Giải một số bài toán về số học và đại số ở bậc THCS bằng MTCT

Dạng 2.1. Tính giá trị của đa thức 
	Bài toán: Tính giá trị của đa thức P(x,y,) khi x = x0, y = y0; 
	Phương pháp 1: (Tính trực tiếp) Thế trực tiếp các giá trị của x, y vào đa thức để tính.
	Phương pháp 2: (Sơ đồ Horner, đối với đa thức một biến)
Viết dưới dạng 
Vậy . Đặt b0 = a0; b1 = b0x0 + a1; b2 = b1x0 + a2; ; bn = bn-1x0 + an. Suy ra: P(x0) = bn. 
Từ đây ta có công thức truy hồi: bk = bk-1x0 + ak với k ≥ 1.
	Giải trên máy: 	- Gán giá x0 vào biến nhớm M.
	- Thực hiện dãy lặp: bk-1+ ak
Ví dụ 1: (Sở GD TP HCM, 1996) Tính khi x = 1,8165
Cách 1: Tính nhờ vào biến nhớ 
An phím: 1 8165
Kết quả: 1.498465582
Cách 2: Tính nhờ vào biến nhớ 
An phím: 18165
Kết quả: 1.498465582
Nhận xét: 	@ Phương pháp dùng sơ đồ Horner chỉ áp dụng hiệu quả đối với máy fx-220 và fx-500A, còn đối với máy fx-500 MS và fx-570 MS chỉ nên dùng phương pháp tính trực tiếp có sử dụng biểu thức chứa biến nhớ, riêng fx-570 MS có thể thế các giá trị của biến x nhanh bằng cách bấm , máy hỏi X? khi đó khai báo các giá trị của biến x ấn phím là xong. Để có thể kiểm tra lại kết quả sau khi tính nên gán giá trị x0 vào một biến nhớ nào đó khác biến Ans để tiện kiểm tra và đổi các giá trị.
	Ví dụ: Tính khi x = 1,8165; x = - 0,235678; x = 865,321
Khi đó ta chỉ cần gán giá trị x1 = - 0,235678 vào biến nhớ X: 235678
Dùng phím mũi tên lên một lần (màn hình hiện lại biểu thức cũ) rồi ấn phím là xong.
	@ Trong các kỳ thi dạng toán này luôn có, chiếm 1 đến 5 điểm trong bài thi. Khả năng tính toán dẫn đến sai số thường thì không nhiều nhưng nếu biểu thức quá phức tạp nên tìm cách chia nhỏ bài toán tránh vượt quá giới hạn bộ nhớ của máy tính sẽ dẫn đến sai kết quả (máy tính vẫn tính nhưng kết quả thu được là kết quả gần đúng, có trường hợp sai hẳn).
Bài tập
Bài 1: (Sở GD Hà Nội, 1996) Tính giá trị biểu thức: 
a. Tính khi x = 1,35627
b. Tính khi x = 2,18567
Dạng 2.2. Tìm dư trong phép chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b 
Khi chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b ta luôn được P(x)=Q(x)(ax+b) + r, trong đó r là một số (không chứa biến x). Thế ta được P() = r.
Như vậy để tìm số dư khi chia P(x) cho nhị thức ax+b ta chỉ cần đi tính r = P(), lúc này dạng toán 2.2 trở thành dạng toán 2.1.
Ví dụ: (Sở GD TPHCM, 1998) Tìm số dư trong phép chia:P= 
Số dư r = 1,62414 - 1,6249 - 1,6245 + 1,6244 + 1,6242 + 1,624 – 723
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 
	Kết quả: r = 85,92136979
Bài tập
Bài 1: (Sở GD Đồng Nai, 1998) Tìm số dư trong phép chia 
Bài 2: (Sở GD Cần Thơ, 2003) Cho . Tìm phần dư r1, r2 khi chia P(x) cho x – 2 và x-3. Tìm BCNN(r1,r2)?
Dạng 2.3. Xác định tham số m để đa thức P(x) + m chia hết cho nhị thức ax + b 
Khi chia đa thức P(x) + m cho nhị thức ax + b ta luôn được P(x)=Q(x)(ax+b) + m + r. Muốn P(x) chia hết cho x – a thì m + r = 0 hay m = -r = - P(). Như vậy bài toán trở về dạng toán 2.1.
Ví dụ: Xác định tham số
1.1. (Sở GD Hà Nội, 1996, Sở GD Thanh Hóa, 2000). Tìm a để chia hết cho x+6.
- Giải - Số dư 
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 6
47213
	Kết quả: a = -222
1.2. (Sở GD Khánh Hòa, 2001) Cho P(x) = 3x3 + 17x – 625. Tính a để P(x) + a2 chia hết cho x + 3?
-- Giải –
Số dư a2 = - => a =
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
	Kết quả: a = 27,51363298
Chú ý: Để ý ta thấy rằng P(x) = 3x3 + 17x – 625 = (3x2 – 9x + 44)(x+3) – 757. Vậy để P(x) chia hết cho (x + 3) thì a2 = 757 => a = 27,51363298 và a = - 27,51363298
Dạng 2.4. Tìm đa thức thương khi chia đa thức cho đơn thức
Bài toán mở đầu: Chia đa thức a0x3 + a1x2 + a2x + a3 cho x – c ta sẽ được thương là một đa thức bậc hai Q(x) = b0x2 + b1x + b2 và số dư r. Vậy a0x3 + a1x2 + a2x + a3 = (b0x2 + b1x + b2)(x-c) + r = b0x3 + (b1-b0c)x2 + (b2-b1c)x + (r + b2c). Ta lại có công thức truy hồi Horner: b0 = a0; b1= b0c + a1; b2= b1c + a2; r = b2c + a3.
Tương tự như cách suy luận trên, ta cũng có sơ đồ Horner để tìm thương và số dư khi chia đa thức P(x) (từ bậc 4 trở lên) cho (x-c) trong trường hợp tổng quát.
Ví dụ: Tìm thương và số dư trong phép chia x7 – 2x5 – 3x4 + x – 1 cho x – 5.
-- Giải --
Ta có: c = - 5; a0 = 1; a1 = 0; a2 = -2; a3 = -3; a4 = a5 = 0; a6 = 1; a7 = -1; b0 = a0 = 1.
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Vậy x7 – 2x5 – 3x4 + x – 1 = (x + 5)(x6 – 5x5 + 23x4 – 118x3 + 590x2 – 2590x + 14751) – 73756.
Dạng 2.5. Phân tích đa thức theo bậc của đơn thức
Áp dụng n-1 lần dạng toán 2.4 ta có thể phân tích đa thức P(x) bậc n theo x-c: P(x)=r0+r1(x-c)+r2(x-c)2++rn(x-c)n.
Ví dụ: Phân tích x4 – 3x3 + x – 2 theo bậc của x – 3.
-- Giải --
Trước tiên thực hiện phép chia P(x)=q1(x)(x-c)+r0 theo sơ đồ Horner để được q1(x) và r0. Sau đó lại tiếp tục tìm các qk(x) và rk-1 ta được bảng sau:
1
-3
0
1
-2
x4-3x2+x-2
3
1
0
0
1
1
q1(x)=x3+1, r0 = 1
3
1
3
9
28
q2(x)=x3+3x+1, r1 = 28
3
1
6
27
q3(x)=x+6, r0 = 27
3
1
9
q4(x)=1=a0, r0 = 9
Vậy x4 – 3x3 + x – 2 = 1 + 28(x-3) + 27(x-3)2 + 9(x-3)3 + (x-3)4.
Dạng 2.6. Tìm cận trên khoảng chứa nghiệm dương của đa thức
	Nếu trong phân tích P(x) = r0 + r1(x-c)+r2(x-c)2++rn(x-c)n ta có ri 0 với mọi i = 0, 1, , n thì mọi nghiệm thực của P(x) đều không lớn hơn c. 
Ví dụ: Cận trên của các nghiệm dương của đa thức x4 – 3x3 + x – 2 là c = 3. (Đa thức có hai nghiệm thực gần đúng là 2,962980452 và -0,9061277259)
Nhận xét: 	@ Các dạng toán 2.4 đến 2.6 là dạng toán mới (chưa thấy xuất hiện trong các kỳ thi) nhưng dựa vào những dạng toán này có thể giải các dạng toán khác như phân tích đa thức ra thừa số, giải gần đúng phương trình đa thức, .
	@ Vận dụng linh hoạt các phương pháp giải kết hợp với máy tính có thể giải được rất nhiều dạng toán đa thức bậc cao mà khả năng nhẩm nghiệm không được hoặc sử dụng công thức Cardano quá phức tạp. Do đó yêu cầu phải nắm vững phương pháp và vận dụng một cách khéo léo hợp lí trong các bài làm. 
Bài tập tổng hợp
Bài 1: (Sở GD Lâm Đồng, 2005)
a. Tìm m để P(x) chia hết cho (x -13) biết P(x) = 4x5 + 12x4 + 3x3 + 2x2 – 5x – m + 7
b. Cho P(x) = ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f biết P(1) = P(-1) = 11; P(2) = P(-2) = 47; P(3) = 107. 
Tính P(12)?
Bài 2: (Sở GD Phú Thọ, 2004)
Cho P(x) là đa thức với hệ số nguyên có giá trị P(21) = 17; P(37) = 33. Biết P(N) = N + 51. Tính N?
Bài 3: (Thi khu vực 2004)
Cho đa thức P(x) = x3 + bx2 + cx + d. Biết P(1) = -15; P(2) = -15; P(3) = -9. Tính:
a. Các hệ số b, c, d của đa thức P(x).
b. Tìm số dư r1 khi chia P(x) cho x – 4.
c. Tìm số dư r2 khi chia P(x) cho 2x +3.
Bài 4: (Sở GD Hải Phòng, 2004)
Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c. Biết P(1) = -25; P(2) = -21; P(3) = -41. Tính:
a. Các hệ số a, b, c của đa thức P(x).
b. Tìm số dư r1 khi chia P(x) cho x + 4.
c. Tìm số dư r2 khi chia P(x) cho 5x +7.
d. Tìm số dư r3 khi chia P(x) cho (x+4)(5x +7).
Bài 5: (Sở GD Thái Nguyên, 2003)
a. Cho đa thức P(x) = x4+ax3 + bx2 + cx + d. Biết P(1) = 0; P(2) = 4; P(3) = 18; P(4) = 48. Tính P(2002)?
b. Khi chia đa thức 2x4 + 8x3 – 7x2 + 8x – 12 cho đa thức x – 2 ta được thương là đa thức Q(x) có bậc 3. Hãy tìm hệ số của x2 trong Q(x)?
Dạng 2.7.Phân tích đa thức f(x) thành nhân tử.
Cơ sở: “Nếu tam thức bậc hai ax2 + bx + c có 2 nghiệm là x1, x2 thì nó viết được dưới dạng ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2)”.
“Nếu đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1+... + a1x + a0 có nghiệm hữu tỷ thì p là ước của a0, q là ước của a0”.
Đặc biệt: “Nếu đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1+... + a1x + a0 có a1 = 1 thì nghiệm hữu tỷ là ước của a0”.
Nếu đa thức f(x) có nghiệm là a thì đa thức f(x) chia hết cho (x – a).
Ví dụ 1: Phân tích đa thức f(x) = x2 + x - 6 thành nhân tử?
	Dùng chức năng giải phương trình bậc hai cài sẵn trong máy để tìm nghiệm của f(x) ta thấy có 2 nghiệm là x1 = 2; x2 = -3.
	Khi đó ta viết được: x2 + x – 6 = (x – 2)(x + 3)
Ví dụ 2: Phân tích đa thức f(x) = x3 + 3x2 - 13 x - 15 thành nhân tử?
	Dùng chức năng giải phương trình bậc 3 cài sẵn trong máy để tìm nghiệm của f(x) ta thấy có 3 nghiệm là x1 = 3; x2 = -5; x3 = -1.
	Khi đó ta viết được: x3 + 3x2 - 13 x - 15 = 1.(x - 3)(x + 5)(x + 1).
Ví dụ 3: Phân tích đa thức f(x) = x3 - 5x2 + 11 x - 10 thành nhân tử?
	Dùng chức năng giải phương trình bậc 3 cài sẵn trong máy để tìm nghiệm của f(x) ta thấy có 1 nghiệm thực là x1 = 2.
	Nên ta biết được đa thức x3 - 5x2 + 11 x - 10 chia hết cho (x - 2).
	Sử dụng sơ đồ Hoocner để chia 	x3 - 5x2 + 11 x - 10 cho (x - 2) ta có:
	Khi đó bài toán trớ về tìm thương của phép chia đa thức f(x) cho (x – 2).
	Khi đó ta có f(x) = (x - 2)(x2 - 3x + 5)
	Tam thức bậc hai x2 - 3x + 5 vô nghiệm nên không phân tích thành nhân tử được nữa.
	Vậy x3 - 5x2 + 11 x - 10 = ( x - 2)(x2 - 3x + 5)
Ví dụ 4: Phân tích đa thức f(x) = x5 + 5x4 – 3x3 – x2 +58x - 60 thành nhân tử?
Nhận xét: 	Nghiệm nguyên của đa thức đã cho là Ư(60).
	Ta có Ư(60) = {1;2;3;4;5;6;10;12;15;20;30;60}
Lập quy trình để kiểm tra xem số nào là nghiệm của đa thức: 
Do vậy ta biết x = -3 là một nghiệm của đa thức đã cho, nên f(x) chia hết cho (x + 3). Khi đó bài toán trớ về tìm thương của phép chia đa thức f(x) cho (x - 3).
	Khi đó ta có f(x) = (x + 3)(x4 + 2x3 - 9x2 + 26x - 20)
* Ta lại xét đa thức g(x) = x4 + 2x3 - 9x2 + 26x - 20
Nghiệm nguyên là ước của 20. 
Dùng máy ta tìm được Ư(20) = {1;2;4;5;10;20}
Lập quy trình để kiểm tra xem số nào là nghiệm của đa thức g(x): 
Do vậy ta biết x = -5 là một nghiệm của đa thức đã cho, nên f(x) chia hết cho (x + 5). Khi đó bài toán trớ về tìm thương của phép chia đa thức f(x) cho (x+5).
Khi đó ta có g(x) = (x + 5)(x3 - 3x2 + 6x - 4)
Tiếp tục dùng chức năng giải phương trình bậc 3 để tìm nghiệm nguyên của h(x) = x3 - 3x2 + 6x - 4
Kết quả, là đa thức h(x) có nghiệm là x = 1 nên chia h(x) cho (x-1) ta được: h(x) = (x - 1)(x2 - 2x + 4). Ta thấy đa thức (x2 - 2x + 4) vô nghiệm nên không thể phân tích thành nhân tử.
Vậy f(x) = (x + 3)(x + 5)(x - 1)(x2 - 2x + 4)
III/ TRÁNH NHỮNG SAI SÓT TRONG QUÁ TRÌNH SỬ DỤNG MTBT ĐỂ GIẢI TOÁN:
1/những sai sót do chức năng hiển thị kết quả : 
Với máy tính FX-500MS màn hình hiển thị gồm 2 dòng, dòng trên hiển thị biểu thức nhập vào từ phím, dòng dưới hiển thị kết quả phép toán. 
-Khả năng nhập tối đa 79 ký tự, dữ liệu là số thực, số phức.  màn hình nhập hiển thị và cách nhập gần giống như cách viết thông thường trên giấy.
 - khả năng hiển thị kết quả  không quá 10 chữ số, nếu các chữ số của của kết quả vượt quá 10 chữ số thì kết quả được hiển thị ở dạng khoa học hoặc làm tròn.
a) Kết quả là số thập phân vượt quá 10 chữ số máy tính sẽ hiển thị kết quả  sau khi  làm tròn : Khi kết quả của phép tính là số thập phận vượt quá 10 chữ số( tổng các chữ số của phần nguyên và phần thập phân) thì máy tính sẽ cát bớt chữ số thập phân đi và làm tròn chữ số thập phân thứ 11 theo quy tắc.
Ví dụ : số 1:23 có là số thập phân vô hạn tuần hoàn(TPVHTH) không? Nếu là số TPVHTH hãy xác định chu kỳ của số đó.
+ Thực hành trên máy : 1:23 = cho kết quả là : 0.04347826 và học sinh thản nhiên kết luận số trên không phải số TPVHTH điều đó nếu ta không hiểu tính năng của máy tính thì ta dễ dàng thừa nhận kết quả trên.
+ Nhưng thực tế không phải thế mà số 1:23 là một số TPVHTH là: 1: 23 = 0.(0434782608695652173913) thật bất ngờ.
* Nguyên nhân : Do chức năng hiển thị của máy tính, thì ký tự  thứ 11 máy tính không hiển thị do vậy nó cắt đi và làm tròn theo quy tắc .
* Cách khác phục : Khi có kết quả phép toán là số TP đủ 10 chữ số ta cần kiểm tra lại, tính toán thử trên giấy, và khả năng kết quả trên chỉ là gần đúng “»” .
b) Kết quả đúng là phân số nhưng máy tính hiển thị số TP. 
Ví dụ : tính :   1 +                       
+ Thực hành trên máy : 1 + 20005┘2006  =  thì kết quả hiển thị là : 1.999950015 . nhưng khi thực hành trên giấy ta dễ có kết quả là : 
* Nguyên nhân: Do chức năng hiển thị của máy tính thì tổng ký tự  ở tử và mẫu vượt quá 10 ký tự  của phân số thì  máy tự động thực hiện phép chia, sau đó hiển thị kết quả là số TP.
* Cách khác phục : Khi xảy ra hiện tượng trên ta cần xác định kết quả đó là gần đúng “»”, muốn có kết quả đúng ta cần kiểm tra lại, tính toán  trên giấy. 
c) Kết quả là số nguyên  vượt quá 10 chữ số máy tính sẽ hiển thị dạng khoa học ax10n sau khi  làm tròn. 
Ví dụ : giải phương trình :     x2 - 11111111110x – 11111111111 = 0   (1). 
+ Thực hành trên máy tính : MODE MODE 1 ► 2
 Nhập hệ số: a? 1 =  ; b? -11111111110 = ; c? -11111111111 =
 Kết quả : x1 = 1.111111111x1010  ; x2 = -0.995 . Nhưng khi tính trên giấy ta có : a - b + c = 0 do đó x1 = -1  ; x2= 111111111111.
* Nguyên nhân : Do chức năng hiển thị của máy tính thì tổng ký tự nhập vào  của mỗi hệ số  vượt quá 10 chữ số thì máy tính bị tràn bộ nhớ do đó kết quả sai, hoặc máy tính  hiển thị kết quả là số dạng khoa học.
* Cách khác phục : Khi xảy ra hiện tượng trên ta cần xác định kết quả đó là sai, muốn có kết quả đúng ta cần kiểm tra lại, và thực hành tính toán  trên giấy . 
d) Kết quả đúng là  số vô tỉ nhưng máy tính hiển thị kết quả là số TP. 
 Ví dụ : thực hiện phép tính :  4 +2006 – 5 
+ Thực hành trên máy tính : (4 ) +2006 – (5 ) = thì kết quả sẽ hiển thị là : 2004.585786 . Nhưng thực tế phép toán trên ta nhẩm ngay được kết quả là 2006- .
* Nguyên nhân : Do chức năng hiển thị của máy tính gần như cách viết thông thường. Riêng kết quả là biểu thức chứa dấu căn thì các nhà sản xuất chưa thể hiện được đây là nhược điểm của thế hệ máy tính này. Song khi bán máy thì các nhà sản xuất không thông báo cho khách hàng, khi gặp những bài toán như trên  máy tính  hiển thị kết quả là số TP.
* Cách khác phục : Khi xảy ra hiện tượng trên ta cần xác định kết quả đó là gần đúng "»”, muốn có kết quả đúng ta cần kiểm tra lại, và thực hành tính toán  trên giấy. 
e)Kết quả nghiệm  của hệ PT hay phương trình trên tập số phức nhưng học sinh vẫn công nhận nghiệm đó trên số thực . 
 Ví dụ : Giải phương trình : x2 + 2x + 2006 = 0.
+ Thực hành trên máy tính : MODE MODE 1 ► 2 
+ Nhập hệ số : a? 1 =  ; b? 2 = ; c? 2006 = thì kết quả hiển thị là : x1 = -1 ; x2 = -1 .Nhưng thực tế khi giải phương trình trên bằng công thức nghiệm ta có ngay phương trình vô nghiệm.
* Nguyên nhân : Do chức năng xử lý của máy tính là giải toán trên cả trường số phức. Do đó phương trình trên vô nghiệm trên trường số R nhưng có nghiệm trên trường số phức. Học sinh không hiểu ký hiệu R- l trên góc trên bên phải màn hình máy tính là thông báo cho biết kết quả trên máy đang ở trường số phức.  
* Cách khác phục : Khi xảy ra hiện tượng trên ta cần xác định kết quả đó là sai trên trường số thực, muốn có kết quả đúng ta cần kiểm tra lại, và thực hành giải phương trình trên bằng công thức nghiệm. 
2/ Những sai sót về kết quả do thứ tự ưu tiên các phép toán gây ra  : 
 Nhà sản xuất  máy tính FX-500MS  đã thiết kế cho máy tính những phép toán cơ bản với mức độ ưu tiên của các phép toán như quy tắc ưu tiên của toán học. Nhưng thực tế máy FX-500MS có thêm những tính năng về mức độ ưu tiên nếu chúng ta không nghiên cứu khi thực hành giải toán sẽ cho kết quả sai, mặc dù chúng ta nhập đúng biểu thức và giá trị của biểu thức đó và máy tính không báo lỗi. Người sử nhận kết quả sai mà cứ chắc chắn là một kết quả đúng.
a) Phép nhân không dấu được ưu tiên hơn phép nhân có dấu : 
Nếu ta không biết tính năng này thì khi thực hành trên máy dễ nhận được kết quả sai mà không hay biết.Ví dụ : thực hiện phép tính:  3 : 4 x(5-3) .
+ Thực hành trên máy: Cách 1 ; 3┘4(5-3)  = cho kết quả là : 0.375 hay 3┘8 (phép toán không có dấu x trước ngoặc đơn) và học sinh thản nhiên công nhận kết quả trên.
Cách 2 : 3┘4x(5-3)  = cho kết quả là : 1.5 hay 3┘2 (phép toán có dấu x trước ngoặc đơn)  một lần nữa học sinh lại vô tư nhận lấy kết quả .Thật sự bế tắc cho giáo viên để khảng định một kết quả đúng, nếu ta không nắm vứng tính năng của máy tính .
* Nguyên nhân : Do tính năng của máy tính đã thiết kế mức độ ưu tiên của phép toán nhân không có dấu được ưu tiên hơn phép nhân có dấu.
* Cách khác phục : Khi có kết quả phép toán ở kết quả cách 1 là sai, kết quả đúng ở cách 2 , Giáo viên cần giải thích khắc sâu cho học sinh tính năng này, và khắc sâu các quy tắc ưu tiên mà toán học đã quy định. Nhập lại biểu thức trên máy và kiểm tra lại trên giấy.
b) Phân số thực hiện tối giản trước, trước khi thực hiện các phép toán khác : 
 Nếu ta không biết tính năng này thì khi thực hành trên máy dễ nhận được kết quả sai mà không hay biết.
Ví dụ : thực hiện  phép tính : A= ()/2
+ Thực hành trên máy : Cách 1: ┘2 = cho kết quả là : A = 3 (phân số thực hiện tối giản trước khi khai căn ) và học sinh thản nhiên công nhận kết quả trên.
+ Cách 2 : ( )┘2 = cho kết quả là : A = 2.121320344 (phân số  tối giản sau khi khai căn)  một lần nữa học sinh lại vô tư nhận lấy kết quả.Thật sự bế tắc cho giáo viên để khảng định một kết quả đúng, nếu ta không nắm vứng tính năng này của máy tính.
*Nguyên nhân : Do tính năng của máy tính đã thiết kế mức độ ưu tiên tối giản phân số trước khi thực hiện các phép toán khác trong biểu thức tính.
* Cách khác phục : Khi có kết quả phép toán ở kết quả cách 1 là sai, kết quả đúng ở cách 2, giáo viên cần giải thích khắc sâu cho học sinh tính năng này và khắc sâu các quy tắc ưu tiên mà toán học đã quy định. Nhập lại biểu thức trên máy nếu tử và mẫu có những biểu thức phức tạp tốt nhất ta nên cho các biểu thức ở tử hay mẫu vào trong ngoặc, sau đó  kiểm tra lại trên giấy.
Phần III: KẾT LUẬN
1.Khái Quát Cục Bộ :
Qua thực tế dạy – học về sử dụng MTCT để giải toán, thầy và trò cần nắm vững chu trình tổng quát :
Muốn đạt được kết quả cao khi giải các bài toán đa thức bằng MTCT chúng ta cần nắm vững một số vấn đề:
1.Tính năng của các phím, chủng loại máy,
2.Dạng bài, kiểu bài,  định hướng đi.
3.Các phép biến đổi, thuật toán, Dãy lệnh cho máy.
4.Trình bày bài làm(lộ trình đối với những bài tập yêu cầu viết qui trình hoặc kết quả).
Đề tài: “Một số kinh nghiệm về giải các bài toán số học và đại số ở bậc THCS bằng MTCT ” giúp chúng ta định hướng cho học sinh các dạng toán và phương pháp giải những dạng toán đó. Giúp cho học sinh tự tin hơn trong việc giải các dạng bài tập về đaị số và số học một cách sáng tạo, phối hợp nhịp nhàng giữa tư duy và phương tiện bổ trợ, sử dụng có hiệu quả và khai thác hết chức năng của MTCT.
Đối với khối đại trà thì 100% học sinh có MTCT đều sử dụng thành thạo và giải được hầu hết các bài toán liên quan . Điều này đã kích thích được lòng ham mê môn học và dẫn đến các em yêu quý môn học hơn.
 Kì thi HSG giải toán trên MTCT cấp huyện:
1.Nguyễn Việt Ánh (lớp 9A1 )
2. Phạm Thùy Dương (lớp 9A1)
Hai học sinh vào đội tuyển cấp huyện tham gia kì thi HSG giải toán trên MTCT cấp Tỉnh: 
2. Lợi Ích Và Khả Năng Vận Dụng:
- Giáo viên định hướng cách giải các bài tập về đa thức bằng MTCT.
- Có được tài liệu về việc giải toán bằng MTCT đan xen trong các tiết dạy chính khoá và sử dụng trong các buổi sinh hoạt ngoại khoá về giải toán trên MTCT.
- Học sinh nắm được phương pháp giải, vận dụng hợp lý, sáng tạo sử dụng hiệu quả MTCT trong việc giải toán. Kết hợp giữa tư duy và thực hành bước đầu hình thành nề nếp làm việc với MTĐT phù hợp với xu thế phát triển của CNTT.
3. Đề Xuất Kiến Nghị:
- Giáo viên tự rèn, dạy rộng rãi MTCT nghiên cứu chuyên sâu phục vụ đội tuyển và nâng cao chất lượng các kì thi.
- Thư viện trường cần tổng hợp nhiều nội dung ,kiến thức liên quan đến MTCT phục vụ cho việc giảng dạy.
- Lãnh đạo: Chỉ đạo, kiểm tra, giám sát phát triển rộng khắp việc sử dụng MTCT trong dạy học
Với kinh nghiệm còn ít mặc dù đã cố gắng tìm tòi nghiên cứu nhưng không tránh những thiếu sót. Mong quý đồng nghiệp hãy thử áp dụng vào quá trình giảng dạy và đóng góp ý kiến để hoàn thiện đề tài tốt hơn. /.
NHỮNG TÀI LIỆU THAM KHẢO:
SGK toán 6, 7 ,8, 9 tập 1
SGK toán 6, 7, 8, 9 tập 2
Tạp chí toán tuổi thơ 2
Hướng dẫn hoạt động ngoại khoá Toán bằng MTBT Số 8685/ THPT ngày 15/09/1999 của Bộ GD & ĐT
Giải toán trên MTĐT - Nguyễn Trường Chấng
Giải toán trên MTĐT - Tạ Quang Phượng
7. Bộ đề thi HSG “ Giải toán trên máy tính Casio”
Sách hướng dẫn sử dụng và giải toán trên máy tính casio.( Nhà xuất bản GD)
Đề kiểm tra HSG – Giải toán trên máy tính casio của các tỉnh, thành phố.(Từ năm 1998 đến nay)
Gia Phú, ngày 21 tháng 3 năm 2015
	Người viết
 Nguyễn Đức Phương