Sáng kiến kinh nghiệm Phân tích những sai lầm của học sinh Lớp 12 khi học chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số - Hướng khắc phục

- Trong chương trình giải tích 12, nội dung ứng dụng đạo hàm để khảo

sát và vẽ đồ thị của hàm số cómột vị trí đặc biệt quan trọng, chiếm hầu

hết số tiết có trong chương trình. Là một công cụ rất “mạnh” để giải

quyết hầu hết những bài toán trong các đề thi tốt nghiệp THPT cũng như

trong các đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng.

- Ưu điểm của phương pháp này là rất hiệu quả và dễsử dụng khi giải

toán liên quan đến hàm số.

- Trong quá trình giảng dạytôi nhận thấy các em học sinh hay gặp khó

khăn khi giải các bài toán liên quan đến việc vận dụng đạo hàm để khảo

sát và vẽ đồ thị của hàm số. Các em thường mắc những sai lầm mà các

em sẽ không tự mình khắc phục được nếu không có sự hướng dẫn của

người thầy.

pdf13 trang | Chia sẻ: sangkien | Ngày: 30/07/2015 | Lượt xem: 2217 | Lượt tải: 53Download
Bạn đang xem tài liệu "Sáng kiến kinh nghiệm Phân tích những sai lầm của học sinh Lớp 12 khi học chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số - Hướng khắc phục", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Trường THPT Trần Hưng Đạo - Đắk Mil - Đắk Nông 
GV. Tạ Ngọc Bảo – ĐT: 0983972303 1 
PHÂN TÍCH NHỮNG SAI LẦM CỦA HỌC SINH LỚP 12 KHI HỌC 
CHƯƠNG ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT 
VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ - HƯỚNG KHẮC PHỤC 
I. Lý do chọn đề tài 
- Trong chương trình giải tích 12, nội dung ứng dụng đạo hàm để khảo 
sát và vẽ đồ thị của hàm số có một vị trí đặc biệt quan trọng, chiếm hầu 
hết số tiết có trong chương trình. Là một công cụ rất “mạnh” để giải 
quyết hầu hết những bài toán trong các đề thi tốt nghiệp THPT cũng như 
trong các đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng. 
- Ưu điểm của phương pháp này là rất hiệu quả và dễ sử dụng khi giải 
toán liên quan đến hàm số. 
- Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy các em học sinh hay gặp khó 
khăn khi giải các bài toán liên quan đến việc vận dụng đạo hàm để khảo 
sát và vẽ đồ thị của hàm số. Các em thường mắc những sai lầm mà các 
em sẽ không tự mình khắc phục được nếu không có sự hướng dẫn của 
người thầy. 
- Cụ thể, với bài tập “Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 
3 2 21 ( 1) 1
3
y x mx m m x      đạt cực đại tại x = 1”. Đa số các em đã sử 
dụng phương pháp sai để giải, được thống kê qua hai bảng sau đây: 
Lớp 12A3 (sĩ số 42) 
 Số lượng Phần trăm 
Không giải được 7 17% 
Giải sai phương pháp 30 71% 
Giải đúng phương pháp 5 12% 
Lớp 12A8 (sĩ số 40) 
 Số lượng Phần trăm 
Không giải được 16 40% 
Giải sai phương pháp 21 53% 
Giải đúng phương pháp 3 7% 
Trường THPT Trần Hưng Đạo - Đắk Mil - Đắk Nông 
GV. Tạ Ngọc Bảo – ĐT: 0983972303 2 
Nhằm giúp học sinh nắm chắc các kiến thức về đạo hàm, có kỹ năng 
ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán liên quan đến hàm số, tôi chọn đề 
tài “phân tích những sai lầm của học sinh lớp 12 khi học chương ứng 
dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số - hướng khắc phục” 
II. Phân tích những sai lầm thông qua một số ví dụ minh hoạ 
1) Sai lầm khi xét tính đơn điệu của hàm số 
 Các em mắc phải sai lầm khi không nắm vững định nghĩa tính đơn điệu 
của hàm số 
Ví dụ minh hoạ 1: 
 Xét tính đơn điệu của hàm số: 
2 2 2
1
x xy
x
 


. 
 Một số học sinh trình bày như sau: 
 TXĐ: D = R\{-1}. 
 Ta có 
2
2
2'
( 1)
x xy
x



 , 0' 0
2
x
y
x

    
 Bảng biến thiên: 
-1
+ - +
y
y' 00
0-2
+
-
x
-
-2
2
+-
-
+
 Suy ra: 
 Hàm số nghịch biến trên    2; 1 1;0    , 
đồng biến trên    ; 2 0;    . 
Phân tích: lời giải trên có vẻ như đúng rồi, nếu ta không chú ý đến kết 
luận của bài toán! Chú ý rằng: nếu hàm số ( )y f x nghịch biến trên tập 
D thì 1 2,x x D  mà 1 2 1 2( ) ( )x x f x f x   . Trong kết luận của bài toán 
nếu ta lấy 1
3
2
x   <    2
1 2; 1 1;0
2
x        , 
Trường THPT Trần Hưng Đạo - Đắk Mil - Đắk Nông 
GV. Tạ Ngọc Bảo – ĐT: 0983972303 3 
 nhưng 3 5 1 5
2 2 2 2
f f           
   
??? 
Lời giải đúng là: 
TXĐ: D = R\{-1}. 
 Ta có 
2
2
2'
( 1)
x xy
x



 , 0' 0
2
x
y
x

    
Bảng biến thiên: 
-1
+ - +
y
y' 00
0-2
+
-
x
-
-2
2
+-
-
+
 Suy ra: 
 Hàm số nghịch biến trên từng khoảng  2; 1  và  1;0 , 
Đồng biến trên từng khoảng  ; 2  và  0; . 
 Nhiều khi các em không chú ý đến các điểm tới hạn của hàm số vì vậy 
việc xét dấu của hàm y’ sẽ bị sai! 
Ví dụ minh hoạ 2: 
Xét tính đơn điệu của hàm số 2( ) 1 4f x x x    . 
Một số học sinh trình bày như sau: 
Tập xác định là: D = [-2; 2] 
Ta có 
2
'( ) 1
4
xf x
x
 

, 
2
2
4'( ) 0 0
4
x xf x
x
 
  

24 x x   2 24 x x  
2
2
x
x
  
 

Trên từng khoảng giữa hai điểm tới hạn liên tiếp nhau, f’(x) luôn giữ 
nguyên một dấu, vì f’(0) > 0 nên ta có bảng biến thiên như sau: 
Trường THPT Trần Hưng Đạo - Đắk Mil - Đắk Nông 
GV. Tạ Ngọc Bảo – ĐT: 0983972303 4 
Bảng biến thiên: 
2 2 -1
-1
-3
1
- -+
y
y' 00
2- 2 2-2x
Suy ra: Hàm số đồng biến trên khoảng  2; 2 và nghịch biến trên các 
khoảng  2; 2  và  2;2 . 
Phân tích: Nếu để ý ở bảng biến thiên ta thấy ngay một điều vô lý là 
trên đoạn 2; 2    giá trị của hàm số giảm từ -3 xuống -1??? Thực ra ở 
đây 2 không phải là điểm tới hạn của hàm số. 
Lời giải đúng là: 
Tập xác định là: D = [-2; 2] 
Ta có 
2
'( ) 1
4
xf x
x
 

, 
2
2
4'( ) 0 0
4
x xf x
x
 
  

24 x x  
2 2
0
4
x
x x

 
 
2x  
Trên từng khoảng giữa hai điểm tới hạn liên tiếp nhau, f’(x) luôn giữ 
nguyên một dấu, vì f’(0) > 0 nên ta có bảng biến thiên như sau: 
Bảng biến thiên: 
1
2 2 -1
-3
-+
y
y' 0
2 2-2x
Suy ra, hàm số đồng biến trên khoảng  2; 2 , nghịch biến trên khoảng 
 2;2 . 
2) Sai lầm khi chứng minh bất đẳng thức 
Trường THPT Trần Hưng Đạo - Đắk Mil - Đắk Nông 
GV. Tạ Ngọc Bảo – ĐT: 0983972303 5 
 Khi dùng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức học 
sinh thường mắc phải sai lầm là không nhớ chính xác định nghĩa tính 
đơn điệu của hàm số để vận dụng: 
Ví dụ minh hoạ 3: (Bài tập 5, trang 10, sách giải tích 12, ban cơ bản) 
Chứng minh rằng: tan , 0;
2
x x x     
 
Một số học sinh trình bày như sau: 
Xét ( ) tan - , 0;
2
f x x x x    
 
. Ta có: 2
1'( ) 1 0, 0;
2os
f x x
c x
      
 
, suy ra 
f(x) đồng biến trên khoảng 0;
2
 
 
 
. 
Từ 0 ( ) (0) tan - tan 0 - 0x f x f x x     hay tan , 0;
2
x x x     
 
. 
Phân tích: 
Lời giải trên có vẻ đúng, nhưng sai lầm ở đây khá tinh vi (?!). Sau khi 
kết luận f(x) đồng biến trên khoảng 0;
2
 
 
 
 thì vì sao từ 
0 ( ) (0)x f x f   ??? 
Sai lầm ở đây là 0 0;
2
  
 
. 
Nhớ rằng: nếu f(x) đồng biến trên đoạn  ;a b thì 
 1 2 1 2 1 2, ; , ( ) ( )x x a b x x f x f x     
Lời giải đúng là: 
Xét ( ) tan - , 0;
2
f t t t t     
. Ta có: ( )f t đồng biến trên 0;
2
 
 
. 
Suy ra từ 0 ( ) (0) tan - tan 0 - 0 0x f x f x x      . (Đpcm) 
 Các em cũng hay mắc những sai lầm khi vận dụng sai tích chất của các 
hàm đồng biến, nghịch biến. 
Ví dụ minh hoạ: 
Chứng minh rằng nếu 1x   thì 1. xx e
e

 . 
Trường THPT Trần Hưng Đạo - Đắk Mil - Đắk Nông 
GV. Tạ Ngọc Bảo – ĐT: 0983972303 6 
Một số học sinh trình bày như sau: 
Xét các hàm số 1 ( )f x x và 2 ( ) xf x e là các đồng biến trên R. Suy ra 
hàm số ( ) . xf x x e là tích của hai hàm đồng biến nên cũng đồng biến trên 
R. Suy ra, từ 1 ( ) ( 1)x f x f     hay 1. xx e
e

 . 
Phân tích: 
Lời giải trên sai lầm ở chỗ: Tích của hai hàm đồng biến là một hàm đồng 
biến chỉ đúng khi hai hàm đó dương (!). 
Lời giải đúng là: 
Xét hàm số ( ) . xf x x e , ta có '( ) ( 1) 0, 1xf x e x x      . Suy ra hàm số 
đồng biến trên  1;  . Từ 1 ( ) ( 1)x f x f     hay 1. xx e
e

 với x >-1 . 
(Đpcm) 
3) Sai lầm khi giải các bài toán liên quan tới đạo hàm 
 Sai lầm khi vận dụng các công thức tính đạo hàm. 
Ví dụ minh hoạ 4: 
Tính đạo hàm của hàm số  2 1 xy x  
Một số học sinh trình bày như sau: 
Ta có 1 1' (2 1) (2 1) ' 2 (2 1)x xy x x x x x      
Phân tích: 
Lời giải trên đã vận dụng công thức 1( ) ' . . 'u u u   . Vận dụng như vậy là 
sai, vì công thức này chỉ áp dụng cho số mũ  là một hằng số. 
Lời giải đúng là: 
Từ  2 1 xy x    ln .ln 2 1y x x   ' 2ln(2 1)
2 1
y xx
y x
  


2' (2 1) ln(2 1)
2 1
x xy x x
x
      
 Sai lầm khi tính đạo hàm của hàm số tại một điểm. 
Các em hay mắc phải sai lầm ở dạng này là áp dụng công thức 
1( ) ' . . ',u u u R    , nhưng quên rằng nếu như  không nguyên thì 
công thức này chỉ đúng khi u nhận giá trị dương. 
Trường THPT Trần Hưng Đạo - Đắk Mil - Đắk Nông 
GV. Tạ Ngọc Bảo – ĐT: 0983972303 7 
Ví dụ minh hoạ 5: 
Cho hàm số 3 2y x có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) 
tại điểm có hoành độ x = -1. 
Một số học sinh trình bày như sau: 
Với x = -1, ta có y = 23 ( 1) 1  
Ta có 
2
3y x , Suy ra 
1
32'
3
y x

 , 
1 2 11
23 6 66
6
2 2 2 2 2 1 2'( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1
3 3 3 3 3 31
y
  
            . 
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: 2 2 5.( 1) 1
3 3 3
y x x     
Phân tích: Sai lầm ở đây là các em đã không chú ý đến điều kiện luỹ 
thừa với số mũ không nguyên thì cơ số phải dương. Vì vậy viết  
1
31

 là 
không đúng! 
Lời giải đúng là: 
Ta có 3 2 2 2 33 4
2 2 23 ' 2 '
3 33
x xy x y y x y
y xx
       . Vậy 2'( 1)
3
y    
Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là: 2 2 1.( 1) 1
3 3 3
y x x       
4) Sai lầm khi giải các bài toán liên quan đến cực trị của hàm số. 
 Khi sử dụng quy tắc 1 để xét tính đơn điệu của hàm số các em quên rằng 
đó là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần! 
Quy tắc: 
' 0, ( ; )y x a b   Hàm số đồng biến trên khoảng (a;b) 
' 0, ( ; )y x a b   Hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b) 
Điều ngược lại nói chung là không đúng! 
 Ví dụ minh hoạ 6: 
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 3 2 1y x mx x    đồng 
biến trên R. 
Một số học sinh trình bày như sau: 
Trường THPT Trần Hưng Đạo - Đắk Mil - Đắk Nông 
GV. Tạ Ngọc Bảo – ĐT: 0983972303 8 
TXĐ: D =R 
2' 3 2 1y x mx   . Hàm số đồng biến trên R ' 0,y x R    0
' 0
a 
 
 
2
3 0
3 3
3 0
m
m

    
 
. 
Phân tích: 
Chẳng hạn hàm số 3y x đồng biến trên R, nhưng 23 0 0y x x    ! 
Nhớ rằng: Nếu hàm số ( )y f x xác định trên khoảng  ;a b , 
 '( ) 0, ;f x x a b   và f’(x) chỉ bằng 0 tại hữu hạn điểm thuộc khoảng 
(a;b) thì hàm số y=f(x) đồng biến trên khoảng (a;b). 
Lời giải đúng là: 
Hàm số đồng biến trên R ' 0,y x R    
0
' 0
a 
 
 
2
3 0
3 3
3 0
m
m

    
 
. 
 Khi sử dụng quy tắc 2 để xác định cực trị của hàm số các em cũng quên 
rằng đó chỉ là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần. 
Quy tắc: 
0
0
0
'( ) 0
"( ) 0
f x
x
f x



 là điểm cực tiểu 
0
0
0
'( ) 0
"( ) 0
f x
x
f x



 là điểm cực đại 
Điều ngược lại nói chung là không đúng! 
 Ví dụ minh hoạ 7: 
 Cho hàm số 4y mx . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đạt 
cực đại tại x = 0? 
 Một số học sinh trình bày như sau: 
Điều kiện để hàm số đạt cực đại tại x = 0 là: '(0) 0
"(0) 0
f
f



4 .0 0
12 .0 0
m
m

 

 Vô 
nghiệm m. 
Vậy không tồn tại giá trị m để hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 0. 
Trường THPT Trần Hưng Đạo - Đắk Mil - Đắk Nông 
GV. Tạ Ngọc Bảo – ĐT: 0983972303 9 
 Phân tích: 
 Ta thấy, hàm số y = 4x có y’ = 34x , y’ = 0  x = 0 
 Bảng biến thiên: 
- -
x - +0
0y'
y
+ -
0
 Suy ra hàm số đạt cực đại tại x = 0! 
 Vậy lời giải trên sai ở chỗ nào??? 
Nhớ rằng, nếu x0 thoả mãn 0 0
0
'( ) 0
"( ) 0
f x
x
f x



là điểm cực đại của hàm số, 
còn điều ngược lại thì chưa chắc đúng! Vì nếu x0 là điểm cực đại thì 
f”(x0) có thể bằng 0. Lý do là điều kiện f”(x0) < 0 chỉ là điều kiện đủ để 
hàm số g(x) = f’(x) nghịch biến trong lân cận  0 0;x x   , khi đó 
0 0 0
0 0 0
'( ) '( ) 0, ( ; )
'( ) '( ) 0, ( ; )
f x f x x x x
f x f x x x x


    

    
 Suy ra x0 là điểm cuạc đại. 
 Lời giải đúng là: 
Ta có 3' 4y mx . Để hàm số đạt cực đại tại x = 0 thì '( ) 0, ( ; )y x x h o    , 
với h > 0. Suy ra m < 0. 
Thử lại, ta thấy với m < 0 là điều kiện cần tìm. 
Ví dụ minh hoạ 8: 
 Cho hàm số 4 3 1y x mx   . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm 
số đạt cực tiểu x = 0? 
 Một số học sinh trình bày như sau: 
Điều kiện để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 là: '(0) 0
"(0) 0
f
f



3 2
2
4.0 3 .0 0
12 .0 6. .0 0
m
m m
  
 
 
 Vô nghiệm m. 
Vậy không tồn tại giá trị m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 0. 
Trường THPT Trần Hưng Đạo - Đắk Mil - Đắk Nông 
GV. Tạ Ngọc Bảo – ĐT: 0983972303 10 
 Phân tích: 
 Ta thấy, với m = 0 thì hàm số y = 4 1y x  có y’ = 34x , y’ = 0  x = 0 
 Bảng biến thiên: 
1
+-
y
y' 0
0 +-x
++
 Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 0! 
 Lời giải đúng là: 
Để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 thì '( ) 0 khi 0 (1)
'( ) 0 khi 0 (2)
y x x
y x x
 

 
Từ (1) ta có 
3 2
000 
0 (3)3'( ) 0 4 3 0
4
xxx
mmy x xx mx
  
      
    
Từ (2) ta có 
3 2
000 
0 (4)3'( ) 0 4 3 0
4
xxx
mmy x xx mx
  
      
    
Từ (3) và (4) suy ra m = 0. 
Vậy với m = 0 thì hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 0. 
5) Sai lầm khi giải các bài toán tìm GTLN và GTNN của hàm số 
Các em thường mắc sai lầm khi không nắm vững định nghĩa GTLN và 
GTNN của hàm số trên một tập. 
Ví dụ minh hoạ 9: 
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 
2
2
1 1( ) os 2 osx+ 1
cosxos
y f x c x c
c x
      
 
. 
Một số học sinh trình bày như sau: 
Đặt t = 1osx+
cosx
c  2 22
1os 2
os
c x t
c x
   . 
Ta được hàm số  22( ) 2 3 1 4 4,g t t t t t         . 
Trường THPT Trần Hưng Đạo - Đắk Mil - Đắk Nông 
GV. Tạ Ngọc Bảo – ĐT: 0983972303 11 
Vậy Min f(x) = -4, khi t = -1. 
Phân tích: 
Sai lầm ở đây là chuyển bài toán không tương đương. Giá trị nhỏ nhất 
của hàm f(x) không trùng với giá trị nhỏ nhất của hàm g(t), t R  . 
Có thể thấy ngay khi t = -1 thì không tồn tại giá trị x. 
Nhớ rằng, số 
0 0
( ) ,
 ( )
: ( )D
f x m x D
m Min f x
x D f x m
  
  
  
Lời giải đúng là: 
Đặt t = 1osx+
cosx
c , 
2
x k    2t  . 
Suy ra 2 22
1os 2
os
c x t
c x
   . Khi đó f(x) trở thành g(t) = 2( ) 2 3g t t t   . 
Ta có 
t 2
2
Min ( ) Min ( )
x k
f x g t

  
 . 
Lập bảng biến thiên của hàm g(t), với 2t  . 
+ +
-3
5
- +
2-2
- +
g(t)
g'(t) 0
-1 +-t
Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra 
t 2
2
Min ( ) Min ( )
x k
f x g t

  
 = -3 
Khi t = -2 1osx+ 2
cosx
c    osx 1 2c x k      
6) Sai lầm khi viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 
Ví dụ minh hoạ 10: 
Cho hàm số 3 23y x x   , có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của 
(C), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm A(-1;4). 
Một số học sinh trình bày như sau: 
Ta có điểm A(-1,4)(C). Suy ra phương trình tiếp tuyến là: 
'( 1)( 1) 4y y x    = -9(x+1) + 4 hay y = -9x - 5. 
Trường THPT Trần Hưng Đạo - Đắk Mil - Đắk Nông 
GV. Tạ Ngọc Bảo – ĐT: 0983972303 12 
Phân tích: 
Phương trình tiếp tuyến y = -9x - 5 là tiếp tuyến tại A (nhận A làm tiếp 
điểm) tất nhiên là kẻ từ A. Nhưng vẫn có thể có tiếp tuyến của (C) đi qua 
A mà không nhận A làm tiếp điểm. 
Lời giải đúng là: 
Phương trình đường thẳng d đi qua A(-1;4) và có hệ số góc k là: y = 
k(x+1)+4 
điều kiện để đường thẳng d là tiếp tuyến của (C) là: 
2
3 2
3 6
3 ( 1) 4
k x x
x x k x
   

    
1
 9 5
9
2
 4
0
x
PTTT y x
k
x
PTTT y
k
  
       
  

III. Kết luận 
Polya đã viết “con người phải biết học những sai lầm và những thiếu 
sót của mình” thông qua những sai lầm nếu ta biết cách nhìn nhận ra nó 
kịp thời uốn nắn và sửa chữa nó thì sẽ giúp ta nhớ lâu hơn tri thức đã 
được học đồng thời sẽ giúp ta tránh được những sai lầm tương tự. 
Trong khuôn khổ của bài viết này tôi không có tham vọng sẽ phân 
tích được hết những sai lầm của học sinh và sẽ không tránh khỏi những 
sai sót. Vì vậy tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy 
cô. Tôi xin chân thành cảm ơn. 
Trường THPT Trần Hưng Đạo - Đắk Mil - Đắk Nông 
GV. Tạ Ngọc Bảo – ĐT: 0983972303 13 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Giải tích 12 (chương trình chuẩn): Nhóm tác giả Trần Văn Hạo, NXB GD. 
2. Giải tích 12 (chương trình nâng cao): Nhóm tác giả Đoàn Quỳnh, NXB GD. 
3. Bài tập giải tích 12 (chương trình chuẩn): Nhóm tác giả Vũ Tuấn, NXB GD. 
4. Bài tập giải tích 12 (chương trình nâng cao): Nhóm tác giả Nguyễn Huy 
Đoan, NXB GD, 2008. 
5. Sai lầm phổ biến khi giải toán: Nguyễn Vĩnh Cận, Lê Thống Nhất, Phan 
Thanh Quang, NXB GD, 2008. 
6. Luận văn thạc sỹ giáo dục học: Tạ Ngọc Bảo, ĐHSP Huế - 2007. 

File đính kèm:

  • pdfSang_kien_kinh_nghiem_giai_tich_12Cuc_hay.pdf
Sáng Kiến Liên Quan