Đề tài Hướng dẫn học sinh khá, giỏi sáng tạo các bài toán mới từ bài toán gốc

t;(gócOF'K +gócN'OK) + gócOKF' + gócOF'N' =2700 (2)
vì gócOKF' + gócOF'N' = gócOKF' + gócOE'F' = 1800 (3)
Từ (2) ; (3) => gócOF'K +gócN'OK = 900 (4)
Chú ý rằng OEF đồng dạng OE'F' (g.g) nên:
OF
OF'
 = 
ON
ON'
 (5) và gócNOF = gócN'OF' (6) => gócN'ON = gócF'OF (7)
Từ (5) và (7) => ONN' đồng dạng FOF' (c.g.c)
=> gócON'N = gócOF'F = gócOF'K (8)
Từ (1); (4); => gócON'N + gócN'OB = gócOF'K +gócN'OK (9)
Từ (8) ; (9) => gócN'OK = gócN'OB chứng tỏ K thuộc đường thăng OB vậy EE'; FF' AB đồng qui 
Bài 1.10: 
 Cho đường tròn (o) đường kính AB, dây cung CD. AC cắt BD tại N, AD cắt BC tại N'.
Đường thẳng qua N vuông góc với NO cắt AD, BC tại E, F
đường thẳng qua N' vuông góc với N'O cắt các đường thẳng BD, AC tại E', F',. Chứng
minh rằng 3 đường thẳng AB, EE', FF' đồng qui tại 1 điểm 
I K
F'
E'
F
E
N
N'
A O B
D
C
CÁCH 2 (Tương tự cách giải 2 bài toán 10)
a. Chứng minh EE'; FF'; AB đồng qui
 gọi K là giao điểm của FF' và AB 
Theo định lý Menelauyt cho ABC và 3 điểm E' ; E; K thẳng hàng ta có : 
FB
FC
.
F'C
F'A
.
KA
KB
 = 1 (22)
Tiếp tục sử dụng định lý Menelauyt cho các tam giác:
* CAN' và 3 điểm F; N; E ta có: 
FC
FN'
.
EN'
EA
.
NA
NC
 = 1 (23) 
*Với DBN' và F; N; E ta có: 
ED
EN'
.
FN'
FB
.
NB
ND
 = 1 (24) 
Với AND và 3 điểm F'; E'; N' ta có:
N'D
N'A
.
E'N
E'D
.
F'A
F'N
= 1 (25) 
*Với BNC và 3 điểm F'; E'; N' ta có: 
N'C
N'B
.
F'N
F'C
.
E'B
E'N
 = 1 (26) 
nhân từng vế của (22);(23);(24);(25);(26) ta có:
FB
FC
.
F'C
F'A
.
KA
KB
.
FC
FN'
.
EN'
EA
.
NA
NC
.
ED
EN'
.
FN'
FB
.
NB
ND
.
N'D
N'A
.
E'N
E'D
.
F'A
F'N
.
N'C
N'B
.
F'N
F'C
.
E'B
E'N
 =1
=>(
NA
NC
.
NB
ND
.
N'D
N'A
.
N'C
N'B
).(
ED
EA
.
E'B
E'D
.
KA
KB
) = 1 (27)
*Với AND và 3 điểm N'; B; C ta có: 
BN
BD
.
N'D
N'A
.
AC
NC
 = 1 (28) 
*Với BNC và 3 điểm D; A; N' ta có: 
AN
AC
.
N'C
N'B
.
DB
DN
 = 1 (29) 
Nhân từng vế của (28) và (29) ta có: 
BN
BD
.
N'D
N'A
.
AC
DN
.
NA
AC
.
N'C
N'B
.
DB
DN
 = 1 => 
NB
ND
.
N'D
N'A
.
NA
NC
.
N'C
N'B
 = 1 (30)
TừØ (27) và (30) ta có: 
ED
EA
.
E'B
E'D
.
KA
KB
 = 1 (31)
Hệ thức (31) cùng với định lý đảo Menelauyt => 3 điểm E'; E; K thẳng hàng từ đó suy ra 3 đường thẳng EE';FF'
AB đồng qui tại K
b.Chứng minh E'F; EF'; CD đồng qui:
Chứng minh tương tự như cách 1
Gọi giao điểm của CD và EF' là I
Sử dụng định lý Menelauyt cho ADC và 3
điểm E; I ;F' thẳng hàng ta có:
ID
IC
.
EA
ED
.
F'C
F'A
 = 1 (19)
Từ (17) => 
ED
EA
.
F'C
F'A
 = 
FC
FB
.
E'B
E'D
 (20)
Từ (19) và (20) ta có:
ID
IC
.
FC
FB
.
E'B
E'D
 = 1 (21)
Hệ thức 21 cùng với định lý đảo Menelauyt ta suy
ra E'; I; F thẳng hàng từ đó suy ra E'F; EF', CD
đồng qui tại I Hinh 16
b. Chứng minh EF'; E'F, CD đồng qui 
K
I
F
E
F'E'
N
N'
O
A
D C
B
*Với BNC và 3 điểm F'; N'; E' ta có: 
N'B
N'C
.
F'N
F'C
.
E'B
E'N
 = 1 (5)
Nhân từng vế của 5 đẳng thức trên ta có:
FB
FC
.
F'C
F'A
.
KA
KB
.
FC
FN'
.
EN'
EA
.
NA
NC
.
ED
EN'
.
FN'
FB
.
NB
ND
.
N'D
N'A
.
E'N
E'D
.
F'A
F'N
.
N'B
N'C
.
F'N
F'C
.
E'B
E'N
 = 1
 => (
NA
NC
.
NB
ND
.
N'D
N'A
.
N'C
N'B
).(
ED
EA
.
E'B
E'D
.
KA
KB
) = 1 (6)
*Với AND và 3 điểm N'; B; C ta có: 
BN
BD
.
N'D
N'A
.
CA
CN
 = 1 (7) 
*Với BNC và 3 điểm D; A; N' ta có: 
AN
AC
.
N'C
N'B
.
DB
DN
 = 1 (8)
Nhân từng vế của (7) và (8) ta có: 
BN
BD
.
N'D
N'A
.
CA
CN
.
AN
AC
.
N'C
N'B
.
DB
DN
 = 1 
 => 
NB
ND
.
N'D
N'A
.
NA
NC
.
N'C
N'B
 = 1 (9) ; Từ (6) và (9) => 
ED
EA
.
E'B
E'D
.
KA
KB
 = 1 (10)
Hệ thức (10) cùng với định lý đảo Menelauyt ta suy ra 3 điểm K; E; E' thẳng hàng
từ đó suy ra EE' ; FF' AB đồng qui tại K
Hình 11
Cách 2: bài 1.10
Gọi K là giao điểm của AB và FF' để chứng minh
EE'; FF' AB đồng qui ta cân chứng minh K; E;E'
thẳng hàng
Sử dụng định lý Menelauyt cho ABC với 3 điểm K;
F; F' thẳng hàng ta có:
FB
FC
.
F'C
F'A
.
KA
KB
 = 1 (1)
*Với CAN' và 3 điểm F; N; E ta có:
FC
FN'
.
EN'
EA
.
NA
NC
 = 1 (2)
* Với DBN' và 3 điểm F; N; E ta có:
ED
EN'
.
FN'
FB
.
NB
ND
 = 1 (3)
* Với ADN và 3 điểm F'; E'; N' ta có:
N'D
N'A
.
E'N
E'D
.
F'A
F'N
 = 1 (4)
I K
F'
E'
F
E N
N'
A
BO
D
C
jTừ kết quả của bài toán 1.9 khi đã chứng minh được EE' = FF' ta chú ý rằng EE'; FF' là cặp cạnh đối
của tứ giác EE'F'F nên có thể đưa ra bài toán sau:
Bài 1.11 :Cho đường tròn (o) đường kính AB, dây cung CD. AC cắt BD tại N, AD cắt BC tại N'.
Đường thẳng qua N vuông góc với NO cắt AD, BC tại E, F
đường thẳng qua N' vuông góc với N'O cắt các đường thẳng BD, AC tại E', F'.gọi K là giao điểm
của EE' và FF'. Chứng minh NN'// với tia phân giác góc E'KF'.
Hình 12Lời giải:(Hình 12)
Sử dụng kết quả của các bài toán 1; 2; 9 ta có:
NE = NF; N'E' = N'F' và EE' = FF',
gọi P; Q là trung điểm của E'F và EF' khi đó ta có:
NP // EE' và NP = 
1
2
EE'; N'Q // EE' và N'Q =
1
2
EE'
NQ // FF' và NQ = 
1
2
FF'; N'P // FF' và N'P = 
1
2
FF'
từ đó suy ra : Tứ giác NQN'P là hình thoi => NN' là phân giác gócPNQ 
Do gócPNQ = gócE'KF' (góc có canh tương ứng song song) => NN' // Kj là tia phân
giác gócE'KF'
QP
K
F'
E'
F
E
N
N'
A O B
D
C
Bài 1.13 : Cho đường tròn (o) đường kính
AB, dây cung CD. AC cắt BD tại N, AD cắt
BC tại N'. Đường thẳng qua N vuông góc
với NO cắt AD, BC tại E, F
đường thẳng qua N' vuông góc với N'O cắt
các đường thẳng BD, AC tại E', F.
Gọi P;Q;R;S lần lượt là trung điểm của
E'F; EF';EE'; FF'
Chứng minh: PQ; RS; NN' đòng qui
Lời giải: (Hình 14)
Ta dễ chứng minh được các tứ giác NPN'Q và
PRQS là các hình bình hành
nên suy ra NN'; PQ; RS cắt nhau tại trung điểm
mỗi đường => NN'; PQ; RS đồng qui
Hình 14
Lời giải: ( Hình 12 )
Sử dụng kết quả bài 1.10 ta có EE'; FF'; AB
đồng qui tại K. Theo định lý Mene'lauyt cho tam
giác ABC với 3 điểm E'; E; K thẳng hàng ta
có:
KA
KB
.
E'B
E'D
.
ED
EA
=1 (1)
Theo định lý Mene'lauyt cho tam giác ABC với 3
điểm F'; F; K thẳng hàng ta có:
KA
KB
.
FB
FC
.
F'C
F'A
=1 (2)
Từ (1) và (2) ta có:
E'B
E'D
.
ED
EA
 = 
FB
FC
.
F'C
F'A
 (3)
=>
E'B.FC
E'D.FB
 = 
F'C.EA
F'A.ED
 (4)
Gọi I là giao điểm của E'F và CD . áp dung
định lý Menelauyt cho tam giác BCD với 3 điểm
E'; I; F thẳng hàng ta có: 
ID
IC
.
E'B
E'D
.
FC
FB
=1 (5)
Từ (4) và (5) => 
ID
IC
.
F'C
F'A
.
EA
ED
 = 1 (6)
Từ (6) và định lý đảo Menelauyt đảo ta suy ra 
E; I; F' thẳng hàng
Vậy 3 đường thẳng E'F; CD; EF' đòng qui tại I.
Hình 13
Bài 1.12 : Cho đường tròn (o) đường kính AB, dây cung CD. AC cắt BD tại N, AD cắt BC tại N'. Đường
thẳng qua N vuông góc với NO cắt AD, BC tại E, F
đường thẳng qua N' vuông góc với N'O cắt các đường thẳng BD, AC tại E', F',. gọi K là giao điểm của
EE' và FF'.
Chứng minh rằng CD, EF', E'F đồng qui 
S
R
QP
F
E
F'
E'
N
N'
A
I
K
F
E
F'
E'
N
N'
A
O
B
O B
D
C
D
C
XÂY DỰNG BÀI TOÁN TỔNG QUÁT
Hình 16
BÀI 1.15 
 (tổng quát bài 1.10 và 1.12):(hình 16)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O).
các đường chéo AC; BD cắt nhau tại N; các
đường thẳng AD; BC cắt nhau tại N'.
Đường thẳng qua N vuông góc với NO cắt các
đường thẳng AD; BC tại E; F. Đường thẳng
qua N' vuông góc với N'O cắt các đường
thẳng BD; AC tại E'; F'. Chứng minh rằng:
a. Các đường thẳng EE'; FF'; AB đồng qui
b. Các đường thẳng E'F; EF'; CD đồng qui
Hình 15
Lời giải: (Hình 15)
Sử dụng kết quả bài toán 1.9 ta có: EE'O = FF'O => gócEOE' = gócFOF' ; gócEE'O = gócFF'O (1)
Ta có : gócOEK = gócEE'O + gócEOE' (2)
 gócOFK = gócFF'O + gócFOF' (3)
Từ (1) => gócEE'O + gócEOE' = gócFF'O + gócFOF' (4)
Từ (2); (3); (4) => gócOEK = gócOFK (5)
Từ (5) và chú ý rằng E;F cùng phía so với KO nên tứ giác OKEF nội tiếp.
Cũng từ kết quả EE'O = FF'O và các tam giác EOF và E'OF' là các tam giác cân tại O 
cho nên ta có kết quả sau: gócEOE' = gócNON' = gócFOF' (6)
Tứ giác ONN'T có : gócONT = gócON'T = 90° => ONN'T là tứ giác nội tiếp => gócNON' = gócNTN' (7)
Từ (6) vàØ (7) => gócFOF' = gócNTN' = gócFTF' (8)
từ (8) và chú ý rằng O, T cùng phía so với FF' nên tứ giác OTF'F nội tiếp
Bài 1.14 : 
Cho đường tròn (o) đường kính AB, dây cung CD. AC cắt BD tại N, AD cắt BC tại N'. Đường thẳng qua
N vuông góc với NO cắt AD, BC tại E, F
đường thẳng qua N' vuông góc với N'O cắt các đường thẳng BD, AC tại E', F',. gọi K là giao điểm của
EE' và FF'. Gọi T là giao điểm của các đường thẳng EF và E'F'
Chứng minh rằng các tứ giác OKEF; OTF'F là các tứ giác nội tiếp 
HƯỚNG KHAI THÁC THỨ 4 : sáng tạo ra các bài toán về tứ giác nội tiếp
K
I
F
E
F'
E'
N
N'
K
T
F'
E'
F
E
N
N'
A
O
B
O
C
D
A
D C
B
Hinh 16
Lời giải:CÁCH 1 (Hình 16)
a.Chứng minh EE'; FF' AB đồng qui
Gọi K là giao điểm của FF' và AB, ta chứng minh K, E; E' thẳng hàng
Sử dụng định lý Menelauyt cho tam giác ABC;
ADB; F'NE'; AN'C.
*Với ABC và 3 điểm K; F; F' thẳng hàng ta có: 
KB
KA
.
F'A
F'C
.
FC
FB
=1 (1)
*Với E'NF' và 3 điểm B ; C; N' thẳng hàng ta có: 
N'F'
N'E'
.
BE'
BN
.
CN
CF'
=1 (2)
Sử dụng kết quả bài toán 5 thì: N'E' = N'F' nên từ (2) => 
BE'
BN
.
CN
CF'
 = 1 => 
BN
CN
.
CF'
BE'
= 1 (3)
*Với EN'F và 3 điểm B; N; D thẳng hàng ta có: 
DE
DN'
.
NF
NE
.
BN'
BF
 = 1 (4)
Sử dụng kết quả bài toán 1 thì: NE = NF nên từ
 (4) => 
DE
DN'
.
BN'
BF
 = 1 (5)
*Với AN'C và 3 điểm B; N; D thẳng hàng ta có: 
DA
DN'
.
BN'
BC
.
NC
NA
 = 1 (6)
Từ sự đồng dạng của 2 tam giác AND và BNC ta suy ra: 
NA
NB
 = 
ND
NC
 = 
AD
BC
 => 
AD
BC
.
NB
NA 
=1 (7)
 Từ (7) => 
AD
BC
.
NB
NA
.
NC
NC
 = 1 (8)
Từ (6) và (8) => 
N'B
N'D
 = 
NB
NC
 (9)
Từ (3);(5) và (9) suy ra: 
DE
BF
 = 
CF'
BE'
 (10)
TỪ (10) => (
BF
DE
)2 = (
BE'
CF'
)2 (11)
Từ kết quả bài toán 7b ta có:
 ED.EA = FC.FB (12) 
 F'C.F'A = E'D.E'B (13)
Từ (12) => 
FB
DE
 = 
EA
FC
 (14)
Từ (13) => 
E'B
F'C
 = 
F'A
E'D
 (15)
Từ (11);(14);(15) sy ra:
FB
DE
.
EA
FC
 = 
E'B
F'C
.
F'A
E'D
 (16)
Từ (16) => 
EA
ED
E'D
E'B
 = 
F'A
F'C
FC
FB
 (17)
Nhân 2 vế của (17) với 
KB
KA
 và từ (1) ta có:
KB
KA
EA
ED
E'D
E'B
 = 
KB
KA
F'A
F'C
FC
FB
 = 1 (18)
Hệ thức (18) cùng với định lý đảo Menelauyt ta suy ra 3 điểm K; E; E' thẳng hàng từ đó suy ra 
3 đưừng thẳng EE'; FF' AB đồng qui tại K 
K
I
F
E
F'
E'
N
N'
O
A
D C
B
yx
t
d
y
x
d
y
x'
d
HƯỚNG MỞ RỘNG THỨ 3:
Lật ngược vấn đề của bài toán gốc ta sẽ có bài toán chứng minh đường thẳng đi qua điểm cố định sau:
Bài 2.3:
Cho góc xOy. Đường thẳng d thay đổi cắt các tia Ox, Oy tại M, N. Biết rằng giá trị biểu thức 
1
OM
 + 
1
ON
 có giá trị
không đổi khi d thay đổi. Chứng minh d luôn đi qua điểm cố định. 
Hình 19
HƯỚNG MỞ RỘNG THỨ 2 : Thay đổi vị trí của I bằng cách lấy
I là 1 điểm bất kỳ nằm ngoài góc xOy
Bài 2.2: Cho 2 đường thẳng xx' và yy' cắt nhau tại O
điểm I cố định nằm ngoài góc xOy. Đường thẳng d thay đổi
luôn qua I cắt các tia Ox, Oy tại M, N. Qua I vẽ các đường
thẳng song song với xx' và yy' chúng cắt xx', yy' tại D, E
Chứng minh rằng biểu thức: 
OD
OM
 - 
OE
ON
 có giá trị không
đổi 
Lời giải: (Hình 19)
Ta có: 
OD
OM
 - 
OE
ON
 = 
IE
OM
 - 
ID
ON
 = 
IN
NM
 - 
IM
NM
 = -1
 => 
OD
OM
 - 
OE
ON
 = -1 
Hình 18
Từ cách giả của bài toán trên ta có các hướng mở rông bài toán
như sau:
HƯỚNG MỞ RỘNG THỨ 1: Thay đổi vị trí của điểm I bằng cách lấy
I là 1 điểm bất kỳ nằm trong góc xOy ta sẽ có bài toán sau:
Bài toán 2.1:
Cho góc xOy và điểm I cố định nằm ở miền trong góc xOy. Đường
thẳng d thay đổi luôn qua I cắt Ox , Oy tại M, N.
Qua I vẽ các đường thẳng song song với Ox , Oy, chúng cắt Ox, Oy
tại D, E.
Chứng minh rằng biểu thức: 
OD
OM
+
OE
ON
 có giá trị không đổi 
LỜI GIẢI: (Hình 18)
Bạn đọc hãy giải bài toán như cách giải bài toán 2.
Kết quả là: 
OD
OM
+
OE
ON
 = 1 => (đpcm) 
Hình 17
Lời giải: ( Hình 17) 
Qua I vẽ các đường thẳng song song với Ox , Oy
các đường thẳng này cắt Ox, Oy tại D, E. Khi đó
các điểm D, E cố định và OEID là hình thoi. Ta
đặt OD = a không đổi.
Ta có:
EI
OM
 +
ID
ON
 = 
NI
NM
+ 
MI
NM
 = 
NI +MI
NM
 = 1 
=> 
a
OM
+
a
ON
 = 1 => 
1
OM
 + 
1
ON
 = 
1
a
= const
BÀI TOÁN XUẤT PHÁT 2: Cho góc xOy và 1 điểm I cố định trên tia phân giác Ot . Đường thẳng d thay đổi luôn đi qua I, cắt các
tia Ox, Oy tại M, N. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức : 
1
OM
 + 
1
ON
 có giá trị không thay đổi khi d thay đổi nhưng luôn qua I 
D E
M
N
O
D
E
M
E
D
M
O
O
I
y'
x
I
I
N
N
xy
d
d
Hình 21
HƯỚNG MỞ RỘNG THỨ 4: Thay giả thiết góc xOy bằng tam giác ABC và điểm cố
định I nằm trong tam giác ABC ta có bài toán sau:
Bài 2.5
Cho tam giác ABC. I là giao điểm 3 đường phân giác trong, đường thẳng d thay
đổi luôn qua I cắt các cạnh AB, AC và tia CB tại M, N, P. Chứng minh giá trị của
biểu thức: 
AB
AM.BM
 + 
AC
AN.CN
 - 
BC
BP.CP
 có giá trị không đổi khi d thay đổi và
luôn qua I 
Lời giải: (Hình 21)
Qua I vẽ các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác ABC chúng cắt
AB,BC,CA tại G, F, E, S, R, K. Khi đó ta có AGIK, BEIF, CRIS là các hình thoi
Ta có: gócBMP = gócFMI > gócMBI = gócIBE = gócBIF > gócFIM = gócBPM
Suy ra: BP > BM
Đặt AG = a; BE = b; CR = c
áp dụng kết quả bàitoán gốc và các bài 2.2 và 2.3 ta có:
1
AM
 + 
1
AN
 = 
1
a
; 
1
CN
 + 
1
CP
 = 
1
b
; 
1
BM
 - 
1
BP
 = 
1
c
Cộng từng vế các đẳng thức này ta có:
1
AM
 + 
1
AN
 + 
1
CN
 + 
1
CP
 + 
1
BM
 - 
1
BP
 = 
1
a
+
1
b
+
1
c
=> (
1
AM
+
1
BM
)+(
1
AN
+
1
CN
)+(
1
CP
-
1
BP
) = 
1
a
+
1
b
+
1
c
=> 
AB
AM.BM
+
AC
AN.CN
-
BC
BP.CP
 = 
1
a
+
1
b
+
1
c
 = Const
Lời giải: (Hình 20)
Tương tự cách giải bài 2.3 ta đặt 
1
OM
 + 
k
ON
 = 
1
a
 (1) (a > 0 cho trước)
Lấy D trên Ox sao cho OD = a thì OD < OM . Qua D kẻ song song với Oy cát MN tại I.
Lấy E trên Oy sao cho OE = ID khi đó OEID là hình bình hành
áp dụng kết quả bài 2.1 ta có: 
OD
OM
+
OE
ON
 = 1 => 
1
OM
 + 
OE
OD.ON
 = 
1
OD
 = 
1
a
 (2)
Từ (1) và (2) => 
1
OM
 + 
k
ON
 = 
1
OM
 + 
OE
OD.ON
 => k = 
OE
OD
 => OE = K.OD (3)
Hệ thức (3) chứng tỏ E cố định. Hình bình hanh OEID có E, O, D cố định nên I cũng là
điểm cố định 
Sâu hơn 1 chút từ bài 2.3 ta có thể đưa ra bài toán tông quát hơn
như sau:
Bài 2.4
Cho góc xOy. 1 đường thẳng d thay đổi luôn cắt Ox, Oy tại 
M, N.
Gỉa sử tồn tại số thực k sao cho 
1
OM
 + 
k
ON
 có giá trị không đổi.
Chứng minh rằng d luôn đi qua 1 điểm cố định. 
Hình 20
Lời giải:(Hình 20)
Gỉa sử: 
1
OM
 + 
1
ON
 = 
1
a
 (1) (a > 0 cho trước)
Lấy D trên Ox sao cho OD = a thì OD < OM . Qua D kẻ song song với Oy cát MN tại I. Lấy E trên Oy sao cho OE = ID khi đó OEID là
hình bình hành
áp dụng kết quả bài 2.1 ta có: 
OD
OM
+
OE
ON
 = 1 => 
1
OM
 + 
OE
OD.ON
 = 
1
OD
 = 
1
a
 (2)
Từ (1) và (2) => 
1
OM
 + 
1
ON
 = 
1
OM
 + 
OE
OD.ON
 => 
OE
OD 
= 1 => OE = OD (3)
Hệ thức (3) cùng với chú ý D cố định ta suy ra E cố định => I cố định ( vì OEID là hình bình hành)
vậy đường thẳng d luôn đi qua điểm cố định I
S
R
K
G
F
E
N
M
I
E
I
N
M
O
A
B
C
D
P
dHình 22
Bài 2.7
Cho hình bình hành ABCD, đường thẳng d thay đổi cắt các đường thẳng AB, AD, AC tai M, N, P. 
Chứng minh rằng: 
AB
AM
 + 
AD
AN 
 = 
AC
AP
HƯỚNG MỞ RỘNG THỨ 5: Đặc biệt hoá bài 2.5 bằng cách cho tam giác ABC là tam giác đều có cạnh bằng a ta sẽ có
bài toán mới sau đây
Bài 2.6 
Cho tam giác ABC đều cạnh bằng 3. I là giao điểm 3 đường phân giác, đường thẳng d thay đổi luôn qua I cắt AB,
AC, và tia CB tại M, N, P
a.Chứng minh: 
1
AM.BM
+
1
AN.CN
-
1
BP.CP
 = 1 
b.Chứng minh:
1
IM2
 + 
1
IN2
 + 
1
IP2
 = 2
* Bạn đọc tự giải theo cách giải bài 2.5
F
G
M
P
N
A B
D
C
KẾT LUẬN :
Qua phần nội dung đã trình bày ở trên ta thấy việc khai thác các bài tập học sinh sẽ :
-Được củng cố 1 hệ thống kiến thức cơ bản và nâng cao
-Được phát triển tư duy, kỹ năng sáng tạo 
-cảm thấy rất hứng thú trong quá trình học tập 
-Tự tin hơn khi phải đối mặt với những bài toán khó, những bài toán lạ 
-Không xem thường những bài toán cơ bản bởi vì các bài toán đơn giản là bắt đầu của sự sáng tạo
-Có thái độ tích cực hơn khi học tập toán, say sưa tìm tòi khám phá những góc khuất trong mỗi bài
toán để sáng tạo nên bài tập mới
-Kiến thức toán được nâng cao 
BÀI HỌC RÚT RA:
*Đổi mới dạy học là 1 quá trình, song mỗi giáo viên cần có ý thức tìm tòi những phương pháp dạy
học phù hợp với từng loại bài tập và từng đôi tượng HS theo phương pháp dạy học mới là lấy HS
làm trung tâm, tích cực hoá các hoạt động của HS trong quá trình học tập
*Học sinh THCS còn ở độ tuổi thiếu niên, khả năng tư duy, khái quát còn hạn chế. Do đó khi đứng
trước các bài toán khó việc tìm ra lời giải đã khó chứ chưa nói gì đến việc sáng tạo. Vì vậy 
người giáo viên cần có sự đầu tư để có phương pháp dạy thích hợp để mỗi HS đều có thể tự tin 
trong học tập và sáng tạo
*Chuyên đề""Rèn luyện năng lực tư duy và khả năng sáng tạo thông qua việc khai thác kết quả bài
toán gốc để sáng tạo ra các bài toán mới"" là một ví dụ nhỏ minh hoạ cho 1 ý tương không nhỏ
theo một nghĩa nào đó.Qua chuyên đề này tôi mong muốn gửi đến đồng nghiệp 1 chút kinh nghiệm
 nhỏ mà tôi đã thực hiện cùng với những HS khá giỏi toán của trường THCS Tôn Quang Phiệt
trong năm học 2007 -2008 
*Cuối cùng xin tóm lại điều quan trọnh nhất: ""Trong cuộc sống cũng như trong dạy học toán không
có cái tầm thường và cũng không có bài toán nào tầm thường cả, trước mỗi bài toán hãy dành thời
gian nắm bắt các yếu tố vàø định hướng trong suy nghĩ, chứ đừng cảm nhận quá nhiều""
Thiết nghĩ đó là 1 kinh nghiệm dạy học môn toán./. 
PHẦN 3. KẾT LUẬN VÀ BÀI HỌC RÚT RA
B. ĐỀ NGHỊ:
 Thay mặt hội đồng xét SKKN
A. ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI
PHẦN ĐÁNH GIÁ NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG XÉT SKKN CẤP TRƯỜNG
PHẦN ĐÁNH GIÁ NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG XÉT SKKN CẤP HUYỆN
A. ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI
B. ĐỀ NGHỊ:
 Thay mặt hội đồng xét SKKN