Ứng dụng định lý Vi-Et giải một số dạng toán phương trình bậc 2 – quy về bậc 2 có tham số

ách giải.
Tính 
Nếu thì phương trình (1) vô nghiệm.
Nếu thì phương trình (1) có nghiệm kép .
Nếu thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 
Định lý Vi-et – Dấu các nghiệm.
Định lý: Nếu phương trình bậc hai ẩn : có hai nghiệm thì .
Dấu các nghiệm: 
Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu .
Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu .
Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dương .
Phương trình (1) có hai nghiệm cùng âm .
 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.
Trong phần này tôi sẽ trình bày phương pháp giải quyết một cách tổng quát một số dạng toán liên quan đến phương trình bậc 2, và quy về bậc 2 trong tập số thực R: Thay vì so sánh nghiệm của một phương trình bậc 2 với một số thực , ta sẽ biến đổi để đưa về so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với số 0.
Bài toán 1. Cho phương trình: 
Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm: .
Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm: .
Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa: .
Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa: .
Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa: .
Giải.
Đặt , thay vào pt (1) ta được pt: 
Để phương trình (1) có nghiệm pt (2) có nghiệm 
TH1: Phương trình (2) có nghiệm .
TH2: Phương trình (2) có nghiệm 
Phương trình (1) có nghiệm pt (2) có nghiệm 
TH1: Phương trình (2) có nghiệm .
TH2: Phương trình (2) có nghiệm 
Phương trình (1) có 2 nghiệm thỏa pt (2) có 2 nghiệm . 
Phương trình (1) có 2 nghiệm thỏa pt (2) có 2 nghiệm .
Phương trình (1) có 2 nghiệm thỏa pt (2) có 2 nghiệm .
(Với )
Nhận xét: Thoạt nhìn thì bài toán này mang đậm dấu ấn dùng kiến thức so sánh nghiệm của một tam thức bậc 2 với số thực , và bằng cách làm như trên ta đã hướng dẫn học sinh giải quyết bài toán một cách dễ dàng dựa vào định lý Viet và các ứng dụng, tránh không sử dụng kiến thức về tam thức bậc 2 đã được giảm tải trong sách giáo khoa.
Bài toán 2. Cho phương trình: với .
Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm.
Tìm điều kiện để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
Tìm điều kiện để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt.
Tìm điều kiện để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.
Giải.
Ta biến đổi phương trình (1) 
Đặt , thay vào (2) ta được phương trình: 
Phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm 
TH1: Phương trình (2) có nghiệm .
TH2: Phương trình (2) có nghiệm 
Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ta xét 2 trường hợp sau:
TH1: Phương trình (2) có nghiệm .
TH2: Phương trình (2) có nghiệm 
Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt phương trình (2) có 2 nghiệm thỏa: .
Phương trình (1) có 4 nghiệm phận biệt phương trình (2) có 2 nghiệm thỏa: 
(Trong đó là biệt thức của phương trình (2), )
Nhận xét: Trong các tài liệu sách giáo khoa, hoặc sách tham khảo, cách giải đưa ra đối với dạng toán này là đặt: với điều kiện , khi đó để giải quyết các yêu cầu nêu trên học sinh sẽ lúng túng, đôi khi là không thể giải quyết nhất là đối với các em học sinh lớp 10,vì các em không được trang bị công cụ để so sánh nghiệm một phương trình bậc 2 với một số thực khác 0.
Bài toán 3. Cho phương trình: 
Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm dương.
Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm âm.
Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm.
Tìm điều kiện để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.
Giải 
Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình (1), chia cả hai vế phương trình (1) cho , ta được:
(Thông thường tới đây học sinh sẽ đặt , khi đó nhận được phương trình và việc giải quyết các yêu cầu đặt ra sẽ khó khăn vì học sinh không được trang bị công cụ. Để giúp học sinh vượt qua trở ngại này chúng ta giải quyết như sau).
Vì , đặt suy ra , thay vào phương trình (2) được: (3). 
Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (3) có nghiệm , ta fxét:
TH1: Phương trình (3) có nghiệm 
TH2: Phương trình (3) có nghiệm 
Vì , đặt suy ra , thay vào phương trình (2) được:
 (4)
Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (3) có nghiệm , ta xét:
TH1: Phương trình (3) có nghiệm 
TH2: Phương trình (3) có nghiệm 
Để phương trình (1) có nghiệm thì hoặc phương trình (3) có nghiệm , hoặc phương trình (4) có nghiệm . (Đây chính là kết quả tổng hợp của phần a và b).
Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt ta xét các trường hợp sau;
TH1: Phương trình (3) có 2 nghiệm thỏa: 
TH2: Phương trình (4) có 2 nghiệm thỏa: 
TH3: Đồng thời phương trình (3), phương trình (4) có hai nghiệm trái dấu 
Nhận xét: Với cách tiếp cận này học sinh cũng có thể dễ dàng giải quyết các bài toán như: Tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm, 3 nghiệm.
Bài toán 4. Cho phương trình 
Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm.
Tìm điều kiện để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.
Tìm điều kiện để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
Giải.
Xét a > 0 (với a < 0, làm tương tự)
Ta có nên đặt khi đó .
Thay vào phương trình (1) ta được phương trình sau: (2) với 
Phương trình (2): (3)
Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (3) có nghiệm 
TH1: Phương trình (2) có nghiệm .
TH2: Phương trình (2) có nghiệm 
Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thì pt (3) có 2 nghiệm thỏa 
Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (3) có 2 nghiệm thỏa , hoặc phương trình (3) có 2 nghiệm thỏa .
TH1: Phương trình (2) có nghiệm . 
TH2: Phương trình (2) có nghiệm 
(Trong đó là biệt thức của pt (3), )
Nhận xét: Khi gặp dạng toán này các em học sinh thường đặt với điều kiện nếu a > 0, nếu a < 0. Phương trình nhận được , và để giải quyết các yêu cầu của bài toán học sinh sẽ gặp trở ngại vì cần so sánh nghiệm của một phương trình bậc 2 với một số thực khác 0. Chính vì thế với cách giải đã trình bày ở trên tạo cho các em học sinh rất hứng thú, vì các em có thể sử dụng một công cụ đơn giản, quen thuộc là định lý Viet để giải dạng toán này. 
Bài toán 5. Cho phương trình với .
Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm.
Tìm điều kiện để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.
Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm duy nhất.
Giải.
ĐK .
Đặt suy ra , thay vào pt (1) ta được phương trình: 
Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (2) có nghiệm 
TH1: Phương trình (2) có nghiệm .
TH2: Phương trình (2) có nghiệm 
Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thì pt (2) có 2 nghiệm thỏa 
Để phương trình (1) có nghiệm duy nhất ta xét 2 trường hợp sau:
TH1: Phương trình (2) có nghiệm .
TH2: Phương trình (2) có nghiệm 
(Trong đó là biệt thức của pt (3), )
Nhận xét: Với dạng toán này hầu hết các sách tham khảo đều đặt , và đưa về phương trình bậc 2 có dạng: , khi đó để giải quyết các câu hỏi đặt ra thì đều phải sử dụng tới định lý đảo về dấu tam thức bậc 2 và các hệ quả, hoặc sử dụng công cụ đạo hàm. Cả hai cách này đều không phù hợp với tư duy, kiến thức của học sinh lớp 10, 11 và ngay cả đối với học sinh lớp 12, bởi vì công cụ dùng đạo hàm để giải không phải lúc nào cũng tối ưu. 
Bài toán 6. Cho phương trình: 
Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm.
Tìm điều kiện để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm duy nhất.
Giải.
Phương trình (1) 
Đặt , vì nên ta có điều kiện , thay vào (2) ta được phương trình: 
Để phương trình (1) có nghiệm thì pt (3) có nghiệm 
TH1: Xét , thay vào phương trình (3) tìm nghiệm và giải bất phương trình .
TH2: Phương trình (3) có nghiệm .
TH3: Phương trình (3) có nghiệm 
Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì pt (3) có 2 nghiệm 
Để phương trình (1) có nghiệm duy nhất thì phương trình (3) có đúng 1 nghiệm 
TH1: Xét , thay vào phương trình (3) tìm nghiệm và giải bất phương trình 
TH2: Phương trình (3) có nghiệm .
TH3: Phương trình (3) có nghiệm 
TH4: Phương trình (3) có nghiệm 
(Trong đó là biệt thức của phương trình (3), )
Nhận xét: Dạng toán này hay xuất hiện trong chuyên đề về phương trình chứa căn, và những bài toán như thế cũng từng xuất hiện trong các đề thi Đại học, Cao đẳng, nhưng tất cả đều đưa ra phương án là đi so sánh nghiệm của phương trình (2) với số thực . Song với cách giải như trên thì ta đã đưa bài toán về so sánh nghiệm của phương trình (3) với số 0.
Bài toán 7.Cho phương trình: với .
Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm.
Tìm điều kiện để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm duy nhất
Giải.
Phương trình (1) 
Đặt , vì nên ta suy ra điều kiện . Thay vào phương trình (2) ta được phương trình: 
Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (3) có nghiệm 
TH1: Xét , thay vào pt (3) tìm nghiệm và giải bất phương trình .
TH2: Phương trình (3) có nghiệm 
TH3: Phương trình (3) có nghiệm 
TH4: Phương trình (3) có nghiệm 
Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì pt (3) có 2 nghiệm 
Để phương trình (1) có nghiệm duy nhất thì phương trình (3) có đúng 1 nghiệm 
TH1: Xét , thay vào phương trình (3) tìm nghiệm và giải bất phương trình 
TH2: Phương trình (3) có nghiệm .
TH3: Phương trình (3) có nghiệm 
TH4: Phương trình (3) có nghiệm 
Nhận xét: Đây là dạng toán giống với bài toán 6 đã giải quyết ở trên, ta cũng đã đưa về so sánh nghiệm của một phương trình có dạng bậc 2 với số 0.
B. BÀI TẬP VẬN DỤNG.
Bài 1. Cho phương trình: 
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm .
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm .
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm .
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm .
Giải.
Đặt , thay vào pt (1) ta được phương trình: 
Để phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm 
TH1: Phương trình (2) có nghiệm .
TH2: Phương trình (2) có nghiệm : 
Kết luận: với thì phương trình (1) có nghiệm .
Để phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm 
TH1: Phương trình (2) có nghiệm .
TH2: Phương trình (2) có nghiệm 
Kết luận: với thì phương trình (1) có nghiệm .
Phương trình (1) có 2 nghiệm thỏa phương trình (2) có 2 nghiệm: 
 . 
Kết luận: với thì phương trình (1) có hai nghiệm 
Phương trình (1) có 2 nghiệm thỏa phương trình (2) có 2 nghiệm: 
 (vô nghiệm)
Kết luận: không tồn tại m để phương trình (1) có nghiệm .
Nhận xét: Đây chỉ là một ví dụ minh họa cho bài toán tổng quát, tương tự học sinh có thể giải rất nhiều bài toán như vậy với phương pháp như trên mà không sử dụng kiến thức về tam thức bậc hai. Rất nhiều em học sinh sau khi được học ứng dụng của đạo hàm để giải một số dạng toán “Tìm tham số m để phương trình có nghiệm?”, thì khi gặp bài tập này cũng lúng túng không giải quyết được vì không thể đưa bài toán về dạng: để khảo sát. Do đó cách chuyển hóa phương trình như trên, đưa bài toán về so sánh nghiệm của một phương trình bậc 2 với số 0 dựa vào ứng dụng định lý Vi-et là một lựa chọn tối ưu trong bối cảnh các kiến thức về so sánh nghiệm của một tam thức bậc 2 với một số thực đã được giảm tải trong sách giáo khoa.
Bài 2. Cho phương trình: , với tham số .
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.
Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
Tìm m để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt.
Tìm m để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.
Giải.
Ta biến đổi phương trình (1) 
Đặt , thay vào phương trình (2) ta được phương trình: 
Phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm 
TH1: Phương trình (2) có nghiệm .
TH2: Phương trình (2) có nghiệm 
Kết luận: Với thì phương trình (1) có nghiệm.
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ta xét 2 trường hợp sau:
TH1: Phương trình (2) có nghiệm .
TH2: Phương trình (2) có nghiệm:
 .
Kết luận: Với thì phương trình (1) có 2 nghiệm. 
Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt phương trình (2) có 2 nghiệm thỏa: .
Kết luận: Với thì phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt.
Phương trình (1) có 4 nghiệm phận biệt phương trình (2) có 2 nghiệm thỏa: 
Kết luận: với thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 3. Cho phương trình: 
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm dương.
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm âm.
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.
Tìm m để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.
Giải 
Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình (1), chia hai vế của phương trình (1) cho , ta được:
Vì , đặt suy ra , thay vào phương trình (2) được: (3).
Để phương trình (1) có nghiệm x > 0 thì phương trình (3) có nghiệm . Xét 2 trường hợp:
TH1: Phương trình (3) có nghiệm .
TH2: Phương trình (3) có nghiệm .
Kết luận: Với thì phương trình (1) có nghiệm dương.
b) Vì , đặt suy ra , thay vào phương trình (2) được: 
 (4)
Để phương trình (1) có nghiệm x > 0 thì phương trình (3) có nghiệm . Xét 2 trường hợp:
TH1: Phương trình (3) có nghiệm (vô nghiệm).
TH2: Phương trình (3) có nghiệm (vô nghiệm).
Kết luận: Không tồn tại m để phương trình (1) có nghiệm âm.
c) Để phương trình (1) có nghiệm thì .
d) Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt ta xét các trường hợp sau:
TH1: Phương trình (3) có 2 nghiệm thỏa: 
TH2: Phương trình (4) có 2 nghiệm thỏa: 
 (vô nghiệm)
TH3: Đồng thời phương trình (3), phương trình (4) có hai nghiệm trái dấu:
 (vô nghiệm)
Kết luận: Với thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 4: Cho phương trình 
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm. 
Tìm m để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.
Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
Giải
Đặt khi đó , suy ra . Thay vào phương trình (1) ta được
 phương trình sau: 
Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (2) có nghiệm 
TH1: Phương trình (2) có nghiệm .
TH2: Phương trình (2) có nghiệm .
Kết luận: với thì phương trình (1) có nghiệm.
Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (3) có 2 nghiệm thỏa:
 .
Kết luận: với thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.
Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì pt (3) có 2 nghiệm thỏa , hoặc phương trình (3) có 2 nghiệm thỏa .
TH1: Phương trình (2) có nghiệm .
TH2: Phương trình (2) có nghiệm .
Kết luận: với thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
Nhận xét: Tương tự ta cũng có thể giải quyết được ngay bài toán: “Tìm m để pt (1) có 
 nghiệm duy nhất”.
Bài 5. Cho phương trình .
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.
Tìm m để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất.
Giải.
ĐK .
Đặt suy ra , thay vào phương trình (1) ta được phương trình: 
Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (2) có nghiệm 
TH1: Phương trình (2) có nghiệm .
TH2: Phương trình (2) có nghiệm 
Kết luận: với thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) có 2 nghiệm thỏa:
Kết luận: Với thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
Để pt (1) có nghiệm duy nhất ta xét 2 trường hợp sau:
TH1: Phương trình (2) có nghiệm .
TH2: Phương trình (2) có nghiệm (vô nghiệm)
Kết luận: với thì pt (1) có nghiệm duy nhất.
Bài 6. Cho phương trình: 
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.
Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất.
Giải.
Phương trình (1) 
Đặt , vì nên ta có điều kiện , thay vào phương trình (2) ta được phương trình: 
Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (3) có nghiệm 
TH1: Phương trình (3) có nghiệm .
TH2: Phương trình (3) có nghiệm .
Kết luận: Với thì phương trình (1) có nghiệm.
Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (3) có 2 nghiệm
 (vô nghiệm)
Kết luận: Không tồn tại m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
Để phương trình (1) có nghiệm duy nhất thì phương trình (3) có đúng 1 nghiệm 
TH1: Phương trình (3) có nghiệm .
TH2: Phương trình (3) có nghiệm .
TH3: Phương trình (3) có nghiệm .
Kết luận: Với thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất.
Bài 7. Cho phương trình: 
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.
Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất.
Giải.
Phương trình (1) tương đương 
Phương trình (2) 
Đặt , vì nên ta suy ra điều kiện . Thay vào phương trình (2) ta được phương trình: 
Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (3) có nghiệm 
TH1: Phương trình (3) có nghiệm .
TH2: Phương trình (3) có nghiệm .
TH3: Phương trình (3) có nghiệm .
Kết luận: Với thì phương trình (1) có nghiệm.
Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (3) có 2 nghiệm : 
Kết luận: Với thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
Để phương trình (1) có nghiệm duy nhất thì phương trình (3) có đúng 1 nghiệm 
TH1: Phương trình (3) có nghiệm .
TH2: Phương trình (3) có nghiệm 
TH3: Phương trình (3) có nghiệm: 
Kết luận: Với thì phương trình có nghiệm duy nhất.
Bài 8. Cho phương trình: 
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.
Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
Tìm m để phương trình (1) có 4 nghiệm.
Giải.
Đặt , khi đó , thay vào phương trình (1) ta được phương trình: 
Để phương trình (1) có nghiệm thì pt (2) có nghiệm .
TH1: Phương trình (3) có nghiệm .
TH2: Phương trình (3) có nghiệm .
Kết luận: Với thì phương trình (1) có nghiệm.
Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn các trường hợp sau:
TH1: Phương trình (2) có 2 nghiệm thỏa .
TH2: Phương trình (2) có 2 nghiệm thỏa (vô nghiệm)
Kết luận: Với thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
c) Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thì pt (2) có nghiệm thỏa: 
Kết luận: Với thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.
C. BÀI TẬP THỰC HÀNH.
Bài 1. Cho phương trình: 
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm .
Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa: .
Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa: .
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm .
Bài 2. Cho phương trình: 
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.
Tìm m để phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt.
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm dương.
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm âm.
Bài 3. Cho phương trình: 
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.
Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
Tìm m để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt.
Tìm m để phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt.
Bài 4. Cho phương trình: 
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.
Tìm m để phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt.
Tìm m để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt.
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất.
Bài 5. Cho phương trình: (1)
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.
Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
Tìm m để phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt.
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất.
Bài 6. Cho phương trình: 
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.
Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất.
Bài 7. Cho phương trình: 
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.
Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất.
Bài 8. Cho phương trình: 
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.
Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất.
KEÁT LUẬN
Khi aùp duïng chuyeân ñeà naøy vaøo giaûng daïy hoïc sinh boä moân Toaùn ôû tröôøng THPT, toâi nhaän thaáy raèng caùc em hoïc sinh raát höùng thuù vôùi moân hoïc, nhiều em cảm thấy bất ngờ khi mà một số bài toán tưởng chừng như không thể giải quyết nếu không có công cụ là định lý đảo về dấu tam thức bậc 2 và các hệ quả, thì nay lại được giải quyết một cách đơn giản, dễ hiểu thông qua một định lý quen thuộc là định lý Vi-et. Chính vì caùc em caûm thaáy höùng thuù vôùi moân hoïc neân trong moãi naêm hoïc toâi nhaän thaáy chaát löôïng cuûa moân Toaùn noùi rieâng, vaø keát quaû hoïc taäp cuûa caùc em hoïc sinh noùi chung ñöôïc naâng leân roõ reät, coù nhieàu em ñaàu naêm hoïc laø hoïc sinh yeáu, TB nhöng cuoái naêm ñaõ vöôn leân ñeå trôû thaønh hoïc sinh TB, khaù vaø gioûi.
TAØI LIEÄU THAM KHAÛO
Phöông phaùp giaûng daïy moân Toaùn.
 Tác giả: Vuõ Döông Thuïy – Nguyeãn Baù Kim – NXB Giaùo duïc .
Giaûi moät baøi taäp nhö theá naøo. 
Tác giả: G.Polya – Nhaø xuaát baûn giaùo duïc.
Trong tâm kiến thức Đại số lớp 10, 12. 
Tác giả: Phan Huy Khải – Nhà xuất bản Giáo dục
Sách giáo khoa Đại số nâng cao 10, 12.
Nhà xuất bản Giáo dục.
MỤC LỤ
Mở đầu..
Nội dung ...........
A. Cơ sở lý thuyết. 
B. Bài tập vận dụng...
C. Bài tập thực hành....................................
Kết quả..
Bài học kinh nghiệm.
Tài liệu tham khảo