SKKN Một số giải pháp rèn kỹ năng giải toán ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể tròn xoay trong ôn thi THPT Quốc gia

hông đổi dấu trên thì ta có : 
Nhận xét: Trong khi giải toán ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng, học sinh thường không kiểm tra điều kiện không đổi dấu của f(x) trên [a;b] mà đưa ra công thức ngay dẫn đền sai lầm.
b. Rèn kĩ năng phân tích, tổng hợp giải một số ví dụ về tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số với trục hoành
Ví dụ 1: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trục hoành, các đường thẳng .
Phân tích: Ở ví dụ này các em chỉ cần nhớ công thức tính diện tích hình phẳng là có thể tính được diện tích. Hoặc sử dụng công thức tính diện tích tam giác vuông. Cần chú ý: Nếu không đổi dấu trên [a ; b] thì ta có : 
Bài giải:
Cách 1: xét dấu của để bỏ dấu giá trị tuyệt đối
Nhận xét: 
Gọi S là diện tích cần tìm : (đvdt)
Cách 2: (không dựa vào đồ thị)
Gọi S là diện tích cần tìm : 
 (đvdt)
Cách 3: Sử dụng máy tính điện tử tính tích phân 
Ví dụ 2: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trục hoành và hai đường thẳng .
 	Phân tích: Rõ ràng bài này các em chỉ cần áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng , tuy nhiên để khử trị tuyệt đối có hai cách (Dùng đồ thị hoặc xét xem trên đoạn hàm số có đổi dấu hay không)
Bài giải: Cách 1: Nhận xét: ; 
Gọi S là diện tích cần tìm : 
 (đvdt)
Đồ thị
Cách 2: (không dựa vào đồ thị)
 không đổi dấu trên đoạn 
Gọi S là diện tích cần tìm: 	 (đvdt)
Chú ý: Cho phương trình tìm nghiệm trên giả sử các nghiệm đó là ( với ). thì trên mỗi khoảng biểu thức không đổi dấu
 Khi đó 
Cách 3: Sử dụng máy tính Casio tính 
Ví dụ 3: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trục hoành , trục tung và đường thẳng .
Phân tích: Rõ ràng hàm số có hai nghiệm nên khi tính tính phân ta phải chia trường hợp.
Cách 1: Nhận xét: ; 
Gọi S là diện tích cần tìm: 
 (đvdt)
Đồ thị
Cách 2: (không dựa vào đồ thị)
Gọi S là diện tích cần tìm: 
 	 .
Cách 3: Sử dụng máy tính Casio tính 
Nhận xét: Đối với bài tập này học sinh thường gặp sai lầm khi xây dựng công thức tính sai: 
Khắc phục: Học sinh phải nắm rõ: Nếu không đổi dấu trên [a ; b] thì ta có : 
Ví dụ 4: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C): với trục hoành (Ox).
Phân tích: Xác định giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành là nghiệm của PT:
Hướng dẫn giải: 	
Gọi S là diện tích:
Đồ thị
1.1.2. Một số bài tập rèn kĩ năng xây dựng công thức tính tích phân từ đồ thị hàm số cho trước 
Ví dụ 5: Cho hàm số liên tục trên đoạn . Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị , trục hoành, hai đường thẳng , (như hình vẽ dưới đây).
Giả sử là diện tích hình phẳng . Chọn công thức đúng trong các phương án cho dưới đây?
A. .	B. .
C. .	D. 
Lời giải
Chọn B
Giải theo phương pháp tự luận
+ Nhìn đồ thị ta thấy:
Đồ thị cắt trục hoành tại 
Trên đoạn , đồ thị ở dưới trục hoành nên 
Trên đoạn , đồ thị ở trên trục hoành nên 
+ Do đó: 
Ví dụ 6: Cho đồ thị hàm số trên đoạn như hình vẽ ở bênvà có diện tích . Tính tích phân 
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải:
Chọn A
Ta có . 
Ví dụ 7: Cho hàm số có đồ thị . Biết rằng đồ thị tiếp xúc với đường thẳng tại điểm có hoành độ âm và đồ thị hàm số cho bởi hình vẽ dưới đây:
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị và trục hoành.
A. .	B. .	C. .	D. 
Lời giải:
Chọn B
Giải theo phương pháp tự luận
Từ đồ thị suy ra .
.
Do tiếp xúc với đường thẳng tại điểm có hoành độ âm nên .
Suy ra 
Xét phương trình .
Diện tích hình phẳng cần tìm là: .
Kết luận: Để làm tốt dạng toán này đòi hỏi học sinh phải nhớ tính chất, hiểu rõ cách xây dựng công thức tính diện tích, thể tích từ hình vẽ, đòi hỏi học sinh phải biết đọc và nhận xét dấu của hàm số từ đồ thị cho trước.
1.2 Giải pháp 2: Tăng cường rèn kỹ năng giải toán tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số.
1.2.1 Rèn năng lực tổng hợp kiến thức tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số
Cho hai hàm số có đồ thị là (C1), có đồ thị là (C2). Nếu hai đồ thị (C1) và (C2) có điểm chung là điểm M thì cặp số là nghiệm của hệ phương trình (1)
- Hoành độ x0 của điểm chung M là một nghiệm của phương trình (*)
+ Giải phương tình (*) ta sẽ được hoành độ của giao điểm của hai đồ thị.
+ Phương trình (*) được gọi là PT hoành độ giao điểm của hai đồ thị. Thay x = x0 vào một trong hai phương trình của hệ (1) ta tìm được tung độ của giao điểm.
Ví dụ 8: Tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số và .
Hướng dẫn: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị của hai hàm số:
Vậy hai đồ thị trên cắt nhau tại hai điểm phân biệt ; 
1.2.2 Rèn năng lực tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số.
Khi tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thì hàm số cần rèn luyện cho các em biến đổi theo các bước.
+) Bước 1: Tìm hoành độ giao điển của hai đồ thị (bước này thực hiện để tìm cận của tích phân)
+) Bước 2: Sử dụng công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: và và đường , : .
Ví dụ 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường và . 
Hướng dẫn: Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình:
Gọi S là diện tích cần tìm: 
Đồ thị
Cách 1. ( Dựa vào đồ thị ): 
 	 (đvdt) 
Cách 2. ( Không dựa vào đồ thị )
 (đvdt)
Ví dụ 10 Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số và hai đường thẳng 
Lời giải:
Cách 1: Dựa vào hình vẽ ta thấy diện tích hình phẳng cần tìm là:
Cách 2: Sử dụng máy tính để nhận được kết quả của tích phân rồi so sánh với các đáp án.
Ví dụ 11: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số trục tung và đường thẳng 
Lời giải:
Cách 1: Từ hình vẽ: Diện tích hình phẳng cần tìm là:
Vì 
Nên 
Cách 2: Sử dụng máy tính để tính 
Kết luận: Giải theo phương pháp tự luận ta có thể vẽ hình và nhìn thấy rõ trên đoạn đồ thị hàm số nào nằm trên đồ thị hàm số nào nên có thể phá dấu giá trị tuyệt đối ngay; nếu không vẽ hình, ta đẩy dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài nếu trên đoạn đang xét biểu thức trong dấu trị tuyệt đối không đổi dấu; còn trong trường hợp giải theo trắc nghiệm, ta chỉ cần bấm máy có cả dấu giá trị tuyệt đối.
1.3 Giải pháp 3: Tăng cường rèn kỹ năng giải toán tính thể tích vật thể tròn xoay
1.3.1 Rèn năng lực tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay một hình phẳng quanh trục hoành
Thể tích của một vật thể tròn xoay được tạo bởi một hình phẳng giới hạn bởi các đường: , trục hoành, hai đường thẳng và quay quanh trục , được tính theo công thức: 
Ví dụ 12: Tính thể tích của một vật thể tròn xoay được tạo bởi một hình phẳng giới hạn bởi các đường: và quay quanh trục hoành.
Hướng dẫn giải
Gọi V1 là thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường: quay quanh trục
Đồ thị
 (đvtt)
Gọi V2 là thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường: quay quanh trục
 (đvtt)
Gọi V là thể tích cần tìm: (đvtt)
Ví dụ 13: Thể tích của một vật thể tròn xoay được tạo bởi một hình phẳng giới hạn bởi các đường: và quay quanh trục 
Hướng dẫn giải.
Gọi V1 là thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường: quay quanh trục
 (đvtt)
Đồ thị
Gọi V2 là thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường: quay quanh trục: (đvtt)
Gọi V là thể tích cần tìm: (đvtt) 
Ví dụ 14[đề 101-THPTQG 2018] Cho hai hàm số và . Biết rằng đồ thị của hàm số và cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là ; ; (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Chọn C.
Diện tích hình phẳng cần tìm là
.
Trong đó phương trình là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số và .
Phương trình có nghiệm ; ; nên
.
Vậy .
1.3.2 Một số bài toán ứng dụng thực tế của tích phân 
Bài toán 1. Bác Năm làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét. Giá thuê mỗi mét vuông là 1500000 đồng. Vậy số tiền bác Năm phải trả là:
A. 33750000 đồng.	B. 12750000 đồng. 	C. 6750000 đồng. 	D.3750000
Hướng dẫn giải
Gắn parabol và hệ trục tọa độ sao cho đi qua . Gọi phương trình của parbol là (P):
 Theo đề ra, đi qua ba điểm ,,.
Từ đó, suy ra 
Diện tích phần Bác Năm xây dựng: 
Vậy số tiền bác Năm phải trả là: (đồng). Chọn đáp án C
Bài toán 2. Một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc . Quãng đường mà vật chuyển động từ thời điểm đến thời điểm mà vật dừng lại là 
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải
Chọn B.
Khi vật dừng lại thì 
Suy ra: 
Bài toán 3. Một khối cầu có bán kính là , người ta cắt bỏ hai phần của khối cầu bằng hai mặt phẳng song song cùng vuông góc đường kính và cách tâm một khoảng để làm một chiếc lu đựng nước (như hình vẽ). Tính thể tích mà chiếc lu chứa được.
A. 	 B. 	
C. 	 D. 
Hướng dẫn giải: Cách 1: Trên hệ trục tọa độ , đường tròn . 
Ta thấy nếu cho nửa trên trục của quay quanh trục ta được mặt cầu bán kính bằng 5. Diện tích giới hạn bởi nửa trên trục của , trục , hai đường thẳng quay xung quanh trục ta sẽ được khối tròn xoay chính là phần cắt đi của khối cầu trong đề bài. Ta có 
 Nửa trên trục của có phương trình 
 Thể tích vật thể tròn xoay khi cho quay quanh là: 
. Thể tích khối cầu là: 
Thể tích cần tìm: . 
Chọn D
Cách 2: Hai phần cắt đi có thể tích bằng nhau, mỗi phần là một chỏm cầu có thể tích  
Vậy thể tích của chiếc lu là ..
Bài toán 4. Có một vật thể là hình tròn xoay có dạng giống như một cái ly như hình vẽ dưới đây. Người ta đo được đường kính của miệng ly là và chiều cao là . Biết rằng thiết diện của chiếc ly cắt bởi mặt phẳng đối xứng là một parabol. Tính thể tích của vật thể đã cho.
A. 	B. 
C. 	D. 
Hướng dẫn giải: Chọn gốc tọa độ trùng với đỉnh của parabol Vì parabol đi qua các điểm và nên parabol có phương trình Ta có . 
Khi đó thể tích của vật thể đã cho là Chọn đáp án A
2. Đánh giá kết quả thu được
2.1 Tính mới, tính sáng tạo
2.1.1. Ưu điểm
Thông qua một số giải pháp trình bày trong sáng kiến chúng tôi thấy rằng có một số ưu điểm rèn được các năng lực sau đây cho học sinh:
- Rèn kỹ năng tính diện tích phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành.
- Rèn kỹ năng tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số. Rèn năng lực tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số.
- Rèn kỹ năng tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay một hình phẳng quanh trục hoành.
- Giải một số bài toán ứng dụng thực tế của tích phân. Học sinh có được hình vẽ trực quan trong các bài toán tính diện tích, thể tích.
- Có được giải pháp cụ thể khi tính giải toán ứng dụng của tích phân tính diện tích, thể tích trong hình học. Dạng bài tập tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành. Dạng bài tập tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số. Dạng bài tập tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay một hình phẳng quanh trục hoành.
- Xây dựng đề kiểm tra dạng trắc nghiệm, có đáp án biểu điểm, giúp học sinh tiếp cận với cách thức thi THPT quốc gia mới của Bộ giáo dục và đào tạo.
- Đưa được một số bài toán ứng dụng thực tế dạng trắc nghiệm có hướng dẫn giải để học sinh tiếp cận với những bài toán ứng dụng thực tế để ôn luyện chuẩn bị kỳ thi THPT Quốc gia năm 2019.
2.1.2. Nhược điểm
- Do thời gian thực hiện sáng kiến còn ngắn và phạm vi, đối tượng áp dụng còn nhỏ nên sáng kiến mới chỉ được áp dụng cho 01 lớp dạy thử nghiệm và 01 lớp dạy đối chứng. Tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu, phát triển đề tài để hoàn thiện đề tài, có thể áp dụng rộng rãi không chỉ ở trường THPT Hoàng Văn Thụ và nhân rộng ra các trường thông qua các buổi sinh hoạt cụm chuyên môn
- Tích phân có rất nhiều ứng dụng trong thực tiễn ở các lĩnh vực, vật lý, toán học, xây dựng, nhưng sáng kiến mới chỉ nghiên cứu và đưa ra một số ứng dụng trong thực tế hoặc một vài bài toán ứng dụng của tích phân trong xây dựng.
2.2. Khả năng áp dụng và mang lại lợi ích thiết thực của sáng kiến: 
2.2.1 Khả năng áp dụng hoặc áp dụng thử, nhân rộng: 
	- Sáng kiến có giá trị thực tiễn, giúp học sinh lớp 12 có được một phương pháp tiếp cận khác trong giải toán ứng dụng của tích phân với những bài toán thực tế trong hình học. Làm tài liệu cho giáo viên, học sinh trường THPT Hoàng Văn Thụ.
- Rèn được kỹ năng cụ thể cho học sinh khi giải toán ứng dụng của tích phân trong hình học cụ thể như: Năng lực phân tích và tổng hợp, năng lực khái quát hoá, đặc biệt hoá và tương tự. 
	+ Năng lực vận dụng phương pháp nguyên hàm từng phần và phương pháp tích phân từng phần. 
	+ Năng lực vận dụng phương pháp đổi biến số. Năng lực vận dụng công thức tính diện tích và thể tích. 
	+ Năng lực tìm nhiều lời giải khác nhau của một bài toán ứng dụng của tích phân.
+ Giúp học sinh có được cách nhìn nhận sâu sắc và toàn diện hơn về ứng dụng của Toán học trong thực tiễn.
2.2.2 Khả năng mang lại lợi ích thiết thực
2.2.2.1 Hiệu quả kinh tế:	
- Đây là một đề tài về phương pháp dạy học nên không mang nhiều giá trị kinh tế. Nhưng kết quả nghiên cứu của đề tài và những giá trị thiết thực từ đề tài mang lại, khi đem vào áp dụng thực tế trong giảng dạy sẽ giúp các giáo viên bộ môn:
	- Không tốn nhiều thời gian, công sức tìm tài liệu.
	- Giáo viên sử dụng trong ôn thi THPT quốc gia và ôn luyện học sinh giỏi.
	- Giáo viên ôn luyện có thêm dữ liệu cho ôn tập.
	Từ những lợi ích trên cho thấy chuyên đề có giá trị trong thực tiễn và ở góc độ nào đó đem lại hiệu quả kinh tế trong giáo dục.
	2.2.2.2 Hiệu quả về mặt xã hội.
	Trong quá trình áp dụng sáng kiến, kết quả bộ môn tăng, HS hiểu bài, ham thích môn học, đặc biệt số lượng học sinh tham gia vào đội tuyển toán tăng. 
Trong đề tài này ‘’Một số giải pháp rèn kỹ năng giải toán ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể tròn xoay trong ôn thi THPTQG’’ giúp học sinh tiếp cận và giải các bài toán về ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể tròn xoay một cách trực quan, và nâng cao năng lực giải toán thực tế của học sinh.
IV – KẾT LUẬN
Thông qua một số giải pháp trình bày trong sáng kiến giúp rèn kỹ năng tính diện tích phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành, tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số, thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay một hình phẳng quanh trục hoành. Học sinh biết sử dụng hình vẽ trực quan trong các bài toán tính diện tích, thể tích và giải được một số bài toán ứng dụng thực tế dạng trắc nghiệm để học sinh ôn luyện và thi tốt kỳ thi THPT Quốc gia năm 2019
PHỤ LỤC 01
ĐỀ VÀ ĐÁP ÁN KIỂM TRA LỚP THỬ NGHIỆM VÀ LỚP ĐỐI CHỨNG
1. Mục đích kiểm tra: Sau khi tiến hành thử nghiệm ở lớp dạy thử nghiệm và lớp dạy đối chứng, tôi thực hiện cho học sinh làm bài kiểm tra 45 phút, nhằm đánh giá khả năng tiếp thu, nhận thức và năng lực vận dụng làm bài của học sinh.
2. Nội dung đề kiểm tra
 SỞ GIÁO DỤC & LẠNG SƠN
TRƯỜNG THPT HOÀNG VĂN THỤ
------------------------
ĐỀ KIỂM TRA 45 PHÚT 
Nội dung: Ứng dụng của tích Phân
Thời gian làm bài: 45 phút; 
(25 câu trắc nghiệm) 
Mã đề thi 357
Câu 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x²; x = 1; x = 2 và y = 0.
A. 	B. 	C. 	D. 1
Câu 2: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành, trục tung và đường thẳng là:
A. 3	B. 4	C. 2	D. 5
Câu 3: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số liên tục, trục hoành và hai đường thẳng được tính theo công thức:
A. 	B. 
C. 	D. 
Câu 4: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau y = 4x - x2, y = 0
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 5: Thể tích của khối tròn xoay được giới hạn bởi đường , trục hoành và hai đường thẳng là :
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 6: Một Bác thợ gốm làm một cái lọ có dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường và trục quay quanh trục hoành, biết đáy lọ và miệng lọ có đường kính lần lượt là 2 dm và 4 dm, khi đó thể tích của lọ là:
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và đồ thị hàm số 
A. 8	B. 2	C. 6	D. 4
Câu 8: Thể tích của khối tròn xoay được giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x) liên tục trên đoạn trục Ox và hai đường thẳng quay quanh trục Ox , có công thức là:
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 9: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng .
A. 5	B. 3	C. 4	D. 2
Câu 10: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị và có kết quả là :
A. 	B. 8	C. 9	D. 
Câu 11: Gọi là hình phẳng giới hạn bởi các đường . Quay xung quanh trục ta được khối tròn xoay có thể tích bằng ?
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 12: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành , và hai đường thẳng 
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 13: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau y = x2 + 2, y = 3x
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 14: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường sau x = 0, x = 1, y = 0, 
y = 5x4 + 3x2 + 3;
A. 	B. 	C. 6	D. 7
Câu 15: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trục hoành , trục tung và đường thẳng .
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 16: Tính hể tích của một vật thể tròn xoay được tạo bởi một hình phẳng giới hạn bởi các đường: và quay quanh trục 
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 17: Parabol (P): y = x2. Gọi (d) là tiếp tuyến của (P) tại điểm có hoành độ x = 2. Gọi (H) là hình giới hạn bởi (P), (d) và trục hoành. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) khi quay quanh trục Ox.
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 18: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường , trục Ox và đường thẳng x=2 là:
A. 	B. 8	C. 	D. 16
Câu 19: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đường và đường thẳng là :
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 20: Tính thể tích vật tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) xác định bởi các đường sau , y = 0, x = 0 và x = 3 quanh trục Ox
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 21: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau y = x2 + 1, x + y = 3
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 22: Tính thể tích của một vật thể tròn xoay được tạo bởi một hình phẳng giới hạn bởi các đường: và quay quanh trục .
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 23: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng .
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 24: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = –x³ + 3x + 1 và đường thẳng y = 3 là
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 25: Cho hình phẳng (H) được giới hạn bởi parabol , trục Ox và các đường thẳng . Diện tích của hình phẳng (H) là :
A. 	B. 	C. 	D. 2
Họ, tên học sinh:..................................................................... Lớp: ..................
3. Đáp án, biểu điểm
- Mỗi câu trả lời đúng được 0,4 điểm
Câu
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
TL
A
B
B
B
D
D
A
D
B
D
C
C
B
A
D
A
B
C
C
C
21
22
23
24
25
A
D
A
C
D
PHỤ LỤC 02
MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TẾ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
ÔN LUYỆN CHO HỌC SINH LỚP 12 THI THPT QUỐC GIA NĂM 2019
(Hình thức trắc nghiệm)
Bài toán 1. Một thùng rượu có bán kính các đáy là 30cm, thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy có bán kính là 40cm, chiều cao thùng rượu là 1m (hình vẽ). Biết rằng mặt phẳng chứa trục và cắt mặt xung quanh thùng rượu là các đường parabol, hỏi thể tích của thùng rượu ( đơn vị lít) là bao nhiêu ?
A. lit.	B. lit.	C. lit.	D. lit.
Hướng dẫn giải
Chọn đáp án A
Gọi là parabol đi qua điểm và có đỉnh (hình vẽ). Khi đó, thể tích thùng rượu bằng thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi , trục hoành và hai đường thẳng quay quanh trục.
Ÿ Dễ dàng tìm được .
Ÿ Thể tích thùng rượu là:
Bài toán 2. Cho hai mặt cầu , có cùng bán kính thỏa mãn tính chất: tâm của thuộc và ngược lại. Tính thể tích phần chung của hai khối cầu tạo bởi và .
A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải
Chọn đáp án C
Gắn hệ trục như hình vẽ
Khối cầu chứa một đường tròn lớn là:
Dựa vào hình vẽ, thể tích cần tính là
Bài toán 3. Một bồn hình trụ đang chứa dầu, được đặt nằm ngang, có chiều dài bồn là 5m, có bán kính đáy 1m, với nắp bồn đặt trên mặt nằm ngang của mặt trụ. Người ta đã rút dầu trong bồn tương ứng với 0,5m của đường kính đáy. Tính thể tích khối dầu còn lại trong bồn (theo đơn vị m3)
A. 11,781	B. 12,637	C. 1	D. 
Hướng dẫn giải
Thể tích của bồn (hình trụ) đựng dầu là: 
Thể tích phần đã rút dầu ra (phần dầu nằm phía trên mặt (ABCD)) là:
Vậy thể tích dầu còn lại là: 
XÁC NHẬN CỦA CƠ QUAN ĐƠN VỊ
ÁP DỤNG SÁNG KIẾN
TÁC GIẢ
Phạm Thanh Nghị