Đề tài Bồi dưỡng năng lực giải bài toán tích phân cho học sinh thông qua việc phân tích các sai lầm

n và ứng dụng nói riêng. Trên thực tế khi dạy toán giải tích lớp 12, chương : Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng, tôi phát hiện ra những lúng túng, sai lầm của học sinh khi giải những bài toán liên quan đến tích phân. Tôi nhận thấy rằng để các em tự tin khi gặp các bài toán liên quan đến tích phân, để các em có hứng thú giải các bài toán về tích phân, thì tôi phải giúp các em tháo gỡ những khó khăn, sai lầm trên. 
Để nâng cao hiệu quả của việc rèn luyện kỹ năng giải toán tích phân cho học sinh tôi chọn đề tài “Bồi dưỡng năng lực giải bài toán tích phân cho học sinh thông qua việc phân tích các sai lầm"
2. Mục đích của sáng kiến, kinh nghiệm.
Nhằm giúp học sinh khắc phục được những yếu điểm nêu trên từ đó đạt được kết quả cao khi giải bài toán tích phân nói riêng và đạt kết quả cao trong quá trình học tập nói chung.
Ý nghĩa rất quan trọng mà đề tài đặt ra là: Tìm được một phương pháp tối ưu nhất để trong quỹ thời gian cho phép hoàn thành được một hệ thống chương trình quy định và nâng cao thêm về mặt kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong việc giải các bài toán Tích phân. Từ đó phát huy, khơi dậy, sử dụng hiệu quả kiến thức vốn có của học sinh, gây hứng thú học tập cho các em.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu.
Sáng kiến kinh nghiệm có nhiệm vụ giải đáp các câu hỏi khoa học sau đây:
- Những tình huống điển hình nào thường gặp trong quá trình giải quyết những vấn đề liên quan đến Tích phân?
- Trong quá trình giải quyết các vấn đề liên quan đến tính Tích phân, học sinh thường gặp những khó khăn và sai lầm nào?
- Những biện pháp sư phạm nào được sử dụng để rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến Tích phân?
- Kết quả của thực nghiệm sư phạm là như thế nào?
4. Đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu:
- Học sinh lớp 12C3, 12C4 trường THPT Sơn Hà.
- Các dạng toán về tích phân mà học sinh dễ mắc sai lầm trong quá trình tính toán.
5. Phương pháp nghiên cứu:
Trong quá trình nghiên cứu, sáng kiến kinh nghiệm sử dụng những phương pháp sau: nghiên cứu lý luận, điều tra quan sát thực tiễn, thực nghiệm sư phạm.
Trên cơ sở phân tích kỹ nội dung chương trình của Bộ giáo dục và Đào tạo, phân tích kỹ đối tượng học sinh (đặc thù, trình độ tiếp thu). Bước đầu mạnh dạn thay đổi ở từng tiết học, sau mỗi nội dung đều có kinh nghiệm về kết quả thu được (nhận thức của học sinh, hứng thú nghe giảng, kết quả kiểm tra,) và đi đến kết luận.
Lựa chọn các ví dụ, các bài tập cụ thể phân tích tỉ mỉ những sai lầm của học sinh. Vận dụng hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của học sinh để từ đó đưa ra lời giải đúng của bài toán.
CHƯƠNG I
 CƠ SỞ LÝ LUẬN
I. Thực trạng. 
Khi dạy chương III “ Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng ”(Giải tích 12), tôi nhận thấy học sinh thường gặp những khó khăn, sai lầm sau: 
- Tính tích phân rất máy móc: Không để ý hàm số cần tính tích phân có nguyên hàm trên đoạn lấy tích phân không, các phép biến đổi hàm số, biến số có tương đương không.
- Không nắm vững định nghĩa nguyên hàm, tích phân.
- Không nắm vững phương pháp đổi biến số; phương pháp tích phân từng phần.
- Không nắm vững công thức và vận dụng đúng công thức tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay.
- Tính nguyên hàm sai, hiểu sai bản chất công thức; đổi biến số nhưng không đổi cận; khi đổi biến không tính vi phân; giải sai hoặc tính toán nhầm do kỹ năng tính toán chưa thuần thục.
- Những lỗi khó phát hiện mà học sinh thường mắc phải như: 
+ Hàm số không liên tục trên đoạn [a; b] nhưng vẫn sử dụng được công thức Newtơn- Leibnitz;
+ Đổi biến số t = u(x) nhưng u(x) không phải là một hàm số liên tục và đạo hàm liên tục trên [a; b];
+ Sử dụng công thức và khái niệm không có trong sách giáo khoa hiện thời;
+ Chọn cách đổi biến số nhưng gặp khó khăn khi đổi cận (không tìm được giá trị chính xác)
II. Các giải pháp của sáng kiến.
Khi phát hiện những khó khăn, sai lầm mà học sinh gặp phải, tôi đã thực hiện một số giải pháp như sau :
II.1 Hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh chưa nắm vững.
Phân tích các khái niệm, định nghĩa, định lý để học sinh nắm được bản chất các khái niệm, định nghĩa, định lý đó.
Chọn hệ thống ví dụ, phản ví dụ minh họa cho khái niệm, định nghĩa, định lý.
Chỉ ra các sai lầm dễ mắc phải.
II.2 Rèn luyện kĩ năng, tư duy, phương pháp.
Kĩ năng: Lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải quyết bài toán.
Tư duy: Phân tích, so sánh, tổng hợp.
Phương pháp: Phương pháp giải toán.
II.3 Đổi mới phương pháp dạy học.
Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với từng đơn vị kiến thức, từng đối tượng học sinh: vấn đáp, gợi mở, nêu và giải quyết vấn đề
Sử dụng phương tiện dạy học: bảng phụ, phiếu học tập, giáo án điện tử
II.4 Đổi mới kiểm tra, đánh giá.
Kiểm tra: Kết hợp tự luận, vấn đáp, trắc nghiệm khách quan ở nhiều mức độ nhận thức.
Đánh giá: Giáo viên đánh giá học sinh, học sinh đánh giá học sinh.
II.5 Phân dạng bài tập và phương pháp giải.
Phân dạng bài tập và phương pháp giải theo chủ đề: bài toán tính tích phân (Tích phân hàm số đa thức, tích phân hàm phân thức hữu tỷ, tích phân hàm vô tỷ, hàm số siêu việt, hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối, hàm số lượng giác); Bài toán tính diện tích (Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 4 đồ thị, hình phẳng giới hạn bởi 3 đồ thị, hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị, hình phẳng giới hạn bởi 1 đồ thị); Bài toán tính thể tích khối tròn xoay (quay quanh Ox, quay quanh Oy).
Mỗi dạng bài tập đưa ra phương pháp giải, hệ thống ví dụ, bài tập tương tự, bài tập nâng cao.
Sau mỗi ví dụ minh họa có nhận xét, củng cố và khái quát (phát triển) bài toán.
CHƯƠNG II
NHỮNG SAI LẦM MÀ HỌC SINH THƯỜNG MẮC PHẢI
1. Sai lầm khi biến đổi, vận dụng định nghĩa tích phân.
1.1 Ví dụ 1: Tính tích phân I = 
1.1.1 Học sinh đã trình bày như sau :
 I= = 
1.1.2 Phân tích sai lầm :
-Hàm số không xác định tại x = 1[0; 2] nên hàm số không liên tục trên [0; 2]. Do đó không tồn tại tích phân trên.
-Đa số học sinh cho rằng đề bài yêu cầu tính tích phân thì mặc định tồn tại phép tính tích phân đó. Học sinh không chú ý đến một điều tích phân I = chỉ tồn tại khi hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b]. Khi hàm số liên tục thì ta mới có thể vận dụng các phương pháp đã học để tính tích phân trên. Còn nếu không thì kết luận ngay tích phân đó không tồn tại.
1.1.3 Lời giải đúng
Hàm số không xác định tại x= -1Î[-2; 2] nên suy ra hàm số không liên tục trên [-2; 2] Do đó tích phân trên không tồn tại.
1.2 Ví dụ 2: Tính I = 
1.2.1 Học sinh trình bày như sau
 I = 
Đặt t = x+ 
Đổi cận: 
Khi đó I =
1.2.2 Phân tích sai lầm: là sai vì trong [-1; 1] chứa x = 0 nên không thể chia cả tử cả mẫu cho x = 0 được. Do đó giáo viên lưu ý cho học sinh khi tính tích phân cần chia cả tử cả mẫu của hàm số cho x- x0 thì cần để ý rằng trong đoạn lấy tích phân phải không chứa điểm x = x0.
1.2.3 Lời giải đúng: 
Xét hàm số F(x) = 
 F’(x) = 
Do đó I = 
1.3 Bài tập tương tự:
Tính các tích phân sau:
1. 	 2.
3. 	4. 
2. Sai lầm khi vận dụng bảng nguyên hàm để tính tích phân.
2.1 Ví dụ 3: Tính tích phân I = 
2.1.1 Học sinh đã trình bày như sau :
 I = 
2.1.2 Phân tích sai lầm: 
Học sinh đã vận dụng công thức trong bảng nguyên hàm: . Mà lẽ ra phải vận dụng công thức: 
2.1.3 Lời giải đúng : 
Ta có : I = 
2.2 Bài tập tương tự:
Tính các tích phân sau:
	1. 	2. 	
3. Sai lầm khi biến đổi hàm số.
3.1 Ví dụ 4: Tính tích phân I = 
3.1.1 Học sinh đã trình bày như sau :
I = 
3.1.2 Phân tích sai lầm :
Phép biến đổi: = x- 2, xÎ [0; 3] là không đúng vì . Do đó: . Ta xét dấu f(x) trên [a;b] để bỏ dấu giá trị tuyệt đối rồi mối tính tích phân.
3.1.3 Lời giải đúng : 
= 
3.2 Ví dụ 5: Tính tích phân I = 
3.2.1 Học sinh đã trình bày như sau:
I= 
=
3.2.2 Phân tích sai lầm :
Phép biến đổi: , xÎ[0; p], là không đúng.
3.2.3 Lời giải đúng: 
I= 
= 
= (sinx- cosx) - (sinx- cosx) = 
3.3 Bài tập tương tự: 
Tính các tích phân sau: 
1. I = 	2. I= 
3. I= 	4. I = 
4. Sai lầm khi dùng công thức không có trong SGK hiện hành.
4.1 Ví dụ 6: Tính tích phân I = 
4.1.1 Học sinh đã trình bày như sau:
 I = 
4.1.2 Phân tích sai lầm:
Học sinh dùng công thức , không có trong SGK hiện hành. Các khái niệm arcsinx , arctanx không trình bày trong sách giáo khoa hiện thời. Học sinh có thể đọc thấy một số bài tập áp dụng khái niệm này trong một sách tham khảo, vì các sách này viết theo sách giáo khoa cũ (trước năm 2000). Từ năm 2000 đến nay do các khái niệm này không có trong sách giáo khoa nên học sinh không được áp dụng phương pháp này nữa. Vì vậy khi tính tích phân đối với hàm số dạng ta dùng phương pháp đổi biến số đặt đặt: x- x0 = a tant hoặc x- x0 = a cot t. Còn tích phân của hàm số dạng thì đặt x- x0 = a sint hoặc x- x0 = acost.
4.1.3 Lời giải đúng : 
Đặt x- 2= tant Þ dx= 1+ tan2t dt 
Đổi cận: 
Khi đó : I= 
4.2 Bài tập áp dụng:
Tính các tích phân sau: 
1. 	2. 	
3. 	4. 
5. Sai lầm khi vận dụng phương pháp đổi biến số.
5.1 Ví dụ 7 : Tính tích phân I = 
5.1.1 Học sinh đã trình bày như sau:
Đặt 
 Þ I= 
5.1.2 Phân tích sai lầm :
 Học sinh đổi biến nhưng không đổi cận.
5.1.3 Lời giải đúng: 
Đặt 
Đổi cận: 
Khi đó: I = 
5.2 Ví dụ 8: Tính tích phân I = 
5.2.1 Học sinh đã trình bày như sau :
Đặt x= sint Þ dx= costdt 
Đổi cận : 
Khi đó : I = 
Học sinh lúng túng không tính ra được kết quả vì số lẻ.
5.2.2 Phân tích sai lầm:
Khi hàm số cần tính tích phân có chứa học sinh thường sử dụng cách đặt x = asint hoặc x = acost. Nhưng trong trường hợp này học sinh gặp khó khăn khi đổi cận, cụ thể với x = không tìm được chính xác giá trị của t. Do đó giáo viên cần lưu ý đối với học sinh: Khi gặp tích phân của hàm số có chứa thì thường đặt x = asint (x = acost) hoặc gặp tích phân của hàm số có chứa a2+ x2 thì đặt x = atant (x = atant) nhưng cần chú ý đến cận của tích phân đó. Nếu cận là giá trị lượng giác của góc đặc biệt thì mới làm được theo phương pháp này còn nếu không thì phải nghĩ đến phương pháp khác. Chẳng hạn với bài toán này thì ta có thể đổi biến số theo cách đặt thông thường bằng cách đặt .
5.2.3 Lời giải đúng: 
Đặt Þ u2 = 1- x2 Þ xdx= -udu
Đổi cận : 
Khi đó: I = 
5.3 Ví dụ 8: Tính tích phân: I = 
Học sinh đã trình bày như sau: Đặt t = tan thì ; 
 I = 
Do không xác định nên tích phân trên không tồn tại.
5.3.2 Phân tích sai lầm:
Đặt t = tan , xÎ [0; p] . Tại x = p thì tan không có nghĩa. Diáo viên cần lưu ý học sinh: Đối với phương pháp đổi biến số thì khi đặt t = u(x) thì u(x) phải là một hàm số liên tục và có đạo hàm liên tục trên [a; b].
5.3.3 Lời giải đúng:
 .
* Chú ý đối với học sinh:
5.4 Bài tập áp dụng:
Tính các tích phân: 
1. I = 	2. I = 
3. 	4. 
6. Sai lầm khi vận dụng phương pháp tích phân từng phần.
6.1 Ví dụ 9: Tính tích phân I = 
6.1.1 Học sinh đã trình bày như sau :
Đặt 
Khi đó I = 
6.1.2 Phân tích sai lầm:
Học sinh hiểu sai bản chất phép đặt trong công thức lấy tích phân từng phần.
6.1.3 Lời giải đúng: 
Đặt 
 Khi đó: I = 
6.2 Bài tập áp dụng:
Tính các tích phân sau:
1. 	2. 
3. 	3. 
7. Sai lầm khi sử dụng sai công thức tính diện tích hình phẳng.
7.1 Ví dụ 10: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = x2 – 1; x = 2; trục Ox và trục Oy.
7.1.1 Học sinh đã trình bày như sau 
 (đvdt)
7.1.2 Nguyên nhân của sai lầm :
Công thức tính diện tích giới hạn bởi hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a ; x = b là: . Do đó, khi tính S phải xét dấu f(x) trên [a ;b] để phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
7.1.3 Lời giải đúng : 
(đvdt)
7.2 Bài tập áp dụng:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
1. x = 0; x = 1 ; y = 0 ; y = 5x4 + 3x2 + 3
2. x = 0 ; x = p ; y = cosx ; y = sinx.
3. y = x3 – x ; y = x – x2.
4. y = x3 ; y = x5.
8. Sai lầm khi xác định sai miền hình phẳng cần tính diện tích .
8.1 Ví dụ 11: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: ; 
y = x – 6 và trục hoành.
8.1.1 Học sinh đã trình bày như sau :
 Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:
 Khi đó S = 
(đvdt)
4
9
6
A
C
B
O
8.1.2 Phân tích sai lầm:
 - Phép biến đổi Ûx = (6 – x)2 là không tương đương.
 - Hình phẳng mà học sinh xác định là giới hạn bởi hai đồ thị hàm số ; y = x – 6 (miền AOB). Trong khi miền cần tính là miền AOC.
8.1.3 Lời giải đúng : 
Phương trình hoành độ giao điểm của các đồ thị :
+ 
+ 
+ 6 – x = 0 Û x = 6
 Khi đó: 
S= (đvdt)
8.2 Bài tập áp dụng
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số:
1. y = x2 ; y = -3x + 10 ; y = 1 (miền x>0) 
2. y = x2 + 1; y = 2 - |2x + 2|
9. Sai lầm khi vận dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay.
9.1 Ví dụ 12: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = lnx ; y = 0 ; x = 1 ; x = 2 quay quanh trục Oy. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành.
9.1.1 Học sinh đã trình bày như sau :
Ta có : y= lnx Þ x = ey
 (đvtt)
9.1.2 Nguyên nhân của sai lầm:
 Học sinh đã mắc phải hai sai lầm nghiêm trọng sau :
+ Trong công thức thì cận là các giá trị của biến y. Trong bài này học sinh chưa đổi cận.
 + Thể tích khối tròn xoay tạo thành là hiệu thể tích của hai khối tròn xoay do đường cong y = lnx và đường x = 2 quay quanh Oy trên [0; ln2].
9.1.3 Lời giải đúng: 
Ta có : y = lnx Þ x = ey
Đổi cận : 
 (đvtt)
 y
 y=lnx
 ln2
 o	1	2	 	x
9.2 Bài tập áp dụng:
Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng sau quay quanh Ox, Oy: 
1. y = x2; x = 2; trục tung và trục hoành.
2. y = lnx ; x = e ; trục Ox.
III. Kết quả 
1. Kết quả từ thực tiễn:
Ban đầu học sinh gặp khó khăn nhất định trong việc giải những dạng tích phân như đã nêu. Tuy nhiên giáo viên cần hướng dẫn học sinh tỉ mỉ cách phân tích một bài toán tích phân từ hàm số dưới dấu tích phân, cận của tích phân để lựa chọn phương pháp phù hợp trên cơ sở giáo viên đưa ra những sai lầm mà học sinh thường mắc phải trong quá trình suy luận, trong các bước tính tích phân này rồi từ đó hướng các em đi đến lời giải đúng.
Sau khi hướng dẫn học sinh như trên và yêu cầu học sinh giải một số bài tập tích phân trong sách giáo khoa Giải Tích Lớp 12 và một số bài trong các đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng và trung học chuyên nghiệp của các năm trước thì các em đã thận trọng trong khi tìm và trình bày lời giải và đã giải được một lượng lớn bài tập đó.
2. Kết quả thực nghiệm:
Sáng kiến được áp dụng trong năm học 2011-2012. 
Thực nghiệm sư phạm được tiến hành nhằm mục đích kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp rèn luyện cho học sinh kĩ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến tính tích phân; kiểm nghiệm tính đúng đắn của Giả thuyết khoa học.
Thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại trường THPT số 2 Văn Bàn.
+ Lớp 12A4 ( 33 học sinh) không áp dụng sáng kiến.
+ Lớp 12A1 ( 34 học sinh) áp dụng sáng kiến.
Thực nghiệm được tiến hành trong bài phụ đạo, ôn tập về tích phân. Sau khi dạy thực nghiệm, chúng tôi cho học sinh làm bài kiểm tra. Sau đây là nội dung đề kiểm tra:
Đề kiểm tra khảo sát 45 phút
Tính các tích phân sau
1/ .	2/.
3/	4/
Kết quả
 xếp loại
đối tượng
giỏi
khá
tb
yếu
12A1
5%
24%
65%
6%
12A4
0%
13%
47%
40%
Việc ra đề như trên hàm chứa những dụng ý sư phạm, tất nhiên Đề kiểm tra này dành cho học sinh có học lực khá trở lên ở hai lớp thực nghiệm và đối chứng. Xin được phân tích rõ hơn về điều này và đồng thời đánh giá sơ bộ về chất lượng làm bài của học sinh.
Đề kiểm tra như trên là không quá khó và cũng không quá dễ so với trình độ học sinh. Có thể nói với mức độ đề như trên thì sẽ phân hóa được trình độ của học sinh, đồng thời cũng đưa ra cho giáo viên sự đánh giá chính xác về mức độ nắm kiến thức của học sinh. Cả bốn ý trong đề kiểm tra đều không nặng về tính toán, mà chủ yếu là kiểm tra khả năng suy luận, vận dụng kiến thức đã được học về tích phân.
PHẦN III : KẾT LUAN.
Năm học 2012 – 2013 tôi được phân công giảng dạy ba lớp 12C3, 12C4 và 12C5 và năm học này đề tài nghiên cứu của tôi sẽ được áp dụng, kiểm nghiệm qua thực tế. Học sinh cũng gặp phải những khó khăn nhất định trong việc giải các dạng toán tích phân đã nêu.
 Chẳng hạn với bài tập : Tính tích phân I = .
 Với lớp 12C8: Sau khi học xong định nghĩa tích phân tôi đưa ra ví dụ trên để học sinh tự làm. Rồi từ kết quả của bài toán tôi phân tích tỉ mỉ, cho học sinh nhận xét để đưa ra ghi nhớ cuối cùng.
 Với lớp 12C10: Tôi hướng dẫn, phân tích những sai lầm thường gặp khi làm các bài tập tích phân, sau đó tôi đưa ra các ví dụ trên để học sinh áp dụng.
 Kết quả thu được như sau :
Lớp
Sĩ số
HS giải đúng
HS giải sai
HS không giải được
12C8
40
8(20%)
25(62,5%)
7(17,5%)
12C10
42
35(83,3%)
5(12%)
2(4,7%)
 Kết quả cho thấy điểm của lớp thực nghiệm 12C10 cao hơn so với lớp đối chứng 12C8.
 Qua nghiên cứu, ứng dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào thực tiễn giảng dạy tôi thấy kết quả đạt được là rất khả quan.
 Thời gian cuối năm khi dạy ôn tập, tôi hệ thống lại kiến thức cơ bản cũng như nghiên cứu những sai lầm thường mắc phải trong kiến thức, kĩ năng, tư duy làm bài và cho học sinh một số bài tập ôn thi tốt nghiệp, ôn thi đại học – cao đẳng thì kết quả thu được rất khả quan.
Chẳng hạn :
Bài 1 : Tính tích phân I = (Trích đề thi tốt nghiệp năm 2009)
Kết quả thu được như sau :
Lớp
Sĩ số
HS giải đúng
HS giải sai
HS không giải được
12C8
40
36(90%)
3(7,5%)
1(2,5%)
12C10
42
35(83,3%)
6(14,3%)
1(2,4%)
Bài 2 :Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường: y = x ln x, y = 0, x = e. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox. (Trích đề thi đại học khối B năm 2007 )
Kết quả thu được như sau :
Lớp
Sĩ số
HS giải đúng
HS giải sai
HS không giải được
12C8
40
32(80%)
6(15%)
2(5%)
12C10
42
33(78,5%)
5(12%)
4(9,5%)
Sáng kiến kinh nghiệm đã thu được một số kết quả sau đây:
1. Đã hệ thống hóa, phân tích, diễn giải được khái niệm kĩ năng và sự hình thành kĩ năng.
2. Thống kê được một số dạng toán điển hình liên quan đến tích phân.
3. Chỉ ra một số sai lầm thường gặp của học sinh trong quá trình giải quyết các vấn đề liên quan đến tính tích phân
4. Xây dựng một số biện pháp sư phạm để rèn luyện kĩ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến Tích phân.
5. Thiết kế các thức dạy học một số ví dụ, hoạt động theo hướng dạy học tích cực.
6. Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh học tính khả thi và hiệu quả của những biện pháp sư phạm được đề xuất.
Qua thực tế kinh nghiệm giảng dạy của bản thân tại trường THPT với nội dung và phương pháp nêu trên đã giúp học sinh có cái nhìn toàn diện hơn về bài toán Tích phân nói riêng Toán học nói chung. Tôi thấy học sinh khá, giỏi rất hứng thú khi được giáo viên nêu và chỉ ra những sai lầm mà học sinh chưa hề nghĩ đến. 
Sáng kiến kinh nghiệm này đã phân tích được một số khó khăn, sai lầm thường gặp của học sinh khi giải các bài toán liên quan đến tích phân. Với lượng kiến thức nhất định về nguyên hàm, tích phân và ứng dụng học sinh sẽ có cái nhìn sâu sắc hơn về những sai lầm mắc phải khi giải toán. Từ đó rút ra những kinh nghiệm và phương pháp giải toán cho mình.
Bản thân tôi là giáo viên trực tiếp dạy lớp 12 chưa nhiều, song với thực tế trên lớp tôi đã đi sâu nghiên cứu đề tài này. Khi áp dụng đề tài vào giảng dạy tôi thu được kết quả đáng khích lệ, các em không chỉ tự tin hơn khi giải các bài toán liên quan đến tích phân mà còn có phần hứng thú với loại toán này. Mặc dù bản thân cũng đã cố gắng nhiều, song những điều viết ra có thể không tránh khỏi sai sót. Tôi rất mong nhận được sự góp ý của các đồng nghiệp cũng bạn đọc nhằm nâng cao hiệu quả giảng dạy và học tập. Kính mong hội đồng khoa học, các bạn đồng nghiệp và các em học sinh có nhiều góp ý, bổ sung để đề tài này được hoàn thiện hơn, được áp dụng rộng rãi hơn trong đơn vị.
Sơn Hà, ngày 30 tháng 12 năm 2014 
 	 Người viết
	 Nguyễn Quý
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Chuẩn kiến thức kỹ năng toán 12 
(Nhà xuất bản giáo dục)
2. Phương pháp giải toán Tích phân và Giải tích tổ hợp 
( Nguyễn Cam – NXB Trẻ )
3. Phương pháp giải toán Tích phân 
(Trần Đức Huyên – Trần Chí Trung – NXB Giáo Dục)
4. Sách Bài tập Giải tích 12 
(Nhà xuất bản giáo dục)
5. Sách giáo khoa Giải tích 12 
( Nhà xuất bản giáo dục)
6. Phương pháp giải toán Tích phân 
( Lê Hồng Đức – Lê Bích Ngọc – NXB Hà Nội – 2005)
7. Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải toán 
( Trần Phương và Nguyễn Đức Tấn – NXB Hà Nội – 2004)