SKKN Phát triển bài toán thành các bài toán mới nhằm phát huy năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh Trung học Phổ thông

2 6
3
ABCD AH AM SH     , 2 2 10 3HC SC SH   
12 3.AC  6 7.BC  
41 
Xét tam giác 
2 2 2 1
cos .
2 . 3
SA SC AC
SAC ASC
SASC
 
    
Xét tam giác 
2 2 2
01cos 60 .
2 . 2
SB SC BC
SBC BSC BSC
SB SC
 
       
 Bài toán mới được hình thành bằng cách thay đổi giả thiết. Để giải 
quyết được vấn đề đặt ra học sinh cần áp dụng bài toán gốc. 
 Từ các bài toán mới này sáng tạo thành bài toán tương tự bằng cách 
thay đổi giả thiết. 
Bài toán mới 2.1: 
Cho khối đa diện .S ABCD có 
6, 18SA SB SD SC    và 
060 ,ASB BSC DSA BSD       
,ASC  
1
cos .
3
   Tính thể tích 
khối đa diện .S ABCD . 
GY: Từ giả thiết ta có .S ABD là tứ diện đều cạnh bằng 6 , H là tâm của 
tam giác ABD  ( ).SH ABCD 
 Ta có 2 2 2 2 . .cos 12 3,AC SA SC SASC AC     
2 2 2 02 . .cos 60 6 7,BC SB SC SB SC BC    
3
cos
2
BAC  
0 030 60 .BAC CD BC SBC SCD CSD          
2
3 0 2 0
. . .
6 .18
18 2 1 2cos 60 3 cos 60 72 2.
6S ABCD S ABD S BCD
V V V       
Bài toán mới 2.2: 
Cho khối đa diện .S ABCD bằng cách ghép 
nối hai khối chóp tam giác .S ABD và .S BCD lại 
với nhau (hình vẽ). Biết 6, 4,SA SB  2,SD  
18,SC  060 ,ASB BSC DSA BSD      
,ASC  
1
cos .
3
  Tính thể tích 
.
.
S ABCD
V 
GY: Trên tia SB lấy điểm 'B , trên tia SD lấy điểm 'D sao cho 
0' ' 6 ' ' 60 .SB SD C SD    
Do đó thể tích khối đa diện .S ABCD là 
. .
16 2.
S ABD S BCD
V V V   
Bài toán gốc 3: Cho hình chóp 
.S ABC có SA SB SC a   và 
060 ,ASB  090 ,BSC  0120 .CSA  
Xác định tâm I và tính bán kính mặt cầu 
ngoại tiếp hình chóp . .S ABC 
42 
GY: , 2, 3AB a BC a AC a ABC     vuông tại .B Gọi H là 
trung điểm của AC  H là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC và 
( ).SH ABC 
Tâm I mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABC thuộc đường thẳng SH và 
IA IS IC I   là tâm đường tròn ngoại tiếp SAC , bán kính mặt cầu bằng 
bán kính đường tròn ngoại tiếp SAC và .
2 sin
AC
R a
ASC
 

 Bài toán mới được hình thành bằng cách thay đổi giả thiết, bài toán 
mới trở thành vấn đề khó. Để giải quyết được vấn đề đặt ra học sinh cần áp 
dụng bài toán gốc. 
 Từ các bài toán mới này sáng tạo thành bài toán tương tự bằng cách 
thay đổi giả thiết. 
Bài toán mới 3.1: Cho hình 
chóp .S ABC có ,SA SB a  
2SC a và 060 ,ASB  
090 ,BSC  0120 .CSA  Xác 
định tâm I và tính bán kính mặt 
cầu ngoại tiếp hình chóp . .S ABC 
GY: Gọi 'C là trung điểm của SC và J là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình 
chóp . ' .S ABC Gọi ,E F lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp 
, ( ),SAB SAC EJ SAB    gọi K là hình chiếu vuông góc của B lên 
( ).AC BK SAC  Gọi 
1 2
,d d lần lượt là trục đường tròn ngoại tiếp 
1 2
, ,SAB SAC d EJ d    đi qua F và 
2
/ / .d BK Đường thẳng 
1 2
,d d cắt nhau 
tại ,I I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . .S ABC 
Ta có ' / /C I SK J là trung điểm của KI . Gọi 
1 6
{ }
4 12
a
G EI BK IJF GJK IF GK BK          . Ta có 7AC a 
0
21
32 sin120
AC a
SF FA FC     . Bán kính mặt cầu 
2 2 38 .
4
a
R IS SF IF    
Bài toán mới 3.2: Cho hình chóp 
.S ABC có , 2 , 3SA a SB a SC a   và 
060 ,ASB  090 ,BSC  0120 .CSA 
Xác định tâm I và tính bán kính mặt 
cầu ngoại tiếp hình chóp . .S ABC 
43 
GY: Lấy điểm ', 'B C lần lượt thuộc tia ,SB SC thỏa mãn ' 'SB SC a  
và J là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . ' ' .S AB C Gọi , , 'E F B lần lượt là tâm 
đường tròn ngoại tiếp ', , ( '),SAB SAC SAB EJ SAB     gọi K là hình 
chiếu vuông góc của 'B lên ( ).AC BK SAC  Gọi 
1 2
,d d lần lượt là trục 
đường tròn ngoại tiếp ,SAB SAC  , do đó 
1
d đi qua ',B
1
/ /d EJ và 
2
d đi qua 
F , 
2
/ / ' .d B K Đường thẳng 
1 2
,d d cắt nhau tại ,I I là tâm mặt cầu ngoại tiếp 
hình chóp . .S ABC 
Gọi 
1
{ } ' ' ,
4
G EJ B K GK B K   
1
3
KJ KF , ' ,B K KF IF KF  
1 6
' .
4 12
a
IF B K   Ta có 13AC a 
0
39
32 sin120
AC a
SF FA FC     . 
Bán kính mặt cầu 2 2
70
.
4
a
R IS SF IF    
Bài toán gốc 4: Cho hình chóp 
.S ABC có SA SB SC a   và 
060 ,ASB  090 ,BSC  0120 .CSA 
Tính thể tích khối chóp . .S ABC 
GY: Ta có , 2, 3AB a BC a CA a ABC     vuông tại .B Gọi H 
là hình chiếu vuông góc của S lên ( )ABC SAH SBH SCH     
HA HB HC H    là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC H  là trung 
điểm của .AC 
2 3
.
1 2 1 2
. , . .
2 2 2 3 12ABC S ABC ABC
a a a
S AB BC SH V SH S
 
      
 Bài toán mới được hình thành bằng cách dựng hình, thay đổi giả 
thiết kết luận. Để giải quyết được vấn đề đặt ra học sinh cần áp dụng bài toán 
gốc. 
Bài toán mới 4.1: Cho lăng trụ 
. ' ' 'ABC A B C có S là trung điểm của 
cạnh 'BB thỏa mãn SA SB SC a   
và 060 ,ASB  090 ,BSC  
0120 .CSA  Tính thể tích khối lăng trụ 
. ' ' ' .ABC A B C 
GY: Thể tích khối lăng trụ . ' ' 'ABC A B C là 
3
. ' ' ' .
2
6 .
2ABC A B C S ABC
a
V V  
44 
Bài toán mới 4.2: Cho lăng trụ 
. ' ' 'ABC A B C có S là trung điểm của cạnh 
'AA thỏa mãn SA SB SC a   và 
060 ,ASB  090 ,BSC  góc giữa hai 
mặt phẳng ( )SBC và ( )ABC bằng 045 . 
Tính thể tích khối lăng trụ . ' ' ' .ABC A B C 
GY: Thể tích khối lăng trụ . ' ' 'ABC A B C là 
3
. ' ' ' .
2
6 .
2ABC A B C S ABC
a
V V  
4. Hệ thống câu hỏi trắc nghiệm tự ôn luyện. 
Câu 1. Cho hình chóp .S ABC có ,SA a 2 ,SB a 3SC a , 
090 ,SAB BSC   060 .CSA  Thể tích khối chóp .S ABC bằng 
 A. 
32
.
12
a
 B. 
32
.
2
a
 C. 
33
.
2
a
 D. 3.a 
Câu 2. Cho hình chóp .S ABC có SA SB SC a   và 060 ,ASB  
090 ,BSC  0120 .CSA  Gọi H là trung điểm của ,AC M là điểm thay đổi 
trên đoạn thẳng .AB Gọi  là góc tạo bởi SM và  .ABC Giá trị nhỏ nhất của 
cos bằng. 
 A. 
6
.
3
 B. 
3
.
2
 C. 
6
.
2
 D. 
3
.
3
Câu 3. Cho khối chóp .S ABC có ,SA SB SC  060 ,ASB  
090 ,BSC  0120 .CSA  Gọi ,M N lần lượt là hai điểm trên cạnh AB và SC 
sao cho .
CN AM
SC AB
 Khi độ dài MN nhỏ nhất, tính thể tích V của khối chóp 
. .S AMN 
 A. 
32
.
72
a
V  B. 
35 2
.
72
a
V  C.
35 2
.
432
a
V  D. 
32
.
432
a
V  
Câu 4. Cho hình chóp .S ABC có đáy 
là tam giác vuông tại ,B 2 ,SA SB a  
060 ,ASB  090 ,BSC  góc giữa hai mặt 
phẳng ( )SBC và ( )ABC bằng 045 . Diện tích 
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABC bằng 
A. 28 .a B. 216 a . 
 C. 24 .a D. 232 a . 
45 
Câu 5. Cho hình chóp .S ABC có đáy 
là tam giác vuông tại ,B 2 ,SA SB a  
060 ,ASB  090 ,BSC  góc giữa SB và 
( )ABC bằng 045 . Gọi  là góc giữa hai mặt 
phẳng ( )SAB và ( ),SBC giá trị cos bằng 
A. 
3
.
3
 B. 
1
.
3
 C. 
2
.
3
 D. 
6
.
3
Câu 6. Cho khối chóp .S ABC , đáy ABC là 
tam giác có 3 2,AB  12,AC  045 ,BAC  
cạnh bên SA vuông góc với đáy, 12.SA  Gọi ( ) 
là mặt phẳng đi qua đỉnh A vuông góc với cạnh 
SC , mặt phẳng ( ) chia khối chóp .S ABC thành 2 
khối đa diện có thể tích 
1 2
,V V (trong đó 
1
V là thể 
tích khối đa diện chứa đỉnh S ). Tỷ số 1
2
V
V
 bằng 
 A. 2. B. 
1
.
3
 C. 
1
2
 D. 
2
.
3
Câu 7. Cho khối chóp .S ABC , đáy ABC là 
tam giác có 1,AB  2,AC  0120 ,BAC  cạnh bên 
SA vuông góc với đáy, 2.SA  Gọi ( ) là mặt phẳng 
đi qua đỉnh A vuông góc với cạnh SC , mặt phẳng 
( ) chia khối chóp .S ABC thành 2 khối đa diện có 
thể tích 
1 2
,V V (trong đó 
1
V là thể tích khối đa diện 
chứa đỉnh S ). Tỷ số 1
2
V
V
 bằng 
 A. 
3
.
2
 B. 
2
.
3
 C. 
1
2
 D. 2. 
Câu 8. Cho hình chóp .S ABC có SA vuông 
góc với đáy, 2SA BC và 0120 .BAC  Gọi ,E F 
lần lượt là hình chiếu của A lên các cạnh , .SB SC 
Góc giữa hai mặt phẳng ( )AEF và ( )ABC bằng. 
A. 060 . B. 030 . 
C. 045 . D. 015 . 
46 
Câu 9. Cho hình chóp .S ABC , đáy ABC là tam 
giác có 2,AB a 6 ,AC a 045 ,BAC  cạnh bên 
SA vuông góc với đáy. Gọi ,H K lần lượt là hình 
chiếu vuông góc của A lên cạnh bên , .SA SB Bán kính 
mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện .ABCKH bằng 
 A. 13.a B. 26.a 
 C. 3 .a D. 2.a 
Câu 10. [THPT Nguyễn Đức Cảnh – Thái Bình - 2021] Cho tam giác 
ABC có 0, 135 .BC a BAC  Trên đường thẳng vuông góc với ( )ABC tại A 
lấy điểm S thỏa mãn 2SA a . Hình chiếu vuông góc của S trên ,SB SC lần 
lượt là , .M N Góc giữa hai mặt phẳng ( )ABC và ( )AMN bằng. 
A. 075 . B. 030 . C. 045 . D. 060 . 
Câu 11. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD 
là hình thang vuông tại A và B , ,AB BC a  
2AD a , 2 3SA a và SA vuông góc với đáy (tham 
khảo hình vẽ). Mặt phẳng ( )P đi qua A vuông góc với 
SD chia khối chóp thành 2 khối đa diện, gọi 
1
V là thể 
tích khối đa diện chứa đỉnh ,S
2
V là thể tích khối đa diện 
còn lại. Tỷ số thể tích 1
2
V
V
 bằng 
A. 
5
.
7
 B. 
5
.
2
 C. 
3
.
5
 D. 
7
.
5
 Câu 12. Cho khối chóp .S ABC có 2,AB  
2 2,AC  0135 ,BAC  090 ,SBA SCA   góc 
giữa cạnh SB và mặt phẳng ( )ABC bằng 045 (tham 
khảo hình vẽ). Thể tích khối chóp .S ABC bằng 
A. 
4 2
.
3
 B. 4 2. C. 12. D. 4. 
Câu 13. Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam 
giác vuông cân tại ,B 2 ,AB a 10,SA a 
090 ,SAB  .SBC SCB  Khoảng cách giữa hai 
đường thẳng AC và SB bằng 
 A. 
3
.
3
a B. 2 3 .a C. 
2 3
.
3
a D. 3 .a 
47 
Câu 14. Cho hình chóp .S ABC có 
đáy là tam giác cân tại ,B ,AB a 
0120 ,ABC  090 ,SAB SCB   góc 
giữa hai đường thẳng SA và BC bằng 060 . 
Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và 
SB bằng 
 A. 
6
.
6
a
 B. 
30
.
10
a
 C. 
15
.
10
a
 D. 
6
.
4
a
Câu 15. Cho tứ diện ABCD có 3, 4,BC CD  
090 .ABC BCD ADC     Góc giữa hai đường thẳng AD và BC bằng 
060 . Cosin góc giữa hai mặt phẳng ( )ABC và ( )ACD bằng 
 A. 
43
.
86
 B. 
2 43
.
43
 C. 
4 43
.
43
 D. 
43
.
43
Câu 16. Cho hình chóp .S ABC có , 3, 2AB a AC a SB a   và 
090 .ABC SAB BCS     Biết sin của góc giữa đường thẳng SB và mặt 
phẳng ( )SAC bằng 
11
,
11
 tính thể tích V của khối chóp . .S ABC 
 A. 
36
.
6
a
V  B. 
36
.
3
a
V  C. 
33
.
9
a
V  D. 
32 3
.
9
a
V  
Câu 17. [Liên trường Nghệ An - 2020] Cho tứ diện ABCD có 2 ,BC a 
,CD a 090 ,ABC ADC ACD     góc giữa AB và mặt phẳng ( )BCD 
bằng 060 . Tính khoảng cách giữa AC và .BD 
 A. 
6
.
31
a
 B. 
2 6
.
31
a
 C. 
2 3
.
31
a
 D. 
3
.
31
a
 Câu 18. [HSG Phú Thọ - 2018] Cho tứ diện ABCD có đáy BCD là tam 
giác vuông cân tại ,C , 3,BC a AC a  090 .ABC ADC   Góc giữa hai 
mặt phẳng ( )ABC và ( )BCD bằng. 
 A. 030 . B. 045 . C. 060 . D. 075 . 
Câu 19. [Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa - 2021] Cho tứ diện ABCD có 
, ,ABC ABD ACD là các tam giác vuông tương ứng tại , ,A B C . Góc giữa AD và 
( )ABC bằng 045 ,AD BC , khoảng cách giữa AD và BC bằng .a Thể tích V 
của khối tứ diện ABCD bằng 
 A. 
3 3
.
6
a
V  B. 
34 3
.
3
a
V  C. 
3 2
.
6
a
V  D. 
34 2
.
3
a
V  
Câu 20. Cho tứ diện ABCD có đáy ABC là tam giác thỏa mãn 
0, 5, 135 ,AB a AC a ABC   090 .DAB CBD   Biết góc giữa hai mặt 
48 
phẳng ( )ABD và ( )BCD bằng 030 . Thể tích V của khối tứ diện ABCD bằng 
 A. 
3 2
.
2
a
V  B. 
3 2
.
6
a
V  C. 
3
.
6
a
V  D. 
3 3
.
6
a
V  
Câu 21. [Cụm liên trường Hải Phòng - 2019] Cho hình chóp .S ABC có 
đáy ABC là tam giác đều cạnh ,a 090 .SAB SCB   Gọi M là trung điểm 
của cạnh .SA Khoảng cách từ A đến ( )SBC bằng 
6
.
7
a
 Tính thể tích 
.
.
S ABC
V 
 A. 
35 3
.
12
a
V  B. 
35 3
.
6
a
V  C. 
34 3
.
3
a
V  D. 
37 3
.
12
a
V  
Câu 22. [THPT Gia Bình – Bắc Ninh - 2021] Cho hình chóp .S ABCD 
có đáy ABCD là hình thang, // ,AB CD 2 , ,AB a AD CD CB a    
090 ,SAD SBD   góc giữa hai mặt phẳng ( )SAB và ( )SBD bằng  thỏa mãn 
5
cos .
5
  Thể tích V của khối chóp .S ABC là 
 A. 
3 6
.
18
a
V  B. 
3 2
.
6
a
V  C. 
3 6
.
6
a
V  D. 
3 3
.
6
a
V  
Câu 23. Cho khối lăng trụ . ' ' 'ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông 
tại ,A 1, 2,AB BC  0 0' 90 , ' 120 .CBB ABB   Gọi M là trung điểm của 
' .AA Biết 
7
( ', ) .
7
d AB CM  Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng 
 A. 2 2. B. 
4 2
.
9
 C. 4 2. D. 
4 2
.
3
Câu 24. Cho khối lăng trụ . ' ' 'ABC A B C đáy 
ABC là tam giác vuông tại 
,B 1,AB  2,BC  0 0' 60 , ' 45 .ABB B BC   
Gọi M là trung điểm của cạnh 'BB . Biết khoảng 
cách giữa AB và CM bằng 
6
3
 (tham khảo hình 
bên), thể tích khối lăng trụ . ' ' 'ABC A B C bằng 
 A. 
2
.
2
 B. 2. C. 
3
.
2
 D. 
2
.
4
Câu 25. Cho khối đa diện .S ABCD bằng cách ghép nối hai khối chóp 
tam giác .S ABD và .S BCD lại với nhau (hình vẽ). Biết 6, 4,SA SB  2,SD  
15SC  và 
1
, cos ,
3
ASC    060 .ASB BSC DSA BSD       
Tính thể tích khối đa diện .S ABCD bằng 
 A. 15 2. B. 16 2. C. 14 2. D. 12 2. 
49 
Câu 26. Cho hình chóp .S ABC có ,
2
a
SA SB a SC   và 060 ,ASB  
090 ,BSC  0120 .CSA  Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABC 
bằng. 
 A. 
38
.
8
a
R  B. 
38
.
4
a
R  C. 
38
.
2
a
R  D. 
38
.
16
a
R  
Câu 27. [SGD Bắc Ninh – 2019] Cho tứ diện SABC có trọng tâm .G 
Mặt phẳng ( )P quay xung quanh AG cắt các cạnh ,SB SC lần lượt tại ', ' .B C 
Giá trị nhỏ nhất của tỷ số . ' '
.
S AB C
S ABC
V
V
 bằng 
 A. 
4
.
9
 B. 
3
.
8
 C. 
1
.
3
 D. 
1
.
2
Câu 28. Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại ,A 
3 , ,AB a AC a  mặt phẳng ( )SBC vuông góc với đáy. Biết các mặt phẳng 
( ),( )SAB SAC lần lượt tạo với đáy các góc ,  thỏa mãn 090 .   Thể tích 
khối chóp .S ABC có giá trị lớn nhất bằng 
 A. 
33
.
4
a
 B. 
33
.
13
a
 C. 
33 2
.
10
a
 D. 
33
.
8
a
Câu 29. Trong không gian với hệ tọa độ ,Oxyz cho hai điểm (10;6; 2),A  
(5;10; 9)B  và mặt phẳng ( ) : 2 2 12 0.P x y z    Gọi ( ; ; )M a b c là điểm di 
động trên mặt phẳng ( )P sao cho ,MA MB tạo với mặt phẳng ( )P các góc ,  
thỏa mãn 090 .   Khi biểu thức 4T MA MB  đạt giá trị lớn nhất, giá trị 
của biểu thức a b c  bằng 
 A. 15. B. 3. C. 5. D. 13. 
Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độ ,Oxyz cho các điểm (2;2;0),A 
( 2;0;2).B  Gọi ( )S là mặt cầu đường kính .AB ,Ax By là hai tiếp tuyến của mặt 
cầu ( )S thỏa mãn Ax vuông góc với By . Gọi ,M N là hai điểm di động trên 
,Ax By sao cho đường thẳng MN luôn tiếp xúc với mặt cầu ( ).S Giá trị của 
biểu thức .T AM BN bằng. 
 A. 6.T  B. 3.T  C. 12.T  D. 24.T  
Câu 31. Trong không gian với hệ tọa độ ,Oxyz cho ba điểm ( 2;0;0),A  
(0; 2;0),B  (0;0; 2).C  Các điểm ', ', 'A B C lần lượt trên ba cạnh , ,OAOB OC thỏa 
mãn 4
' ' '
OA OB OC
OA OB OC
   và khối tứ diện ' ' 'OA B C có thể tích nhỏ nhất. Mặt 
phẳng ( ) : 1 0P ax by cz    đi qua 3 điểm ', ', ' .A B C Tính .T a b c   
 A. 
9
.
2
T  B. 4.T   C. 2.T   D. 3.T   
50 
Câu 32. Trong không gian với hệ tọa độ ,Oxyz cho điểm (4; 4;2)A  và 
mặt phẳng ( ) : 2 2 0.P x y z   Gọi M là một điểm nằm trên ( ),P N là trung 
điểm của ,OM H là hình chiếu của O lên .AM Biết rằng khi M thay đổi thì 
đường thẳng HN luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định. Tính bán kính R của 
mặt cầu đó. 
 A. 2 3.R  B. 3.R  C. 3 2.R  D. 6.R  
Câu 33. Trong không gian với hệ tọa độ ,Oxyz cho mặt phẳng 
( ) : 2 2 15 0.P x y z    Gọi M là điểm di động trên ( ),P N là điểm thuộc tia 
OM sao cho . 10.OMON  Khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng ( )P có giá 
trị nhỏ nhất bằng. 
 A. 4. B. 5. C. 2. D. 3. 
Câu 34. Trong không gian với hệ tọa độ ,Oxyz cho hai điểm 
(9;0;0), (4; 3;6)A B  và mặt cầu 2 2 2( ) : 9.S x y z   Điểm ( ; ; )M a b c thuộc mặt 
cầu (S) sao cho 3P MA MB  đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị biểu thức 
T a b c   bằng 
 A. 3.T   B. 1.T  C. 3.T  D. 5.T  
Câu 35. Trong không gian với hệ tọa độ ,Oxyz cho hai điểm 
(5;5;1), (6; 3;6)A B  và mặt phẳng ( ) : 2 2 3 0.P x y z    Biết tập hợp các điểm 
M trên mặt phẳng ( )P sao cho các đường thẳng ,MA MB cùng tạo với ( )P các 
góc bằng nhau là một đường tròn tâm ( ; ; ).I a b c Biểu thức T a b c   bằng 
 A. 7.T  B. 5.T  C. 5.T   D. 19.T  
Câu 36. Cho ba số phức 
1 2
, ,z z z thỏa mãn 
1 2
| | | | 3 2z z  và 
1 2
| | 6.z z  
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
1 2
| | | | | |T z z z z z     . 
 A. 3 3 3.T   B. 3 3 2.T   C. 2 2 3.T   D. 2 2 2.T   
ĐÁP ÁN 
Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
Đáp án B A C B B D A B A C B D 
Câu 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 
Đáp án C C B A C B D C B C A A 
Câu 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 
Đáp án C A A A B A C D D C B A 
51 
KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 
 Trong quá trình giải bài toán hình học không gian tôi thấy có những khó 
khăn trong dựng hình, định hướng lời giải; giải thích, lập luận; tổng quát hóa 
bài toán; đặc biệt là tự đặt câu hỏi bài toán này được hình thành từ bài toán gốc 
như thế nào? Việc dạy học thông qua giải từng bài toán hình học không gian 
đơn lẻ, thiếu hệ thống không phát huy hết năng lực tư duy và lập luận toán học 
cho học sinh, học sinh gặp khó khăn khi gặp một bài toán mới. 
 Sau khi nghiên cứu, bản thân đã hệ thống được một số bài toán gốc phát 
triển thành những bài toán hình học không gian, tổng quát hóa, tương tự hóa 
những bài toán đó. Việc tổ chức dạy học theo hướng kiến tạo đã phát huy được 
tính tích cực, chủ động, tự giác của học sinh; học sinh hứng khởi hơn; sáng tạo 
hơn trong quá trình giải quyết các vấn đề nảy sinh; từ đó giúp học sinh hình 
thành và phát triển được năng lực tư duy và lập luận toán học. 
 Sau khóa học, trải nghiệm các bài tập hình học không gian, học sinh tiến 
bộ hơn; tự lập và tương tác tốt hơn; tự tin hơn và chủ động hơn; sáng tạo và 
đam mê môn toán hơn. 
PHẦN III. KẾT LUẬN 
 I. NHỮNG KẾT LUẬN. 
 Trong đề tài này tôi đã nêu được cơ sở lý luận về năng lực toán học; 
phương pháp dạy học phát huy năng lực tư duy và lập luận toán học cho học 
sinh. 
 Trong dạy học phát huy năng lực tư duy và lập luận toán học giúp học 
sinh tìm được phương pháp giải bài tập, giúp học sinh biết tương tự hóa, tổng 
quát hóa thành các bài toán mới. 
 Đề tài đã hệ thống các dạng bài tập từ dễ đến khó, bài tập được xây 
dựng thành thuật toán để giải quyết; bài tập được tương tự hóa, đặc biệt hóa, 
và tổng quát hóa. 
 Đề tài có thể xây dựng và phát triển thành hệ thống các bài toán hình 
học không gian, là tài liệu tham khảo cho học sinh và giáo viên. 
 II. NHỮNG KIẾN NGHỊ ĐỀ XUẤT. 
 Trong dạy học phát huy năng lực tư duy và lập luận toán học cho học 
sinh, giáo viên cần xây dựng bài giảng thành hệ thống những bài tập có 
phương pháp và quy trình giải toán; xây dựng bài tập từ dễ đến khó; xây dựng 
hệ thống bài tập theo hướng tổng quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa. 
 Phương pháp dạy học phải phát huy được tính tích cực, tự giác của học 
sinh, trong đó học sinh tìm tòi, phát hiện, suy luận giải quyết vấn đề; đặc biệt 
hóa, tổng quát hóa, tương tự hóa các dạng bài tập. 
 Thanh Chương, ngày 20 tháng 3 năm 2021. 
 Tác giả
52 
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 
TT Tên Nhà xuất bản 
[1] Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán 
(Trong chương trình Giáo dục phổ thông 
2018) 
Trường ĐH sư phạm Hà 
Nội, năm 2019 
[2] Phát triển năng lực tư duy cho học sinh phổ 
thông trong dạy học giải toán – Tác giả: ThS 
Bùi Thị Hường 
Tạp chí giáo dục số 309 
năm 2013. 
[3] Dạy học phát triển năng lực giao tiếp toán 
học cho học sinh trung học phổ thông thông 
qua biểu diễn trực quan toán học 
Tạp chí giáo dục số 369 
năm 2015. 
[4] Hình học 11, 12 (SGK) Bộ Giáo dục và Đào tạo 
[5] Đề thi TN THPT môn Toán năm 2017, 2018, 
2019, 2020 
Bộ Giáo dục và Đào tạo 
[6] Đề minh họa, tham khảo môn Toán của Kỳ 
thi TN THPT môn Toán năm 2017, 2018, 
2019, 2020 
Bộ Giáo dục và Đào tạo 
[7] Đề thi thử THPT quốc gia môn Toán năm 
2017, 2018, 2019, 2020 
Internet 
[8] Đề thi HSG các tỉnh/thành phố Internet 
[9] Một số tài liệu liên hệ giữa hình học phẳng 
và hình học không gian 
Internet 
53 
ĐÁNH GIÁ CỦA TỔ CHUYÊN MÔN 
ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG