Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ trong giải phương trình chứa hai phép toán ngược nhau

I.- Lý do chọn đề tài :
Trong chương trình toán phổ thông chúng ta gặp rất nhiều dạng toán giải phương trình. Đối với mỗi dạng lại có nhiều cách giải khác nhau. Và thông thường ta hay chọn cách giải chính xác và ngắn gọn nhất. Phương pháp đặt ẩn phụ thường dẫn đến thành công với hiệu quả giải toán cao. Song việc chọn ẩn phụ như thế nào để bài toán trở nên đơn giản hơn là vấn đề khó khăn. Trong phạm vi đề tài này tôi muốn đề cập tới việc "Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ trong giải phương trình chứa hai phép toán ngược nhau" trên cơ sở dựa vào tính chất của các hàm số ngược để đưa việc giải phương trình về giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn kiểu II.
II.- Mục đích yêu cầu :
- Làm cho học sinh nắm vững tính chất của hai hàm số ngược nhau và khảo sát sự biến thiên của hàm số.
- Trên cơ sở đó củng cố cách giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn kiểu II.
- Rèn luyện khả năng tư duy logic.
III.- Phương pháp nghiên cứu :
1. Tài liệu tham khảo :
- Phương pháp giải toán mũ và logarit - Lê Hồng Đức.
- Tạp chí toán học và tuổi trẻ từ 2000 - 2005.
- Sách : Phương trình và hệ phương trình của Phạm Thành Luân.
- Đề thi tuyển sinh Đại học năm 1996.
2. Thực tế giảng dạy ở trường phổ thông.
Từ các yếu tố trên đã giúp tôi hoàn thành đề tài của mình với hy vọng làm phong phú thêm môn đại số sơ cấp và góp phần nhỏ bé vào công tác giảng dạy ở trường phổ thông.
IV.- Nội dung :
ở phần này tôi muốn giới thiệu các dạng phương trình chứa hai phép toán ngược nhau và phương pháp giải bài toán tổng quát cho từng dạng. Sau đó là những bài tập áp dụng.
Dạng 1 : Phương trình chứa căn bậc hai và luỹ thừa bậc hai.
1. Bài toán tổng quát :
Giải phương trình :	(I)
Với : 
và	
Giải :	Điều kiện : 
	Đặt :	
Với điều kiện : ta được 	(1)
Khi đó (I) có dạng : 
Từ (1) ta có : 
Ta có hệ phương trình : 	
Lấy (2) - (3) ta được :
Trường hợp 1 : x = y thay vào (1) ta được : 
	Đây là phương trình bậc hai đối với x.
Trường hợp 2 : kết hợp với (1)
	=> Giải hệ phương trình tìm x, y.
2. Bài tập :
Bài 1 : Giải phương trình : 	(4)
Giải : 	Điều kiện : 
Ta có : 	(5)
Đặt : 	(6)
Với điều kiện : ta có :
Khi đó, ta có hệ phương trình :
Lấy (7) - (8) ta được :
	(x - y)(8x + 8y + 9) = 0
* Trường hợp 1 : x = y thay vào (8) ta được :
	 16x2 + 14x - 11 = 0
* Trường hợp 2 : thay vào (8) ta có :
(loại vì điều kiện của y)
	64x2 + 72x - 35 = 0 	
	Vậy phương trình có hai nghiệm : và 
Bài 2 : Giải phương trình : 	(9)
Giải :	Điều kiện : 
Khi đó : 	(9) 	
Đặt : 	(10)
Với điều kiện thì (10) 
Ta có hệ phương trình : 	
Lấy (11) - (12), ta được :
	(x - y)(x + y - 1) = 0
* Trường hợp 1 : x = y thay vào (11) ta được :
(loại)
	 x2 + x - 2 = 0
* Trường hợp 2 : x + y - 1 = 5 Û y = 1 - x Thay vào (11) ta có : 
	 x2 - x - 1 = 0
Vậy phương trình có hai nghiệm : x = - 2 và 
Bài 3 : Giải phương trình :
	(13)
Giải :	Đặt 
(13) 
Điều kiện : 
Đặt với điều kiện ta có : 
Khi đó ta có hệ :	 	
Lấy (14) - (15), ta được :
* Trường hợp 1 : Với X = Y, thay vào (14) ta được :
* Trường hợp 2 : Với thay vào (14), ta có :
(loại)
* Với ta có : 
	 	với 
* Với ta có : 
	 	với 
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm :
	, và 
	, và 
Bài 4 : Giải phương trình : 	(16)
Giải : 	Đặt : 
Khi đó : 
Đặt 
Khi đó : 
Ta có hệ phương trình : 	
Lấy (17) - (18) ta được : 
+ Với ị ta được : 	
Với 
+ Với ta được phương trình : 
Với 
Vậy phương trình có hai nghiệm : và x = 
Bài 5 : Giải phương trình :
	(19)
Giải : 	Đặt 
	Khi đó (19) có dạng : 	
	Điều kiện : 
	Đặt : với 
	Khi đó : 
Ta có hệ phương trình : 	
Lấy (20) - (21) ta được : 
+ Với U = V ta có : U2 - 3U = 0 
Với 
+ Với , ta được phương trình :
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm : 
và 
3. Các bài tập tự giải :
Dạng 2 : Phương trình chứa căn bậc ba và luỹ thừa bậc ba.
1. Bài toán tổng quát :
Giải phương trình :
	(II)
	Với 
	và ; 
Giải : 	Đặt 
	(*)
Ta có (II) 
Ta có hệ phương trình : 	
Lấy (1) - (2) ta được : 
	 hoặc 
Với ; 
Trường hợp 1 : thay vào (*) ta được phương trình bậc 3 :
Trường hợp 2 : 	(3)
Nhận xét : 
Nếu 	c > 0 thì (3) vô nghiệm.
	c < 0 thì giải hệ (*) và (3).
2. Bài tập :
Bài 1 : Giải phương trình :
Giải : 	 Đặt 
Ta có hệ phương trình : 	
Lấy (4) - (5) ta được : 
Thay vào (4) ta được : 
Xét lớp phương trình dạng : 
Bài 2 : Giải phương trình :
	(5)
Giải :
	(5) 
 Đặt : 
	(6)
Ta có hệ phương trình :
Lấy (7) - (8) ta được :
Thay vào (6) ta được : 	 
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm : 
Bài 3 : 	Giải phương trình :
Giải :
	Đặt : ; 	Điều kiện : 
Ta có phương trình : 	(9)
Đặt : 
Thay vào (9) ta được : 
Ta có hệ phương trình : 	
Lấy (10) - (11) ta được :
Thay vào (10) ta được : 
Thay ta được : 	 
	,	
Xét lớp dạng : 
Bài 4 : Giải phương trình :
Giải :	Đặt : ,	
Ta có phương trình : 
Đặt : 	 
Ta có hệ phương trình : 	
Lấy (11) - (12) ta được :
Thay vào (12) ta được : 	
 Với 	
3. Bài tập tự giải :
Những khó khăn mà học sinh thường gặp là vấn đề chọn số a2, b2 thoả mãn điều kiện :
	a2 = a1c + d
	b2 = b1c + e
Dạng 3 : 	Phương trình dạng :
 	(III)
1.- Bài toán tổng quát :
Giải phương trình 
Với là hàm số đồng biến trên 
Giải : 	Đặt 
Ta có : 
Do là hàm số đồng biến trên nên là hàm số đồng biến trên .
Ta có hệ phương trình : 	
Giả sử D = Dx = Dy khi đó từ (1) và (2) 
	(3)
Do là hàm số đồng biến là hàm số đồng biến.
Nên từ (3) 
Thay vào (1), ta có : 
Xét hàm số : 
Sử dụng định lý Rôn : Nếu lồi hoặc lõm trên D thì phương trình nếu có nghiệm thì có không quá hai nghiệm .
Giải phương trình tìm nghiệm của 
(Chỉ cần chỉ ra 2 nghiệm thoả mãn )
2. Bài tập :
Bài 1 : Giải phương trình :
	(4)
Giải :	Điều kiện : 
Đặt 
Khi đó (4) 
Ta có hệ phương trình : 	
Lấy (5) - (6) ta được : 	
Đặt : 
Ta có : ,	
	 là hàm số đồng biến.
Khi đó, từ (7) ta có : x = y
Thay vào (5), ta có : 
Đặt trên 
	, 	
 là lõm trên D
Theo định lý Rôn : Phương trình nếu có nghiệm thì có không quá 2 nghiệm.
Nhận thấy : g(3) = g(1) = 0
 phương trình : có 2 nghiệm là 3 và 1.
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là 1 và 3.
Bài 2 : Giải phương trình :
	với 
Giải :
	Đặt 	;	 
Ta có hệ phương trình : 	
Lấy (8) - (9) ta được :
Đặt 
Ta có : ,	
	 là hàm số đồng biến trên 
Nên phương trình (10) 
Thay vào phép đặt ta có : 	
Đặt : 
Ta có : ,	
	 là hàm số nghịch biến trên 
Và do 
Bảng biến thiên của hàm số 
x
-1
0
1
f'(x)
-
0
-
f(x)
0
Vậy phương trình có nghiệm x = 0
Kết luận : Phương trình đã cho có nghiệm x = 0
Bài 3 : Giải phương trình :
Giải :
	Đặt : 
Ta có hệ phương trình : 	
Lấy (11) - (12) ta được :
Trường hợp 1 : Với x = y thì (11) có dạng : 	
Trường hợp 2 : Với 
Khi đó (11) có dạng : 	
Vậy phương trình có 4 nghiệm : ;	;	;	
Bài 4 : Giải biện luận phương trình :
	Với 
Giải : 	Đặt : 
Ta có hệ : 	
Lấy (13) - (14) ta có :
Trường hợp 1 : Với x = y thì (14) có dạng :
+ thì (15) vô nghiệm.
+ thì (15) có nghiệm kép 
+ thì (15) có 2 nghiệm phân biệt : 
Trường hợp 2 : Với thì (13) có dạng :
	(16)
+ thì (16) vô nghiệm.
+ thì (16) có nghiệm kép : 
+ thì (16) có 2 nghiệm phân biệt : 
Kết luận : + phương trình đã cho vô nghiệm.
	 + phương trình đã cho có nghiệm kép 
	 + phương trình đã cho có nghiệm kép 
	 + : Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
3. Bài tập tự giải :
	với 
	với và 
Cho phương trình :
	Tìm điều kiện của a, b, c để phương trình trên vô nghiệm.
Dạng 4 : Phương trình mũ và logarit
1. Bài toán tổng quát :
Giải phương trình :
	(IV)
Với ; ; ; 
Giải : 	Điều kiện : 
	Đặt : 
Ta có hệ phương trình : 	
Lấy (1) - (2) ta được :
	(3)
Xét hàm số : trên D.
Nếu đơn điệu trên D thì từ (3) suy ra : 
Thay vào (1) ta có : 
Đặt : 
Có thể sử dụng bất đẳng thức Becnuli hoặc định lý Rôn để giải phương trình 
2. Bài tập :
Bài 1 : Giải phương trình :
Giải :
Điều kiện : 
Đặt : 
Ta có hệ phương trình : 	
Lấy (5) - (6) ta được :
	(7)
Đặt : 
Ta có : 
 luôn đồng biến trên R.
Vậy (7) 
Thay vào (5) ta được : 
Xét hàm số : trên 
Ta có : 	
	,	
 luôn lõm trên 
Theo định lý Rôn : Phương trình nếu có nghiệm thì có không quá 2 nghiệm.
Nhận thấy : 
Vậy phương trình có 2 nghiệm : x = 0 và x = 1.
Bài 2 : Giải phương trình :
	(8)
Giải :	Điều kiện : 
(8) 	(9)
Đặt : 
Khi đó (9) 
Ta có hệ phương trình :	
Lấy (10) - (11) ta được :
	(12)
Xét hàm số : 
Ta có : ,	
 luôn đồng biến nên (12) 
Thay vào (10) ta có phương trình : 
Xét hàm số : trên 
Ta có : 	
	, 	
 luôn lõm trên D.
Theo định lý Rôn : Phương trình nếu có nghiệm thì có không quá 2 nghiệm.
Nhận thấy : 
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm : x = 1 và x = 2.
Bài 3 : Giải phương trình :
	(13)
Giải :
	Điều kiện : 
Đặt : , điều kiện : 
Khi đó, (13) có dạng : 
Đặt : 
Ta có hệ phương trình :	
Lấy (14) - (15) ta được :
	(16)
Đặt : 
Ta có : , 	
 là hàm số đồng biến nên (16) 
Thay vào (14) ta được : 
Xét phương trình : trên 
Ta có : 	
Bảng biến thiên : 
t
-1
0
1
f'(t)
-
0
+
f(t)
0
Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0
Vậy phương trình đã cho có nghiệm : x = 0
3. Bài tập tự giải :
Với : 
Với : 
V.- Kết luận :
Xuất phát từ thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy khi giải phương trình có chứa các hàm số ngược nhau học sinh thường gặp nhiều khó khăn. Sau khi nghiên cứu tính chất của các hàm số ngược nhau tôi thấy có nhiều thú vị và nhất là khi vận dụng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng, do đó tôi đã viết đề tài này với mong muốn giúp học sinh tìm ra phương pháp giải tối ưu.
Mặc dù tôi rất cố gắng nhưng không tránh khỏi những thiếu xót. Rất mong sự góp ý của bạn đọc nhất là các bạn đồng nghiệp. Rất mong các đồng nghiệp sẽ tiếp tục nghiên cứu để làm phong phú hơn đề tài.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
	Triệu Sơn, ngày 10 tháng 4 năm 2006
 Giáo viên thực hiện
Ngô Xuân