Một số phương pháp giải bài toán chia hết lớp 6 trong Toán học

I. Đặt vấn đề
Cùng với sự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng đổi mới không ngừng. Các nhà trường càng chú trọng đến chất lượng toàn diện bên cạnh sự đầu tư thích đáng cho giáo dục. Với vai trò là môn học công cụ,bộ môn Toán đã góp phần tạo điều kiện cho các em học tốt các môn khoa học tự nhiên khác.
Dạy như thế nào để học sinh không những nắm chắc kiến thức cơ bản một cách có hệ thống mà phải được nâng cao, phát triển để các em có hứng thú, say mê học tập là một câu hỏi mà mỗi thầy cô chúng ta luôn đặt ra cho mình.
Để đáp ứng được yêu cầu của sự nghiệp giáo dục và nhu cầu học tập của học sinh. Do vậy trong giảng dạy chúng ta phải biết chắt lọc nội dung kiến thức, phải đi từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tượng và phát triển thành tổng quát giúp học sinh có thể phát triển tư duy Toán học.
Bản thân tôi trong quá trình nghiên cứu chương trình lớp 6 cũ và mới tôi nhận thấy phép chi hết là một đề tài thật lý thú, phong phú và đa dạng không thể thiếu ở môn số học lớp 6.
B. Giải quyết vấn đề
 I. Trước tiên là học sinh phải nắm vững định nghĩa phép chia hết, các dấu hiệu chia hết cũng như các tính chất về quan hệ chia hết.
 1. Định nghĩa: 
 Cho hai số tự nhiên a và b, trong đó b ạ 0, nếu có số tự nhiên x sao cho 
b.x = a thì ta nói a chia hết cho b và ta có phép chia hết a : b = x.
 2. Các dấu hiệu chia hết:
a. Dấu hiệu chia hết cho 2:
Một số chia hết cho 2 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của số đó là số chẵn.
b. Dấu hiệu chia hết cho 3(hoặc 9):
Một số chia hết cho 3(hoặc 9) khi và chỉ khi tổng các chữ số của số đó chia hết cho 3(hoặc 9).
Chú ý: Một số chia hết cho 3(hoặc 9) dư bao nhiêu thì tổng các chữ số của nó chia cho 3(hoặc 9) cũng dư bấy nhiêu và ngược lại.
c. Dấu hiệu chia hết cho 5:
Một số chia hết cho 5 chữ số của số đó có tận cùng bằng 0 hoặc bằng 5.
d. Dấu hiệu chia hết cho 4(hoặc 25):
Một số chia hết cho 4(hoặc 25) khi và chỉ khi hai chữ số tận cùng của số đó chia hết cho 4(hoặc 25).
e. Dấu hiệu chia hết cho 8(hoặc 125):
Một số chia hết cho 8(hoặc 125) khi và chỉ khi ba chữ số tận cùng của số đó chia hết cho 8(hoặc 125).
 f. Dấu hiệu chia hết cho 11:
Một số chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa tổng các chữ số hàng lẻ và tổng các chữ số hàng chẵn(từ trái sang phải) chia hết cho 11.
3. Tính chất của quan hệ chia hết:
+ 0 chia hết cho b với b là số tự nhiên khác 0.
+ a chia hết cho a với mọi a là số tự nhiên khác 0.
+ Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho a thì a = b.
+ Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a chia hết cho c.
+ Nếu a chia hết cho b và a chia hết cho c mà (b,c) = 1 thì a chia hết cho (b.c).
+ Nếu a.b chia hết cho c và (b,c) = 1 thì a chia hết cho c.
+ Nếu a chia hết cho m thì k.a chia hết cho m với mọi k là số tự nhiên.
+Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho m thì (a b) chia hết cho m.
+ Nếu a chia hết cho m, b không chia hết cho m thì (a b) không chia hết cho m.
+ Nếu a chia hết cho m và b chia hết cho n thì (a.b) chia hết cho (m.n).
+ Nếu (a.b) chia hết cho m và m là số nguyên tố thì a chia hết cho m hoặc b chia hết cho m.
+ Nếu a chia hết cho m thì chia hết cho m với n là số tự nhiên.
+ Nếu a chia hết cho b thì chia hết cho với n là số tự nhiên.
II. Khi học sinh đã nắm chắc các vấn đề nêu trên thì giáo viên có thể đưa ra một vài phương pháp thươngf dùng để giải các bài toán chia hết: 
Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa phép chia hết.
Để chứng minh a chia hết cho b( b ạ 0) ta biểu diễn số a dưới dạng một tích các thừa số, trong đó có một thừa số bằng b( hoặc chia hết cho b).
Ví dụ 1: Chứng minh rằng (3n)100 chia hết cho 81 với mọi số tự nhiên n.
Giải: Ta có (3n)100 = 31000. n1000 = 34.3996.n1000 = 81.3996.n1000. 
Vì 81 chia hết cho 81 nên 81.3996.n1000 chia hết cho 81.
 (3n)1000 chia hết cho 81.
Phương pháp 2: Dựa vào tính chất của quan hệ chia hết.
* Dùng tính chất chia hết của một tổng, hiệu:
- Để chứng minh a chia hết cho b(b ạ 0) ta biểu diễn số a dưới dạng một tổng của nhiều số hạng rồi chứng minh tất cả các số hạng đó đeèu chia hết cho b.
- Để chứng minh a không chia hết cho b ta biểu diễn số a thành tổng của các số hạng rồi chứng minh một số hạng không chia hết cho b còn tất cả các số hạng còn lại đều chia hết cho b.
Ví dụ 2: Khi chia một số cho 255 ta được số dư là 170. Hỏi số đó có chia hết cho 85 không? Vì sao? 
 Giải: Gọi số đó là a (a là số tự nhiên).
Vì a chia cho 255 có số dư là 170 nên a = 255.k + 170 (k là số tự nhiên).
Ta có: 	 255 chia hết cho 85 nên 255.k chia hết cho 85.
	170 chia hết cho 85.
 (255.k + 170) chia hết cho 85 (Tính chất chia hết của một tổng).
 Do vậy a chia hết cho 85.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng tổng của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3.
 Giải: Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: a, a + 1, a + 2.
Tổng của ba số tự nhiên liên tiếp là a + a + 1 + a + 2 = (a + a + a) + (1 + 2) 
 = (3a + 3) chia hết cho 3 (Tính chất chia hết của một tổng).
Từ bài tập, này giáo viên có thể đưa học sinh vào tình huống : Có phải tổng của n số tự nhiên liên tiếp luôn luôn chia hết cho n hay không?
Qua đó gợi trí tò mò, đưa học sinh vào tình huống có vấn đề cần phải giải quyết. Sau đó giáo viên gợi ý cho học sinh, để trả lời câu hỏi này, các em cần làm bài tập sau:
Ví dụ 4: Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 4 hay không ?
Giải: Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là a, a + 1, a + 2, a + 3.
Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp là:
a + a + 1 + a + 2 + a + 3 = (a + a + a + a) + (1 + 2 + 3) = (4a + 6). 
Do 4 chia hết cho 4 nên 4a chia hết cho 4 mà 6 không chia hết cho 4 nên 
(4a + 6) không chia hết cho 4.
 Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4.
Giáo viên chốt lại: Tổng của n số tự nhiên liên tiếp chưa chắc đã chia hết cho n.
* Dùng tính chất chia hết của một tích:
Để chứng minh a chia hết cho b (b 0) ta có thể chứng minh bằng một trong các cách sau:
+ Biểu diễn b = m.n với (m, n) = 1. Sau đó chứng minh a chia hết cho m, a chia hết cho n.
+ Biểu diễn a = a1.a2 , b = b1.b2 , rồi chứng minh a1 chia hết cho b1 ; a2 chia hết cho b2 .
Ví dụ 5: Chứng minh (495a + 1035b) chia hết cho 45 với mọi a , b là số tự nhiên.
 Giải:
Vì 495 chia hết cho 9 nên 1980.a chia hết cho 9 với mọi a.
Vì 1035 chia hết cho 9 nên 1035.b chia hết cho 9 với mọi b.
Nên: (495a + 1035b) chia hết cho 9.
Chứng minh tương tự ta có: (1980a + 1995b) chia hết cho 5 với mọi a, b.
Mà (9, 5) = 1.
 (495a + 1035b) chia hết cho 45.
 Ví dụ 6: Chứng minh rằng tích của hai số chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8.
Giải: 
Gọi hai số chẵn liên tiếp là 2n, 2n + 2.
Tích của hai số chẵn liên tiếp là: 2n.(2n + 2) = 4n.(n + 1).
Vì n, n + 1 không cùng tính chẵn lẻ nên n.(n + 1) chia hết cho 2.
Mà 4 chia hết cho 4 nên 4n.(n + 1) chia hết cho (4.2)
 4n.(n + 1) chia hết cho 8.
 2n.(2n + 2) chia hết cho 8.
Phương pháp 3: Dùng định lý về chia có dư.
Để chứng minh n chia hết cho p, ta xét mọi trường hợp về số dư khi chia n cho p.
 Ví dụ: Chứng minh rằng:
 a. Tích của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3.
 b. Tích của bốn số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 4.
 Giải: 
 a. Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là n, n +1, n + 2.
 Tích của ba số tự nhiên liên tiếp là: n.(n + 1).(n + 2).
 Một số tự nhiên khi chia cho 3 có thể nhận một trong các số dư 0; 1; 2.
 - Nếu r = 0 thì n chia hết cho 3 n.(n +1).(n +2) chia hết cho 3.
 - Nếu r = 1 thf n = 3k + 1 (k là số tự nhiên).
 	n + 2 = 3k + 1 + 2 = (3k + 3) chia hết cho 3.
 n.(n + 1).(n + 2) chia hết cho 3.
 - Nếu r = 2 thì n = 3k + 2 (k là số tự nhiên).
 n + 1 = 3k + 2 + 1 = (3k +3) chia hết cho 3.
 n.(n +1).(n +2) chia hết cho 3.
Tóm lại: n.(n +1).(n +2) chia hết cho 3 với mọi n là số tự nhiên.
b. Chứng minh tương tự ta có n.(n +1).(n +2).(n +3) chia hết cho 4 với mọi n là số tự nhiên.
 Sau khi giải bài tập này, giáo viên yêu cầu học sinh nêu bài tập này ở dạng tổng quát.
Giáo viên khắc sâu cho học sinh: Tích của n số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho n.
III. Khi học sinh đã nắm vững các phương pháp thường dùng để chứng minh chia hết, giáo viên có thể ra một số bài toán về chia hết nhằm giúp học sinh nắm một cách có hệ thống, được đào sâu các kiến thức về phép chia hết.
Bài 1: Tìm tất cả các số x, y để có số chia hết cho 36.
Giải: Vì (4, 9) = 1 nên chia hết cho 36 chia hết cho 9 và chia hết cho 4.
 Ta có: chia hết cho 4 5y chia hết cho 4 y ẻ .
 chia hết cho 9 (3 + 4 + x + 5 + y) chia hết cho 9.
 (9 + 13 + x + y) chia hết cho 9. Û (3 + x + y) chia hết cho 9
Vì x, y ẻ N và 0 Ê x; y Ê 9 Nên x + y thuộc 
 Nếu y = 2 thì x = 4 hoặc x = 13 ( > 9 - Loại ).
 Nếu y = 6 thì x = 0 hoặc x = 9.
 Vậy các số phải tìm là: 34452; 34056; 34956.
 Bài 2: Cho các chữ số 0, a, b. Hãy viết tất cả các số có ba chữ số tạo bởi ba số trên. Chứng minh rằng tổng tất cả các số đó chia hết cho 211.
 Giải: 
 Tất cả các số có ba chữ số tạo bởi ba chữ 0, a, b là: .
 T ổng của các số đó là: 
 = 100a + b + 100a + 10b + 100b + 10a + 100b + a 
 = 211a + 211b = 211(a + b) chia hết cho 211.
 Bài 3: Tìm số tự nhiên n để (3n + 14) chia hết cho (n + 2).
 Giải:
 Ta có 5n + 14 = 5.(n + 2) + 4.
 Mà 5.(n +2) chia hết cho (n +2).
 Do đó (5n + 14) chia hết cho (n +2) 4 chia hết cho (n + 2) (n + 2) là ước của 4.
 (n +2) ẻ
 n ẻ.
 Vậy với n ẻ{0; 2} thì (5n + 14) chia hết cho (n +2).
 Bài 4: Tìm số tự nhiên n để là số tự nhiên .
 Giải: Để là số tự nhiên thì (n + 15) chia hết cho (n + 3).
 [(n + 15) - (n + 3)] chia hết cho (n + 3).
 12 chia hết cho (n +3) .
 (n + 3) là Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}.
 n ẻ {0; 1; 3; 9}.
 Vậy với n ẻ {0; 1; 3; 9}thì là số tự nhiên.
 Bài 5: Phải viết thêm vào bên phải số 579 ba chữ số nào để được số chia hết cho 5; 7; 9.
 Giải:
Giả sử ba số viết thêm là .
Ta có: chia hết cho 5.7.9 = 315.
Mặt khác: = 579000 + = (315.1838 + 30 + ) chia hết cho 315.
Mà 315.1838 chia hết cho 315 (30 + ) chia hết cho 315 ị 30 + ẻ (315).
Do 100 Ê Ê 999 ị 130 Ê 30 + Ê 1029 
ị 30 + ẻ {315; 630; 945}.
 .
Vậy ba số có thể viết thêm vào là 285; 600; 915.
C. Kết luận
I / Kết quả: 
Với những kinh nghiệm vừa trình bày ở trên, sau nhiều năm dạy Toán 6, bản thân thấy: Khi dạy phần chia hết trong tập hợp số tự nhiên, học sinh tiếp nhận kiến thức một cách thoải mái, chủ động, rõ ràng, có hệ thống, học sinh phải phân biệt và nhận dạng được các bài toán liên quan đến phép chia hết và từ đó hầu hết giải được các bài tập phần này, xoá đi cảm giác khó và phức tạp ban đầu là không có quy tắc giải tổng quát. Qua đó rèn luyện cho học sinh trí thông minh, sáng tạo, các phẩm chất trí tuệ khác và học sinh cũng thấy được dạng toán này thật phong phú chứ không đơn điệu, giúp học sinh hứng thú khi học bộ môn này.
II / Bài học kinh nghiệm:
Phần " Phép chia hết trong " ở lớp 6 là một nội dung quan trọng bởi kiến thức này có liên quan chặt chẽ, nó là tiền đề cho học sinh học tốt các kến thức về sau và đặc biệt ứng dụng của nó rất nhiều. Do vậy, trước hết chúng ta cần cho học sinh nắm thật vững định nghĩa phép chia hết, các dấu hiệu chia hết đặc biệt là tính chất của quan hệ chia hết bởi vì tính chất này rất hay sử dụng.
Để học sinh nắm vững và hứng thú học tập, chúng ta cần chọn lọc hệ thống bài tập theo mức độ tăng dần từ dễ đến khó. Cần rèn luyện nhiều về cách lập luận và trình bày của học sinh vì đây là học sinh đầu cấp.
Với mỗi dạng tuy không có quy tắc tổng quát, song sau khi giải giáo viên nên chỉ ra một đặc điểm, một hướng giải quyết nào đó để khi gặp bài tương tự, học sinh có thể tự liên hệ được.
Trên đây là một vài kinh nghiệm nhỏ của bản thân tôi tự rút ra khi dạy phần phép chia hết trong N. Trong quá trình giảng dạy chắc chắn chưa thể hoàn hảo được. Rất mong nhận được sự góp ý chân tình của các bạn đồng nghiệp để những năm học tới được tốt hơn, đáp ứng với yêu cầu của sự nghiệp giáo dục nước nhà.
 Ngày 22 tháng 4 năm2006
 Người viết
Lê Đình Quyên