Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong Toán học

I: ĐẶT VẤN ĐỀ

Năm học 2003 - 2004 tôi được nhà trường phân công giảng bộ môn toán lớp 8. Qua thực tế dạy học kết hợp với dự giờ kiến tập các giáo viên trong trường, thông qua các kỳ thi chất lượng và kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện bản thân tôi nhận thấy các em học sinh chưa có kỹ năng thành thạo khi làm các dạng bài tập như: Quy đồng mẫu thức, giải các loại phương trình, rút gọn, tìnm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất vì lý do để giải được các loại bài tập này cần phải có kỹ năng phân tích các đa thức thành nhân tử.

Nếu như các em học sinh lớp 8 không có thủ thuật và kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử thì việc nắm bắt các phương pháp để giải các dạng toán và kiến thức mới trong quá trình học toán là một vấn đề khó khăn.

Trong việc giảng dạy bộ môn toán giáo viên cần phải rèn luyện cho học sinh tính tư duy, tính độc lập, tính sáng tạo và linh hoạt, tự mình tìm tòi ra kiến thức mới, ra phương pháp làm toán ở dạng cơ bản như các phương pháp thông thường mà còn phải dùng một số phương pháp khó hơnđó là phải có thủ thuật riêng đặc trưng, từ đó giúp các em có hứng thú học tập, ham mê học toán và phát huy năng lực sáng tạo khi gặp các dạng toán khó.

Người thầy giáo trong khi giảng dạy cần rèn luyện cho học sinh của mình với khả năng sáng tạo, ham thích học bộ môn toán và giải được các dạng bài tập mà cần phải thông qua phân tích đa thức thành nhân tử, nâng cao chất lượng học tập, đạt kết quả tốt trong các kỳ thi vì thế tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm "Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử" nhằm giúp giúp học sinh của mình nắm vững các phương pháp phân tích đa thức thành phân tử , giúp học sinh phát hiện phương pháp giải phù hợp với từng bài cụ thể ở các dạng khác nhau.

 

doc11 trang | Chia sẻ: haianh98 | Ngày: 22/10/2019 | Lượt xem: 147 | Lượt tải: 0Download
Bạn đang xem tài liệu "Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong Toán học", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
I: ®Æt vÊn ®Ò
N¨m häc 2003 - 2004 t«i ®­îc nhµ tr­êng ph©n c«ng gi¶ng bé m«n to¸n líp 8. Qua thùc tÕ d¹y häc kÕt hîp víi dù giê kiÕn tËp c¸c gi¸o viªn trong tr­êng, th«ng qua c¸c kú thi chÊt l­îng vµ kú thi häc sinh giái cÊp huyÖn b¶n th©n t«i nhËn thÊy c¸c em häc sinh ch­a cã kü n¨ng thµnh th¹o khi lµm c¸c d¹ng bµi tËp nh­: Quy ®ång mÉu thøc, gi¶i c¸c lo¹i ph­¬ng tr×nh, rót gän, t×nm gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt v× lý do ®Ó gi¶i ®­îc c¸c lo¹i bµi tËp nµy cÇn ph¶i cã kü n¨ng ph©n tÝch c¸c ®a thøc thµnh nh©n tö.
NÕu nh­ c¸c em häc sinh líp 8 kh«ng cã thñ thuËt vµ kü n¨ng ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö th× viÖc n¾m b¾t c¸c ph­¬ng ph¸p ®Ó gi¶i c¸c d¹ng to¸n vµ kiÕn thøc míi trong qu¸ tr×nh häc to¸n lµ mét vÊn ®Ò khã kh¨n.
Trong viÖc gi¶ng d¹y bé m«n to¸n gi¸o viªn cÇn ph¶i rÌn luyÖn cho häc sinh tÝnh t­ duy, tÝnh ®éc lËp, tÝnh s¸ng t¹o vµ linh ho¹t, tù m×nh t×m tßi ra kiÕn thøc míi, ra ph­¬ng ph¸p lµm to¸n ë d¹ng c¬ b¶n nh­ c¸c ph­¬ng ph¸p th«ng th­êng mµ cßn ph¶i dïng mét sè ph­¬ng ph¸p khã h¬n®ã lµ ph¶i cã thñ thuËt riªng ®Æc tr­ng, tõ ®ã gióp c¸c em cã høng thó häc tËp, ham mª häc to¸n vµ ph¸t huy n¨ng lùc s¸ng t¹o khi gÆp c¸c d¹ng to¸n khã.
Ng­êi thÇy gi¸o trong khi gi¶ng d¹y cÇn rÌn luyÖn cho häc sinh cña m×nh víi kh¶ n¨ng s¸ng t¹o, ham thÝch häc bé m«n to¸n vµ gi¶i ®­îc c¸c d¹ng bµi tËp mµ cÇn ph¶i th«ng qua ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö, n©ng cao chÊt l­îng häc tËp, ®¹t kÕt qu¶ tèt trong c¸c kú thi v× thÕ t«i chän ®Ò tµi s¸ng kiÕn kinh nghiÖm "Mét sè ph­¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö" nh»m gióp gióp häc sinh cña m×nh n¾m v÷ng c¸c ph­¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh ph©n tö , gióp häc sinh ph¸t hiÖn ph­¬ng ph¸p gi¶i phï hîp víi tõng bµi cô thÓ ë c¸c d¹ng kh¸c nhau.
II: Nh÷ng néi dung cña c«ng viÖc: "Mét sè ph­¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö"
1) Néi dung thø nhÊt.
Gi¸o viªn ph¶i trang bÞ cho häc sinh cña m×nh c¸c ®¬n vÞ kiÕn thøc c¬ b¶n nh­ c¸c quy t¾c, thµnh th¹o phÐp nh©n ®¬n thøc víi ®a thøc, nh©n ®a thøc víi ®a thøc, phÐp chia ®¬n thøc cho ®¬n thøc, phÐp chia ®a thøc cho ®¬n thøc, chia hai ®a thøc ®· s¾p xÕp, c¸c quy t¾c ®æi dÊu ®a thøc, thËt thuéc vµ vËn dông thµnh th¹o c¸c h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí.
2) Néi dung thø hai.
Gi¸o viªn d¹y "C¸c ph­¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö"
Gi¸o viªn cho häc sinh n¾m v÷ng b¶n chÊt cña viÖc ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
§Þnh nghÜa: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö (thõa sè) lµ biÕn ®æi ®a thøcthµnh tÝch cña nhiÒu ®¬n thøc vµ ®a thøc kh¸c.
VÝ dô: ym+3 - ym = ym (y3 - 1) = ym(y - 1) (y2 + y + 1)
2.1) C¸c ph­¬ng ph¸p th«ng th­êng.
+ §Æt nh©n tö chung.
+ Dïng h»ng ®¼ng thøc.
+ Nhãm nhiÒu h¹ng tö.
Trong thùc hµnh gi¶i to¸n th­êng ph¶i phèi hîp c¶ ba ph­¬ng ph¸p kÓ trªn ®Ó cã thÓ ph©n tÝch ®a th­íc thµnh nh©n tö.
VÝ dô1: 	Ph©n tÝch thµnh nh©n tö.
M1 	= 3a - 3b + a2 - 2ab + b2
	= (3a - 3b) + (a2 - 2ab + b2)	(Nhãm c¸c h¹ng tö)
	= 3(a - b) + (a - b)2 (®Æt NTC vµ dïng h»ng ®¼ng thøc)
	= (a - b) (3 + a - b) (§Æt nh©n tö chung)
VÝ dô 2:	Ph©n tÝch thµnh nh©n tö.
M2 	= a2 - b2 - 2a + 2b
	= (a2 - b2) - (3a - 2b) 	(Nhãm c¸c h¹ng tö)
	= (a - b) (a + b) - 2(a - b)	(Dïng h»ng ®¼ng thøc vµ ®Æt NTC)
	= (a -b) (a + b - 2)	(§Æt NTC)
§Ó phèi hîp nhiÒu ph­¬ng ph¸p trªn ®Ó ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö cÇn chó ý c¸c b­¬csau ®©y:
+ §Æt nh©n tö chung cho c¶ ®a thøc nÕu cã thÓ tõ ®ã lµm ®¬n gi¶n ®a thøc.
+ Xem xÐt ®a thøccã d¹ng b»ng ®¼ng thøc nµo kh«ng ?
+ NÕu kh«ng cã nh©n tö chung, hoÆc kh«ng cã h»ng ®¼ng thøc th× ph¶i nhãm c¸c h¹ng tö vµo tõng nhãm tho¶ m·n ®iÒu kiÖn mçi nhãm cã nh©n tö chung, lµm xuÊt hiÖn nh©n tö chung cña c¸c nhãm hoÆc xuÊt hiÖn h»ng ®¼ng thøc. Cô thÓ c¸c vÝ dô sau:
VÝ dô 3: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö
M3 = 5a2 + 3(1 + b)2 - 5b2
Ta thÊy M3 kh«ng cã d¹ng h»ng ®¼ng thøc, c¸c h¹ng tö còng kh«ng cã nh©n tö chung, vËy lµm g× ®Ó ph©n tÝch ®­îc. Quan s¸t kü ta thÊy hai h¹ng tö 5a2 - 5b2 cã nh©n tö chung. V× vËy ta dïng ph­¬ng ph¸p nhãm c¸c h¹ng tö ®Çu tiªn 
M3 = (5a2 - 5b2) + 3(a + b)2. Sau ®ã ®Æt nh©n tö chung cña nhãm thø nhÊt lµm xuÊt hiÖn h»ng ®¼ng thøc M3 = 5(a2 - b2) + 3 (a + b)2. Sö dông h»ng ®¼ng thøc ë nhãm ®Çu lµm xuÊt hiÖn nh©n tö chung cña c¶ hai nhãm lµ (a + b). VËy M3 = 5(a + b) (a + b). §· cã nh©n tö chung lµ: (a + b) VËy ta tiÕp tôc ®Æt nh©n tö chung.
M3 = (a + b) (6a - 4b). Nh­ vËy M3 ®· ®­îc ph©n tÝch thµnh tÝch cña hai nh©n tö (a + b) vµ (6a - 4b).
VÝ dô 4: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
M4 = 3x3y - 6x2y - 3xy3 - 6xy22 - 3xyz2 + 3xy.
Tr­íc hÕt h·y x¸c ®Þnh xem dïng ph­¬ng ph¸p nµo tr­íc ?
Ta thÊy c¸c h¹ng tö ®Òu chøa nh©n tö chung 3xy.
+ §Æt nh©n tö cung.
M4 = 3xy (x2 - 2x - y2 - 2yz - Z2 + 1)
Trong ngoÆc cã 6 h¹ng tö h·y xÐt xem cã h»ng ®¼ng thøc nµo kh«ng? 
+ Nhãm h¹ng tö: M4 = 3 xy[(x2 - 2x + 1 ) - (y2 + 2y z + z2)]
+ Dïng h»ng ®¼ng thøc: M4 = 3xy [( x - 1)2 - ( y + z)2] xem xÐt hai h¹ng tö trong ngoÆc cã d¹ng h»ng ®¼ng thøc nµo.
+ Sö dông h»ng ®¼ng thøc hiÖu hai b×nh ph­¬ng ta cã:
M4 = 3xy (x + y + z - 1) (x - y - z - 1)
VËy: M4 ®· ®­îc ph©n tÝch c¸c ®a thøc thµnh nh©n tö ta cÇn chó ý quan s¸t xem, kiÓn tra, linh ho¹t sö dông c¸c b­íc phèi hîp gi÷a c¸c ph­¬ng ph¸p nh­ ®· h­íng dÉn trªn tõ ®ã sÏ ph©n tÝch theo c¸c ph­¬ng ph¸p th«ng th­êng.
2.2. Mét sè ph­¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc kh¸c.
Gi¸o viªn tr­íc hÕt cÇn cho häc sinh sö dông thµnh th¹o c¸c ph­¬ng ph¸p ph©n tÝch thµnh nh©n tö th«ng th­êng vµ kÕt hîp c¸c ph­¬ng ph¸p sau ®Ó lµm c¸c bµi to¸n khã.
+ Ph­¬ng ph¸p t¸ch h¹ng tö.
+ Ph­¬ng ph¸p thªm, bít cïng mét h™ng tö.
+ Ph­¬ng ph¸p ®Æt Èn phô.
+ Ph­¬ng ph¸p t×m nghiÖm cña ®a thøc.
+ Ph­¬ng ph¸p dïng hÖ sè bÊt ®Þnh.
+ Ph­¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng.
Cô thÓ mét sè ph­¬ng ph¸p th«ng dông nhÊt.
2.2.1: Ph­¬ng ph¸p t¸ch h¹ng tö.
VÝ dô 5: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö ®a thøc sau:
N = a2 - 6a + 8.
C¸ch 1: a2 - 4a - 2a + 8 (T¸ch - 6a = (- 4a) + (-2a)
= (a2 - 4a) - (2a - 8) (Nhãm h¹ng tö)
= a (a - 4) - 2 (a - 4) (§Æt nh©n tö chung)
= (a - 4) (a - 2) (§Æt nh©n tö chung)
Cã thÓ t¸ch h¹ng tö tù do t¹o thµnh mét ®a thøc míi cã nhiÒu h¹ng tö trong ®ã cã thÓ kÕt hîp lµm xuÊt hiÖn h»ng ®¼ng thøc hoÆc nh©n tö chung víi c¸c h¹ng tö cßn l¹i.
C¸ch 2: N = a2 - 6a + 9 - 1 (T¸ch 8 = 9 - 1)
= (a2 - 6a + 9) - 1 (nhãm h¹ng tö - xuÊt hiÖn h»ng ®¼ng tö)
= (a - 3)2 - 1 (Sö dông h»ng ®¼ng thøc)
= (a - 2) (a + 2) (Dïng h»ng ®¼ng thøc vµ ®Æt NTC)
= (a - 2) ( a - 4) (§Æt NTC)
C¸ch 4: 
N = a2 - 4a + 4 - 2a + 4 (T¸ch 8 = 4 + 4, - 6x = - 4x + ( - 2x)
= ( a2 - 4a + 4) - ( 2a - 4) (Nhãm)
= (a - 2)2 - 2(a -2) (Dïng h»ng ®¼ng thøc vµ ®Æt NTC) 
= (a - 2) ( a - 4) (§Æt NTC - biÕn thµng 2 nh©n tö) 
Ta thÊy cã ®Ó t¸ch mét h¹ng tö thµnh 2 h¹ng tö kh¸c trong ®ã 2 c¸ch t¸ch sau lµ th«ng dông nhÊt;
Ph­¬ng ph¸p t¸ch 1: T¸chh¹ng tö tù do thµnh 2 h¹ng tö sao cho ®a thøc míi ®­îc ®­a vÒ hiÖu hai b×nh ph­¬ng (c¸ch 2) hoÆc lµm xuÊt hiÖn h»ng ®¼ng thøc vµ cã nh©n tö chung víi h¹ng tö cßn l¹i (c¸ch 3).
Ph­¬ng ph¸p t¸ch 2: T¸ch h¹ng tö bËc nhÊt thµnh 2 h¹ng tö råi dïng ph­¬ng ph¸p nhãm h¹ng tö vµ ®Æc biÖt nh©n tö chung lµm xuÊt hiÖn nh©n tö chung míi (c¸ch 1)
VÝ dô 6: Trong tam thøc bËc hai: ax2 + bx + c 
T¸ch hÖ sè b = b1 + b2 sao cho b1. b2 = a.c
Trong thùc hµnh ta lµm nh­ sau;
+ T×m tÝch a.c
+ Ph©n tÝch a.c ra thõa sè nguyªn víi mäi c¸ch
+ Chän 2 thõa sè mµ tæng b»ng b
Ngoµi ra cã thÓ t¸ch ®ång thêi c¶ hai h¹ng tö (h¹ng tö tù do vµ h¹ng tö bËc nhÊt) (nh­ c¸ch 4)
2.2.2) Ph­¬ng ph¸p thªmbít h¹ng tö.
VÝ dô 6: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
P1	 = x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 - 4x2 	(thªm 4x2, bít 4x2)
	= (x4 + 4x2 + 4) - 4x2 	(nhãm h¹ng tö)
	= (x2 + 2)2 - (2x)2 	(dïng h»ng ®¼ng thøc)
	= (x2 + 2x + 2) (x2 - 2x + 2)
VÝ dô 7: Ph©n tÝch ®a thøc : P2 = a4 + 64
P2 = (a4 + 16a2 +64) - 16a2 	(thªm 16a2, bít 16a2)
	= (a2 + 8)2 - (4a)2
	= (a2 + 4a + 8) (a2 - 4a + 8)
Nh­ v©y viÖc thªm bít cïng mét h¹ng tö lµm xuÊt hiÖn h»ng ®¼ng thøc rÊt tiÖn lîi, song ta cÇn xem xÐt thªm, bít h¹ng tö nµo ®Ó xuÊt hiÖn b×nh ph­¬ng c ña 1 tæng vµ lµm xuÊt hiÖn h»ng ®¼ng thøc hiÖu hai b×nh ph­¬ng th× míi ph©n tÝch triÖt ®Ó ®­îc.
ë vÝ dô P1 ®· cã b×nh ph­¬ng h¹ng tö (1) vµ b×nh ph­¬ng h¹ng tö (2). VËy muèn lµ h»ng ®¼ng thøc th× cßn thiÕu 2 lÇn tÝch cña 2 h¹ng tö. Do ®ã ta thªm 2 . x2.2 = 4x2 th× ®ång thêi ph¶i bít 4x2.
2.2.3) Ph­¬ng ph¸p ®Æt Èn phô
VÝ dô 8: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö:
D = (x2 + x)2 + 4x2 + 4x - 12
D = (x2 + x)2 + 4(x2 + x) - 12 	(nhãm, ®Æt nh©n tö chung)
Ta thÊy 2 h¹ng tö ®Çu cã nh©n tö chung lµ (x2+ x) ®Æt y (®æi biÕn):
D1 = y2 + 4y - 12
Khi ®ã ta cã thÓ dïng ph­¬ng ph¸p t¸ch hoÆc thªm bít
D = (y2 - 2y) + (6y - 12) 	(T¸ch 4y = 6y - 2y sau ®ã nh©n)
D = y (y - 2) (y + 6) 	(®Æt nh©n tö chung)
Hay D = (x2 + x - 2) (x2 + x + 6) thay l¹i biÕn x
D ®· ph©n tÝch thµnh 2 nh©n tö (x2 + x- 2) vµ (x2 + x+ 6)
ViÖc ph©n tÝch tiÕp c¸c nh©n tö cho triÖt ®Ó cã thÓ dùa vµo c¸c ph­¬ng ph¸p ®· nªu ë trªn. Chó ý cã nh÷ng tam thøc kh«ng thÓ ph©n tÝch tiÕp ®­îc nh­ :
x2 + x + 6 = (x + )2 + 5 Do vËy kh«ng ph©n tÝch tiÕp ®­îc n÷a
Cßn x2 + x - 2 = (x2 - 1) + (x - 1) = (x - 1) (x + 2)
Khi ®ã D = (x2+ x + 6) (x - 1) (x + 2)
2.2.4) Ph­¬ng ph¸p t×m nghiÖm cña ®a thøc.
Nguyªn t¾c: NÕu ®a thøc ·3 + bx2 + cx+ d(1) cã nghiÖm th× theo ®Þnh lý B¬ du cã: m lµ nghiÖm cña (1) th× m chøa nh©n tö (x - m), khi ®ã dïng phÐp chia®a thøc ta cã:
ax3 + bx2 + cx + d = (x - m) (a'x2 + b'x + c'), nh©n tö bËc hai cã thÓ ph©n tÝch tiÕp ®­îc dùa vµo c¸c ph­¬ng ph¸p nªu ë trªn.
C¸c ph­¬ng ph¸p t×m nghiÖm cña ®a thøc.
+ NÕu tæng c¸c hÖ sè: a + b + c + d = 0 ®a thøc cã nghiÖm x = 1.
Þ chøa nh©n tö chung (x- 1)
+ NÕu tæng c¸c hÖ sè bËc ch½n b»ng tæng hÖ sè bËc lÎtøc lµ a - c = b +d ®a thøc cã x = -1 
Þ chøa nh©n tö chung (x + 1)
+ NÕu kh«ng xÐt ®­îc hÖ sè ta xÐt c¸c ­íc cña hÖ sè tù do
(hÖ sè kh«ng ®æi) (¦(d)) ­íc nµo lµm cho ®a thøc cã gi¸ trÞ b»ng 0 th× ­íc ®ã lµ nghiÖm cña ®a thøc.
VÝ dô 9: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
E1 = x3 + 3x2 - 4 xÐt tæng c¸c hÖ sè ta thÊy.
a + b + c = 1 + 3 + (-4) = 0 Þ x1 = 1
E1 = (x - 1) (x2 + 4x + 4) (chia E1 Cho (x - 1) )
Sau ®ã dïng c¸c ph­¬ng ph¸p ®· häc ®Ó ph©n tÝch tiÕp
E1 = (x - 1) (x + 2)2
VÝ dô 10: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
E2 = x3 - 3x + 2
T¸ thÊy tæng vµ hiÖu c¸c hÖ sè cña E2 ¹ 0 do ®ã lo¹i x = ± 1
XÐt c¸c ¦(2) = ± 2 cã x = -2 lµ nghiÖm cña E2
Þ E2 = (x + 2)(x2 - 2x + 1) 	(Chia E2 cho(x - 2))
E2 = (x + 2) (x -1)2
C¸c vÝ dô trªn ®©y lµ mét sè ph­¬ng ph¸p ®Ó phèi kÕt hîp víi c¸c ph­¬ng ph¸p th«ng th­êng gióp häc sinh ph©n tÝch ®­îc c¸c bµi to¸n khã thµnh nh©n tö gióp cho qu¸ tr×nh rót gän ph©n thøc còng nh­ gi¶i ph­¬ng tr×nh.
3) Mét sèbµi tËp ¸p dông.
Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö.
1.a) x2 - 4x + 3 b»ng 4 c¸ch (ph­¬ng ph¸p t¸ch).
Gîi ý 4 c¸ch lµm.
T¸ch - 4x = - 3x + (-x)
T¸ch 3 = 4 - 1.
T¸ch 3 = 12 - 9
T¸ch -4x = -2x + (-2x) vµ 3 = 2 + 1
Sau ®ã cã thÓ nhãm lµm xuÊt hiÖn h»ng ®¼ng thøc hau nh©n tö chung.
1b.	81a4 + 4 	(thªm bít h¹ng tö)
Gîi ý:	Thªm 2 lÇn tÝnh ® H»ng ®¼ng thøc cô thÓ 36x2
1c:	(x2 + x)2 + 9x2 + 9x + 14(ph­¬ng ph¸p ®æi biÕn).
Gîi ý: ®Æt (x2 + ) = y
1d:	x3 - 2x2 - x + 2	(ph­¬ng ph¸p t×m nghiÖm).
Gîi ý: XÐt tæng c¸c hÖ sè a + b + c = 0
Ngoµi ra cã thÓ sö dông c¸c ph­¬ng ph¸p kh¸c ®Ó ph©n tÝch c¸c bµi tËp trªn thµnh nh©n tö.
Bµi tËp 2: Rót gän vµ tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc.
M = víi a = 102
Gîi ý: 
+ Ph©n tÝch tö thøc a3 - 4a2 - a+ 4 b»ng ph­¬ng ph¸p nhãm h»ng ®¼ng thøc ®­a tö thµnh nh©n tö.
+ Ph©n tÝch mÉu thøc thµnh nh©n tö b»ng c¸ch dïng h»ng ®¼ng thøc, ®Æt nh©n tö chung, t¸ch h¹ng tö.
+ Rót gän nh©n tö chung cña tö thøcvµ mÉu thøc.
+ Thay a = 102 vµo M ®· rót gän.
Bµi tËp 3: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau:
3.a) 	y2 - 5y + 4 = 0.
Gîi ý: §­a vÕ tr¸i thµnh c¸c nh©n tö Þ ph­¬ng tr×nh trëvÒph­¬ng tr×nh tÝch.
3b: y3 - 2y2 - 9y + 18 = 0.
Gîi ý: Ph©n tÝch vÕ tr¸i thµnh nh©n tö, ®­a ph­¬ng tr×nh ®· cho thµnh ph­¬ng tr×nh Þ gi¶i ph­¬ng tr×nh tÝch.
Bµi tËp 4: Chøng minh r»ng ®a Thøc sau.
4a) 	A = (a2 + 3a + 1)2 - 1 chia hÕt cho 24.
Víi a lµ mét sè tù nhiªn.
Gîi ý: 
+ Tr­íc hÕt ph©n tÝch ®a thøc ®· cho thµnh nh©n tö.
A = (a2 + 3a + 2) (a2 + 2a) (Sö dông h»ng ®¼ng thøc hiÖu hai b×nh ph­¬ng)
A = (a + 2) (a + 1) (a + 3)a = a (a + 1) (a + 2) (a + 3)
(Sö dông ph­¬ng ph¸p t¸ch h¹ng tö 3a = 2a + a)
* LËp luËn:
+ A ®· cho lµ tÝch cña 4 sè tù nhiªn liªn tiÕp chøng tá trong ba sè tù nhiªn liªn tiÕp ¾t ph¶i cã mét sè chia hÕt cho 3 vËy: A M 3
+ Trong 4 sè tù nhiªn liªn tiÕp bao giê còng cã 2 sè ch½n liªn tiÕp nªn méct trong hai sè ®ã chia hÕt cho 2 vµ sè cßn l¹i sÏchia hÕt cho 4. VËy A M 8
+ Nh­ng (3 ; 8) = 1 nªn tÝch cña 4 sè tù nhiªn liªn tiÕp lu«n chia hÕt cho 24.
4b: 	B = 25m4 + 50m3 - n2 - 2n chia hÕt cho 24.
Víi n lµ sè nguyªn d­¬ng tuú ý.
Bµi tËp 5: T×m gi¸ trÞ nhá nHÊt cña biÓu thøc.
A = x2 - 4x + y2 + 2y + 12
Gîi ý:
+ Tr­íc hÕt sö dông c¸c ph­¬ng ph¸p cña ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ®Ó ph©n tÝch A.
A = x2 - 4x + 4 + y2 +2y + 1 + 7 (t¸ch 12 = 7 + 4 + 1)
A = (x2 - 4x + 4) + (y2 + 2y + 1) + 7 (nhãm h¹ng tö)
A = (x- 2)2 + (y + 1)2 + 7
* LËp luËn.
V× (x - 2)2 ³ o vµ (y + 1)2 ³ 0, dÊu " = "x¶y ra khi a = 2 vµ y = - 1 nªn A = (x - 2)2 + (y + 1)2 + 7 ³ 7
VËy AMin = 7 ®¹t ®­îc khi x = 2; y = -1
4) KÕt qu¶ ®¹t ®­îc:
 ¸p dông s¸ng kiÕn kinh nghiÖm nµy vµo gi¶ng d¹y ë tr­êng THCS Nga yªn trong n¨m häc 2003 - 2004 ®· thu ®­îc c¸c kÕt qu¶ kh¶ quan.
KÕt qu¶ häc tËp cña häc sinh ®­îc n©ng lªn râ rÖt qua c¸c giê häc, qua mçi kü thi, ®Æc biÖt lµ c¸c em høng thó häc to¸n h¬n, sö dông thµnh th¹o c¸c thñ thuËt ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ®Ó lµm c¸c d¹ng to¸n cã liªn quan ®Õn viÖc ph©n tÝch ®a thøc ®¹t kÕt qu¶ tèt. 100% c¸c em häc sinh ®· biÕt sö dông c¸c ph­¬ng ph¸p ph©n tÝch th«ng th­êng mét c¸ch thµnh th¹o, 90% c¸c em häc sinh cã kü n¨ng n¾m v÷ng thñ thuËt ph©n tÝch ®a thøc dùa vµo c¸c ph­¬ng ph¸p ph©n tÝch ®· ®­îc nªu trong s¸ng kiÕn kinh nghiÖm. Bªn c¹nh ®ã c¸c ph­¬ng ph¸p nµy c¸c em dÔ dµng tiÕp cËn víi c¸c d¹ng to¸n khã vµ c¸c kiÕn thøc míi còng nh­ viÖc h×nh thµNh mét sè thñ thuËt trong qu¸ tr×nh häc tËp vµ gi¶i to¸nkhi häc bé m«n to¸n.
III: KÕt luËn.
Tr¶i qua thùc tÕ gi¶ng d¹y vËn dông s¸ng kiÕn kinh nghiÖm trªn ®©y cã kÕtqu¶ h÷u hiÖu cho viÖc häc tËp vµ gi¶i to¸n. RÊt nhiÒu häc sinh chñ ®éng t×m tßi vµ ®Þnh h­íng ph­¬ng ph¸p lµm bµi khi ch­a cã sù gîi ý cña gi¸o viªn, mang l¹i nhiÒu s¸ng t¹o vµ kÕt qu¶ tèt tõ viÖc gi¶i to¸n rót ra c¸c ph­¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
V× lÏ ®ã mçi gi¸o viªn vµ b¶n th©n t«i nãi riªng cÇn hiÓu râ kh¶ n¨ng tiÕp thu bµi cña c¸c ®èi t­îng häc sinh ®Ó tõ ®ã ®­a ra nh÷ng bµi tËp vµ ph­¬ng ph¸p gi¶i to¸n cho phï hîp gióp häc sinh lµm ®­îc c¸c bµi tËp, g©y høng thó häc tËp, say s­a gi¶i to¸n, yªu thÝch häc to¸n. Tõ ®ã dÇn dÇn n©ng cao tõ dÔ ®Õn khã, cã ®­îc nh­ vËy th× ng­êi thÇy gi¸o cÇn ph¶i t×m tßi nhiÒu ph­¬ng ph¸p gi¶i to¸n, cã nhiÒu bµi to¸n hay ®Ó h­íng dÉn häc sinh lµm, tung ra cho häc sinh cïng lµm, cïng ph¸t hiÖn ra c¸c c¸ch gi¶i kh¸c nhau còng nh­ c¸ch gi¶i hay, tÝnh tù gi¸c trong häc to¸n, ph­¬ng ph¸p gi¶i to¸n nhanh, cã kü n¨ng ph¸t hiÖn ra c¸c c¸ch gi¶i to¸n nhanh, cã kü n¨ng ph¸t hiÖn ra c¸c c¸ch gi¶i: Mét vµi ph­¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc ë trªn ®©y rÊt cã h÷u hiÖugióp häc sinh trong qu¸ tr×nh gi¶i to¸n cã sö dông ph©n tÝch ®a thøc mµ t«i ®· viÕt trªn ®©y cã lÏ sÏ cßn rÊt nhiÒu h¹n chÕ. Mong tæ chuyªn m«n trong tr­êng, ®ång nghiÖp gãp ý ch©n thµnh ®Ó t«i cã nhiÒu s¸ng kiÕn kinh nghiÖm tèt h¬n phôc vô cho viÖc gi¶ng d¹y häc sinh./.
Nga Yªn, ngµy 25 th¸ng 4 n¨m 2004
Ng­êi thùc hiÖn
Vò ThÞ T­¬i

File đính kèm:

  • docMot so pp phan tich da thu thanh nhan tu.doc
Sáng Kiến Liên Quan