Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán cực trị trong Hình học giải tích lớp 12

́i thì MA2 - 2MB2 có giá trị lớn nhất
2) Gọi điểm G(x; y; z) là điểm thỏa thì G là trọng tâm tam giác ABC và G(2; 1; 1).
Ta có: MA2 + MB2 + MC2 =
	= 
	= 
Do không đổi nên MA2 + MB2 + MC2 nhỏ nhất khi MG nhỏ nhất, hay M là hình chiếu vuông góc của G lên đường thẳng d.
, 
Khi M là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d thì 
Vậy với thì MA2 + MB2 + MC2 có giá trị nhỏ nhất.
Bài toán 3: Cho mặt phẳng (α) có phương trình:ax + by + cz + d = 0 và hai điểm A,B không thuộc (α) . Tìm điểm M trên (α) sao cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất.
Lời giải:
1.Nếu (axA+byA+ czA + d)(axB+byB+ czB+ d) < 0 thì A, B nằm về hai phía với (α). Để MA + MB nhỏ nhất khi M thuộc AB hay M là giao điểm của (α) và AB.
2.Nếu (axA+byA+ czA + d)(axB+ byB+ czB+ d) >0 thì A, B nằm về một phía với (α). Khi đó ta tìm điểm A’ đối xứng với A qua (α). Do MA + MB = MA’+ MB mà đạt giá trị nhỏ nhất khi M thuộc A’B hay M là giao điểm của (α) và A’B.
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α) có phương trình:x – 2y – 2z + 4 = 0 và hai điểm A(1; 1; 2), B(2; 0; 2). Tìm điểm M trên mặt phẳng (α) sao cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất
Giải:
Thay tọa độ của A và B vào phương trình (α) ta thấy hai điểm nằm về hai phía của (α).
Ta có MA + MB có giá trị nhỏ nhất khi M là giao điểm của AB và (α).
Đường thẳng AB qua điểm B, nhận làm vecto chỉ phương
Phương trình tham số của AB: 
Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình: 2 + t – 2(-t)- 2.2 + 4 = 0
Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (α) có phương trình: x – y + 2z = 0 và ba điểm A(1; 2;-1), B(3; 1; -2), C(1; -2; -2). Hãy tìm điểm M trên d sao cho
MA + MB có giá trị nhỏ nhất
 có giá trị lớn nhất.
Hay là điểm cần tìm.
Giải:
1) Thay tọa độ của A và B vào phương trình (α) ta thấy hai điểm nằm về một phía của (α).
Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua (α), để MA + MB có giá trị nhỏ nhất khi M là giao điểm của A’B với (α).
Đường thẳng AA’ đi qua A và vuông góc với (α), AA’ nhận làm vecto chỉ phương
Phương trình tham số AA’:
Tọa độ hình chiếu vuông góc H của A trên (α) ứng với t của phương trình
1 + t – (2 – t) + 2(-1 + 2t) = 0 6t – 3 = 0 hay t =
Do H là trung điểm AA’ nên 
A’B có vtcp 
Phương trình tham số A’B: 
Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình: 
2 + t – 1 + 2(1 – 3t) = 0 hay 
Vậy với thì MA + MB có giá trị nhỏ nhất.
2) Thay tọa độ của A và C vào phương trình (α) ta thấy hai điểm nằm về hai phía của (α).Vậy nên A’ và C nằm cùng một phía đối với (α).
Ta thấy .Nên đạt giá trị lớn nhất khi M thuộc A’C nhưng ở phía ngoài đoạn A’C, tức M là giao điểm của A’C và (α).
Đường thẳng A’C có vtcp 
Phương trình tham số A’C: 
Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình: 
2 - t - (1 – 3t) + 2(1 - 3t) = 0 hay 
Vậy với thì có giá trị lớn nhất.
Bài toán 4: Cho đường thẳng d và hai điểm phân biệt A,B không thuộc d. Tìm điểm M trên đường thẳng d sao cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất.
Lời giải:
Đưa phương trình của d về dạng tham số, viết tọa độ của M theo tham số t
Tính biểu thức MA + MB theo t, xét hàm số f(t) = MA + MB
Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số f(t), từ đó suy ra t
Ví dụ 1: Cho đường thẳng và hai điểm C(-4; 1; 1), D(3; 6; -3). Hãy tìm điểm M trên d sao cho MC + MD đạt giá trị nhỏ nhất.
Tính tọa độ của M và kết luận
Giải:
Đường thẳng d có phương trình tham số 
qua điểm N(1; -2; 3), có vtcp và 
Ta có .= 14 -10 – 4 = 0 
Xét mặt phẳng (P) qua CD và vuông góc với d
(P) qua điểm C(-4; 1; 1) và nhận làm vecto pháp tuyến
Phương trình (P): 2(x +4) – 2(y -1) + 1(z -1) = 0 hay 2x – 2y + z + 9 = 0
Điểm M thuộc d thỏa MC + MD đạt giá trị nhỏ nhất khi M là giao điểm của d và mp(P). 
Tọa độ M ứng với t là nghiệm của phương trình:
 2 + 4t + 4 + 4t + 3 + t + 9 = 0
Vậy M(-3; 2; 1) thì MC + MD đạt giá trị nhỏ nhất bằng: 
Bài toán 5: Cho hai đường thẳng d1,d2 chéo nhau. Tìm các điểm MÎ d1, NÎ d2 là chân đoạn vuông góc chung của hai đường trên.
Lời giải:
Lấy M và N( tọa độ theo tham số).
Giải hệ phương trình và ( là các véctơ chỉ phương của d1 và d2 ).
Tìm tọa độ M, N và kết luận.
Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng 
, 
Chứng minh d1, d2 chéo nhau
Tìm điểm M và N sao cho độ dài MN ngắn nhất.
Giải:
1) d1 qua M1(5; -1; 11), có vtcp 
 d2 qua M2(-4; 3; 4), có vtcp 
Ta có []= (8; 4; 16)(-9;4; -7) = -72 +16 – 112 = -168
Hay d1 và d2 chéo nhau.
2). M và N sao cho độ dài MN ngắn nhất khi và chỉ khi MN là độ dài đoạn vuông góc chung của d1 và d2.
Phương trình tham số của hai đường thẳng 
d1:, d2:
M nên M(5 + t; -1 + 2t; 11- t), N nên N(-4 – 7t’;3 +2t’; 4 + 3t’)
- 7t’- t – 9; 2t’ – 2t +4; 3t’ + t – 7)
Ta có 
Do đó M(7; 3;9) và N(3; 1; 1)
Vậy với M(7; 3;9) và N(3; 1; 1) thì độ dài MN ngắn nhất bằng .
Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: và hai điểm A(1;2; 3),B(1; 0; 1). Tìm điểm M trên d sao cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất
Giải:
Lấy điểm M trên d, Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên AB
Tam giác MAB có diện tích S = đạt giá trị nhỏ nhất khi MH nhỏ nhất, hay MH là đoạn vuông góc chung của AB và d.
Ta thấy d qua M1(2; 4; -2), có vtcp 
 AB qua A(1; 2; 3) và (0; -2;-2) = 
với là véc tơ chỉ phương của AB
Phương trình tham số AB 
M(2 + t; 4+ t; -2) ,H(1; 2+ t’;3+t’) ,-t -1; t’ – t -2; t’ +5)
Ta có 
Vậy M(-1; 1; -2), H(1; -1; 0) khi đó MH =, AB =
Diện tích 
Ví dụ 3: Cho đường thẳng d:. Trong các mặt cầu tiếp xúc với cả hai đường thẳng d và trục Ox, hãy viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính nhỏ nhất.
Giải:
Giả sử mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R tiếp xúc với d tại M, tiếp xúc với Ox tại N
Ta thấy 2R = IM + IN ≥ MN, do đó mặt cầu (S) có đường kính nhỏ nhất là 2R = MN khi và chỉ khi MN nhỏ nhất hay MN là đoạn vuông góc chung của d và Ox.
Đường thẳng d qua M(0; 0; 2), có vtcp 
	Ox qua O(0; 0; 0), có vtcp 
[] = (0; 0; -1)(0; 0; 2) = -2 nên d và Ox chéo nhau.
Với M(0; t; 2- t)Î d, N(t’; 0; 0)Î Ox và t’; -t; t – 2)
Ta có 
Vậy M(0; 1; 1), N(0; 0; 0) ≡ O
Mặt cầu (S) có tâm I (0, bán kính R =
Phương trình mặt cầu (S): 
2. Các bài toán cực trị liên quan đến vị trí của đường thẳng, mặt phẳng.
Bài toán 1: Cho hai điểm phân biệt A,B. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua A và cách B một khoảng lớn nhất.
Lời giải:
Họi H là hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng (α), khi đó tam giác ABH vuông tại H và khoảng cách d(B; (α)) = BH ≤ AB. Vậy d(B; (α)) lớn nhất bằng AB khi A ≡ H, khi đó (α) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với AB.
Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm D(1; -2; 3) và cách điểm I(3; -1; -2) một khoảng lớn nhất.
Giải:
(α) cách điểm I(3; -1; -2) một khoảng lớn nhất khi (α) là mặt phẳng đi qua D và vuông góc với DI.
Ví dụ 2: Cho hai điểm A(2; 1; 3), B(1; -1; 1), gọi (α) là mặt phẳng qua B. Trong các mặt cầu tâm A và tiếp xúc với (α), hãy viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính lớn nhất.
(α) nhận làm vecto pháp tuyến
Phương trình mặt phẳng(α): 2(x -1) + 1(y +2) – 5(z -3 ) = 0 2x + y – 5z + 15 = 0
Giải:
Mặt cầu (S) có bán kính R = d(A; (α)) lớn nhất khi (α) qua B và vuông góc với AB
 là véctơ pháp tuyến của (α)
R = AB=3
Phương trình mặt cầu (S): (x -2)2 + (y -1)2 + (z – 3)2 = 9.
Bài toán 2: Cho điểm A và đường thẳng ∆ không đi qua A. Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa ∆ sao cho khoảng cách từ A đến (α) lớn nhất
Lời giải:
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (α),
 K là hình chiếu vuông góc của A lên ∆
Ta có d(A; (α)) = AH ≤ AK lớn nhất thì H≡ K, 
khi đó (α) là mặt phẳng đi qua ∆ và vuông góc 
với AK. Hay (α) qua ∆ và vuông góc với mp(∆, A).
Ví dụ 1: Cho ba điểm A(2; 1; 3), B(3; 0; 2); C(0; -2; 1). Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A, B và cách C một khoảng lớn nhất.
Giải:
Mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A, B và cách C một khoảng lớn nhất khi (α) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mp(ABC).
,
(ABC) có véctơ pháp tuyến 
(α)cóvéctơpháptuyến 
Phương trình (α): 3(x– 2) + 2(y – 1) + 1(z – 3) = 0
 3x + 2y + z – 11 = 0
Bài toán 3: Cho mặt phẳng (α) và điểm A thuộc (α), lấy B không thuộc (α). Tìm đường thẳng ∆ nằm trong (α) đi qua A và cách B một khoảng lớn nhất, nhỏ nhất.
Lời giải:
Gọi H là hình chiếu của B lên ∆ ta thấy d(B; ∆) = BH ≤ AB
Vậy khoảng cách từ B đến ∆ lớn nhất khi 
A ≡ H hay ∆ là đường thẳng nằm trong
 (α) và vuông góc với AB.
	Gọi K là hình chiếu vuông góc của 
B lên (α) khi đó d(B; (α)) = BH ≥ BK
Vậy khoảng cách từ B đến ∆ nhỏ nhất khi
 K ≡ H hay ∆ là đường thẳng đi qua hai 
điểm A, K.
Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (α): 2x – 2y + z + 15 = 0 và điểm A (-3; 3; -3). 
Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trên (α), qua điểm A và cách điểm B(2;3; 5) một khoảng :
1) Nhỏ nhất	.	2) Lớn nhất.
Giải:
Ta thấy (α)có véctơ pháp tuyến 
1) Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (α)
Phương trình BH: 
Tọa độ điểm H ứng với t là nghiệm của phương trình:
	2(2 + 2t) - 2(3 – 2t) + 5 + t + 15= 0 hay H(-2; 7; 3)
Ta thấy d(B; ∆) nhỏ nhất khi ∆ đi qua hai điểm A, H do vậy là véc tơ chỉ phương của ∆.
Phương trình của ∆:
2) Ta thấy d(B; ∆) lớn nhất khi ∆ là đường thẳng nằm trong (α), qua A và vuông góc với AB.
∆ có véctơ chỉ phương 
Phương trình của ∆:
Ví dụ 2: Cho hai điểm A(2; 1; -1), B(-1; 2; 0) và đường thẳng d:
Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua d và B.
Viết phương trình đường thẳng ∆1 đi qua B cắt d sao cho khoảng cách từ A đến ∆1 lớn nhất.
Viết phương trình đường thẳng ∆2 đi qua B cắt d sao cho khoảng cách từ A đến ∆2 nhỏ nhất.
Giải:
1) Đường thẳng d qua điểm M(2; 0; 0) có vtcp , 
(α) đi qua B nhận làm véctơ pháp tuyến
Phương trình (α): x + y + z – 1 = 0
2) Gọi H là hình chiếu của A lên (α), để d(A, ∆1) nhỏ nhất khi ∆1 đi qua hai điểm B,H. Phương trình tham số AH: 
Tọa độ H ứng với t là nghiệm phương trình: 
2 + t + 1 + t -1 + t – 1 = 0 
∆1 nhận làm véc tơ chỉ phương
Ta thấy và không cùng phương nên d và ∆1 cắt nhau (do cùng thuộc mặt phẳng (α))
Vậy phương trình ∆1: 
3) Gọi K là hình chiếu của A lên ∆2 ta có d(A, ∆2 ) = AK ≤ AB, để d(A, ∆2 ) lớn nhất khi K ≡ B hay ∆2 nằm trong (α)và vuông góc với AB.
Ta có ∆2 nhận làm véc tơ chỉ phương, mặt khác và không cùng phương nên d và ∆2 cắt nhau (do cùng thuộc mặt phẳng (α))
Phương trình ∆2:
Bài toán 4: Cho mặt phẳng (α) và điểm A thuộc (α), đường thẳng d không song song hoặc nằm trên (α) và không đi qua A. Tìm đường thẳng ∆ nằm trên (α), đi qua A sao cho khoảng cách giữa ∆ và d là lớn nhất.
Lời giải:
Gọi d1 là đường thẳng qua A và song song với d, B là giao điểm của d với (α).
Xét (P) là mặt phẳng (d1, ∆), H và I là hình chiếu vuông góc của B lên (P) và d1.
Ta thấy khoảng cách giữa ∆ và d là BH và 
BH ≤ BI nên BH lớn nhất khi I ≡ H, khi đó ∆ có vtcp .
Ví dụ 1: Cho đường thẳng d: , mặt phẳng (α): 2x – y – z + 4 = 0 và điểm A( -1; 1; 1).Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trên (α), đi qua A sao cho khoảng cách giữa ∆ và d là lớn nhất.
Giải:Đường thẳng d có vtcp (1; 2; -1), (α) có vtpt (2; -1; 1)
Phương trình tham số d: 
Gọi B là giao điểm của d và (α), tọa độ B ứng với t là nghiệm phương trình: 
 2+ 2t – 2 – 2t – 3+ t + 4 = 0 t = -1 B(0; 0; 4)
Xét d1 là đường thẳng qua A và song song với d
Phương trình tham số đường thẳng d1: 
Gọi I là hình chiếu vuông góc của B lên d1 
I(-1 + t; 1 + 2t; 1 – t), (-1 + t; 1 + 2t;-5– t)
Ta có -1 + t + 2(1 + 2t) –(-5– t) = 0 t = -1I(-2; -1; 2)
Đường thẳng ∆ có vtcp = (-5; -10; 4)
Phương trình ∆: 
Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (P): x + y – z + 1= 0, điểm A(1; -1; 2) và đường thẳng ∆ . Trong các đường thẳng đi qua A và song song song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng d sao cho khoảng cách giữa d và ∆ lớn nhất.
Giải:
 Mặt phẳng (α) qua A và song song với (P) có phương trình: x + y – z + 2= 0 
=> d nằm trên (α).
Đường thẳng ∆ có vtcp (2;1;-3), (α) có vtpt (1;1;-1)
Phương trình tham số ∆: 
Gọi B là giao điểm của ∆ và (α), tọa độ B ứng với t là nghiệm phương trình: 
 -1+ 2t + t – (4- 3t) + 2 = 0 t = B(0; ; )
Xét ∆1 là đường thẳng qua A và song song với ∆
Phương trình tham số đường thẳng ∆1: 
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên ∆1 H(1 + 2t; -1 + t; 2 – 3t)
(1 + 2t; t -; -3t).Ta có 2 + 4t + t - + 9t = 0 t = 
=(; ; ) =(26; -43; 3) =
Đường thẳng d có vtcp = (40; 29; 69)
Phương trình d : 
.
Bài toán 5: Cho mặt phẳng (α) và điểm A thuộc (α), đường thẳng d không song song hoặc nằm trên (α). Tìm đường thẳng ∆ nằm trên (α), đi qua A và tạo với d góc lớn nhất, nhỏ nhất.
Lời giải:
 Vẽ đường thẳng d1 qua A và song song với d. Trên d1 lấy điểm B khác A là điểm cố định, gọi K, H là hình chiếu vuông góc của B lên (α) và ∆.
Ta có sin(d, ∆) =≥. Do vậy góc (d, ∆) nhỏ nhất khi K ≡ H hay ∆ là đường thẳng AK. 
	Góc (d, ∆) lớn nhất bằng 900 khi ∆d và ∆ có vtcp 
Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (α): 2x + 2y – z – 7 = 0, điểm A(1; 2; -2) và đường thẳng d:.
Viết phương trình đường thẳng ∆1 nằm trên (α), đi qua A và tạo với d một góc lớn nhất.
Viết phương trình đường thẳng ∆2 nằm trên (α), đi qua A và tạo với d một góc nhỏ nhất.
Giải:
 (α) có vectơ pháp tuyến , d có vectơ qua điểm 
M(-2; 1; 3). Ta thấy A(α) mặt khác nên d không song song hoặc 
nằm trên (α).
1) ∆1 tạo với d một góc lớn nhất khi ∆1d
Do đó ∆1 có vectơ chỉ phương = (-3; 3; 0 ) = -3(1; -1; 0)
Phương trình tham số của ∆1: 
2) Xét đường thẳng d1 qua A và song song với d
Phương trình d1: , lấy điểm B(2; 3; -1)d1.
Gọi K là hình chiếu vuông góc của B lên (α) 
Phương trình tham số của BK , tọa độ của K ứng với t là nghiệm của phương trình : 2(2 + 2t) + 2(3 + 2t) – (- 1 – t) – 7 = 0 
 9t + 4 = 0 hay t = 
∆2 tạo với d một góc nhỏ nhất khi nó đi qua hai điểm A và K, 
∆2 qua A(1; 2; -2), có vectơ chỉ phương 
Phương trình ∆2 : 
Ví dụ 2: Cho hai điểm A(1; 0; 0) , B( 0; -2; 0) và đường thẳng d:. Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, vuông góc với d và tạo với AB một góc nhỏ nhất.
Giải:
Đường thẳng d có vectơ 
Xét mặt phẳng (α) qua A và vuông góc với d∆ nằm trên (α) 
(α) nhậnlàm vectơ pháp tuyến.
Phương trình (α): 2x + y + z – 2 = 0.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (α), BH có vectơ 
Phương trình tham số của BH , tọa độ của H ứng với t là nghiệm của phương trình: 4t -2 + t + t – 2 = 06t – 4 = 0 hay H()
∆ tạo với AB một góc nhỏ nhất khi nó đi qua hai điểm A và H, 
∆ qua A(1; 0; 0), có vectơ chỉ phương 
Phương trình ∆ : 
 C. KẾT LUẬN
 Từ thực tế giảng dạy chuyên đề này, một kinh nghiệm được rút ra là trước hết học sinh phải nắm chắc các kiến thức cơ bản, biết vận dụng linh hoạt các kiến thức này, từ đó mới dạy các chuyên đề mở rộng, nâng cao, khắc sâu kiến thức một cách hợp lý với các đối tượng học sinh nhằm bồi dưỡng năng khiếu, rèn kỹ năng cho học sinh.
 Những điều tôi đã thực hiện như nêu ở trên đã có một số tác dụng đối với học sinh,cụ thể là : Các em tỏ ra rất say mê, hứng thú với dạng toán này. đó có thể coi là một thành công của người giáo viên. Kết thúc đề tài này tôi đã khảo sát lạicho các em học sinh lớp 12A,12B. Kết quả như sau: 
Không nhận
 biết được
Nhận biết, nhưng không biết vận dụng
Nhận biết và biết vận dụng, chưa giải được hoàn chỉnh
Nhận biết và biết vận dụng , giải được bài hoàn chỉnh
Số lượng
0
3
27
60
Tỉ lệ ( %)
0.0
3.3
30
66,7
 Rõ ràng là các em đã có sự tiến bộ. Như vậy chắc chắn phương pháp mà tôi nêu ra trong đề tài đã giúp các em phận loại được bài tập và nắm khá vững phương pháp làm và trình bầy bài giúp các em tự tin hơn trong học tập cũng như khi đi thi. 
Tuy kết qủa chưa thật như mong đợi, nhưng với trách nhiệm của một người thầy, trong một chừng mực nào đó tôi có thể bớt băn khoăn khi học trò của mình có thể làm tốt các bài toán: “ Cực trị trong hình học giải tích lớp 12 ”
 Tôi luôn nghĩ rằng : sự tiến bộ và thành đạt của học sinh luôn là mục đích cao cả, là nguồn động viên tích cực của người thầy. Do vậy, tôi mong ước được chia sẻ với quý đồng nghiệp một số suy nghĩ như sau: 	
 Một bài toán có thể có rất nhiều cách giải song việc tìm ra một lời giải hợp lý, ngắn gọn thú vị và độc đáo là một việc không dễ. Do đó đây chỉ là một chuyên đề trong rất nhiều chuyên đề, một phương pháp trong hàng vạn phương pháp để giúp phát triển tư duy, sự sáng tạo của học sinh. Giáo viên trước hết phải cung cấp cho học sinh nắm chắc các kiến thức cơ bản sau đó là cung cấp cho học sinh cách nhận dạng bài toán, thể hiện bài toán từ đó học sinh có thể vân dụng linh hoạt các kiến thưc cơ bản, phân tích tìm ra hướng giải, bắt đầu từ đâu và bắt đầu như thế nào là rất quan trọng để học sinh không sợ khi đứng trước một bài toán khó mà dần tạgây hứng thú say mê môn toán, từ đó tạo cho học sinh tác phong tự học, tự nghiên cứu. 
 Tuy nội dung của chuyên đề khá rộng, song trong khuôn khổ thời gian có hạn người viết cũng chỉ ra được các ví dụ, bài toán điển hình.
 Rất mong sự đóng góp ý kiến của các bạn quan tâm và đồng nghiệp để chuyên đề này được đầy đủ hoàn thiện hơn./.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
 Nguyễn Văn Tân 
Thanh Hóa, ngày 10 tháng5 năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
Hồ Thị Mai
ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CƠ SỞ
..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
 Vĩnh Lộc, Ngày 14 tháng 5 năm 2013
 Thay mặt HĐKH cơ sở 
 Chủ Tịch
 Nguyễn Văn Tân 
VII. TÀI LIỆU THAM KHẢO
Hình học 12, Bài tập hình học 12 – nhà XBGD năm 2008
Hình học 12 nâng cao, Bài tập hình học 12 nâng cao – nhà XBGD năm 2008.
Tạp chí Toán học và tuổi trẻ năm 2010.
Các dạng Toán LT ĐH của Phan Huy Khải- NXB Hà Nội năm 2002