểm < 5
5 điểm < 8
8 điểm 10
20 HS
SL
%
SL
%
SL
%
4
20
14
70
2
10
b, Sau khi ¸p dông s¸ng kiÕn:
điểm < 5
5 điểm < 8
8 điểm 10
20 HS
SL
%
SL
%
SL
%
0
0
11
55
9
45
	*) Nhận xét:
	Sau khi triển khai đề tài trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi thấy so với trước khi triển khai đề tài học sinh có một số tiến bộ rõ rệt. Tỉ lệ HS đạt giỏi tăng từ 10% lên 45%, HS đạt yếu giảm từ 20% xuống còn 0%. Học sinh đã định hướng tốt hơn khi chứng minh bất đẳng thức, trình bày lời giải ngắn gọn, rõ ràng hơn. Học sinh hứng thú hơn với bất đẳng thức nói riêng và Toán học nói chung.
6. Điều kiện để sáng kiến được nhân rộng: 
	6.1. Đối với giáo viên:
	- Nghiên cứu kỹ về việc đổi mới phương pháp dạy môn toán, nghiên cứu chương trình của khối lớp mà mình phụ trách nói chung và từng dạng bài nói riêng. Xác định rõ mục tiêu từng bài và từng dạng cho các đối tượng học sinh.
	- Cần tăng cường giáo dục học sinh tinh thần tự học, tự nghiên cứu kiến thức vì đây là con đường làm chủ và chiếm lĩnh tri thức một cách hiệu quả nhất. 
	- GV cần thường xuyên trau dồi kiến thức chuyên môn nghiệp vụ đáp ứng yêu cầu đổi mới của ngành. 
	6.2. Đối với học sinh: 
	- Tự giác, tích cực học tập, ôn luyện lý thuyết và bài tập có liên quan đến dạng toán chứng minh bất đẳng thức.
	- Báo cáo kết quả học tập của mình qua việc giải các bài tập
	- Suy nghĩ các bài tập tương tự, mạnh dạn đề xuất bài toán mới.	
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
	1. Kết luận
	Trên đây là sáng kiến “ Bất đẳng thức và các bài toán áp dụng” mà tôi đã áp dụng giảng dạy trong quá trình ôn luyện, bồi dưỡng học sinh giỏi. Tôi nghĩ rằng với mỗi vấn đề , mỗi chuyên đề toán học chúng ta đều dạy theo từng dạng, đi sâu mỗi dạng và tìm ra hướng tư duy, hướng giải và phát triển bài toán thì chắc chắn học sinh sẽ nắm vững vấn đề và tôi tin chắc rằng toán học sẽ là niềm say mê với tất cả học sinh.
	Việc vận dụng sáng kiến kinh nghiệm này đã mang lại nhiều hiệu quả. Phần đông các em học sinh đều hứng thú hơn khi giải các bài toán thuộc dạng này và giải các bài toán có liên quan. 
	Thông qua nghiên cứu đề tài này, bản thân tôi thực sự rút ra được nhiều kiến thức quý báu, giúp tôi hoàn thành tốt hơn cho công việc giảng dạy của mình.
	Với kinh nghiệm còn ít ỏi nên kinh nghiệm này chắc chắn không tránh khỏi những hạn chế nhất định.Vậy tôi rất mong được sự đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp để tôi rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy những năm học sau. 
2. Khuyến nghị
Để thực hiện đề tài này ngày càng có hiệu quả hơn tôi xin mạnh dạn nêu một số đề xuất, kiến nghị sau:
* Đối với nhà trường:
- Tiếp tục đẩy mạnh phong trào tự học, tự bồi dưỡng của giáo viên.
- Tiếp tục chỉ đạo kiểm tra, đánh giá việc thực hiện các chuyên đề của tổ.
- Mạnh dạn mở các cuộc giao lưu liên trường để giáo viên có điều kiện trao đổi, học hỏi kinh nghiệm giảng dạy của đồng nghiệp.
* Đối với ngành (Sở và Phòng): 
 Tăng cường tổ chức các chuyên đề bồi dưỡng chuyên môn nghiệp vụ cho giáo viên.
 Cuối cùng tôi xin được chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các đồng chí trong Ban giám hiệu và các thầy cô giáo trong tổ toán của nhà trường đã giúp tôi hoàn thành chuyên đề này.
 TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Nâng cao và phát triển Toán 9 – Vũ Hữu Bình
2. Tuyển chọn đề thi vào lớp 10 chuyên môn Toán – Nguyễn Ngọc Đạm
3. Sáng tạo bất đẳng thức – Phạm Kim Hùng
4. 500 bài toán chọn lọc về bất đẳng thức – Phan Huy Khải
5. Bất đẳng thức suy luận và khám phá – Phạm Văn Thuận, Lê Vĩ
6. Bất đẳng thức và những lời giải hay – Võ Quốc Bá Cẩn , Trần Quốc Anh
7. Tạp chí Toán tuổi thơ, Toán học và tuổi trẻ.