Sáng kiến kinh nghiệm Áp dụng một số phép biến hình để giải toán phổ thông

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀOTẠO CÀ MAU
TRƯỜNG THPT KHÁNH HƯNG
----------------
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 Ñeà taøi: ÁP DỤNG MỘT SỐ PHÉP BIẾN HÌNH 
 ĐỂ GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG
 - Đề tài thuộc lĩnh vực chuyên môn : Toán
	- Họ va tên giáo viên: Nguyễn Thanh Bình
	- Chức vụ, nhiệm vụ đang phụ trách: Tổ trưởng,giảng dạy 12C3, 10C2
	- Đơn vị công tác: Tổ Toán – Lý – Tin – KTCN trường THPT Khánh Hưng
Khánh Hưng, ngày 09 tháng 04 năm 2009
I.ÑAËT VAÁN ÑEÀ: 
1. Lyù do choïn chuyeân ñeà:
 Trong quaù trình daïy moân toaùn khoái THPT vaø oân thi Cao ñaúng, Ñaïi hoïc, khi gaëp caùc baøi toaùn về chứng minh hình học thường rất khó đối với học sinh nhất là các bài toán về quĩ tích tập hợp điểm, dựng hình , xác định góc
	Vì nhöõng lí do ñoù, toâi coá gaéng trình baøy phöông phaùp duøng moät soá pheùp bieán hình cô baûn nhaèm aùp duïng giaûi caùc baøi toaùn hình hoïc nhanh vaø ñaït hieäu quaû cao
	Caùc ví duï minh hoïa trong chuyeân ñeà thöôøng gaëp trong saùch giaùo khoa, caùc ñeà thi Cao ñaúng, Ñaïi hoïc.
2. Ñoái töôïng aùp duïng:
	- Hoïc sinh THPT (10 -11 -12)
	- Luyeän thi Cao ñaúng, Ñaïi hoïc
II. GIAÛI QUYEÁT VAÁN ÑEÀ:
ÁP DỤNG MỘT SỐ PHÉP BIẾN HÌNH
ĐỂ GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG
A. Phép dời hình
Đại cương về các phép dời hình:
Định nghĩa: 
	Phép biến hình (trong mặt phẳng) là một quy tắc để với mỗi điểm M thuộc mặt phẳng, xác định được một điểm duy nhất M’ thuộc mặt phẳng ấy. Điểm M’ gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình đó.
Thuật ngữ và kí hiệu:
Nếu ta kí hiệu một phép biến hình nào đó là F và điểm M’ là ảnh của điểm M qua phép biến hình F thì ta viết M’ = F(M) hoặc F(M) = M’.
Với mỗi hình H, ta goi hình H’ gồm các điểm M’ = F(M), trong đó M thuộc hình H, là ảnh của H qua phép biến hình F, và viết H’ = F(H).
Tích của hai phép dời hình:
	Khi một phép biến hình f biến điểm M thành điểm M1, và phép bến hình g biến M1 thành M’ thì việc thực hiện liên tiếp hai phép biến hình f và g (theo thứ tự f trước, g sau) ta biến điểm M thành M’ và phép biến hình h như vậy biến M thành M’ được gọi là tích của hai phép biến hình f và g.
	Kí hiệu: g.f
	Ta có: f(M) = M1
g(M1) = M’
h(M) = (g.f)(M) = g[f(M)] = M’
Phép dời hình:
Định nghĩa: 
	Phép dời hình là một phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
	Người ta cũng nói: Phép dời hình là một phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm.
Tính chất của phép dời hình:
	Định lí: Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm ấy, biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính, biến góc thành góc bằng nó.
B. Các phép dời hình trong mặt phẳng
Phép tịnh tiến:
Định nghĩa: 
	Phép tịnh tiến theo vectơ u là một phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ sao cho 
	+ Kí hiệu: Tu, là vectơ tịnh tiến.
Định lí 1: 
	Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M và N lần lượt thành hai điểm M’ và N’ thì M’N’ = MN.
Định lí 2: Phép tịnh tiến biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không làm thay đổi.
d) Hệ quả: Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính, biến góc thành góc bằng nó.
e) Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến:
	Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho phép tịnh tiến theo vectơ . Biết tọa độ của là (a; b). Giả sử điểm M(x; y) biến thành điểm M’(x’; y’). Khi đó ta có: 
Phép đối xứng trục:
Định nghĩa: Phép đối xứng qua đường thẳng a là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ đối xứng với M qua a.
+ Kí hiệu: Phép đối xứng qua đường thẳng a thường được kí hiệu là Đa. a là trục của phép đối xứng hay trục đối xứng.
Phép đối xứng trục là một phép dời hình.
Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Ox: 
 Phép đối xứng trục Ox biến điểm M(x;y) thành điểm M’(x’; y’) thì 
d) Trục đối xứng của một hình: Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép đối xứng trục Đd bieens H thành chính nó, tức là Đd(H) = H’.
3) Phép quay:
a) Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho một điểm O cố định và góc lượng giác không đổi. Phép biến hình biến điểm O thành điểm O, biến điểm M khác O thành điểm M’ sao cho OM = OM’ và (OM, OM’) = được gọi là phép quay tâm O góc quay .
+ Kí hiệu: 
b) Định lí: Phép quay là một phép dời hình.
4) Phép đối xứng tâm: 
a) Định nghĩa: Phép đối xứng qua điểm O là một phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ đối xứng với điểm M qua O, có nghĩa là 
+ Kí hiệu: Phép đối xứng qua điểm O thường được kí hiệu là ĐO. Phép đối xứng qua một điểm con goi là phép đối xứng tâm. O là tâm đối xứng 
b) Biểu thức toạ độ : Trong hệ tọa độ Oxy cho I(a; b). Nếu phép đối xứng tâm ĐI biến điểm M(x; y) thành điểm M’(x’; y’) thì: 
c) Tâm đối xứng của một hình: Điểm O gọi là tâm đối xứng của hình H nếu phép đối xứng tâm ĐO biến hình H thành chính nó, tức là ĐO(H) = H’.
XÁC ĐỊNH PHÉP DỜI HÌNH, TÌM ẢNH QUA PHÉP DỜI HÌNH
Việc xác định các phép dờ hình, dung ảnh của một điểm (của một hình) qua một phép dời hình có vai trò quan trọng trong việc giảI nhiều bào toán bằng các phép biến hình. Do vậy, ta cần lưu ý:
Nếu đường thẳng d là trung trực của đoạn MM’ thì M’ là ảnh của M trong phép đối xứng trục; đồng thời ta cũng có M và M’ là ảnh của nhau trong phép đối xứng trục d.
Nếu điểm I là trung điểm của đoạn thẳng MM’ thì hai điểm M và M’ là ảnh của nhau trong phép đối xứng tâm I.
Nếu cho trước hai điểm A và B thì B là ảnh của A trong phép tịnh tiến theo . Nếu ABCD là hình bình hành thì C là ảnh của D trong phéptịnh tiến theo .
Nếu OA = OB thì B là ảnh của A trong phép quay tâm O, góc quay AOB theo hướng từ A đến B.
Nếu một phép dời hình f biến hai điểm phân biệt A và B của một đường thẳng d thành hai điểm phân biệt A’ và B’ của một đường thẳng d’ thì d’ là ảnh của d trong phép dời hình f. khi đó d’ = f(d).
Ngoài các tính chất chung của các phép dời hình, cần chú ý thêm là phép tịnh tiến hoặc phép đối xứng tâm biến một đường thẳng thành một đưởng thẳng song song (hoặc trùng) với đường thẳng đã cho.
Đói với các đường tròn có bán kính bằng nhau thì việc xác định phép dời hình biến hình nọ thành hình kia đước đưa về việc xác định phép biến hình tâm của đường tròn nọ thành tâm của đường tròn kia.
Bài 1:
	Cho góc nhọn xOy, với = , và một điểm M thuộc miền trong của góc ấy. Gọi M1, M2 theo theo thứ tự là ảnh của M qua phép đối xứng trục Ox, Oy.
Chứng mih rằng M1 và M2 là ảnh của nhau trong một phép đối xứng trục d và trục d đI qua một điểm cố định.
CMR M2 là ảnh của M1 trong một phép quay mà ta cần xác định tâm và góc quay.
Xét trường hợp .
Giải:
M và M1 đối xứng nhau qua Ox cho ta : OM1 = OM (1)
 M và M2 đối xứng nhau qua Oy cho ta: OM2 = OM (2)
Từ (1) và (2) suy ra: OM1 = OM2 (3).
Từ (3) suy ra tam giác M1OM2 cân. Đường thẳng d đI qua O và vuông góc với M1M2 chính là trung trực của phép đối xứng biến điểm M1 thành M2 (hoặc biến M2 thành M1).
Do tính chất của phép đối xứng trục, ta có:
 = và = , nên + + + = 2( + ). Suy ra = 2
Từ (3) và (4) suy ra M2 là ảnh của M1 trong phép quay tâm O và góc quay có độ lớn là 
Khi , ba điểm M1, O, M2 thẳng hàng. Như vậy M1 và M2 là ảnh của nhau trong phép đỗi xứng tâm O hay cũng là phép quay tâm O, góc quay 1800.
	Bài 2: Cho tam giác ABC. Gọi M, N và P theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC, D là điểm đỗi xứng của P qua M và E là điểm đỗi xứng của P qua N. Hãy xác định các phép dời hình biến điểm D thành điểm E?
Giải: 
 Ta có: MB = MA, MP = MD nên tứ giác ADBP là hình bình hành. Suy ra:
DA = BP và DA // BP.
Tương tự ta có: EA = CP và EA // CP.
Từ các kết quả trên ta suy ra DA = EA (1)
DA và EA cùng đi qua A và cùng song song với BC, theo tiên đề Ơclit thì 3 điểm D, A, E thẳng hàng (2).
Từ (1) và (2) suy ra A là trung điểm của đoạn thẳng DE.
Vậy ĐA(D) = E.
 Ta cũng có DE = BC và DE // BC hay . Vậy .
Theo kết quả của câu 1) ta có: AD = AE và . 
Vậy 
Bài 3: Cho hình vuông ABCD và một số thực . Xét hai điểm M, N thoả mãn các hệ thức vectơ: ; .
Xác định phép biến hình f biến điểm N thành điểm M.
Xác định các điểm ảnh f(A), f(B), f(C), f(D) trong phép biến hình trên đay.
Chứng minh .
Giải: 
Do 
 .
Vì nên AM = BN.
 (c.g.c) nên OM = ON và = . Suy ra = 900.
Ta có: f(A) = D, f(B) = D, f(C) = B, f(D) = C.
Phép quay f biến: N thành M, A thành D. Nên trong phép quay này, DM là ảnh của AN.
Vậy .
Chú ý: Có thể giải câu c) như sau:
Từ đây chứng minh tích vô hướng .
SỬ DỤNG PHÉP DỜI HÌNH ĐỂ CHỨNG MINH CÁC TÍNH CHẤT CỦA HÌNH HỌC
Phương pháp: Ta có thể sử dụng tính chất của phép dời hình để giải nhiều bài toán chứng minh các tính chất hình học, chẳng hạn:
Để chứng minh sự bằng nhau (hai đoạn thẳng, hai góc, hai tam giác, hai đường tròn,) ta chỉ cần chỉ rõ chúng là ảnh của nhau trong một phép dời hình.
Để chứng minh ba điểm thẳng hàng, ta chứng minh chúng là ảnh của ba đường thẳng qua một phép dời hình.
Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy, ta chứng minh chúng là ảnh của ba đường thẳng đồng quy trong một phép dời hình.
Để chứng minh hai đoạn thẳng song song, ta chứng minh chúng là ảnh của nhau qua một phép đối xứng tâm hoặc qua một phép tịnh tiến.
Để chứng minh hai đoạn thẳng vuông góc, ta chứng minh chúng là ảnh của hai đường thẳng vuông góc qua một phép dời hình.
Để chứng minh điểm J là trung điểm của doạn thẳng CD, ta chứng minh J là ảnh của trung điểm của đoạn thẳng AB trong phép dời hình biến Ab thành CD.
Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Gọi A’ là điểm đối xứng của đỉnh A trong phép đối xứng qua đường trung trực của cạnh BC. Chứng minh rằng điểm A’ nằm trên đường tròn (O).
Giải: Đường trung trực của cạnh BC đi qua tâm O của đường tròn (O; r). Phép đối xứng trục mà trục là đường trung trực của BC cho ta nên .
Do đó OA = OA’ = r, suy ra .
Bài 5: Cho tam giác ABC, kẻ tia phân giác Am. Từ B kẻ đường thẳng song song với AM, cắt đường thẳng Ac tại D. Từ C kẻ đường thẳng song song với AM, cắt đường thẳng AB tại E. Chứng minh rằng: hai tam giác ADE và ABC bằng nhau.
Giải: Ta thấy các tam giác BAD và CAE cân tại A. Kẻ đường phân giác ngoài HK của góc A thì trong phép đối xứng qua trục HK, ta có: , , , nên . Suy ra .
Bài 6: Cho tam giác ABC, A’, B’ theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC, CA và D là điểm đối xứng của B’ qua A’.
Chứng minh BD // AC;
Tại sao hai đường thẳng AA’ và BD cắt nhau. Goi E là giao điểm của AA’ và BD. Chứng minh rằng A’ là trung điểm của đoạn thẳng AE.
Chứng minh CE // AB và D là trung điểm của doạn thẳng BE.
Giải: 
a) Xét phép đối xứng tâm A’, ta có:
ĐA’(B’) = D, ĐA’(C) = B, . Suy ra B’C // DB hay AC // BD.
b) Cũng trong phép đối xứng tâm A’ thì và .
Mà AA’ và CA là hai đường thẳng cắt nhau nên ảnh của chúng qua phép đối xứng tâm A’ là AA’ và BD cũng phảI cắt nhau và từ đây suy ra E là điểm đối xứng của A qua tâm A’ nên A’E = A’A.
c) Cũng trong phép đối xứng tâm A’ thì: , . Do đó . 
Suy ra AB // EC.
Trong câu b) ta đã chứng minh BE là ảnh của AC trong phép đối xứng tâm A’. Trong phép đối xứng này, ảnh của B’ là D mà B’ là trung điểm của AC và D phải là trung điểm của BE.
Bài 7: Cho tam giác ABC, vẽ về phía ngoài của tam giác ta dung các tam giác đều ABD, ACE, BCF. 
Chứng minh rằng BE = CD = AF.
Gọi I, J theo thứ tụ là trung điểm của các đoạn thẳng BE, CD. Chứng minh tam giác AIJ là tam giác đều.
Chứng minh ba đường thẳng BE, CD, AF đồng quy.
Dựng tam giác đều BKC (K khác F). Chứng minh rằng tứ giác AEKD là hình bình hành.
Giải:
Vì AD = AB, = 600, 
 AC = AE, = 60 0. Thực hiện phép quay tâm A, góc quay 600 thì:
, , . Suy ra CD = EB.
Tương tự chứng minh được BE = AF. Suy ra điều phải chứng minh.
Trong nên AI = AJ và = 600. Suy ra tam giác ABC đều.
Gọi M là giao điểm của AF và BE. Ta chứng minh CD đi qua M.
 Thật vậy, trên BE ta lấy điểm M’ sao cho MM’ = AM.
Vì BE là ảnh của AF trong phép quay tâm C, góc quay 600 nên ta có = 600. Điều này co nghĩa là . Như vậy, nếu thực hiện phép quay tâm A, góc quay 600, ta có: , , .
Do phép quay bảo toàn tính thẳng hàng nên từ sự thẳng hàng của ba điểm B, M’, E ta suy ra ba điểm D, M, C thẳng hàng hay CD đI qua M.
Thực hiện phép quay tâm B, góc quay 600 theo chiều dương của mặt phẳng, ta có: , , nên . Suy ra CA = KD mà CA = AE nên KA = EA (1)
Chứng minh tương tự, ta có: EK = AD (2).
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác AEKD là hình bình hành.
SỬ DỤNG CÁC PHÉP DỜI HÌNH ĐỂ TÌM TẬP HỢP ĐIỂM.
Phương pháp: Để tìm tập hợp các điểm M’, ta chỉ ra rằng M’ là ảnh của M trong một phép dời hình f mà tập hợp các điểm M’ là hình (H’), ảnh của hình (H) trong phép dời hình f trên đây.
Bài 8: Cho tam giác ABC có cạnh BC cố định. Tìm tập hợp trực tâm H của tam giác khi đỉnh A di chuyển trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Giải:
Sử dụng phép đối xứng trục:
Gọi H’ là giao điểm của AH với đường trong ngoại tiếp tam giác ABC.
Ta có: (cùng phụ với B)
 (cùng chắn cung BH’)
Suy ra 
Từ đây suy ra H là ảnh của H’ qua phép đối xứng trục BC. 
Khi A di chuyển trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì H’ cũng di chuyển trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Suy ra tập hợp các điểm H là đường tròn (O’), ảnh của đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC qua phép đối xứng trục BC.
Sử dụng phép đối xứng tâm:
Gọi ĐO(A) = A’. Dễ thấy A’B // CH và A’C // BH. Suy ra tứ giác A’BHC là hình bình hành, duy ra H và A’ đối xứng nhau qua trung điểm I của BC.
Khi A di chuyển trên đường tròn (O) thì A’ cũng di chuyển trên đường tròn (O) và do đó H di chuyển trên đường tròn ảnh của đường tròn (O) qua phép đối xứng tâm I, trung điểm của cạnh BC.
Sử dụng phép tịnh tiến 
Gọi ĐO(A) = A’, I là trung điểm của BC.
Dễ thấy tứ giác A’BHC là hình bình hành nên I là trung điểm của AH. Kết hợp với O là trung điểm của AA’ trong tam giác AA’H thì OI là đường trung bình nên OI // AH và OI = AH/2. Suy ra .
 Đẳng thức này chứng tỏ H là ảnh của A trong phép tịnh tiến theo vectơ .
Vậy khi A di chuyển trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì H di chuyển trên đường tròn (O’), ảnh của đường tròn (O) qau phép tịnh tiến theo vectơ . Dễ thấy OO’ = 2OI.
SỬ DỤNG CÁC PHÉP DỜI HÌNH ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN DUNG HÌNH.
Phương pháp: Việc dựng các hình thường được quy về việc dung các điểm, chẳng hạn để dung tam giác, đa giác thì ta cần duwngj các đỉnh của nó, việc dung đường ròn thường là việc dung và xác định tâm của nó. Trong hình học, một điểm được xác định bởi hai điều kiện, do vậy, ta thường căn cứ vào các điều kiện của điểm cần dung để xem xét nó là ảnh của một điểm điểm đã cho trong giả thiết, trong một phép dời hình f nào đó và thông thường ta sử dụng phương pháp dung hình bằng quỹ tích để xác định điểm cần dung.
Bài 9: Cho hai đường tròn (O) , (O’) và một đường thẳng d. Tìm trên đường thẳng d một điểm sao cho các tiếp tuyến kẻ từ điểm ấy đến các đường tròn
(O) và (O’) nhân đường thẳng d làm phân giác.
Giải:
Gọi M là điểm thuộc đường thẳng d mà từ đó ta vẽ các tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (O) và các đường thẳng MA, MB tạo thành một góc nhận d làm phân giác. Dễ thấy MA và MB đối xứng với nhau qua đường thẳng d. Do vậy, thực hiện phép đối xứng trục là đường thẳng d thì .
Trong phép đối xứng này, đường tròn (O) biến thành đường tròn (O1) và điểm B thành điểm B’ và AB là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O’) và (O1).
Từ đó ta có cách dựng sau:
Dựng đường tròn (O1) là ảnh của đường tròn (O) trong phép đối xứng trục d.
Dựng tiếp tuyến chung B’A của hai đường tròn (O’) và (O1). Khi đó M là giao điểm của B’A và d.
Số điểm M cần tìm phụ thuộc vào số giao điểm của các đường tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O1) với đường thẳng d.
Bài 10: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A va B. Hãy dung qua A một cát tuyến d, cắt các đường tròn (O) và (O’) theo thứ tự tại các điểm M, N sao cho: A là trung điểm của MN.
Giải:
Do AM = AN nên ĐA(N) = M. Như vậy, điểm M thoả mãn hai điều kiện:
M thuộc đường tròn (O’),
M thuộc đường tròn (O1), ảnh của đường tròn (O) qua phép đối xứng tâm A.
Từ đó, ta suy ra cách dung:
Dựng đường tròn (O1) đối xứng với đường tròn (O) qua tâm A.
Dựng giao điểm M của hai đường tròn (O1) và (O’).
Kẻ đường thẳng AM, đường thẳng này cắt đường tròn (O) tại N.
Ta co ngay AM = AN và cát tuyến AMN là cát tuyến cần dựng.
BIEÄN PHAÙP THÖÏC HIEÄN
Trao ñoåi thoâng qua hoaït ñoäng ngoaïi khoùa cuûa boä moân toaùn
Daïy trong caùc tieát baøi taäp naâng cao
Daïy trong caùc tieát töï choïn theo chuû ñeà hình 10 -11
Daïy trong caùc tieát boài döôõng hoïc sinh khoái 11 oân luyeän thi cao ñaúng, ñaïi hoïc
III. KEÁT QUAÛ
Trong quaù trình giaûng daïy toâi aùp duïng ôû lôùp 11C3 (naêm hoïc 2007 - 2008) 
Hoïc sinh coù khaû naêng nhaän daïng vaø söû duïng thaønh thaïo phöông phaùp naøy.
Giuùp hoïc sinh töï tin khi gaëp caùc daïng toaùn naøy.
Hình thaønh ñöôïc tö duy logic, kó naêng giaûi c caùc daïng toaùn naøy.
Keát quaû ñaït 65 %
	Thoâng qua chuyeân ñeà naøy coù theå phaàn naøo thaáy ñöôïc vieäc söû duïng caùc pheùp bieán hình ñeå tìm taäp hôïp ñieåm, döïng hình hay chöùng minh baøi toaùn hình hoïc moät caùch coù loâ gic heä thoáng thoáng chaëc cheõ. Tuy nhieân phöông phaùp naøy khoâng phaûi luùc naøo cuõng duøng ñöôïc ñoái vôùi moät soá daïng baøi taäp khaùc. Vì vaäy toâi raát mong nhaän ñöôïc söï ñoùng goùp chaân tình töø caùc ñoàng nghieäp.
Toâi xin chaân thaønh caûm ôn!
Khaùnh Höng, ngaøy 09 thaùng 04 naêm 2009
	Ngöôøi vieát
 Nguyeãn Thanh Bình
PHAÀN NHAÄN XEÙT ÑAÙNH GIAÙ XEÁP LOAÏI
SAÙNG KIEÁN KINH NGHIEÄM
	- Teân ñeà taøi: ÁP DỤNG MỘT SỐ PHÉP BIẾN HÌNH 
 ĐỂ GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG
	- Taùc giaû: Nguyeãn Thanh Bình
Toå chuyeân moân
Tröôøng
Noäi dung
Xeáp loaïi
Noäi dung
Xeáp loaïi
Ñaët vaán ñeà
Bieän phaùp
Keát quaû phoå bieán, öùng duïng
Tính khoa hoïc
Tính saùng taïo
Ñaët vaán ñeà
Bieän phaùp
Keát quaû phoå bieán, öùng duïng
Tính khoa hoïc
Tính saùng taïo
Xeáp loaïi chung:
 Ngaøy..thaùng..naêm 2009
 Toå tröôûng chuyeân moân
Xeáp loaïi chung:
 Ngaøy..thaùng..naêm 2009
 Hieäu tröôûng 
	Caên cöù keát quaû xeùt, thaåm ñònh cuûa Hoäi ñoàng khoa hoïc nghaønh GD &ÑT
caáp tænh; Giaùm ñoác sôû GD&ÑT Caø Mau thoáng nhaát coâng nhaän SKKN vaø xeáp 
loaïi:.
 Ngaøy..thaùng.naêm 2009
 GIAÙM ÑOÁC