Vận dụng kiến thức về hình học vectơ và lượng giác trong dạy học vật lí ở trường trung học phổ thông

VẬN DỤNG KIẾN THỨC VỀ HÌNH HỌC VECTƠ VÀ LƯỢNG GIÁC 
TRONG DẠY HỌC VẬT LÍ Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
I. ĐẶT VẤN ĐỀ 
1. Thực trạng của vấn đề
Vật lí học là một môn khoa học thực nghiệm, đây là một môn học không dễ với học sinh THPT. Vấn đề khó ở dây không chỉ về mặt kiến thức vật lí bao quát, trừu tượng, chi phối nhiều hiện tượng liên quan đến đời sống hằng ngày mà còn khó ở chỗ nó liên quan đến những kiến thức toán học phức tạp được xem là công cụ không thể thiếu. Thực tế cho thấy học sinh không học tốt một vật lí (nói riêng) là do bị hỏng những kiến thức về toán học, do vậy đứng trước một bài toán vật lí, học sinh không biết phải giải quyết như thế nào. Vậy phải làm gì để giúp các em học sinh có thể học tốt hơn về môn vật lí? 
2. Mục đích yêu cầu 
	Để giải quyết những vướng mắc nêu trên, việc bổ túc cho học sinh những kiến thức cơ bản về toán học là việc làm thực sự cấn thiết. Vì vậy, trước khi bắt đầu học bộ mộ vật lí ở trường THPT, tương ứng với mỗi chủ đề kiến thức, giáo viên cần cung cấp cho học sinh những kiến thức toán học cơ bản có liên quan đến việc giải quyết những bài toán vật lí mà các em sẽ học.
	3. Phạm vi của đề tài
	Kiến thức vật lí có liên quan đến nhiều kiến thức toán học, và đặc biệt là những kiến thức về lượng giác và hình học véc tơ được sử dụng rất rộng rãi. Vì vậy, trong phạm vi của một sáng kiến kinh nghiệm của bản thân rút ra từ thực tế quá trình giảng dạy, tôi xin đưa ra phương pháp của bản thân và một số bài toán vận dụng qua đề tài: “vân dụng kiến thức về hình học vectơ và lượng giác trong dạy học vật lí ở trường trung học phổ thông”. 
II.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
 1. Một số kiến thức cơ bản về hình học 
A
B
C
 α
a. Hệ thức lượng trong tam giác vuông
	+	(1)
	+	(2)
	+	(3)
	+	(4)
b
O
x
A
B
A’
B’
α
b.Công thức hình chiếu
	Hình chiếu của véc tơ trên trục Ox 
 là được xác định theo công thức:
 =||.cosα =||.sinb	(5)
b
c
a
c. Định lý hàm số cosin
	Trong tam giác A,B,C cạnh a,b,c ta luôn có:
	+a2 = b2 + c2 - 2b.c.cos A 	(6)
	+b2 = a2 + c2 - 2a.c.cos B	 	(7)
	+c2 = a2 + b2 - 2a.b.cos C	 	(8)
	d. Định lý hàm số sin
	Trong tam giác bên ta có:	
 	 (9)
e. Phép cộng hai véc tơ
Cho hai véc tơ gọi =	(10)
là véc tơ tổng của hai véc tơ đó
thì được xác định theo quy tắc hình bình hành. 
Gọi α là góc giữa hai véc tơthì theo định lí hàm số cosin ta có: 
 |‌‌|2 = ||2 + ||2 -2||||cos b 	 (11)
Hay 	|‌‌|2 = ||2 + ||2 +2||||cos a	 (12)
Suy ra:
	‌+‌Nếu cùng hướng thì: 	 |‌‌| = || + ||	(13)
	+Nếu ngược hướng thì: 	 |‌‌| = ||| - ||| 	(14)
	+Nếu vuông góc thì: 	 |‌‌|2 = ||2 + ||2	(15)
*Nhận xét: Công thức (12) là tổng quát, áp dụng được với mọi góc a bất kì, vì vậy giáo viên lưu ý học sinh ghi nhớ để áp dụng.
2. Một số kiến thức về lượng giác
a. Đơn vị đo – Giá trị lượng giác các cung.
 	* 10 = 60’ (phút), 1’= 60” ( giây); 10 = (rad); 1rad = (độ)
	* Gọi a là số đo bằng độ của 1 góc, a là số đo tính bằng radian tương ứng với a độ khi đó ta có phép biến đổi sau:
 	 	a = (rad); a = (độ)
*Đổi đơn vị: 1mF = 10-3F; 1mF = 10-6F; 1nF = 10-9F; 1pF = 10-12F; 1= 10-10m. Các đơn vị khác cũng đổi tương tự.
* Bảng giá trị lượng giác cung đặc biệt.
Cung đối nhau
(a và -a)
Cung bù nhau
a và (p - a)
Cung hơn kém p
(a và p + a)
Cung phụ nhau
(a và p/2 -a)
Cung hơn kém p/2 (a và p/2 +a)
cos(-a) = cosa
sin(-a) = -sina
tan(-a) = -tana
cot(-a) = -cota
cos(p - a)= -cosa 
sin(p - a) = sina
tan(p - a) = -tana
cot(p - a) = -cota
cos(p + a) = -cosa
sin(p + a) = -sina
tan(p + a) = tana
cot(p + a) = cota
cos(p/2 -a)= sina
sin(p/2 -a) = cosa
tan(p/2 -a) = cota
cot(p/2 -a) = tana
cos(p/2 +a) = -sina
sin(p/2 +a) = cosa
tan(p/2+a)= -cota
cot(p/2 +a) = -tana
b. Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản:
 	sin2a + cos2a = 1; 	a = 1	
c. Công thức biến đổi
c.1 Công thức cộng
	cos(a + b) = cosa.cosb - sina.sinb	cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb
	sin(a + b) = sina.cosb + sinb.cosa 	sin(a - b) = sina.cosb - sinb.cosa
	tan(a - b) = 	tan(a + b) = 	
c.2 Công thức nhân đôi, nhân ba
	cos2a = cos2a - sin2a = 2cos2a - 1 = 1 - 2sin2a; 	sin3a = 3sina – 4sin3a
	sin2a = 2sina.cosa; 	cos3a = 4cos3a – 3cosa;
	tan2a = 
c.3 Công thức hạ bậc: cos2a = ; sin2a = ; tan2a = ; cotan2a = 
 c.4 Công thức tính sin , cos, tan theo t = tan 
 	 (a ≠ + kp, k Î Z)
c.5 Công thức biến đổi tích thành tổng
 	cosa.cosb = [cos(a-b) + cos(a+b)] 	sina.sinb =[cos(a-b) - cos(a+b)]
 	sina.cosb = [sin(a-b) + sin(a+b)]
c.6 Công thức biến đổi tổng thành tích
 	cosa + cosb = 2cos cos 	sina + sinb = 2sincos
	cosa - cosb = -2sinsin	sina - sinb = 2cossin
 	tana + tanb = 	tana - tanb =(a,b ≠ +kp)
d. phương trình và hệ phương trình lượng giác
d.1 Các công thức nghiệm – pt cơ bản:
 	sinx = a = sin Þ cosx = a = cosa Þ x = ± + k2p
tanx = a = tan Þ x = a +kp cotx = a = cotÞ x = a +kp
d.2 Phương trình bậc nhất với sin và cos:
 	Dạng phương trình: a.sinx + b.cosx = c (1) với điều kiện (a2 + b2 ≠ 0 và c2 £a2 + b2)
	Cách giải: chia cả 2 vế của (1) cho ta được:sinx + cosx = 
	Ta đặt: ta được pt: 
Giải (2) ta được nghiệm.
 d.3 Phương trình đối xứng: Dạng phương trình: a.(sinx + cosx) + b.sinx. cosx = c (1) (a,b,c Î R)
 	Cách giải: đặt t = sinx + cosx = .cos(x - ), điều kiện - £ t £ 
 	 Þ t2 = 1+ 2sinx.cosx Þ sinx.cosx = thế vào (1) ta được phương trình:
 	a.t + b. = c Û b.t2 + 2.a.t - (b + 2c) = 0
	Giải và so sánh với điều kiện t ta tìm được nghiệm x.
	Chú ý: Với dạng phương trình: a.(sinx - cosx) + b.sinx. cosx = c 
 	Ta cũng làm tương tự, với cách đặt t = sinx - cosx = .cos(x +p/4).
d.4 phương trình đẳng cấp. Dạng phương trình: a.sin2x + b.cosx.sinx + c.cos2x = 0 (1)
	Cách giải: 
	- b1 Xét trường hợp cosx = 0
	- b2 Với cosx ≠ 0Û ( x = + kp) ta chia cả 2 vế của (1) cho cos2x ta được pt: a.tan2x + b.tanx + c = 0 đặt t = tanx ta giải pt bậc 2: a.t2 + b.t +c = 0.
	Chú ý: Ta có thể xét trường hợp sinx = 0 rồi chia 2 vế cho sin2x.
e. Một số hệ thức trong tam giác:
e.1. Định lý hàm số cos: a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA; 
 	e.2. Định lý hàm sin: = = 
	e.3 Với tam giác vuông tại A, có đường cao AH:
 ; AC2 = CH.CB; AH2 = CH.HB; AC.AB = AH.CB
a
B
O
G
I
A
3.Một số bài tập vận dụng
3.1.Bài tập1(Cơ học)
Một thanh dài OA có trọng tâm ở giữa thanh và khối lượng m = 1kg. Đầu O của thanh liên kết với tường bằng bản lề, còn đầu A được treo vào tường bằng một sợi dây AB. Thanh được giữ nằm ngang và dây làm với thanh một góc α = 30o (hình vẽ). Lấy g = 10m/s2. Hãy xác định độ lớn lực căng dây và phản lực Q?
Giải
2a
I
	- Các lực tác dụng lên thanh gồm: 
	+Trọng lực .
	+Phản lưc của bản lề 
	+Lực căng dây 
	- Điều kiện cân bằng của thanh OA là:
	 ++ = 	(*)
Các lực ,, có giá đồng quy nên giá của không 
vuông góc với tường mà đi qua điểm I( giao điểm của giá các lực ,).
Di chuyển các lực,, về điểm đồng quy I, như hình vẽ:
	Đặt , công thức (*) có thể viết thành 
	Theo hình vẽ ta có : F2 = Q2 + T2 - 2Q.T.cos2α 
vì tam giác AIO cân nên Q = T, ta có:
F2 = Q2 + T2 - 2Q.T.cos2α = 2T2(1-cos2α) = 2T2(2sin2α)
	=> T = F/2sinα = P/2sinα = Q
3.2.Bài tập 2 ( Định luật bảo toàn động lượng)
Một quả đạn khối lượng m đang bay theo phương ngang với vận tốc v = 5m/s thì nổ thành hai mảnh có khối lượng bằng nhau. Mảnh 1 bay thẳng đứng xuống với vận tốc v1 = 10m/s.Hỏi mảnh 2 bay theo hướng nào với vận tốc bao nhiêu?
Bài giải
Xét hệ kín gồm m1 = m2 = m/2.
Theo định luật bảo toàn động lượng ta có: 
là đường chéo của hình bình hành tạo bởi hai cạnh là như hình vẽ, theo đó ta có: p22 = p2 + p12
 ó (m2.v2) = (m.v)2 + (m1v1)2 => v2 = 20m/s
mặt khác ta có: tanα = p1/p = 1/ => α = 30o
Vậy mảnh thứ hai bay lệch phương ngang góc 30o lên trên 
với vận tốc 20m/s
3.3.Bài tập 3.(Điện trường)
Cho hai điện tích điểm q1 = 10-6C, q2 = -2.10-6C đặt tại hai điểm A,B cách nhau 20cm trong không khí. Xác định véc tơ cường độ điện trường tại điểm M cách đều A,B các khoảng AM = BM = 20cm.
Bài giải
Tại M có các véctơ cường độ diện trường ,do q1, q2 gây ra biểu diễn như hình vẽ. Với: 
α
A
q1
B
q2
M
α
β
Véc tơ cường độ điện trường tổng hợp tại M là .
-Theo hình vẽ ta có: E2 = E12 + E22 - 2E1E2cosα; ΔABM đều α = 60o , thay số tính được E = 3,9.105V/m.
-Hướng của véctơ : theo định lí hàm số sin ta có
 => » 0,5 => β » 30o.
Vậy véc tơ có độ lớn E = 3,9.105V/m; có phương hợp với MB một góc 30o. 
3.4.Bài tập 4(Từ trường)
Hai dây dẫn thẳng dài đặt trong không khí, song song, cách nhau 10cm, mang dòng điện I1 = 10A; I2 = 20A. Hãy xác định véc tơ cảm ứng từ tại điểm M cách dây dẫn thứ nhất 8cm, cách dây dẫn thứ hai 6cm.
Bài giải
Tại M có các véc tơ ,do I1, I2 gây ra. 
, được vẽ theo quy tắc nắm bàn tay phải.
Dễ thấy ΔAMB vuông tại M nên 
có giá là AM, có giá là MB.
Véc tơ cảm ứng từ tổng hợp 
Theo hình vẽ ta có: B2 = B12 + B22 với B1 = 2.10-7I1/MB = 2,5.10-5T
	 B2 = 2.10-7I2/MA = 6,67.10-5T
Thay số ta có B » 7.10-5T
 » 0,357 => β » 21o.
Vậy véc tơ cảm ứng từ tổng hợp tại M có:
Độ lớn: B » 7.10-5T
hướng hợp với MB một góc β = 21o.
CLR
R
LR
3.5.Bài tập 5.(Điện xoay chiều)
Cho đoạn mạch xoay chiều nối tiếp gồm: 
Điện trở R = 60Ω; 
Cuộn cảm thuần có L = 0,255H; 
UAB = 120V không đổi; tần số dòng điện f = 50Hz. tụ điện có điện dung C biến thiên. Hãy xác định giá trị của C để hiệu điện thế giữa hai đầu tụ điện đạt giá trị cực đại.
Bài giải
Hiệu điện thế hai đầu mạch được biểu diễn bằng 
véc tơ quay như hình vẽ.
gọi φ, φ’là góc lệch pha giữa và so với .
Theo định lí hàm số sin ta có:
 => 
Khi C biến thiên thì φ thay đổi, UC cực đại khi sin(φ’- φ) = 1=> φ’- φ =π/2
tanφ = -cotanφ’ hay tanφ.tanφ’ = -1 
ó ó = 125Ω => C = 25,4μF.
III.KẾT LUẬN
	Với những kiến thức vốn có và tiếp thu được trong quá trình giảng dạy tôi đã cố gắng trình bày tương đối hoàn chỉnh những kiến thức lượng giác và hình học véc tơ,việc bổ trợ cho học sinh những kiến thức này giúp các em không còn lúng túng khi giải bài tập vật lí nữa. 
	Tuy nhiên do còn thiếu kinh nghiệm và khả năng có hạn, nên chắc chắn đề tài không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Rất mong sự đóng góp ý kiến của quý thầy, cô giáo. Và hy vọng rằng, đề tài này sẽ là tài liệu giúp các em học sinh yêu thích môn Vật lý hơn.