SKKN Một số bài tập có nội dung thực tiễn trong dạy học Toán ở trường Trung học phổ thông giúp học sinh phát triển năng lực mô hình hóa toán học

hi 4 12 2 2x x x    . 
Vậy x = 2 thì thể tích hộp lớn nhất. 
+ Bài toán này có thể chuyển sang dạy học stem, bằng cách yêu cầu học sinh 
thiết kế hộp quà có dạng hình hộp từ một tấm bìa cứng hình chữ nhật có kích thước 
cho trước, sao cho chứa được nhiều quà nhất. 
6.3. Bài tập 3. Người ta muốn sơn các viên phân hoa trên viên gạch hình 
vuông cạnh là 50 cm trong một bức tường có 200 viên gạch. Biết người ta sơn trên 
mỗi viên phân. Tính diện tích được sơn trên các viên phân. 
 Chúng ta bắt đầu quy trình mô hình hóa toán học bao gồm một số bước cơ bản 
sau: 
Bước 1. Xây dựng mô hình thực tế 
 Người ta muốn sơn các viên phân hoa trên viên gạch hình vuông cạnh là 50 
cm trong một bức tường có 200 viên gạch. Biết người ta sơn trên mỗi viên phân. 
 Bước 2. Xây dựng mô hình toán học 
 Tính diện tích được sơn trên các viên phân. 
 Xây dựng được các phân viên chính là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm 
số nào ? 
 Từ hình vẽ ta dễ dàng thấy mỗi viên gạch được tạo ra 4 viên phân. Mỗi phân viên 
lại chính là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số xyxy  ;2 . 
Vấn đề được chuyển về bài bài toán: 
“Tính diện tích hình phẳng được giới hạn 
bởi các đường xyxy  ;2 ”. 
 Bước 3. Giải quyết vấn đề toán học 
 Xét phương trình: 2
x 0
x x
x 1

   
 Diện tích mỗi viền hoa cần tìm là: 
y = x2 
x 
y 
xy  
O 
31 
  
3
1
0
1
3
1 3
1
0
2 





  xdxxxS (m
2 ) 
 Vì có 200 viên gạch nên diện tích cần sơn là: 
3
800
3
1
.4.200 S (m 2 ). 
Bước 4. Thẩm định mô hình
 Mô hình tích phân tính diện tích phần hình cong được tính như trên hoàn toàn 
chính xác. 
 Bước 5: Báo cáo kết quả và giải thích cho lời giải 
 Diện tích cần sơn cho 200 viên gạch là: 2
1 800
200.4. ( ).
3 3
S m  
 Sau khi xác định xong diện tích cần sơn, nhà thi công ước tính được lượng sơn 
cần dùng để sơn các viên gạch, tính toán mức chi phí cần bỏ ra để mua nguyên 
liệu. 
7. Bài tập về bài toán “lãi kép” 
7.1. Bài toán 1 
 Bé An có số tiền 1 triệu đồng tiền mừng tuổi và nhờ bố gửi vào ngân hàng 
công thương chi nhánh Hoàng Mai với lãi suất 7% trên năm. Biết rằng nếu không 
rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban 
đầu. Nhưng khổ nổi bố của bé lại không biết tính số tiền cả gốc lẫn lãi sau 10 năm 
gửi. Bạn có giúp được cho bố bé An biết số tiền đó không nếu trong khoảng thời 
gian này không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi? 
 Chúng ta bắt đầu quy trình toán học hóa bao gồm một số bước cơ bản sau: 
*Bước 1: Xây dựng mô hình thực tế 
 Tình huống đặt ra là Bạn có giúp được cho bố bé An biết số tiền đó không 
nếu trong khoảng thời gian này không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi? Câu 
hỏi được đặt trong bối cảnh thế giới thực và sự thực tế này là xác thực, tuy nhiên ít 
phức tạp hơn so với hầu hết các vấn đề thực tế do hầu như không có thông tin 
không liên quan hoặc dư thừa được đưa ra. 
*Bước 2: Xây dựng mô hình toán học 
- Lãi suất là lãi kép và lãi suất hàng năm không thay đổi là 7%. 
- Thời gian gửi 10 năm. 
- Số tiền gửi là 1 triệu đồng. 
- Tính số tiền bố bé An nhận được? 
- Xây dựng công thức tính lãi kép. 
* Tình huống được chuyển về bài toán: 
 Bố bé An gửi số tiền 1 triệu đồng tiền mừng tuổi vào một ngân hàng với lãi 
suất 7% trên năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi 
năm, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu (người ta gọi đó là lãi kép). Hỏi bố 
32 
bé An được lĩnh bao nhiêu tiền sau 10 năm, nếu trong khoảng thời gian này không 
rút tiền ra và lãi suất không thay đổi? 
 Học sinh sẽ có mô hình toán học của bài toán thực tế trên thực chất là xây dựng 
được công thức tính lãi kép 
*Bước 3: Giải quyết bài toán 
 Gọi số vốn ban đầu là 0P lãi suất là r. Ta có 0 1P  (triệu đồng), r=0,07. 
- Sau năm thứ nhất: 
Tiền lãi là 1 0. 1.0,07 0,07L P r   (triệu đồng) 
Số tiền được lĩnh cả vốn và lãi là : 
1 0 1 0 0 0. (1 ) 1,07P P L P P r P r       (triệu đồng) 
- Sau năm thứ hai: 
Tiền lãi là 2 1. 1,07.0,07 0,0749P P r   (triệu đồng) 
Số tiền được lĩnh cả vốn và lãi là : 
2
2 1 2 0 1 0 0 0(1 ) . (1 ) (1 ). (1 2 )P P P P r P r P r P r r P r r            
 2 20 (1 ) (1,07) 1,1449P r    (triệu đồng) 
- Tương tự, số tiền được lĩnh cả vốn và lãi sau 10 năm là : 
 10 100.(1 ) (1,07)nP P r   (triệu đồng) 
 Vậy sau 10 năm, bố của bé An được lĩnh 10(1,07) triệu đồng 
Nhận xét 1: Một số tiền đã tương đối khá so với 1 triệu ban đầu! 
Từ ví dụ trên theo quy nạp ta có công thức tổng quát sau: 
0 (1 )
n
np p r  , 
*n (1) 
Trong đó 
 Số vốn ban đầu là: po 
Lãi suất là: r 
Thời gian gửi ( kì gửi) là: n 
 Số tiền cả gốc và lãi trong n kì là: np 
Ta chứng minh (1) bằng phương pháp quy nạp: 
Ta dễ thấy (1) đúng khi 1n  . Ta giả sử (2) đúng với 1n k  , tức là 
0(1 )
k
kp p r  . Ta chứng minh (2) đúng đến 1n k  , tức là  
1
1 0 1
k
kp p r

   
Thật vậy, ta có      
1
1 0 0 01 1 . 1
k k k
k k kp p rp p r p r r p r

         
33 
Vậy ta chứng minh được công thức 
0 (1 )
n
np p r  (1) 
Phân tích và khắc sâu cho học sinh: Nếu gửi theo thể thức lãi suất kép thì có 
nghĩa là: Tiền lãi của kì hạn trước được cộng vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau. 
 Từ đó ta có bài toán tổng quát: 
 Gửi vào ngân hàng số tiền 0p đồng, với lãi suất hàng tháng là r%. Tính tiền np 
cả vốn lẫn lãi sau n tháng. 
Bài giải 
Ta có: Tháng 1 (n = 1) số tiền là 1 0 0 0. (1 )P P P r P r    
 Tháng 2 (n = 2) số tiền là 22 0 0 0(1 ) (1 ). (1 )P P r P r r P r      
 .. 
 Tháng n (n = n) số tiến là 1 10 0 0(1 ) (1 ) . (1 )
n n n
nP P r P r r P r
       
Vậy số tiền thu được sau n tháng là: 0 (1 )
n
np p r  
Từ công thức trên, ta suy ra các đại lượng khác là: 
 0
ln
.
ln(1 )
nP
P
n
r


0
n
n
P
r
P
 0
(1 )
n
n
P
P
r


+) Nhận xét 2: 
 Gửi vào ngân hàng số tiền P đồng, với lãi suất hàng tháng là r% trên tháng 
kỳ hạn m tháng. Tính tiền nP cả vốn lẫn lãi sau n tháng là : 0 (1 )
n
m
nP P mr  
 Bước 4. Thẩm định mô hình 
 Mô hình tính số tiền như trên hoàn toàn chính xác. 
 Bước 5: Báo cáo kết quả và giải thích cho lời giải 
Số tiền được lĩnh cả vốn và lãi sau 10 năm là : 
 10 100.(1 ) (1,07)nP P r   (triệu đồng) 
 Vậy sau 10 năm, bố của bé An được lĩnh 10(1,07) triệu đồng. 
Nhận xét 3: Một số tiền đã tương đối khá so với 1 triệu ban đầu! 
Từ ví dụ trên theo quy nạp ta có công thức tổng quát sau: 
0 (1 )
n
np p r  , 
*n (1) 
Trong đó 
34 
 Số vốn ban đầu là: po 
Lãi suất là: r 
Thời gian gửi ( kì gửi) là: n 
 Số tiền cả gốc và lãi trong n kì là: np 
Ta chứng minh (1) bằng phương pháp quy nạp: 
Ta dễ thấy (1) đúng khi 1n  . Ta giả sử (2) đúng với 1n k  , tức là 
0(1 )
k
kp p r  . Ta chứng minh (2) đúng đến 1n k  , tức là  
1
1 0 1
k
kp p r

   
Thật vậy, ta có      
1
1 0 0 01 1 . 1
k k k
k k kp p rp p r p r r p r

         
Vậy ta chứng minh được công thức 
0 (1 )
n
np p r  (1) 
Phân tích và khắc sâu cho học sinh: Nếu gửi theo thể thức lãi suất kép thì có 
nghĩa là: Tiền lãi của kì hạn trước được cộng vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau. 
 Từ đó ta có bài toán tổng quát: 
 Gửi vào ngân hàng số tiền 0p đồng, với lãi suất hàng tháng là r%. Tính tiền np 
cả vốn lẫn lãi sau n tháng. 
Bài giải 
Ta có: Tháng 1 (n=1) số tiền là 1 0 0 0. (1 )P P P r P r    
 Tháng 2 (n=2) số tiền là 22 0 0 0(1 ) (1 ). (1 )P P r P r r P r      
 .. 
 Tháng n (n = n) số tiến là 1 10 0 0(1 ) (1 ) . (1 )
n n n
nP P r P r r P r
       
Vậy số tiền thu được sau n tháng là: 0 (1 )
n
np p r  
Từ công thức trên, ta suy ra các đại lượng khác là: 
 0
ln
.
ln(1 )
nP
P
n
r


0
n
n
P
r
P
 0
(1 )
n
n
P
P
r


+) Nhận xét 4: 
 Gửi vào ngân hàng số tiền P đồng, với lãi suất hàng tháng là r% trên tháng 
kỳ hạn m tháng. Tính tiền nP cả vốn lẫn lãi sau n tháng là : 0 (1 )
n
m
nP P mr  . 
 Yêu cầu học sinh phát biểu một bài toán thực tế về lãi suất. 
35 
7.2. Bài toán 2. Anh Tiến vốn là người siêng năng làm ăn và muốn thu được 
280 triệu đồng bằng cách dự kiến gửi ở ngân hàng 170 triệu đồng từ tiền tích lũy 
tiết kiệm, với lãi suất sinh lợi không đổi là 13% một năm theo thể thức lãi kép. 
Nhưng anh Tiến không biết tính được thời gian bao lâu mới có số tiền đó. Em hãy 
tính giúp anh Tiến được không? 
 Chúng ta bắt đầu quy trình toán học hóa bao gồm một số bước cơ bản sau: 
 *Bước 1: Xây dựng mô hình thực tế 
 Vấn đề đặt ra là anh Tiến không biết tính được thời gian bao lâu mới có số 
tiền đó. Em hãy tính giúp anh tiến được không? 
 Câu hỏi được đặt trong bối cảnh thế giới thực và sự thực tế này là xác thực 
tuy nhiên ít phức tạp hơn so với hầu hết các vấn đề thực tế do hầu như không có 
thông tin không liên quan hoặc dư thừa được đưa ra. 
 *Bước 2: Xây dựng mô hình toán học 
- Lãi suất là lãi kép và lãi suất hàng năm không thay đổi là 13%. 
- Số tiền gửi là 170 triệu đồng 
- Số tiền nhận được 280 triệu đồng 
- Tính thời gian gửi? 
 Xác định rõ các giá trị ban đầu P0, lãi suất r trong mỗi kì, tổng số tiền có 
được sau n kì. 
 Ta có bài toán thực tế sau: Anh Tiến muốn thu được 280 triệu đồng bằng 
cách gửi vào ngân hàng số tiền 170 triệu đồng, với lãi suất sinh lợi không đổi là 
13% một năm theo thể thức lãi kép. Tính thời gian bao lâu anh Tiến thu được số 
tiền trên? 
 Học sinh sẽ có mô hình toán học của bài toán thực tế trên thực chất là tính n 
trong công thức tính lãi kép. 
 Để tìm n, áp dụng công thức (1), ta có      0
0
1 1 *    
n n n
n
P
P P r r
P
 Để tìm n từ đằng thức (*) ta có nhiêu cách thực hiện: 
Cách 1: Ta coi (*) là một phương trình mũ, giải ra tìm n. 
  1
0 0
1 log    
n n n
r
P P
r n
P P
Cách 2: Lấy logarit thập phân hai vế của đẳng thức (*), ta được 
   
 
0
0 0
log
log 1 log .log 1 log
log 1
      

n
n n n
P
P P P
r n r n
P P r
*Bước 3: Giải quyết bài toán 
Ta có Pn = 280.000.000 đồng, P0 = 170.000.000 đồng, r = 13% một năm 
36 
Sau n năm đầu tư, anh Tiến thu được tổng số tiền là: Pn=P0(1 + r)
n ,(*). Để tìm n từ 
công thức (*) các em sử dụng 2 cách. Trong lời giải này ta sử dụng cách 2, lấy 
logarit thập phân hai vế. Ta được 
     
 
0
0 0
log
* 1 .log 1 log
log 1
       

n
n n n
P
P P P
r n r n
P P r
 
280.000.000
log
170.000.000 4,08
log 1 13%
  

n 
 Vậy sau thời gian gần 4 năm 1 tháng để đạt được giá trị mong muốn. 
Bước 4. Thẩm định mô hình 
 Mô hình tính số thời gian như trên hoàn toàn chính xác. 
 Bước 5: Báo cáo kết quả và giải thích cho lời giải. 
     
 
0
0 0 0
log
1 1 .log 1 log
log 1
n
n nn n n
P
P P P P
r r n r n
P P P r
         

 
280.000.000
log
170.000.000 4,08
log 1 13%
  

n 
Vậy sau thời gian gần 4 năm 1 tháng để đạt được giá trị mong muốn. 
 Nhận xét: 
+ Trong kỳ thi Tốt nghiệp THPT năm 2020, mã đề 101 có bài toán thực 
tiễn “Trong năm 2019, diện tích trồng mới của tỉnh A là 600 ha. Giả sử diện tích 
rừng trồng mới của tỉnh A mỗi năm tiếp theo đều tăng 6% so với diện tích rừng 
trồng mới của năm liền trước. Kể từ sau năm 2019, năm nào dưới đây là năm đầu 
tiên tỉnh A có diện tích rừng trồng mới trong năm đó đạt trên 1000 ha ? 
 A. Năm 2028 B. Năm 2047 C. Năm 2027 D. Năm 2046 
Có thể chuyển thành bài toán: Anh Tiến muốn thu được trên 1 tỉ đồng bằng 
cách gửi vào ngân hàng số tiền 600 triệu đồng bắt đầu từ năm 2019, với lãi suất 
sinh lợi không đổi là 6% một năm theo thể thức lãi kép. Kể từ sau năm 2019, năm 
nào dưới đây là năm đầu tiên Anh Tiến có tiền năm đó đạt trên 1 tỉ đồng ? 
 A. Năm 2028 B. Năm 2047 C. Năm 2027 D. Năm 2046 
 + Tương tự bài toán thực tế trong kỳ thi THPT Quốc gia năm 2017: Đầu 
năm 2016, ông A thành lập một công ty. Tổng số tiền ông A dùng để trả lương cho 
nhân viên trong năm 2016 là 1 tỷ đồng. Biết rằng cứ sau mỗi năm thì tổng số tiền 
dùng để trả lương cho nhân viên trong cả năm đó tăng thêm 15% so với năm trước. 
Hỏi năm nào dưới đây là năm đầu tiên mà tổng số tiền ông A dùng để trả lương 
cho nhân viên trong cả năm lớn hơn 2 tỉ đồng ? 
 A. Năm 2023 B. Năm 2022 C. Năm 2021 D. Năm 2020 
37 
III. Thực nghiệm sư phạm 
1. Mục đích thực nghiệm 
 Thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của việc lựa 
chọn một số bài tập có nội dung thực tiễn để phát triển năng lực mô hình hóa tán 
học cho học sinh, đồng thời cũng nhằm kiểm nghiệm tính đúng đắn của đề tài. 
2. Nội dung thực nghiệm 
 - Thực nghiệm sử dụng Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn về tổ hợp, 
xác suất; bài toán “lãi kép”; ứng dụng của đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, nhở 
nhất của hàm số. 
 - Đưa vào những bài toán với số lượng và mức độ phù hợp với bài dạy, quỹ 
thời gian thực hiện, phù hợp với trình độ nhận thức chung của học sinh. 
3. Tổ chức thực nghiệm 
 Thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại Trường THPT Tương Dương 1 
năm học 2020 - 2021: 
 - Lớp thực nghiệm: 12E. 
 - Lớp đối chứng: 12G 
Thời gian thực nghiệm được tiến hành vào khoảng thời gian từ đầu tháng 10 
đến đầu tháng 12. 
 Giáo viên dạy lớp thực nghiệm: Phạm Hoàng Quyền. 
 Giáo viên dạy lớp đối chứng: Vương Văn Phong. 
 Kết quả học tập của các lớp 12E, 12G là tương đương. 
 Thực nghiệm được tiến hành sau khi học xong Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số 
mũ và hàm số lôgarit (Sách giáo khoa Giải tích 12 – Ban cơ Bản). Sau khi dạy thực 
nghiệm, chúng tôi cho học sinh làm bài kiểm tra. 
Đề kiểm tra (thời gian làm bài 45 phút) 
 A. Phần trắc nghiệm khách quan (3 điểm). 
Câu 1: Bạn Đào vào một nhà hàng, Đào muốn chọn một món ăn khai vị trong 4 
món khai vị, một món chính trong 7 món chính, một món tráng miệng trong 5 loại 
hoa quả tráng miệng và một loại nước uống trong 4 loại nước uống của quán. Hỏi 
Anh có bao nhiêu cách chọn một thực đơn ? 
 A. 560 B. 20 C. 20! D.16 
Câu 2 (Đề thi THPT Quốc gia 2018-Mã đề 101): Một người gửi tiết kiệm vào một 
ngân hàng với lãi suất 7,5%/năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì 
cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi 
sau ít nhất bao nhiêu năm người đó thu được (cả số tiền gửi ban đầu và lãi) gấp đôi số 
38 
tiền gửi ban đầu, giải định trong khoảng thời gian này lãi suất không thay đổi và 
người đó không rút tiền ra ? 
 A. 11 năm B. 9 năm C. 10 năm D. 12 năm 
Câu 3: (Đề thi Tốt nghiệp THPT năm 2020 – Mã đề 112) “Trong năm 2019, diện 
tích trồng mới của tỉnh A là 800 ha. Giả sử diện tích rừng trồng mới của tỉnh A mỗi 
năm tiếp theo đều tăng 6% so với diện tích rừng trồng mới của năm liền trước. Kể từ 
sau năm 2019, năm nào dưới đây là năm đầu tiên tỉnh A có diện tích rừng trồng mới 
trong năm đó đạt trên 1400 ha ? 
 A. Năm 2049 B. Năm 2028 C. Năm 2048 D. Năm 2029 
B. Phần tự luận (7điểm) 
Chuẩn bị đón trung thu, giáo viên chủ nhiệm giao cho 4 tổ thiết kế hộp đựng quà 
từ một tấm bìa cứng hình chữ nhật có kích thước 100cm x 50 cm bằng cách cắt đi ở 
bốn góc vuông những hình vuông bằng nhau để khi gấp lại thì được một cái thùng 
không nắp dạng hình hộp. Em làm như thế nào để được một hộp đựng quà chứa được 
nhiều nhất. 
Kết quả: 
Lớp 
Điểm từ 9 đến 
10 
Điểm từ 7 đến 
dưới 9 
Điểm từ 5 đến 
dưới 7 
Điểm dưới 5 
12E 7% 50% 33% 10% 
12G 4% 45% 36% 15% 
 Trong các kỳ thi, khi gặp các bài toán có nội dung thực tiễn các em đều vận 
dụng thành thạo và hoàn thành tốt nội dung bài toán. Đặc biệt trong kỳ thi Tốt 
nghiệp THPT hiện nay thường có một câu ứng dụng vào thực tiễn rơi vào câu ở 
mức độ vận dụng thấp. 
4. Đánh giá kết quả thực nghiệm 
 Theo dõi tiến trình thực nghiệm sư phạm, chúng tôi thấy rằng: Nhìn chung 
đa số học sinh học tập tích cực, sôi nổi hơn, thích thú với những bài toán có nội 
dung thực tiễn. Sự hấp dẫn của các bài toán có nội dung thực tiễn cũng chính là ở 
chỗ gắn các kiến thức Toán học với các ứng dụng thực tế đa dạng và sinh động của 
39 
nó trong học tập cũng như trong đời sống, lao động, sản xuất. Các tiềm năng ứng 
dụng và ý nghĩa to lớn của những bài toán có nội dung thực tiễn được gợi mở và 
dần dần được củng cố bằng một số bài toán có nội dung thực tiễn đa dạng, phong 
phú. Điều đó kích thích hứng thú của cả thầy lẫn trò trong thời gian thực nghiệm. 
Nhận định chung cho rằng, điều khó khăn nhất cần và có thể vượt qua - nếu ý 
tưởng này được triển khai về sau - là lựa chọn được một Hệ thống bài tập có nội 
dung thực tiễn thích hợp cho mỗi tiết học để phát triển năng lực mô hình hóa toán 
học cho học sinh. 
Phần III. KẾT LUẬN 
 Quá trình nghiên cứu 
 - Từ 06/ 09/ 2020 đến 15/ 10/ 2020: Chọn đề tài, viết đề cương nghiên cứu. 
 - Từ 16/ 10/ 2020 đến 02/ 12/ 2020: Đọc tài liệu lý thuyết, viết cơ sở lý luận. 
 - Từ 03/ 12/ 2020 đến 16/ 01/ 2021: Áp dụng đề tài vào thực tiễn. 
 - Từ 17/ 01/ 2021 đến 15/ 03/ 2021: Viết báo cáo, trình bày báo cáo trước tổ 
chuyên môn và xin ý kiến đóng góp. 
 - Từ 16/ 03/ 2021 đến 26/ 03/ 2021: Hoàn thiện đề tài. 
1. Ý nghĩa của đề tài 
 - Làm rõ được vai trò quan trọng của việc rèn luyện cho học sinh năng lực 
vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn. 
 - Xây được một số bài toán có nội dung thực tiễn được mô hình hóa toán 
học nhằm phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh. 
 - Đề tài có ý nghĩa quan trọng trong việc phát triển tư duy sáng tạo, kĩ năng 
làm toán cũng như kỹ năng sống cho các em học sinh. Bước đầu đã hình thành cho 
các em một thói quen tự học, tự nghiên cứu, tự khám phá, đồng thời giúp các em 
linh hoạt hơn, chủ động hơn và không rập khuôn máy móc trong việc giải toán. 
Mặt khác, qua nội dung của đề tài sẽ góp phần vào việc giáo dục các em yêu toán 
học, biết áp dụng vào thực tiễn để giải quyết nhiều tình huống trong sản xuất, kinh 
doanh buôn bán, vay lãi ngân hàng ... 
 - Đề tài góp phần vào dạy học STEM, đánh giá theo Pisa. 
 - Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh họa tính khả thi và hiệu quả của 
những giải pháp đã đề xuất. 
2. Kiến nghị, đề xuất 
 Đối với nhà trường: Triển khai, áp dụng đề tài vào các năm học tiếp theo. 
 Mặc dù bản thân cũng đã cố gắng tìm tòi và đúc rút kinh nghiệm, trao đổi 
đồng nghiệp nhưng chắc chắn đề tài còn nhiều chỗ thiếu sót. Để đề tài có tác dụng 
tích cực trong việc dạy học phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh 
đáp ứng đòi hỏi dạy học theo hướng phát triển năng lực học sinh, kính mong hội 
40 
đồng khoa học và quý thầy (cô) góp ý bổ sung để đề tài ngày một hoàn thiện hơn, 
có ứng dụng rộng hơn trong quá trình dạy học ở Trường THPT. 
3. Kết luận khoa học 
 Quá trình nghiên cứu được thực hiện nghiêm túc, đảm bảo cơ sở khoa học, 
mang tính khách quan, huy động được nguồn lực về tài liệu, con người đảm bảo 
tính pháp lý và độ tin cậy cao. 
 Đề tài được vận dụng có hiệu quả tại Trường THPT Tương Dương 1 trong 
học kỳ 1 năm học 2020 - 2021 và được chỉnh sữa, bổ sung thêm phù hợp với thực 
tiễn hơn, có hiệu quả cao hơn đối với các trường THPT. 
 Tương Dương, tháng 3 năm 2021 
 Tác giả 
41 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Doãn Minh Cường, Đỗ Mạnh Hùng, Nguyễn Tiến 
Tài (2007), Đại số 10 (Sách giáo khoa ban cơ bản) Nxb Giáo dục. 
2. Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết Yên (2007), 
Đại số và Giải tích 11 (Sách giáo khoa ban cơ bản) Nxb Giáo dục. 
3. Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn 
Tuất (2007), Giải tích 12 (Sách giáo khoa ban cơ bản) Nxb Giáo dục. 
4. Đỗ Đức Thái, Tài liệu tập huấn: Hướng dẫn thực hiện chương trình môn Toán 
(trong chương trình Giáo dục phổ thông 2018), Đại học sư phạm Hà Nội. 
5. Nguyễn Thị Nga, Lê Thái Bảo Thiên Trung, Tăng Minh Dũng, Vũ Như Thư 
Hương, Tài liệu bồi dưỡng giáo viên phổ thông đại trà mô đun 2 (sử dụng 
phương pháp dạy học , giáo dục phát triển phẩm chất, năng lực học sinh 
THPT) môn Toán (2020), Đại học sư phạm Thành Phố Hồ Chí Minh. 
6. Trang Web, https://www.mathvn.com/