SKKN Phát triển một số tư duy Toán học cho học sinh THPT thông qua các câu hỏi, bài tập mở trong chương trình Hình học 11

ao cho đường thẳng đó song 
song với đường thẳng đã cho. Tiếp theo, ta đi xác định khoảng cách giữa hai 
đường thẳng song song và tính độ dài khoảng cách đó. 
Hoạt động 2: Thảo luận dẫn đến khái niệm khoảng cách từ một điểm đến một mặt 
phẳng (Quy trình thảo luận này tương tự như Hoạt động 1 của Tình huống 1). 
* Tình huống 2: Thảo luận dẫn đến khái niệm khoảng cách giữa đường thẳng và 
mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song. 
Họat động 1: Thảo luận dẫn đến khái niệm khoảng cách giữa đường thẳng và mặt 
phẳng song song. 
a) Các câu hỏi mở cần nêu: 
1) Em quan niệm như thế nào về khái niệm khoảng cách giữa đường thẳng 
và mặt phẳng song song? 
2) Các ý kiến sau đúng hay sai? Vì sao? 
Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song là: 
Ý kiến 1: Độ dài đoạn thẳng nối 2 điểm bất kỳ tương ứng trên đường thẳng 
và trên mặt phẳng. 
Ý kiến 2: Độ dài đoạn vuông góc chung của đường thẳng và mặt phẳng song 
song. 
Ý kiến 3: Khoảng cách giữa mặt phẳng đi qua đường thẳng và song song với 
mặt phẳng đã cho. 
Ý kiến 4: Khoảng cách giữa mặt phẳng bất kỳ chứa đường thẳng đó với mặt 
phẳng đã cho. 
Ý kiến 5: Khoảng cách giữa đường thẳng đã cho với một đường thẳng bất kỳ 
nằm trong mặt phẳng. 
Ý kiến 6: Khoảng cách giữa đường thẳng đã cho với một đường thẳng song 
song nằm trong mặt phẳng. 
3) Nêu các cách xác định và tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt 
phẳng song song? 
b) Tiêu chuẩn thi đua: Giáo viên cũng phát phiếu học tập cho học sinh, từng 
nhóm làm việc và trả lời vào phiếu chung của nhóm để nộp cho giáo viên chấm. 
c) Thảo luận nhóm: Dự kiến các tình huống trong thảo luận nhóm. 
+ Trong quá trình học sinh trao đổi kiến thức, sẽ có nhiều ý kiến tranh luận 
khác nhau và sẽ có một số học sinh chỉ dựa vào khái niệm trong SGK nên có thể 
bỏ qua những ý kiến khác. 
+ Khi cần thiết thì giáo viên phải có câu hỏi gợi ý như: em hãy xét mối quan 
hệ giữa các ý kiến và nhận xét các ý kiến đó? 
 56 
d) Kết luận vấn đề: Giáo viên cùng tất cả các nhóm trong lớp kết luận về 
khái niệm khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song. 
1. Quan niệm về khái niệm khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng 
song song là: khoảng cách từ điểm bất kỳ của đường thẳng đến mặt phẳng và lưu ý 
rằng khoảng cách đó là độ dài ngắn nhất từ đường thẳng đến mặt phẳng, số đo đó 
phải là duy nhất, đặc trưng cho vị trí cụ thể của đường thẳng và mặt phẳng song 
song. 
2. Nhận định những ý kiến đã đưa ra về định nghĩa khoảng cách giữa đường 
thẳng và mặt phẳng song song. 
Ý kiến 1: Không đúng, vì có nhiều số đo khác nhau của các đoạn thẳng như vậy. 
Ý kiến 2: Đúng, vì số đo đoạn vuông góc chung là duy nhất và là số đo nhỏ nhất so 
với độ dài các đoạn thẳng nối 2 điểm bất kỳ trên đường thẳng và mặt phẳng song 
song. 
Ý kiến 3: Đúng, vì số đo khoảng cách của hai mặt phẳng song song đó bằng số đo 
giữa đường thẳng và mặt phẳng song song. 
Ý kiến 4: Không đúng, vì có thể hai mặt phẳng đó không song song với nhau, do đó 
chúng có nhiều số đo khoảng cách. 
Ý kiến 5: Không đúng, vì khoảng cách giữa đường thẳng đã cho với đường thẳng 
bất kỳ trong mặt phẳng song song có vô số số đo khoảng cách. 
Ý kiến 6: Đúng, vì hai đường thẳng này song song với nhau và khoảng cách giữa 2 
đường thẳng song song chính là khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng chứa 
đường thẳng song song. 
Kết luận: Có 3 cách xác định và tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt 
phẳng song song. 
Cách 1: Tìm đường vuông góc chung, rồi tính độ dài đoạn vuông góc chung 
đó. 
Cách 2: Tìm khoảng cách giữa mặt phẳng đi qua đường thẳng với mặt phẳng 
song song. 
Cách 3: Tìm khoảng cách giữa đường thẳng nằm trong mặt phẳng và đường 
thẳng này song song với đường thẳng đã cho. 
Hoạt động 2: Thảo luận dẫn đến khái niệm khoảng cách giữa hai mặt phẳng song 
song (Quy trình thảo luận này tương tự như Hoạt động 1 của Tình huống 2). 
* Tình huống 3: Tiếp cận khái niệm đường vuông góc chung của hai đường thẳng 
chéo nhau (Học hợp tác nhóm nhỏ bằng con đường cùng nhau kiến thiết). 
a) Nhiệm vụ học tập: 
Phiếu học tập 1: Cho 2 đường thẳng a, b chéo nhau nằm trong 2 mặt phẳng 
song song với nhau (P) và (Q). Hỏi: 
 57 
1) Có bao nhiêu đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng a và b ? 
 2) Có bao nhiêu đường thẳng cắt đường thẳng a và vuông góc với hai 
đường thẳng a, b. 
3) Có bao nhiêu đường thẳng cắt và vuông góc hai đường thẳng a, b. Nêu 
cách vẽ đường thẳng đó. 
4) Nêu cách dựng đường thẳng cắt và vuông góc cả hai đường thẳng chéo 
nhau bất kỳ. 
 a 
b 
 b) Hoạt động tư duy trong thảo luận nhóm: GV phát phiếu học tập cho từng 
cá nhân và nhóm. Cá nhân tìm hiểu nhiệm vụ và trả lời những phần mình biết (thời 
gian 5 phút). Sau đó thảo luận trong nhóm. 
 Dự kiến các tình huống trong thảo luận nhóm. 
 + HS cho rằng: không có, có một, có nhiều và có vô số đường thẳng 
có tính chất trên. 
 + Dự kiến câu hỏi gợi ý khi cần thiết: em hãy nhận xét về vị trí của 2 
đường thẳng a, b? Một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng nằm trong 
mặt phẳng sẽ có khả năng, có mối quan hệ gì với mặt phẳng đó? 
 c) Hợp thức hóa khái niệm, khắc sâu khái niệm (dùng máy chiếu để 
minh họa cho kết luận). GV đề nghị đại diện các nhóm phát biểu kết luận của 
nhóm mình, toàn lớp cùng GV rút ra kết luận. 
 Kết luận vấn đề: 
 1) Có vô số đường thẳng vuông góc với cả 2 đường thẳng a, b. Đó là 
tất cả các đường thẳng vuông góc với cả 2 mặt phẳng (P) và (Q). 
 d d d 
 a 
 b 
Hình 45 
Hình 46 
 58 
2) Có vô số đường thẳng vuông góc với cả hai đường thẳng a, b và cắt đường 
thẳng a. Đó là tất cả các đường thẳng vẽ từ một điểm bất kỳ trên đường thẳng a và 
vuông góc với mặt phẳng (Q) d d d 
 a 
 P 
 b 
 Q 
3) Có duy nhất đường thẳng d cắt và vuông góc cả hai đường thẳng đó. 
 Cách vẽ đường thẳng d: 
- Dựng a’ là hình chiếu vuông góc của a trên mặt phẳng (Q). 
- Tìm B là giao điểm của a’ và b. 
- Từ B, dựng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (Q). Khi đó, d là đường 
thẳng thỏa mãn tính chất trên. Qua phép dựng thì d là đường thẳng duy nhất. 
 d 
 A N M 
 a 
 b B N’ 
 a’ M’ 
 Q 
 4) Cách dựng đường thẳng cắt và vuông góc cả hai đường thẳng chéo nhau 
a, b bất kỳ. 
- Dựng mặt phẳng (Q) đi qua đường thẳng b và (Q) // a. 
- Dựng a’ là hình chiếu vuông góc của a trên mặt phẳng (Q). 
Hình 47 
Hình 48 
 59 
- Tìm B là giao điểm của a’ và b. 
- Từ B, dựng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (Q). Qua phép dựng thì 
đường thẳng d là duy nhất. 
 d A a 
 M N 
 B 
 M’ N’ a’ 
 Q b 
Khắc sâu khái niệm đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau. 
1) Định nghĩa đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau. 
2) Tồn tại: có duy nhất một đường vuông góc chung của 2 đường thẳng 
chéo nhau. 
* Tình huống 4: Thảo luận dẫn đến khái niệm khoảng cách giữa hai đường thẳng 
chéo nhau (bằng con đường cùng nhau kiến thiết). 
a) Nhiệm vụ thảo luận hợp tác 
1) Em quan niệm như thế nào về khái niệm khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo 
nhau? 
2) Các ý kiến sau đúng hay sai? Giải thích? 
Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau là: 
Ý kiến 1: Độ dài đoạn thẳng nối 2 điểm bất kỳ tương ứng trên 2 đường thẳng. 
Ý kiến 2: Độ dài đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau. 
Ý kiến 3: Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song tương ứng chứa 2 đường thẳng 
chéo nhau. 
Ý kiến 4: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng bất kỳ lần lượt chứa 2 đường thẳng chéo 
nhau. 
Ý kiến 5: Khoảng cách giữa đường thẳng a với mặt phẳng song song với nó và 
chứa đường thẳng b. 
Ý kiến 6: Khoảng cách giữa đường thẳng b với mặt phẳng song song với nó và 
chứa đường thẳng a. 
Ý kiến 7: Khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng này đến mặt phẳng song song 
với nó và chứa đường thẳng kia. 
Hình 49 
 60 
3) Nêu các cách xác định và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau? 
b) Tiêu chuẩn thi đua: GV phát phiếu học tập cho HS, từng nhóm làm việc và trả 
lời vào phiếu chung của nhóm để nộp cho GV chấm. 
c) Thảo luận nhóm: Dự kiến các tình huống trong thảo luận nhóm 
+ Sẽ có nhiều ý kiến tranh luận khác nhau (một số sẽ chỉ dựa vào quan điểm 
riêng của mình nên sẵn sàng bỏ qua các ý kiến khác). 
+ Dự kiến câu hỏi gợi ý khi cần thiết: hãy xét mối quan hệ giữa các ý kiến 
đề ra và nhận xét sự giống, khác nhau của các ý kiến đó. 
d) Kết luận vấn đề: Cả lớp cùng GV kết luận về khái niệm khoảng cách giữa 2 
đường thẳng chéo nhau. 
1. Quan niệm về khái niệm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là: 
độ dài ngắn nhất nối hai điểm tương ứng trên hai đường thẳng đó. Số đo đó phải là 
duy nhất, đặc trưng cho vị trí cụ thể của hai đường thẳng đã cho. 
2. Nhận định ý kiến đã đưa ra về định nghĩa khoảng cách giữa hai đường 
thẳng chéo nhau. 
Ý kiến 1: Không đúng, vì có nhiều số đo khác nhau của các đoạn thẳng như vậy. 
Ý kiến 2: Đúng, vì số đo đoạn vuông góc chung là duy nhất và là số đo nhỏ nhất so 
với độ dài các đoạn thẳng nối 2 điểm bất kỳ trên 2 đường thẳng đó. 
Ý kiến 3: Đúng, vì số đo khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song bằng số đo đoạn 
vuông góc chung. 
Ý kiến 4: Không đúng, vì có nhiều cặp mặt phẳng bất kỳ đi qua 2 đường thẳng chéo 
nhau đó và khoảng cách giữa chúng khác nhau. 
Ý kiến 5: Đúng, vì khoảng cách đó bằng độ dài đoạn vuông góc chung. 
Ý kiến 6: Đúng, vì giống ý kiến 5 (do vai trò 2 đường thẳng chéo nhau và 2 mặt 
phẳng đó là như nhau). 
Ý kiến 7: Đúng, vì khoảng cách đó bằng khoảng cách giữa đường thẳng này với 
mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng kia. 
Kết luận: Có 4 cách xác định và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo 
nhau. 
Cách 1: Tìm đường vuông góc chung, rồi tính độ dài đoạn vuông góc chung đó. 
Cách 2: Tìm khoảng cách giữa đường thẳng này với mặt phẳng song song với nó 
và chứa đường thẳng kia. 
Cách 3: Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song tương ứng chứa hai đường 
thẳng chéo nhau. 
 61 
Cách 4: Tìm khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng này tới mặt phẳng song 
song với nó và chứa đường thẳng kia. 
* Tình huống 5: Củng cố các khái niệm bằng cách nhận dạng và thể hiện cách xác 
định khoảng cách giữa: một điểm và một đường thẳng; một điểm và một mặt 
phẳng; đường thẳng và mặt phẳng song song; hai mặt phẳng song song; hai đường 
thẳng chéo nhau, trong một bài toán cụ thể (bằng hợp tác các cách suy luận khác 
nhau của mỗi thành viên trong nhóm). 
Hoạt động 1: Củng cố khái niệm khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, 
đến một mặt phẳng. 
GV thiết kế thành dạng bài toán để HS được thực hiện hoạt động nhận dạng 
và thể hiện, khắc sâu 2 khái niệm đã học. Nhu cầu hợp tác được nảy sinh do HS 
phải thực hiện giải nhiều bài toán trong thời gian ngắn. Trong trường hợp này, GV 
đưa ra các bài ở các mức độ khó dễ khác nhau với dụng ý để mọi HS đều có thể 
đóng góp công sức của mình cho nhóm. 
Ví dụ 6: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Chứng minh rằng các 
khoảng cách từ các điểm B, C, D, A’, B’, D’ đến đường chéo AC’ đều bằng nhau. 
Tính khoảng cách đó? 
Lời giải: 
Cách 1: Xét ABC’, nhận thấy tam giác này vuông tại B và có AB = a; 
BC’= 2a . Độ dài đường cao BI là khoảng cách từ B tới đường thẳng AC’. Do đó: 
.
2
3
2
11
'
111
222222 aaaBCABBI
 Ta tính được 
3
6a
BI  . 
Khoảng cách từ các điểm B, C, D, A’, B’, D’ đến đường chéo AC’ đều bằng 
nhau vì chúng đều là độ dài đường cao của các tam giác vuông bằng nhau. 
Cách 2: ')''(
'
ACBDAACCBD
AABD
ACBD






 (1) 
Tương tự, ta có '')''('
'
''
ACBADCABBA
ADBA
ABBA






 (2) 
Từ (1) và (2) suy ra: )'(' BDAAC  . 
Hình 50 
D C 
A 
A’ 
B 
B’ 
D’ 
 62 
Gọi I là giao điểm của đường thẳng AC’ với mặt phẳng (A’BD). Ta có A’BD 
là một tam giác đều. Các tam giác vuông AIA’, AIB, AID bằng nhau vì có một cạnh 
góc vuông và một cạnh huyền bằng nhau từng đôi một. Do đó ta có A’I = BI = DI 
nghĩa là khoảng cách từ các điểm A’, B, D đến đường chéo AC’ đều bằng nhau. 
Vậy I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều A’BD, do đó I cũng là trọng tâm 
và cũng là trực tâm của tam giác đều A’BD có cạnh bằng 2a . 
Ta suy ra DIIA
a
BDBI  '
3
6
2
3
3
2
. 
Tương tự, ta chứng minh được AC’ vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác 
đều CB’D’ tại trọng tâm H của tam giác đều đó. Ta có CH, B’H, D’H đều vuông 
góc với AC’ và CH = B’H = D’H = 
3
6a
. 
 D C 
 A B 
 I 
 D’ C’ 
 A’ B’ 
Ví dụ 7: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a, BC=b, CC’=c. Tính 
khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACC’A’). 
Lời giải: 
Cách 1: Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ BH AC tại H thì BH (ACC’A’). Khi 
đó BH là khoảng cách từ B tới mặt phẳng (ACC’A’). Xét tam giác vuông ABC ta 
có: 
22
22
2222
11111
ba
ba
baBCABBH

 . 
Hình 51 
 63 
Do đó 
22 ba
ab
BH

 . 
Cách 2: Lấy mặt phẳng (P) bất kỳ đi qua BB’, sao cho mặt phẳng (P) song 
song với mặt phẳng (ACC’A’). Khi đó khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng 
(ACC’A’) chính là khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (ACC’A’). 
Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ BH AC tại H thì BH (ACC’A’) và BH (P). 
Do đó BH là khoảng cách ngắn nhất giữa hai mặt phẳng song song (ACC’A’) và 
(P). 
Đến đây chúng ta tính BH tương tự như Cách 1 và suy ra 
22 ba
ab
BH

 . 
 D H C 
 A B 
 a c 
 D’ C' 
 A’ B’ 
Hoạt động 2: Củng cố khái niệm khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng 
song song, giữa hai mặt phẳng song. 
Ở phần củng cố này, chúng tôi thiết kế những bài toán ở những mức độ khác 
nhau để HS tư duy suy nghĩ và trao đổi thảo luận trong thời gian ngắn. Sau đây 
chúng tôi xin được giới thiệu và đề xuất hai bài toán liên quan đến hai khái niệm 
trên như sau: 
Ví dụ 8: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi I, J lần lượt là các 
trung điểm của các cạnh AB, C’D’. Hãy xác định và tính khoảng cách giữa IJ và 
mặt phẳng (BCC’B’). 
Ví dụ 9: Cho hình chóp cụt tam giác đều ABC.A’B’C’, có các cạnh bên là AA’, BB’, 
CC’ và AA’=BB’=CC’= a, ABC là đáy lớn, ABC có các cạnh độ dài b,  A’B’C’ 
có các cạnh độ dài c. Hãy xác định và tính khoảng cách giữa mặt phẳng (ABC) và 
mặt phẳng (A’B’C’). 
Hoạt động 3: Củng cố khái niệm đường vuông góc chung của hai đường thẳng 
chéo nhau và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. 
Ở phần củng cố này chúng tôi thiết kế thành dạng bài toán để HS thực hiện 
hoạt động nhận dạng và thể hiện, khắc sâu hai khái niệm vừa học. 
Yêu cầu học sinh giải bài toán sau: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ 
cạnh a. Xác định và tính khoảng cách giữa các đường thẳng sau: 
Hình 52 
 64 
1) AD’ và CB’; 2) D’B’ và AM (M là trung điểm DC); 3) A’B’ và AD 
Lời giải: 
Câu 1) Xác định và tính khoảng cách giữa AD’ và CB’? 
Cách 1: Nhận xét: AD’  mp(ADD’A’), CB’  mp(BCC’B’), 
Mà (ADD’A’) // (BCC’B’), nên d(AD’;CB’) = d(ADD’A’); (BCC’B’) = AB = a. 
Cách 2: Dựng đường vuông góc chung II’. Khi đó d(AD’;CB’) = I I’ = AB = a. 
 D M C 
 A 
 B 
 I I’ 
 D’ C’ 
 A’ B’ 
Câu 2) Xác định và tính khoảng cách giữa D’B’ và AM? 
 D M C D I M C 
 A B A B 
 D’ C’ D’ M’ C’ 
 A’ B’ A’ I’ B’ 
Cách 1: Nhận xét D’B’  (A’B’C’D’), AM  (ABCD). 
Mà (A’B’C’D’) // (ABCD) 
Nên d(D’B’; AM) = d((A’B’C’D’); (ABCD)) = AA’ = a. 
Cách 2: Dựng đường vuông góc chung II’ (theo các bước dựng) 
Khi đó d(D’B’; AM) = II’ =AA’ = a. 
Cách 3: Nhận xét D’B’//(ABCD) (do D’B’ (A’B’C’D’)//(ABCD) ) 
Nên d(D’B’; AM) =d (D’;(ABCD)) = D’D = a. 
Hình 53 
Hình 54 
 65 
Câu 3) Xác định và tính khoảng cách giữa A’B’ và AD? 
Cách 1: Nhận thấy A’A là độ dài đoạn vuông góc chung của A’B’ và AD. 
Nên d(A’B’; AD) = A’A = a. 
Cách 2: Nhận xét: A’B’  (A’B’C’D’), AD  (ABCD). 
Mà (A’B’C’D’) //(ABCD) 
Nên d(A’B’; AD)=d((A’B’C’D’);(ABCD))=A’A=B’B=C’C=D’D=a. 
Cách 3: Nhận xét: A’B’ //(ABCD) mà AD  (ABCD). Nên 
d(A’B’;AD)=d(A’B’;(ABCD)) = A’A = D’D = a. 
* Tình huống 6: Củng cố và giao bài tập về nhà (HS cùng GV để kết luận, 
khắc sâu nội dung đã học). 
Kết luận: 
- Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (đến một mặt phẳng) là 
khoảng cách ngắn nhất từ điểm đó đến đường thẳng (đến mặt phẳng). 
- Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song là khoảng cách từ 
một điểm bất kỳ của đường thẳng đến mặt phẳng. 
- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm 
bất kỳ của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. 
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài ngắn nhất nối hai 
điểm lần lượt nằm trên 2 đường thẳng chéo nhau đó. 
- Đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau là đường thẳng 
vuông góc và cắt cả 2 đường thẳng chéo nhau (đường thẳng đó là duy nhất). 
- Cách tìm khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau: 
Cách 1: Tìm độ dài đường vuông góc chung. 
Cách 2: Tìm khoảng cách từ một điểm bất kỳ của đường thẳng này đến mặt 
phẳng song song với đường thẳng kia. 
Cách 3: Tìm khoảng cách từ một điểm bất kỳ của mặt phẳng chứa đường 
thẳng này đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng kia. 
Cách 4: Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường 
thẳng đó. 
 66 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. Văn Như Cương, Phạm Khắc Ban, Tạ Mân (2007), Bài tập Hình học 11 (nâng 
cao), Nxb Giáo dục. 
[2]. G.Polya (1997), Giải bài toán như thế nào? Nxb Giáo dục. 
[3]. Nguyễn Thái Hoè (2003), Rèn luyện tư duy qua việc giải bài tập toán, Nxb 
Giáo dục. 
[4]. Jean Piaget (2001), Tâm lí học và Giáo dục học, Nxb Giáo dục, Hà Nội. 
[5]. Nguyễn Bá Kim (2006), Phương pháp dạy học môn Toán. Nxb Đại học sư 
phạm. 
[6]. Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy, Phạm Văn Kiều (1997), Phát triển lí luận 
dạy học môn toán, Nxb Giáo dục, Hà Nội. 
[7]. Phan Trọng Ngọ (2005), Dạy học và phương pháp dạy học trong nhà trường, 
Nxb Đại học sư phạm. 
[8]. Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Khắc Ban, Tạ Mân (2007), Hình học 11 
(nâng cao), Nxb Giáo dục. 
[9]. Đào Tam (2005), Phương pháp dạy học hình học ở trường phổ thông, Nxb Đại 
học sư phạm. 
[10]. Tôn Thân, (1995), Xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập nhằm bồi dưỡng một 
số yếu tố tư duy sáng cho học sinh khá và giỏi Toán ở trường THCS Việt Nam, 
Luận án tiến sĩ Giáo dục học. 
 67 
MỤC LỤC 
 Trang 
PHẦN 1: ĐẶT VẤN ĐỀ.. 1 
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI SKKN 1 
II. NHỮNG VẤN ĐỀ ĐƯỢC NÊU TRONG ĐỀ TÀI.. 2 
PHẦN 2: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 4 
I. CƠ SỞ KHOA HỌC... 4 
1. Cơ sở lý luận.. 4 
a) Câu hỏi, bài tập đóng 4 
b) Câu hỏi, bài tập mở... 4 
2. Cơ sở thực tiễn... 4 
a) Dạy học sử dụng câu hỏi, bài tập mở nhìn theo quan điểm của lí thuyết 
dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề... 4 
b) Dạy học sử dụng câu hỏi, bài tập mở nhìn theo quan điểm của lí thuyết 
dạy học kiến tạo.. 7 
c) Dạy học sử dụng câu hỏi, bài tập mở nhìn theo quan điểm của lí thuyết 
dạy học khám phá.. 9 
II. MỘT SỐ BIỆN PHÁP NHẰM PHÁT TRIỂN MỘT SỐ TƯ DUY 
TOÁN HỌC THÔNG QUA DẠY HỌC HÌNH HỌC LỚP 11 BẰNG CÂU 
HỎI, BÀI TẬP MỞ ... 12 
1. Sử dụng câu hỏi, bài tập mở trong việc phát huy tính tích cực, phát triển 
năng lực kiến tạo và khám phá kiến thức cho học sinh.. 12 
a) Sử dụng câu hỏi, bài tập mở trong việc phát huy tính tích cực học tập 
của học sinh 12 
b) Sử dụng câu hỏi, bài tập mở để phát triển năng lực dự đoán và phát 
hiện vấn đề; khả năng liên tưởng và chuyển di các liên tưởng.. 15 
c) Sử dụng câu hỏi, bài tập mở để phát triển năng lực định hướng và tìm 
tòi cách thức giải quyết vấn đề, tìm lời giải bài toán. 17 
d) Sử dụng câu hỏi, bài tập mở để phát triển năng lực huy động kiến thức 
giải quyết vấn đề. 18 
 68 
 2. Xây dựng câu hỏi, bài tập mở và vận dụng vào giảng dạy một số nội 
dung trong chương trình Hình học 11 hiện hành 20 
a) Đặc điểm của sách giáo khoa chương trình Hình học 11 hiện hành 20 
b) Các biện pháp xây dựng câu hỏi, bài tập mở trong dạy học Hình học 11... 21 
c) Tổ chức dạy học Toán theo hướng sử dụng câu hỏi, bài tập mở 37 
III. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM... 46 
1. Tổ chức thực nghiệm. 46 
2. Kết luận chung về thực nghiệm. 48 
3. Đánh giá ưu điểm và hạn chế khi sử dụng câu hỏi, bài tập mở thông qua 
thực nghiệm sư phạm. 49 
PHẦN III. KẾT LUẬN 51 
I. Ý nghĩa của Đề tài.. 51 
II. Các kiến nghị, đề xuất 51 
PHỤ LỤC... 52 
TÀI LIỆU THAM KHẢO. 66