SKKN Góp phần hình thành và phát triển năng lực toán học cho học sinh thông qua dạy học chủ đề đồ đại số tổ hợp

ó có 20 HS nam. Có bao nhiêu cách bầu ra 1 ban 
cán sự lớp gồm 2 bạn gồm 1 HS nam và 1 HS nữ. 
Lời giải có sai lầm của HS 
44 
Phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm: 
Học sinh đã không hiểu rõ khái niệm vì khi chọn ra hai bạn: 1 nam, 1 nữ là ta đã 
thực hiện hai hành động liên tiếp chọn 1 bạn nam và sau đó chọn 1 bạn nữ (hoặc ngược 
lại), hai hành động này phụ thuộc nhau (ứng với mỗi cách chọn 1 bạn nam có 20 cách 
chọn ra bạn nữ). 
Ở bài toán này đòi hỏi HS phải nắm vững khái niệm và phân biệt rõ ràng hai quy tắc 
đếm. Như vậy chứng tỏ HS chưa biết lúc nào thì sử dụng quy tắc cộng và lúc nào thì 
sử dụng quy tắc nhân. 
Biện pháp khắc phục: 
GV cần dành thời gian thích đáng hướng dẫn HS phân biệt hai khái niệm quy tắc cộng 
và quy tắc nhân. Để dễ hình dung GV có thể yêu cầu HS tự đặt câu hỏi và tự trả lời câu 
hỏi để phân biệt giữa hai quy tắc này dạng như sau: Giả sử bài toán có hai hành động. 
Nếu chỉ thực hiện 1 hành động và không thực hiện hành động còn lại thì bài toán đã 
giải quyết được chưa? Nếu chỉ cần 1 hành động mà đã giải quyết được bài toán thì 
chúng ta dùng quy tắc cộng. Trong trường hợp ngược lại, chúng ta dùng quy tắc nhân. 
Rõ ràng với bài toán nói trên, nếu chỉ mới dừng lại ở hành động chọn 1 HS nam thì 
chưa thể giải quyết được bài toán, vì yêu cầu của bài toán là có 2 HS gồm 1 nam và 1 
nữ, như vậy không thể thiếu hành động thứ 2 là chọn thêm 1 HS nữ. Do đó đây là bài 
toán sử dụng quy tắc nhân. 
Lời giải đúng 
Công đoạn 1. Chọn 1 HS nam trong 20 HS nam: có 20 cách chọn 
Công đoạn 2. Chọn 1 HS nữ trong 20 HS nữ: có 20 cách chọn 
Vậy có 20.20 400= cách chọn. 
Ví dụ 26. Có bao nhiêu cách chọn ra 3 bạn trong 4 bạn An, Bình, Chiến, Đức để làm 
cán sự lớp (gồm các chức vụ lớp trưởng, lớp phó, bí thư)? 
Lời giải có sai lầm của HS 
Mỗi cách chọn 3 trong 4 HS vào ban cán sự lớp là 1 tổ hợp chập 3 của 4 phần tử. Do 
đó số cách chọn 3 trong 4 bạn vào ban cán sự lớp là 3
4C . 
Phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm: 
45 
Nguyên nhân của sai lầm là do HS chưa nắm vững những kiến thức về tổ hợp và chỉnh 
hợp nên nhận dạng sai khái niệm toán học trong bài.. 
Đây là bài toán chọn có sự sắp xếp giữa các chức vụ (lớp trưởng, lớp phó, bí thư) nên 
HS cần dùng công thức chỉnh hợp để tính. 
Biện pháp khắc phục: 
GV cần sử dụng các câu hỏi vấn đáp gợi mở để học sinh nhận dạng lại hai khái niệm 
chỉnh hợp, tổ hợp. Chẳng hạn: 
+ Để có đội ngũ cán bộ lớp sau khi chọn ra 3 trong 4 bạn ta cần phải làm gì nữa 
không? 
+ Hoặc: Nếu thay đổi chức vụ (lớp trưởng, lớp phó, bí thư) của từng bạn được chọn 
thì kết quả ta thu được có khác kết quả ban đầu không? 
+ Nếu “thay đổi thứ tự mà thay đổi kết quả” thì cần sử dụng khái niệm gì? 
Tùy trình độ HS, trong trường hợp cần thiết thậm chí ta cần phải đưa ra một số kết 
quả giúp HS trực quan thấy được tình huống của bài toán là có tính đến thứ tự, từ đó 
các em phát hiện ra sai lầm và sửa chữa. 
Ví dụ: Bảng phân công cán sự lớp 
Lớp trưởng Lớp phó Bí thư 
An 
An 
Bình 
.. 
Bình 
Đức 
Chiến 
. 
Đức 
Bình 
An 
. 
Lời giải đúng Mỗi cách chọn 3 trong 4 HS vào ban cán sự lớp (gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp 
phó, 1 bí thư) là 1 chỉnh hợp chập 3 của 4 phần tử. Do đó số cách chọn ban cán sự lớp 
là 34A . 
2. Học sinh mắc sai lầm do không nắm vững “thứ tự ưu tiên” trong khi giải toán 
tổ hợp, chưa biết cách phân chia các trường hợp hoặc có phân chia trường hợp 
nhưng các trường hợp lại có phần tử chung 
Ví dụ 27. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau tạo thành từ 
các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 ? 
Lời giải có sai lầm của HS 1. 
Gọi số cần lập là abcd . 
Vì 0a  nên nó có 5 cách chọn. 
b có 5 cách chọn. 
c có 4 cách chọn. 
d có 3 cách chọn. 
Vậy có 5.5.4.3 300= số. 
Phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm: 
46 
Ở sai lầm trên, HS chưa nắm vững thứ tự ưu tiên, giả thiết bài toán ở đây là số chẵn có 
4 chữ số đôi một khác nhau. Như vậy quyền ưu tiên chọn trước phải là d. Sai lầm này 
GV có thể lấy phản ví dụ cho HS thấy mình đã sai, chẳng hạn ta chọn 2, 0, 4a b c= = = 
lúc đó sẽ không còn cách nào để chọn được d. 
Lời giải có sai lầm của HS 2. 
Gọi số cần lập là abcd . 
d có 3 cách chọn. 
Vì 0a  nên nó có 5 cách chọn. 
b có 4 cách chọn. 
c có 3 cách chọn. 
Vậy có 5.4.3.3 180= số. 
Phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm: 
Lời giải của HS 2 trên đã biết cách ưu tiên, nhưng vẫn mắc sai lầm do tính chất đặc biệt 
của số 0 . Tức là HS này chưa thấy được sự khác biệt khi 2d = và khi 0d = thì số cách 
chọn a hoàn toàn khác nhau. 
Biện pháp khắc phục: 
GV cần dành thời gian thích đáng hướng dẫn HS thấy được nguyên tắc ưu tiên khi giải 
toán tổ hợp. Khi phân chia các trường hợp thì các trường hợp phải tách rời nhau, không 
có phần tử chung và tất cả các trường hợp phải vét hết các khả năng có thể xảy ra. Ở 
mỗi sai lầm của HS, Gv cần đưa ra phản ví dụ để HS thấy được cách làm của mình đã 
sai, chỉ rõ sai ở đâu, sai do đâu. 
3. Học sinh chưa nắm vững mối quan hệ giữa ngữ nghĩa và cú pháp của ngôn ngữ 
Đại số tổ hợp 
Ví dụ 28. Gọi S là tập tất cả các số có 7 chữ số tạo thành từ các chữ số: 0; 1; 2; 3; 4; 
5. Chọn ngẫu nhiên 1 phần tử của S. Tính xác suất để số được chọn thỏa mãn điều kiện 
 chữ số 1 có mặt hai lần và các số khác chỉ xuất hiện một lần. 
Lời giải có sai lầm của HS 
Gọi số cần lập có dạng: 
1 2 3 4 5 6 7a a a a a a a với  1 0, 0;1;2;3;4;5ia a  . 
Số phần tử của không gian mẫu là ( ) 65.6n  = . 
Gọi A là biến cố số được chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán. 
Chọn 1a có 5 cách. 
Mỗi cách chọn 
2 3 4 5 6 7a a a a a a là một hoán vị của 6 phần tử. 
Vì khi ta hoán vị hai chữ số 1 thì kết quả không đổi nên số phần tử của biến cố A là 
 ( )
5.6!
1800
2!
n A = = . 
47 
Vậy xác suất cần tìm là ( )
( )
( ) 5
1800
5.6
n A
P A
n
= =

. 
Phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm: 
Ở bài toán này chữ số 1 có mặt hai lần nên lúc này ta coi như hai số 1 này là khác nhau. 
 Khi đó tập hợp số ban đầu là: {0;1;1;2;3;4;5}. Do vậy số 1a phải có 6 cách chọn. Tuy 
nhiên, HS đã không để ý đến điều kiện chữ số 1 có mặt hai lần dẫn đến chọn số 1a có 
5 cách là sai. 
Biện pháp khắc phục: 
Với các sai lầm của HS, GV không nên ngay lập tức đưa ra lời giải đúng mà cần có 
những câu hỏi gợi ý giúp HS tự phát hiện và sữa chữa sai lầm. Chẳng hạn: Nếu như coi 
hai chữ số 1 là khác nhau thì tập hợp số ban đầu sẽ thay đổi như thế nào? Khi đó 1a sẽ 
có bao nhiêu cách chọn? Từ đó, học sinh có thể tự sửa chữa sai lầm và trình bày lại lời 
giải. 
Lời giải đúng 
Gọi số cần tìm có dạng: 
1 2 3 4 5 6 7a a a a a a a với  1 0, 0;1;2;3;4;5ia a  . 
Số phần tử của không gian mẫu là ( ) 65.6n  = . 
Gọi A là biến cố số được chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán. Vì chữ số 1 xuất hiện 2 lần 
nên ta coi tập số ban đầu là {0;1;1;2;3;4;5}. 
Chọn 1a có 6 cách. 
Mỗi cách chọn 
2 3 4 5 6 7a a a a a a là một hoán vị của 6 phần tử. 
Vì khi ta hoán vị hai chữ số 1 thì kết quả không đổi nên số phần tử của biến cố A là 
 ( )
6.6!
2160
2!
n A = = . 
Vậy ( )
( )
( ) 5
2160
5.6
n A
P A
n
= =

. 
4. Sai lầm liên quan đến suy luận, phân chia bài toán thành các trường hợp riêng 
Ví dụ 29. Xếp ngẫu nhiên bốn bạn nam và bốn bạn nữ vào bốn ghế xếp theo hàng 
ngang. Tính xác suất để nam nữ ngồi xen kẽ nhau. 
Lời giải có sai lầm của HS: 
Số phần tử của không gian mẫu là ( ) 8!n  = 
Gọi A là biến cố: “ nam nữ ngồi xen kẽ nhau”. 
Khi đó ( ) 2n A = vì chỉ có thể sắp xen kẽ dạng nam đứng vị trí chẵn, nữ vị trí lẻ và 
ngược lại . 
Suy ra ( )
2
8!
P A = . 
48 
Phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm: 
Trong lời giải trên dù HS đã biết chia bài toán thành hai trường hợp nhưng lại không 
suy luận được rằng trong mỗi trường hợp có thể hoán vị các bạn nam với nhau và các 
bạn nữ với nhau dẫn đến sai lầm. 
Biện pháp khắc phục: 
GV cần lưu ý HS phân tích đề bài, từ đó hướng dẫn để HS thấy được sau khi phân chia 
trường hợp dựa trên vị trí chỗ ngồi của các bạn nam và nữ thì cần có bước sắp xếp thứ 
tự các bạn nam và các bạn nữ. Từ đó HS sẽ tự tìm được lời giải đúng. 
Lời giải đúng 
Số phần tử của không gian mẫu là ( ) 8!n  = 
Gọi A là biến cố: “ nam nữ ngồi xen kẽ nhau”. 
Ta đánh số ghế ngồi từ 1 đến 8. 
- Trường hợp 1: Nếu các bạn nam ngồi ghế số lẻ: 1; 3; 5; 7 thì có 4! cách chọn. 
Lúc đó các bạn nữ ngồi ghế số chẵn 2; 4; 6; 8 thì có 4! cách chọn. 
Suy ra trường hợp 1 có 4!.4!=576 cách chọn. 
- Trường hợp 2: Nếu các bạn nữ ngồi ghế số 1;3;5;7 thì có 4! cách chọn. 
Lúc đó các bạn nam ngồi ghế số 2;4;6;8 thì có 4! cách chọn. 
Suy ra trường hợp 2 có 4!.4!=576 cách chọn. 
Vậy n(A) = 576 + 576 = 1152. Suy ra ( )
( )
( )
1152
8!
n A
P A
n
= =

. 
Nhận xét. Thông qua thực tiễn giảng dạy, chúng tôi đã nhận thấy rằng đa số các HS, 
kể cả các em khá giỏi ở môn toán, đều gặp phải một số khó khăn và sai lầm khi giải 
Toán Đại số tổ hợp – xác suất. Trong khuôn khổ đề tài này chúng tôi xin phép chỉ đưa 
ra một số trường hợp thường gặp và đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm giúp các 
em khắc phục những khó khăn và sai lầm đó như đã trình bày ở trên. Thực nghiệm sư 
phạm cho thấy những biện pháp này giúp HS có được cách nhìn đúng đắn hơn khi giải 
các bài toán về Đại số tổ hợp – xác suất, được rèn luyện kĩ năng giải toán, từ đó góp 
phần phát triển khả năng tư duy, năng lực giải quyết vấn đề. 
C. KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG VÀ TRIỂN KHAI KẾT QUẢ CỦA ĐỀ TÀI 
1. Khả năng ứng dụng của sáng kiến kinh nghiệm 
 - Nhằm mục đích nâng cao hiệu quả dạy học nói chung và giúp học sinh học tập 
tốt phần kiến thức chủ đề Đại số tổ hợp –xác suất, theo chúng tôi sáng kiến kinh nghiệm 
này là một tài liệu bổ ích cho các thầy cô giáo và các em học sinh. 
 - Trong quá trình giảng dạy phần kiến thức về Đại số tổ hợp, các giáo viên cần nâng 
cao tính tích cực chủ động sáng tạo của học sinh, rèn luyện cho học sinh có khả năng 
phân tích, suy luận để giải quyết vấn đề và phát hiện những bài toán mới từ các bài toán 
đã có và tạo ra các bài toán mới từ phương pháp giải loại toán đó. Đặc biệt, người thầy 
49 
phải giảng dạy cho học sinh nắm chắc mối liên hệ giữa kiến thức đã học với bài toán 
thực tiễn. Từ đó giúp các em giải quyết các bài toán bằng cách mô hình hóa toán học 
thành các bài toán Đại số tổ hợp, hơn nữa cho các em sáng tạo ra các bài toán mới từ 
các phương pháp giải, các bài cơ bản đã có. Điều này sẽ nâng cao năng lực tự học của 
các em. 
 - Đề tài này thực sự có ích cho tất cả giáo viên dạy Toán, thông qua việc triển khai 
đề tài sẽ góp phần bồi dưỡng chuyên môn cho giáo viên, góp phần giúp giáo viên đổi 
mới phương pháp dạy học hiện nay nhằm định hướng tiếp cận dạy học phát triển năng 
lực cho học sinh. 
 - Trong quá trình giảng dạy chủ đề này, giáo viên rèn luyện và phát triển tư duy sáng 
tạo để từ đó có khả năng phát hiện bài toán mới từ bài toán cơ bản. Đặc biệt giáo viên 
nên rèn luyện để học sinh nắm chắc các khái niệm, phương pháp giải các bài toán cơ 
bản, vận dụng linh hoạt vào các bài toán mới, các bài toán có nội dung thực tế. Thông 
qua việc triển khai đề tài các em được rèn luyện các thao tác tư duy, các bước giải 
quyết vấn đề, được trải nghiệm cách xây dựng một bài toán mới, qua đó nắm vững kiến 
thức đã học về Đại số tổ hợp, có khả năng giải các bài toán lạ và khó trong chủ đề này. 
 - Thông qua việc triển khai sáng kiến kinh nghiệm này, góp phần hình thành ở các 
em phương pháp suy luận toán học, giúp các em có thể vận dụng vào học các chủ đề 
khác của Toán học, cũng như các môn học khác. Sáng kiến kinh nghiệm này có thể áp 
dụng giảng dạy cho hầu hết các đối tượng học sinh ở các mức độ khác nhau. Tuy nhiên, 
nhiều nội dung của sáng kiến kinh nghiệm này hướng đến các học sinh có học lực khá, 
giỏi. 
2. Thực nghiệm sư phạm 
 Trong các năm học 2018 – 2019, 2019 – 2020 chúng tôi đã tiến hành tìm hiểu và 
triển khai đề tài ở trường THPT Nghi Lộc 3, kết quả thu được hết sức khả quan. Do đó 
năm học 2019 – 2020, 2020 – 2021 chúng tôi đã tiếp tục tiến hành tìm hiểu và triển 
khai SKKN này trong việc giảng dạy chủ đề Đại số tổ hợp cho học sinh lớp 11, trường 
THPT Nghi Lộc 3, chúng tôi còn phối hợp với đồng nghiệp ở các trường lân cận triển 
khai và ứng dụng đề tài trong dạy học tại các trường THPT Cửa Lò 2, THPT Hà Huy 
Tập, trường THPT Huỳnh Thúc Kháng trên các đối tượng học sinh khác nhau. Ngoài 
ra nội dung của đề tài được lồng ghép ngay từ các tiết dạy lí thuyết, tiết luyện tập và 
tiết tự chọn từng mức độ khác nhau. 
 Năm học vừa qua, chúng tôi đã thực nghiệm đề tài này tại lớp 11A, 11C và chọn 
lớp 11A1, 11D1 có lực học tương đương làm nhóm đối chứng tại trường THPT Nghi 
Lộc 3, do các cô giáo Phạm Thanh Thủy, Võ Thủy Trinh THPT Nghi Lộc 3 trực tiếp 
thực nghiệm đề tài. Với sự giúp đỡ của các thầy cô giáo trong tổ, sau khi thực nghiệm 
đề tài chúng tôi đã tiến hành kiểm tra đánh giá hiệu quả của đề tài. Kết quả thu được 
50 
qua bài kiểm tra về năng lực phân tích bài toán, năng lực giải, năng lực phát triển bài 
toán của học sinh như sau: 
Thông qua các phiếu điều tra thăm dò ý kiến của học sinh, chúng tôi thu được kết 
quả là hầu hết các em thích thú hơn khi được học mà có áp dụng đề tài và các em cảm 
thấy tự tin hơn khi giải toán. 
Quá trình thực nghiệm cùng những kết quả rút ra sau thực nghiệm cho thấy: mục 
đích thực nghiệm đã được hoàn thành, tính khả thi và hiệu quả của các quan điểm đã 
được khẳng định. Sáng kiến kinh nghiệm góp phần quan trọng trong việc hình thành và 
phát triển năng lực giải quyết vấn đề, năng lực suy luận, năng lực tính toán, năng lực tự 
học... cho học sinh, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến 
tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập bộ môn Toán. Từ đó góp phần hình thành 
và phát triển các năng lực bộ môn cũng như các năng lực chung cốt lõi giúp các em sẵn 
sàng học tập ở các cấp tiếp theo hoặc đi vào cuộc sống. 
PHẦN III - KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 
1. Kết luận trong quá trình nghiên cứu, triển khai SKKN 
Sau một thời gian đưa vào áp dụng giảng dạy cho học sinh trường THPT Nghi Lộc 
3, trường THPT Hà Huy Tập, trường THPT Cửa Lò 2, trường THPT Huỳnh Thúc 
Kháng chúng tôi thu được những kết quả tích cực sau: 
* Đề tài góp phần làm sáng tỏ một số vấn đề lý luận về kỹ năng, năng lực, một số biện 
pháp rèn luyện kỹ năng giải toán theo định hướng phát triển năng lực của học sinh 
THPT. Cụ thể: 
- Thiết kế một số tình huống gợi vấn đề để tạo cơ hội cho học sinh hình thành và 
phát triển năng lực giải quyết vấn đề, năng lực tư duy và lập luận toán học, năng lực 
sáng tạo. 
- Tăng cường huy động cho học sinh các kiến thức khác nhau để giải bài toán 
bằng nhiều cách khác nhau. 
Lớp Sĩ số Phân tích 
được 
Giải được Phát triển bài 
toán 
SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%) 
11A(TN) 42 29 68% 27 65% 17 41% 
11A1 42 19 45% 16 38% 8 20% 
11C(TN) 41 24 58% 23 57% 16 39% 
11D1 40 16 40% 15 38% 9 22% 
51 
 - Giúp học sinh thấy được ứng dụng thực tiễn của Đại số tổ hợp từ đó tạo hứng 
thú cho học sinh trong học tập chủ đề. 
 - Khắc phục một số sai lầm thường gặp của học sinh trong giải toán Đại số tổ 
hợp. 
* Bước đầu điều tra, đánh giá được thực trạng vấn đề dạy học theo định hướng phát 
triển năng lực nói chung và thông qua chủ đề Đại số tổ hợp nói riêng. Từ đó đề ra được 
nhiệm vụ của giáo viên trong dạy học cần rèn luyện một số năng lực cho học sinh để 
các em có thể có điều kiện nền tảng phát triển nó ngay từ khi còn là học sinh trung học. 
* Đề tài đã đề ra hệ thống, phân tích phương pháp giải toán Đại số tổ hợp và cách tạo 
ra bài toán mới từ phương pháp giải, đưa ra các ví dụ có tác dụng rèn luyện năng lực 
phân tích, suy luận, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực phân chia trường hợp, năng 
lực tính toán, năng lực sử dụng máy tính, công nghệ thông tin và năng lực giải các bài 
toán thực tiễn. 
* Đề tài đã giúp học sinh có cái nhìn tổng quát và có hệ thống về Đại số tổ hợp, từ đó 
có kỹ năng giải thành thạo các bài toán thuộc chủ đề này và hơn thế học sinh không còn 
cảm giác e sợ khi gặp dạng toán khó về Đại số tổ hợp. 
* Đề tài tạo cho học sinh có thói quen phân tích bài toán, tổng quát bài toán và tìm ra 
bài toán xuất phát, biết được bài toán trong các đề thi do đâu mà có và người ta đã tạo 
ra chúng bằng cách nào. Với cáchlàm đó, các em dễ có cái nhìn tổng quan hơn trước 
một bài toán hay trước khi giải quyết một vấn đề, tránh tình trạng học sinh lao ngay vào 
bài toán mà không có sự dự liệu hay phân tích một cách khoa học từ trước. 
* Đề tài củng cố các phương pháp giải toán, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học, 
giúp các em không còn lúng túng trước một bài toán được đặt ra. 
* Thông qua sáng kiến kinh nghiệm này, cho chúng ta cách thức tìm hiểu và nghiên 
cứu các mối liên hệ giữa các phần kiến thức khác nhau của Toán học, từ đó chúng ta có 
thể xây dựng, sáng tạo nên các bài toán mới. Với cách làm này, học sinh sẽ thấy được 
sự liên hệ giữa các phần kiến thức toán học với nhau, qua đó sẽ nắm vững các kiến thức 
mà các em được học, điều này sẽ tạo hứng thú và yêu thích môn toán hơn. Hơn nữa, nó 
cũng là phương pháp tốt cho các em phát huy năng lực tự học. 
* Trên cơ sở nghiên cứu lý luận, tổng kết kinh nghiệm và thông qua dạy thử nghiệm có 
thể khẳng định được tính khả thi và tính hiệu quả của các biện pháp đã đề xuất. 
2. Kiến nghị và đề xuất 
* Sáng kiến kinh nghiệm này chỉ mới khai thác một phần chủ đề Đại số tổ hợp theo 
định hướng phát triển năng lực. Tuy nhiên, thông qua cách làm này, nếu chúng ta tiếp 
tục nghiên cứu, tìm hiểu các năng lực có thể rèn luyện cho học sinh qua học chủ đề Đại 
số tổ hợp sẽ đem lại hiệu quả tốt cho việc dạy học và giáo dục học sinh. 
* Từ một bài toán nếu có thể phân tích, dẫn dắt để giải được các bài toán và tạo bài mới 
từ phương pháp giải bài toán đó hay tích hợp các phương pháp luôn có tác dụng lớn đối 
52 
với học sinh, đặc biệt là học sinh khá giỏi. Kinh nghiệm cho thấy học sinh hứng thú tìm 
hiểu các vấn đề đơn giản từ đó xây dựng lên mảng kiến thức lớn hơn nhiều so với việc 
giải quyết các bài toán khó. Vì thế trong quá trình giảng dạy giáo viên cần nâng cao 
tính tích cực, chủ động và sáng tạo của học sinh để các em phát huy tối đa năng lực tự 
học. Cần hướng dẫn cho học sinh cách thức sáng tạo ra các vấn đề mới từ các vấn đề 
đã biết. Quy lạ về quen, từ dễ đến khó sẽ hiệu quả hơn là cho các em “cày” những bài 
toán khó ngay từ đầu. Bởi vì hiện tượng học sinh giỏi không giải được bài toán cơ bản 
đã không còn là chuyện lạ. 
* Trong chương trình sách giáo khoa Toán THPT lượng bài tập Đại số tổ hợp đòi hỏi 
khả năng tư duy của học sinh còn ít, chủ yếu tập trung vào các bài tập cơ bản, chỉ áp 
dụng công thức nên chưa phát huy được khả năng tư duy của học sinh. Vì vậy tôi nghĩ 
rằng người giáo viên cần khai thác từ các bài tập cơ bản, khai thác từ phương pháp giải 
để tạo ra các dạng toán mới đòi hỏi khả năng tư duy của học sinh nhằm phát triển năng 
lực và gây hứng thú cho người học trong quá trình dạy và học toán sẽ góp phần nâng 
cao chất lượng dạy và học. 
* Mặc dù đã cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song đề tài này chắc chắn còn nhiều thiếu sót 
và hạn chế. Chúng tôi rất mong nhận được sự góp ý chân thành từ các đồng nghiệp để 
đề tài được hoàn thiện hơn. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 (cơ bản và nâng cao), Bộ Giáo Dục. 
2. Sách bài tập Đại số và Giải tích 11 (cơ bản và nâng cao), Bộ Giáo Dục. 
3. Nguyễn Bá Kim (2004), Phương pháp dạy học môn toán, NXB ĐHSP Hà Nội. 
4. Tài liệu tập huấn dạy học và kiểm tra, đánh giá kết quả học tập theo định hướng phát 
triển năng lực học sinh. 
5. Tài liệu tập huấn phương pháp và kĩ thuật tổ chức hoạt động học theo nhóm và 
hướng dẫn học sinh tự học, Bộ Giáo Dục, 2017. 
6. Đề thi THTQG môn Toán 2017, Bộ Giáo Dục. 
53 
7. Đề minh họa đề thi THPTQG môn Toán 2017, 2018, 2019 Bộ Giáo Dục. 
8. Đề thi thử THPTQG của các trường THPT trên cả nước. 
9. Nguồn tài liệu internet. 
10. Chương trình tổng thể môn Toán, Bộ Giáo Dục, 2018.