SKKN Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho học sinh Lớp 12 thông qua dạy học chủ đề cực trị của hàm hợp và hàm liên kết

iến thiên của hàm đa thức bậc 4 
 y f x . 
Bước 2. Lựa chọn, đề xuất cách thức, giải pháp giải quyết vấn đề. 
Hướng thứ nhất: 
+ Tính đạo hàm của hàm liên kết    
42 1g x x f x    . 
 36 
+ Tính số nghiệm bội lẻ của phương trình   0g x  . 
+ Kết luận số điểm cực trị của hàm số    
42 1g x x f x    . 
Hướng thứ hai: 
+ Xác định các nghiệm bội chẵn, bội lẻ của phương trình   0g x  . 
+ Suy ra hình dạng đồ thị của hàm số  g x . 
+ Suy ra số điểm cực trị của hàm số  y g x . 
Bước 3. Sử dụng các kiến thức, kĩ năng toán học tương thích (bao gồm các 
công cụ và thuật toán) để giải quyết vấn đề đặt ra. 
Cách 1: 
Từ bảng biến thiên của hàm số  f x suy ra dạng của biểu thức  f x : 
  4 2f x ax bx c   . 
Sử dụng      1 0; 0 1; 1 3f f f     ta có hệ phương trình: 
4 2 0 2 0 4
1 4 8
3 1 1
a b a b a
c a b b
a b c c c
       
  
        
          
. 
Suy ra   4 24 8 1f x x x    . 
Xét hàm số    
42 1g x x f x    , ta có: 
       
4 322 1 4 . 1 . 1g x x f x x f x f x            
       
3
2 1 . 1 2 1x f x f x xf x       . 
Cho    
   
1 0
0 1 0
1 2 . 1 0
x x
g x f x
f x x f x
  

    
    
. 
* Với phương trình  1 0f x  : 
Vì  f x là hàm bậc bốn và có bảng biến thiên như trên ta thấy phương trình 
 1 0f x  có bốn nghiệm đơn phân biệt 2 3 4 5, , ,x x x x khác 1x . 
* Với phương trình    1 2 ' 1 0f x xf x    : 
Ta thấy phương trình không nhận các số 1 2 3 4 5, , , ,x x x x x làm nghiệm. 
Đặt 1t x  , phương trình    1 2 ' 1 0f x xf x    trở thành: 
 37 
     2 1 ' 0f t t f t   
  4 2 3 4 3 24 8 1 2 1 16 16 0 36 32 40 32 1 0t t t t t t t t t             
 Xét hàm số   4 3 236 32 40 32 1h t t t t t      ta có 
  3 2' 144 96 80 32h t t t t     , cho  
1 2
' 0 1; ;
3 3
h t t t t      . 
Ta có bảng biến thiên 
Do đó phương trình   0h t  có 4 nghiệm đơn phân biệt hay phương trình 
   1 2 ' 1 0f x xf x    có 4 nghiệm đơn phân biệt 6 7 8 9, , ,x x x x . Hay hàm số 
 g x có 9 điểm cực trị là 1 2 3 4 5 6 7 8 9, , , , , , , ,x x x x x x x x x . 
Cách 2:    
42 1g x x f x    
Nhận xét 
 
   
0,
lim lim
x x
g x x
g x g x
 
  

  
. 
Cho   0g x   
 
2
4
0
1 0
x
f x
 

   
  
 
0
1 0
x
f x


 
. 
Nhận thấy: Nếu tịnh tiến đồ thị  f x sang phải 1 đơn vị ta thu được đồ thị 
của  1f x  . 
Do đó  1 0f x   
, 0
, 0 1
, 1 2
, 2
x a a
x b b
x c c
x d d
 
   

   

 
. 
Vì thế   0g x  có 5 nghiệm phân biệt bội chẵn. 
Hay đồ thị  g x có 5 điểm tiếp xúc với trục hoành: 
 38 
Vậy hàm số  g x có 9 cực trị. 
Bước 4. Đánh giá giải pháp và khái quát hoá cho vấn đề tương tự. 
Bằng cách giải thứ 2 chúng ta đã giải được bài toán một cách nhanh chóng, 
chính xác, phù hợp với đề thi trắc nghiệm, thiên về tư duy giải toán chứ không phải 
tính toán cồng kềnh, phức tạp. 
Ví dụ 3.11. Cho hàm đa thức 
bậc bốn  y f x có đồ thị như vẽ. Số 
điểm cực trị của hàm số 
   5 7 564 3g x x f x x x x    là 
A. 7 . B. 8 . 
C. 6 . D. 9 . 
Bước 1. Nhận biết, phát hiện vấn đề cần giải quyết bằng toán học. 
Đây là bài toán tìm số điểm cực trị của hàm số liên kết 
   5 7 564 3g x x f x x x x    khi cho biết bảng biến thiên của hàm đa thức 
bậc 4  y f x . 
Bước 2. Lựa chọn, đề xuất cách thức, giải pháp giải quyết vấn đề. 
Trước hết ta xét hàm số    5 7 6 51 4 3g x x f x x x x    
+ Xác định các nghiệm bội chẵn, bội lẻ của phương trình  1 0g x  . 
+ Suy ra hình dạng đồ thị của hàm số  1g x . 
+ Suy ra số điểm cực trị của các hàm số    1 ,y g x y g x  . 
Bước 3. Sử dụng các kiến thức, kĩ năng toán học tương thích (bao gồm các 
công cụ và thuật toán) để giải quyết vấn đề đặt ra. 
Xét hàm số    5 7 6 51 4 3g x x f x x x x    , ta có 
    5 21 4 3g x x f x x x    . 
Cho  1 0g x 
 
5
2
0
4 3 0
x
f x x x
 
 
       
2
0
4 3 1
x
f x x x

 
  
 39 
 Dựa vào đồ thị của hàm số 
 y f x và Parabol 2 4 3y x x   ta 
có phương trình (1) có các nghiệm bội lẻ 
là 0, 4x x  và nghiệm bội chẵn là 
2x  . 
 Suy ra phương trình  1 0g x  có 
các nghiệm bội chẵn là 0; 2x x  và 
nghiệm bội lẻ là 4x  . 
Do đó đồ thị của hàm số    5 7 6 51 4 3g x x f x x x x    tiếp xúc với trục 
hoành tại các điểm có hoành độ 0; 2x x  và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ 
4x  . 
Mặt khác từ hình dạng đồ thị của hàm số  y f x ta có 
 
 
 
 
1lim lim
lim lim
x x
x x
f x g x
f x f x
 
 
    
 
 
     
. 
Do đó ta có hình dạng đồ thị của hàm số    5 7 6 51 4 3g x x f x x x x    
như sau 
Suy ra hàm số    5 7 6 51 4 3g x x f x x x x    có 3 điểm cực trị dương. Do 
đó hàm số    5 7 564 3g x x f x x x x    có 7 điểm cực trị. 
Bước 4. Đánh giá giải pháp và khái quát hoá cho vấn đề tương tự. 
- Để giải được bài toán trên, học sinh cần giải quyết hai “nút thắt” quan 
trọng là: 
Thứ nhất: Cần xử lý mối quan hệ giữa đồ thị của hàm số  y f x và 
Parabol 2 4 3y x x   . 
Thứ hai: Từ số nghiệm bội lẻ và bội chẵn của phương trình  1 0g x  suy ra 
hình dạng của đồ thị hàm số  1g x từ đó suy ra số điểm cực trị của hàm số  1g x 
suy ra số điểm cực trị của hàm số  g x . 
2.4. Bài tập tự luyện 
 40 
Bài 4.1. (Trích đề thi thử năm 2021). Cho hàm số ( )y f x có đạo hàm liên 
tục trên và bảng biến thiên của hàm số ( )f x như sau: 
Hỏi hàm số  
2ln( 1) 2
2
x
g x f
  
  
 
 có bao nhiêu điểm cực tiểu ? 
A. 9 . B. 4 . C. 7 . D. 5 . 
Bài 4.2. (Trích đề thi TNTHPT năm 2020). Cho hàm số bậc 4 có bảng biến 
thiên như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số    
24 1g x x f x    là 
A. 7 . B. 5 . C. 9 . D. 11 . 
 Bài 4.3. (Trích đề Vted 2020). Cho hàm số  f x có bảng biến thiên của 
 f x như hình vẽ bên: 
 Hàm số  2cosy f x có bao nhiêu cực trị thuộc khoảng  2 ;2  ? 
 A. 12 . B. 14 . C. 11 . D. 13 . 
Bài 4.4. (Trích đề Vted 2020). Cho hàm số  f x 
có đồ thị  f x như hình vẽ bên. Hàm số 
 2 4 29( ) 3 1 3
2
g x f x x x    có bao nhiêu điểm cực 
tiểu ? 
A. 2 . B. 3 . 
C. 4 . D. 5 
 41 
Bài 4.5. (Trích đề thi thử năm 2021). Cho hàm số  y f x là hàm số đa 
thức bậc bốn và có bảng biến thiên như sau: 
Số điểm cực trị của hàm số     2
1
3
1xg x e f x

  là 
A. 7. B. 6. C. 5. D. 4. 
Bài 4.6. (Trích đề Vted 2020). Cho hàm 
số   4 3 2
1
4
f x x ax bx cx d     có đồ thị 
của  f x như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của 
hàm số   y f f x là 
A. 11. B. 7 . 
C. 9 . D. 5 . 
Bài 4.7. (Trích đề thi thử năm 2021). Cho hàm số  y f x liên tục trên 
và có bảng biến thiên như sau: 
Số điểm cực tiểu của hàm số    2021 2020
f x f x
y   là 
A. 2. B. 1. C. 4. D. 3. 
Bài 4.8. (Trích đề thi thử năm 2021). Cho hàm số  y f x có đạo hàm trên 
 và có bảng biến thiên của  f x như hình vẽ: 
Hàm số    2 2 2xg x f e x   có bao nhiêu điểm cực trị ? 
A. 9 . B. 11. C. 5 . D. 7 . 
 42 
Bài 4.9. (Trích đề thi thử năm 2021). Cho hàm số  ,y f x có đạo hàm 
     
2
1 3 .f x x x    Tìm số điểm cực trị của hàm số    2 2 6g x f x x   . 
A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 5 . 
Bài 4.10. (Trích đề thi thử năm 2021). Cho 
hàm số  y f x có đồ thị  1y f x  như hình 
vẽ. Khi đó hàm số  
2f x x
y e

 đạt cực tiểu tại điểm 
0x . Mệnh đề nào dưới đây là đúng ? 
A.  0 1;0x   B.  0 4; 2x    . 
C.  0 0;1x  . D.  0 2; 1x    . 
Bài 4.11. (Trích đề thi thử năm 2021). Cho 
hàm số  F x có  0 0F  . Biết  y F x là một 
nguyên hàm của hàm số  y f x đồ thị như hình 
vẽ. Số điểm cực trị của hàm số    6 3G x F x x  
là 
A. 4 . B.5 . 
C. 6 . D.3 . 
Bài 4.12. (Trích đề thi thử năm 2021). Cho 
hàm số 
   5 4 3 2 0y f x ax bx cx dx ex f a        và 
hàm số  y f x có đồ thị như hình vẽ dưới đây. 
Đặt     3 2
9
3 1 9 6 2021
2
g x f x x x x      . Hàm 
số  g x có bao nhiêu điểm cực trị? 
A. 7 . B. 3 . 
C. 9 . D. 5 . 
Bài 4.13. (Trích đề thi thử năm 2021). Cho hàm số  y f x có đạo hàm 
     2 2' 1 2f x x x x   với mọi x R . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của 
m để hàm số  2 8y f x x m   có 5 điểm cực trị ? 
A. 18 . B. 16 . C. 17 . D. 15 . 
 43 
Bài 4.14. (Trích đề thi thử năm 2021). Cho hàm 
số    4 3 2 , 0f x ax bx cx dx e a      có đồ thị 
của đạo hàm  f x như hình vẽ. Biết rằng .e n Số 
điểm cực trị của hàm số   2y f f x x  bằng 
A. 6 . B. 7. 
C. 10. D. 14. 
Bài 4.15. (Trích đề thi thử năm 2021). Cho hàm 
bậc ba  y f x có đồ thị như hình vẽ. Hàm số 
   sin 1h x f x  có bao nhiêu điểm cực trị trên 
đoạn  0;2 . 
A. 7 . B. 8 . 
C. 5 . D. 6 . 
 Bài 4.16. (Trích đề thi thử năm 2021). Cho hàm 
số 4 3 2( ) ,( 0)f x ax bx cx dx e ae      . Đồ thị hàm 
số ( )y f x như hình bên. Hàm số 24 ( )y f x x  
có bao nhiêu điềm cực tiểu ? 
 A. 2 . B. 3 . 
 C. 5 . D. 4 . 
 Bài 4.17. (TDM 2020). Cho đồ thị hàm đa thức 
 y f x như hình vẽ. Hỏi hàm số 
     . 2 1g x f x f x  có tất cả bao nhiêu điểm cực 
trị ? 
 A. 5 . B. 6 . 
 C. 7 . D. 9 
Bài 4.18. (TDM 2020). Cho bảng biến thiên của hàm số  f x như hình vẽ. 
Số điểm cực trị của hàm số    
62. 2g x x f x    là 
A. 18 . B. 16 . C. 17 . D. 15 . 
 44 
Chương 3. Tổ chức thực hiện và kết quả nghiên cứu 
3.1. Mục đích thực nghiệm 
 Kiểm tra tính hiệu quả của sáng kiến. 
3.2. Nội dung thực nghiệm 
Thực nghiệm theo nội dung của sáng kiến. 
3.3. Tổ chức thực nghiệm 
3.3.1. Địa điểm và đối tượng thực nghiệm 
Thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại các lớp 12A1, 12A4, 12A7 trường 
THPT Lê Lợi, huyện Tân kỳ, tỉnh Nghệ An. 
+ Lớp thực nghiệm: 12A1, 12A2 sĩ số 37 học sinh (năm học 2019 - 2020). 
+ Lớp đối chứng: 12A5 sĩ số 36 học sinh (năm học 2019 - 2020). 
Tôi đã tìm hiểu rất kỹ và nhận thấy trình độ chung về môn toán tương ứng 
của các lớp 12A2, 12A5 là tương đương nhau. Đối với 12A1 có học lực khá hơn. 
Trên cơ sở đó, tôi đã đề xuất được thực nghiệm tại lớp 12A1, 12A5 và lấy 
12A2 làm lớp đối chứng. 
3.3.2. Thời gian thực nghiệm sư phạm 
Thực nghiệm được tiến hành từ ngày 15/9/2019 đến 10/04/2020. 
Phần lớn số tiết này được giảng dạy cho học sinh trong các tiết luyện tập, tự 
chọn, ôn thi TNTHPT. 
3.3.3. Công tác chuẩn bị và tổ chức thực hiện 
 + Công tác chuẩn bị: 
Điều tra thực trạng học tập của lớp thực nghiệm. 
Soạn bài giảng dạy theo nội dung của sáng kiến. 
Bài kiểm tra thực nghiệm. 
 + Tổ chức thực hiện: 
 * Ở lớp dạy thực nghiệm: 
Dạy theo nội dung sáng kiến trong các giờ luyện tập, ôn thi TNTHPT quốc 
gia. Quan sát hoạt động học tập của học sinh xem các em có phát huy được tính 
tích cực, tự giác và có phát triển được tư duy sáng tạo hay không. 
Tiến hành bài kiểm tra (45 phút) sau khi thực nghiệm. 
Cho các em giải các bài toán về cực trị của hàm hợp và hàm liên kết trong 
các đề thi thử TNTHPT. 
* Ở lớp đối chứng: 
 45 
Giáo viên thực hiện quan sát hoạt động học tập của học sinh ở lớp đối chứng 
được giáo viên giảng dạy các bài tập cùng nội dung trong sáng kiến nhưng không 
theo hướng đi của sáng kiến. 
Tiến hành cùng một đề kiểm tra như lớp thực nghiệm. 
3.4. Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm 
Thực tế cho thấy, nhìn chung có khá nhiều em học sinh học tập bị động, máy 
móc, thiếu tính linh hoạt và sáng tạo, không có nhiều tìm tòi để sáng tạo ra bài toán 
mới, học tập không thật sự tích cực. 
 Nhưng tôi vẫn thấy rằng, ở lớp thực nghiệm thì nhìn chung các em tích cực 
hoạt động, học tập sôi nổi và có sự linh hoạt hơn. Đa số các học sinh khá – giỏi 
môn Toán rất hứng thú trong buổi học chuyên đề do giáo viên thực hiện. Các em 
không chỉ nắm được cốt lõi cách giải các bài toán mà còn tự xây dựng được các bài 
toán mới. 
Các giờ học đã góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực 
sáng tạo cho các em học sinh lớp 12. Còn ở lớp đối chứng, hoạt động học tập còn 
khiên cưỡng, các em chủ yếu giải toán một cách thụ động, hoặc chỉ giải được bài 
toán mà không khai thác được bài toán đó, ít có khả năng sáng tạo ra cái mới. 
Nhiều em học sinh ở các lớp thực nghiệm đã giải được nhiều bài toán cực trị 
hàm hợp và hàm liên kết trong các kỳ thi THPT quốc gia những năm trước, kỳ thi 
thử TNTHPT và các đề thi chọn học sinh giỏi 12 các tỉnh thành phố trên cả nước 
sau khi các em đã được giảng dạy theo nội dung của sáng kiến. 
Tôi áp dụng đề tài này đối với học sinh lớp 12A1, 12A5 và 12A2 ở năm học 
trước 2018-2019 đã thu được kết quả bài kiểm tra như sau: 
Khi chưa áp dụng sáng kiến: 
Lớp 
Số 
HS 
 Điểm 9-10 Điểm 7-8 Điểm 5-6 Điểm <5 
SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%) 
12A1 37 2 5,4% 18 48,7% 15 40,5% 2 5,4% 
12A2 37 0 0% 10 27,0% 16 43,2% 11 29,8% 
12A5 36 0 0% 8 20,2% 17 47.2% 11 30.6% 
Năm học 2019 - 2020 áp dụng sáng kiến với lớp 12A1, 12A5 và kết quả bài 
kiểm tra: 
Lớp 
Số 
HS 
 Điểm 9-10 Điểm 7-8 Điểm 5-6 Điểm <5 
SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%) 
12A1 37 8 21,6% 25 67,6% 4 10,8% 0 0% 
 46 
12A5 36 2 5,6% 18 50% 16 44,4% 0 0% 
Căn cứ vào kết quả thực nghiệm, bước đầu có thể thấy hiệu quả của việc rèn 
luyện năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho học sinh thông qua dạy 
học chủ đề hàm hợp và hàm liên kết mà tôi đã đề xuất và thực hiện trong quá trình 
thực nghiệm. 
Qua kỳ thi TNTHPT vừa qua cho thấy, nhiều em đạt điểm thi môn Toán trên 
9,0 điểm, có một học sinh đạt 9,8 điểm. Đặc biệt có rất nhiều em giải được bài cực 
trị hàm liên kết ở mức độ vận dụng cao trong đề thi TNTHPT năm 2020. 
Phần III. KẾT LUẬN 
1. Đề tài đã giải quyết được vấn đề sau 
- Củng cố cho học sinh các chuẩn kiến thức, kỹ năng của chuyên đề cực trị hàm số 
thuộc chương trình giải tích lớp 12. 
- Hình thành kỹ năng giải toán cực trị hàm hợp và hàm liên kết cho học sinh 
qua đó góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh lớp 12. 
- Giúp học sinh xây dựng các bài toán mới về cực trị của hàm hợp và hàm 
liên kết qua đó góp phần phát triển năng lực sáng tạo cho học lớp 12. 
- Như vậy đề tài đã góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng 
lực sáng tạo, đây là các năng lực đặc thù của bộ môn Toán mà chúng ta cần rèn 
luyện cho học sinh theo chương trình GDPT mới năm 2018. 
- Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh hoạ cho tính khả thi và hiệu quả 
của sáng kiến. 
2. Hướng phát triển của đề tài 
Đề tài có thể phát triển lên theo hướng tiếp tục nghiên cứu các bài toán cực 
trị của hàm chứ dấu giá trị tuyệt đối. 
3. Một số kinh nghiệm rút ra 
3.1. Đối với giáo viên 
Cần chủ động, tích cực tìm hiểu, nghiên cứu chương trình GDPT mới năm 
2018 thông qua việc học tập nghiêm túc các nội dung BDTX theo các Mô đun do 
Sở GD&ĐT tổ chức. 
Tăng cường đổi mới phương pháp dạy học và kiểm tra đánh giá theo định 
hướng phát triển phẩm chất và năng lực người học. 
Rèn luyện cho học sinh thói quen, tính kỉ luật trong việc thực hiện các kĩ 
năng giải toán thông qua việc luyện tập; nhằm khắc phục tính chủ quan, hình thành 
tính độc lập, tính tự giác ở người học, thông qua đó hình thành và phát triển phẩm 
chất và năng lực của các em học sinh. 
 47 
Phải thường xuyên học hỏi trau dồi chuyên môn để tìm ra phương pháp dạy 
học phù hợp. 
Phải nhiệt tình, gương mẫu quan tâm tới học sinh, giúp đỡ các em để các em 
không cảm thấy áp lực trong học tập. 
Luôn tạo ra tình huống có vấn đề, kích thích hứng thú tìm tòi học tập ở học 
sinh. 
Đặt ra câu hỏi gợi mở phù hợp với đối tượng học sinh. 
Rèn luyện tư duy tương tự hóa, khái quát hóa và đặc biệt hóa cho học sinh, 
giúp các em có cách nhìn nhận vấn đề một cách bao quát, cụ thể, có tính hệ thống, 
và giải quyết vấn đề nhanh hơn, có tính lôgic cao hơn... 
3.2. Đối với học sinh 
Việc học tập theo định hướng trên giúp học sinh: 
Không còn bỡ ngỡ, có cách tiếp cận và có kỹ năng tốt hơn trong việc giải 
các bài toán về cực trị của hàm hợp và hàm liên kết, hình thành cho bản thân năng 
lực giải quyết vấn đề. 
Biết cách sáng tạo bài toán mới từ những kiến thức đã biết, hình thành cho 
bản thân năng lực sáng tạo. 
4. Kiến nghị 
Bài toán cực trị của hàm hợp và hàm liên kết thường xuất hiện trong các đề 
thi THPTQG nay là kỳ thi TNTHPT đặc biệt là các kỳ thi HSG. Các bài toán này 
không được đề cập trong SGK và SBT hiện hành mà thường xuất hiện trong các tài 
liệu tham khảo. Đề tài này góp phần hệ thống lại chủ đề cực trị hàm hợp và hàm 
liên kết và đưa ra một số hướng giúp các em học sinh xây dưng bài toán mới. Đề 
tài có thể đưa vào giảng dạy lồng ghép trong tiết tự chọn khi luyện tập về chủ đề 
cực trị của hàm hợp và hàm liên kết, phù hợp với đối tượng học sinh khá giỏi; góp 
phần nâng cao chất lượng kết quả bộ môn, đặc biệt là kết quả thi TNTHPT sắp tới. 
Tuy đã cố gắng nỗ lực, song do năng lực chuyên môn và thời gian thực hiện 
có hạn nên đề tài chỉ đạt được một số kết quả mang tính minh họa, các ví dụ còn 
chưa đa dạng. Bên cạnh đó, đề tài không tránh khỏi những thiếu sót, kính mong 
quý thầy cô, đồng nghiệp đặc biệt là các chuyên gia góp ý. 
Tôi xin chân thành cảm ơn! 
 48 
PHỤ LỤC 
ĐỀ KIỂM TRA THỰC NGHIỆM 
Thời gian làm bài: 45 phút 
Câu 1. Cho hàm số  f x liên tục trên , có bảng xét dấu  f x như sau: 
Số điểm cực trị của hàm số trên khoảng  3;  là 
 A. 1. B. 4 . C. 3 . D. 2 . 
Câu 2. Cho hàm số  f x liên tục trên và có bảng xét dấu  f x như sau: 
Hàm số    2 1g x f x  có số điểm cực tiểu là 
 A. 1. B. 0 . C. 3 . D. 2 . 
Câu 3. Cho hàm số  f x , bảng biến thiên của hàm số  f x như sau 
Số điểm cực trị của hàm số  2 2 2y f x x    là 
 A. 7 . B. 3 . C. 9 . D. 5 . 
Câu 4. Cho hàm số bậc bốn 
 y f x có đồ thị như hình vẽ. Số điểm 
cực trị của hàm số    4 22 2g x f x x   
là 
A. 5. B. 11. 
C. 7. D. 9. 
Câu 5. Cho hàm số  y f x có đạo hàm liên tục và xác định trên và có 
biểu thức tương ứng là     2 1 4f x x x    . Gọi S là tập chứa các giá trị 
nguyên của tham số m để hàm số    2 2g x f x x m   có 3 điểm cực trị. Số 
phần tử của tập S là 
 49 
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. 
Câu 6. Cho hàm số bậc bốn 
 y f x có đồ thị hàm số  f x như 
hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số 
   2sin 1g x f x  trên khoảng  0;2 
là 
A. 5. B. 6. C. 4. D. 8. 
Câu 7. Cho hàm số bậc bốn 
 y f x có đồ thị như hình vẽ. Số điểm 
cực trị của hàm số 
     
2
1g x x f x    là 
A. 13. B. 6. C. 11. D. 9. 
Câu 8. Cho hàm số bậc bốn 
 y f x có đồ thị hàm số  f x như 
hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số 
     
2
2 24g x f x x x x    là 
A. 5. B. 7. C. 4. D. 6. 
Câu 9. Cho hàm số bậc bốn 
 y f x có đồ thị hàm số  f x như 
hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của 
tham số m để số điểm cực trị của hàm số 
     264 21 64 64g x f x x m x    
bằng 3 ? 
A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. 
Câu 10. Cho hàm số đa thức 
 y f x có đồ thị hàm số  f x như 
hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số 
    33 2cos 2cos 6cosg x f x x x   trên 
khoảng  0;2 là 
A. 3. B. 6. C. 4. D. 5. 
 50 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. Các đề thi minh họa, đề thi tham khảo, đề thi chính thức; các đề thi thử 
THPTQG, TNTHPT trên toàn quốc qua các diễn đàn. 
[2]. Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán năm 2018. 
[3]. Nghị quyết số 29-NQ/TW ngày 04/11/2013 của Hội nghị Ban chấp hành 
Trung ương khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo. 
[4]. Polya G (1995), Giải một bài toán như thế nào. Nhà xuất bản Giáo dục, 
Hà Nội. 
[5]. Polya G (1997), Sáng tạo toán học (bản dịch), Nhà xuất bản Giáo dục, 
Hà Nội. 
[6]. SGK Giải tích 12. 
[7]. Sách Bài tập Giải tích 12. 
[8]. Tài liệu từ Internet.