SKKN Định hướng tư duy, phân tích bài toán và rèn kỹ năng tính khoảng cách cho học sinh qua bài toán khoảng cách trong không gian

N) chứa CN và song song với nên 
Áp dụng tính chất của tứ diện vuông ta được
	. 
Vậy 	
Bài 12: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
SA = SB = SC = SD = . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AD và SC.
Hướng dẫn giải: Vì AD // BC nên d (AD, SC) = d (AD, (SBC)) = d (A, (SBC))
Ta có AO Ç (SBC) º C và do đó
d (A, (SBC)) = 2.d (O, (SBC)); 
SO ^ (ABCD) nên SO ^ BC 
Kẻ SJ ^ BC thì J là trung điểm của BC
Suy ra BC ^ (SOJ) Þ (SBC) ^ (SOJ)
(SBC) Ç (SOJ) º S.
Kẻ OH ^ SJ (H Î SJ). Khi đó d (O, (SBC)) = OH
Xét tam giác SOJ vuông tại O, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có 
	 mà , 
Suy ra 	 Vậy 
Sau khi đưa ví dụ này học sinh nhớ lại nhận xét trong phần định nghĩa về khoảng cách để phát hiện d (AD, SC) = d (AD, (SBC)). Rõ ràng ta đưa về bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, do đó cần sử dụng các kỹ năng đã trình bày ở vấn đề này để giải quyết bài toán. Như vậy nếu biết sắp xếp các bài toán có tính hệ thống thì việc giải toán của học sinh nhẹ nhàng hơn, phát huy được lối tư duy tích cực, sự kế thừa kết quả đã có, kỹ năng đã biết phục vụ vào giải các bài toán mới. 
Bài 13: (K- B 2007)
Cho hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông cạnh . là điểm đối xứng của qua trung điểm của . lần lượt là trung điểm của và . Tính khoảng cách giữa và . 
Hướng dẫn giải: Cách1: Sử dụng phương pháp véc tơ
Đặt: 	 Ta có: 
Gọi là đoạn vuông góc chung của và , ta có: 
Cách 2: Phương pháp trượt điểm
Ta có: ; nên tứ giác là hình bình hành
Do hình chóp SABCD đều 
D 
A
N 
C 
M 
H
K 
C1 
A1 
D1 
B
B 
Bài 14: (K- A 2006)
Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A1C và MN.
Phân tích, định hướng: Theo giả thiết, việc tính thể tích các khối chóp S.ABCD hay S.ABC hay AMNP là dễ dàng. Vậy ta có thể nghĩ đến việc quy việc tính khoảng cách từ P đến mặt phẳng (AMN)
Hướng dẫn giải: Cách 1: Phương pháp hình học không gian tổng hợp
Ta có MN // BC nên MN // (A1BC) 
Do đó d (MN, A1C) = d (MN, (A1BC)) = d (M, (A1BC)).
Gọi H = AB1 ∩ A1B và K là trung điểm của BH thì MK // AH và MK = AH.
Do AB1 ^ A1B nên MK ^ A1B.
Do CB ^ (BAA1B1) nên CB ^ MK Þ MK ^ (A1BC).
Vậy d (MN, A1C) = d (M, (A1BC)) = MK =AH = AB1 = 
Cách 2: Phương pháp toạ độ trong không gian
Xét hệ trục toạ độ Oxyz với: 
	A (0; 0; 0), B (a; 0; 0), C (a; a 0), D (0; a; 0)
	A1 (0; 0; a), B1 (a; 0; a), C1 (a; a; a) D1 (0; a; a)
	Þ M (; 0; 0) và = (a; a; - a) cùng phương 
với 	= (1; 1; -1); = (0; a; 0) cùng phương với 
	= (0; 1; 0). 
Khi đó VTPT của mặt phẳng (A1BC) là = (1; 0; 1). 
Phương trình tổng quát mặt phẳng (A1BC): x + z - a = 0.
Ta có MN // BC nên MN // (A1BC)
Do đó d (MN, A1C) = d (MN, (A1BC)) = d (M, (A1BC)) = 
Cách 3: Áp dụng công thức đổi khoảng cách và tính thể tích của khối đa diện
Ta có MN // BC nên MN // (A1BC) 
Do đó d (MN, A1C) = d (MN, (A1BC)) = d (M, (A1BC)).
Mặt khác AM ∩ (A1BC) = B nên 
Mà và 
Vậy d (M, (A1BC)) = .
	- Qua ví dụ này ta thấy, nếu học sinh được hướng dẫn và phân tích cụ thể đồng thời kết hợp với máy tính cầm tay các em có thể nhanh chóng cho đáp số chính xác. Điều này cần thiết cho các bài thi bằng trắc nghiệm khách quan.
Bài 15. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh bên bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600. Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AB, SC.
Phân tích, định hướng: Ta thấy AB và SC là hai đường thẳng chéo nhau nên khoảng cách giữa AB và SC bằng độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng. Tuy nhiên,việc xác định đoạn vuông góc chung của AB và SC là không đơn giản, do đó ta thực hiện đi tính khoảng cách giữa AB và mặt phẳng (SCD) song song với nó và chứa đường thẳng SC. Khi đó ta thực hiện tính khoảng cách từ một điểm tùy ý trên AB đến mặt phẳng (SCD), chẳng hạn là điểm A. Lúc này ta cần xác định hình chiếu của A lên mặt phẳng (SCD), nhưng việc làm này gặp phức tạp vì phải chọn mặt phẳng đi qua A và vuông góc với (SCD). Do đó ta thực hiện đổi khoảng cách tính từ điểm O đến mặt phẳng (SCD).
Hướng dẫn giải: 
Cách 1: Phương pháp hình học không gian tổng hợp
Gọi M là trung điểm CD, thì (SOM) ^ (SCD) và (SOM) Ç (SCD) = SM.
Trong mặt phẳng (SOM), kẻ OK ^ SM (K Î SM) thì OK ^ (SCD).
Do đó d (O, (SCD)) = OK.
Từ tam giác vuông SAO ta tính được AO = , SO = 
Hình vuông có độ dài cạnh bằng a nên OM = 
Từ tam giác SOM ta tính được OK = .
Mặt khác ta có AB // CD và AB Ë (SCD) do đó AB // (SCD).
Vậy 	d (AB, CD) = d (AB, (SCD)) = d (A, (SCD)).
Mà 	AO Ç (SCD) = C nên 
	Þ d (A, (SCD)) = 2 d (O, (SCD)) = 2OK = .
Cách 2: Phương pháp hình học không gian tổng hợp kết hợp công thức thể tích
Ta có AB // CD và AB Ë (SCD) do đó AB // (SCD).
Vậy d (AB, CD) = d (AB, (SCD)) = d (A, (SCD)).
Từ tam giác vuông SAO ta tính được AO = , SO = 
Từ tam giác vuông SOM ta tính được OM = , SM = 
Khi đó S∆SCD =.SM.CD = và VS.ACD == .
Vậy d (A, (SCD)) = = 
Cách 3: Phương pháp tọa độ trong không gian 
Từ giả thiết của bài toán ta xét hệ trục tọa độ Đê-cac vuông góc Oxyz với gốc tọa độ là: O (0; 0; 0), và các điểm có tọa độ 
A, B, C, S, D.
d (AB, CD) = = 
Chú ý: Ta có thể thực hiện tính cách khác như sau: 
Khi đó ta có phương trình mặt phẳng (SCD): x - y - z + = 0.
Do đó d (A, (SCD)) = .
Bài 16. Cho hình hộp ABCD.A¢B¢C¢D¢có A¢ABD hình chóp đều và AB = AA¢ = a. Tính theo a thể tích khối hộp ABCD.A¢B¢C¢D¢ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB¢ và A¢C¢.
Hướng dẫn giải: 
a. Tính thể tích khối hộp ABCD.A¢B¢C¢D¢
Do A¢ABD là hình chóp đều, khi đó gọi G là trọng tâm của tam giác ABD thì A¢G ^ (ABD) hay A¢G là chiều cao của hình hộp.
Gọi O là giao điểm của BD và AC thì 
Trong tam giác A¢AG ta có 
Do đó SABCD = 2SABD = và 
b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB¢ và A¢C¢ chéo nhau
Phân tích, định hướng: Ta thấy AB¢ và A¢C¢ là hai đường thẳng chéo nhau nên khoảng cách giữa AB¢ và A¢C¢ bằng độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng. Tuy nhiên,việc xác định đoạn vuông góc chung của AB¢ và A¢C¢ là phức tạp, do đó ta thực hiện đi tính khoảng cách giữa A¢C¢ và mặt phẳng (AB¢C) song song với nó và chứa đường thẳng AB¢. Khi đó ta thực hiện tính khoảng cách từ một điểm tùy ý trên A¢C¢ đến mặt phẳng (AB¢C), chẳng hạn là điểm H. Lúc này ta cần xác định hình chiếu K của H lên mặt phẳng (AB¢C), do đó ta cần chọn mặt phẳng đi qua H và vuông góc với mặt phẳng (AB¢C), ta thực hiện giải như sau: 
Cách 1: Phương pháp hình học không gian tổng hợp
Gọi H là giao điểm của B¢D¢ và A¢C¢. Do A¢C¢ // AC nên A¢C¢ // (AB¢C)
Do đó d (A¢C¢, AB¢) = d (A¢C¢, (AB¢C)) = d (H, (AB¢C)) 
Kẻ HE // A¢G (E Î AC) thì ta có mặt phẳng (B¢HE) vuông góc và cắt mặt phẳng (AB¢C) theo giao tuyến B¢E.
Kẻ HK ^ B¢E (K Î B¢E) thì HK ^ (AB¢C) hay d (H, (AB¢C)) = HK
Trong tam giác B¢HE ta có: 
	= Þ HK = 
Cách 2: Phương pháp hình học không gian tổng hợp kết hợp công thức thể tích
Phân tích, định hướng: Ta thấy AB¢ và A¢C¢ là hai đường thẳng chéo nhau nên khoảng cách giữa AB¢ và A¢C¢ bằng độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng. Tuy nhiên,việc xác định đoạn vuông góc chung của AB¢ và A¢C¢ là phức tạp, do đó ta thực hiện đi tính khoảng cách giữa A¢C¢ và mặt phẳng (AB¢C) song song với nó và chứa đường thẳng AB¢. Khi đó ta thực hiện tính khoảng cách từ một điểm tùy ý trên A¢C¢ đến mặt phẳng (AB¢C), chẳng hạn là điểm A¢. Lúc này ta cần xác định hình chiếu của A¢ lên mặt phẳng (AB¢C), tuy nhiên việc xác định này gặp phức tạp do đó ta thực hiện tính khoảng cách từ điểm B như sau: 
Dễ thấy d (A¢, (AB¢C)) = d (B, (AB¢C))
Ta có VB¢.ABC = 
Trong tam giác B¢HE ta có 
Khi đó tam giác AB¢C có diện tích S∆AB¢C =.
	d (B, (AB¢C)) = .
Cách 3: Phương pháp tọa độ trong không gian: 
Từ giả thiết của bài toán ta xét hệ trục tọa độ Đê-cac vuông góc Oxyz với gố tọa độ O (0; 0; 0), và tọa đọ các điểm: 
A, A¢, C¢, B¢.
Ta có d (A¢C¢, AB¢) = = 
Chú ý: Ta có thể thực hiện tính cách khác như sau: 
Từ hệ tọa độ đã chọn ta có phương trình mặt phẳng (AB¢C): 2y - z = 0
	d (A¢C¢, AB¢) = d (A¢C¢, (AB¢C)) = d (A¢, (AB¢C)) = 
4. Một số bài tập tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
Bài 17: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (SCD).
Nhận xét: Ta có AB// (SCD) nên khoảng cách từ AB đến (SCD) bằng khoảng cách từ điểm A (hoặc 1 điểm nằm trên AB) đến (SCD).
Hướng dẫn giải: Gọi O là tâm hình vuông ABCD 
Khi đó , kẻ ; 
Ta tính được: 
Và ta có 
Vậy: 
Bài 18: Cho hình lập phương ABCD.A'B'CD' có cạnh bằng a. Tính khoảng cách giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (CB'D').
Nhận xét: Đây là bài toán tính khoảng cách từ 1 đường thẳng đến 1 mặt phẳng song song nên ta có thể tính tương tự bài 17, nhưng ở đây ta cũng có thể tính khoảng cách bằng phương pháp tọa độ.
Hướng dẫn giải: Từ giả thiết của bài toán ta xét hệ trục tọa độ Đê-cac vuông góc Oxyz với 
A (0; 0; 0); B (1; 0; 0); D (0; 1; 0); A’ (0; 0; 1); C (1; l; 0); B' (l; 0; l); D' (0; 1; l); C’ (l; 1; l)
 = (0; -1; 1); = (-1; 0; 1)
Mặt phẳng (CB'D') có véc tơ pháp tuyến là = (-1; -1; -1)
Khi đó phương trình mặt phẳng (CB'D') là 
X + y + z - 2 = 0
Vậy: 
5. Một số bài tập tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Bài 19: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh bằng 1. Một mặt phẳng bất kì đi qua đường chéo B’D.
a) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ACD’) và (A’BC’)
b) Xác định vị trí của mặt phẳng sao cho diện tích của thiết diện cắt bởi mp và hình lập phương là bé nhất.
Phân tích, định hướng: Với một hình lập phương ta luôn chọn được một hệ toạ độ thích hợp, khi đó tạo độ các đỉnh đã biết nên việc tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ACD’) và (A’BC’) trở nên dễ dàng. Với phần b, ta quy việc tính diện tích thiết diện về việc tính khoảng cách từ M đến đường thẳng DB’.
Lời giải: Chọn hệ toạ độ sao cho gốc toạ độ 
Gọi M là điểm bất kì trong đoạn thẳng C’D’, tức 
a) Dễ dàng chứng minh được (ACD’) // (A’BC’)
Mặt phẳng (ACD’) có phương trình: 
b) Giả sử cắt (CDD’C’) theo giao tuyến DM, do hình lập phương có các mặt đối diện song song với nhau nên cắt (ABB’A’) theo giao tuyến B’N//DM và DN//MB’. Vậy thiết diện là hình bình hành DMB’N.
Gọi H là hình chiếu của M trên DB’. Khi đó: 
	. Ta có: 
Dấu đẳng thức xảy ra khi .
Nên diện tích nhỏ nhất khi , hay M là trung điểm D’C’
Hoàn toàn tương tự nếu 
Vậy diện tích nhỏ nhất khi M là trung điểm D’C’ hoặc M là trung điểm D’A’.
Bài 20: Cho hình lập phương có cạnh bằng a. Tính theo a khoảng cách giữa hai mặt phẳng và .
Lời giải: Cách 1: Phương pháp hình học không gian tổng hợp
Phân tích, định hướng: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng và song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng đến mặt phẳng . Tuy nhiên ta cần chọn điểm sao cho qua điểm đó có mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng , khi đó nếu gọi O và O¢ lẩn lượt là tâm của hai hình vuông ABCD và thì điểm O chính là điểm thỏa mãn yêu cầu.
Gọi O và O¢ lẩn lượt là tâm của hai hình vuông ABCD và .
Dễ thấy //nên d (,) = d (O, ).
Mặt khác mặt phẳng đi qua O và vuông góc và cắt mặt phẳng theo giao tuyến , khi đó kẻ OK ^ (KÎ ) thì OK ^ Vậy d (O,) = OK
Trong tam giác vuông ta có = a và OA = , suy ra OK = 
Cách 2: Phương pháp hình học không gian tổng hợp kết hợp công thức thể tích
Phân tích, định hướng: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng và song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng đến mặt phẳng . Khác với cách giải 1, ta chọn điểm .
Ta có Ç= nên d () = d ()
Mặt khác = và = 
Vậy d () = = 
Cách 3: Phương pháp tọa độ trong không gian 
Phân tích, định hướng: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng và song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng đến mặt phẳng ,ta chọn điểm B.
Từ giả thiết của bài toán ta xét hệ trục tọa độ Đê-cac vuông góc Oxyz với 
C (0; 0; 0), B (a; 0; 0), A (a; a; 0), C¢ (0; 0; a) B¢ (a; 0; a), D¢ (0; a; a).
Ta có phương trình mặt phẳng : x + y + z - 2a = 0
Vậy d () = .
6. Một số bài tập đề nghị
Bài 1: Cho hình chóp A.BCD có cạnh AC (BCD) và BCD là tam giác đều cạnh bằng a. Biết và M là trung điểm của BD. Tính khoảng cách từ C đến đường thẳng AM 
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA (ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AD = 2a, SA = a. Tính khoảng cách từ A đến (SCD).
Bài 3. K-D 2011). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB = và . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a.
Bài 4. (K-D 2009). 
Cho hình lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’,I là giao điểm của AM và A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ A điểm đến mặt phẳng (IBC)
Bài 5: (K- B 2011). Cho lăng trụ ABCDA1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật . Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD, góc giữa hai mặt phẳng (ADD1A1) và (ABCD) bằng 600. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a.
Bài 6: (THPTQG-2019).Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , mặt bên là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (minh họa như hình vẽ bên). Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng
Bài 7: (THPTQG-2020-Lần 1).Cho hình lăng trụ đứng có tất cả các cạnh bằng . Gọi là trung điểm của . Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng .
Bài 8.Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD là hình thoi cạnh a, tâm O, góc . Các cạnh bên SA = SC; SB = SD .
a) Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SBC).
b) Tính khoảng cách giữa các đường thẳng SB và AD.
Bài 9. Cho tứ diên OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và . Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng OM và CN.
Bài 10. (K- D 2008). Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA' = a 2. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B'C.
Bài 11: (K-A 2010). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a.
Bài 12. (K- A 2011). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60o. Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.
Bài 13. (THPTQG-2018).Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, , , vuông góc với mặt phẳng đáy và . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và .
Bài 14: (THPTQG-2020-Lần 2).Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại , . vuông góc với mặt phẳng đáy và . Gọi là trung điểm của . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và .
Bài 15: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), mặt đáy ABCD là hình thang vuông có chiều cao AB = a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tính khoảng cách giữa đường thẳng IJ và (SAD).
Bài 16: Cho hình thang vuông ABCD vuông ở A và AD = 2a. Trên đường thẳng vuông góc tại D với (ABCD) lấy điểm s với SD . Tính khoảng cách giữa đường thẳng DC và (SAB).
Bài 17: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A' B'C'D' có cạnh đáy bằng a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AD, DC, A' D'. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (MNP) và (ACC').
Bài 18: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = 4, AD = 3. Mặt phẳng (ACD') tạo với mặt đáy một góc 60°. Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy của hình hộp.
IV. HIỆU QUẢ ÁP DỤNG
Trong năm học vừa qua,giảng dạy áp dụng đề tài cho 2 lớp 11A2, 11A1 tôi thấy kết quả đạt được như sau: 
- Hầu hết học sinh hiểu, nắm chắc, khắc sâu được kiến thức về phần học.
- Học sinh hứng thú trong giải bài tập. Tạo không khí sôi nổi, có những phát hiện mới mẻ có tính sáng tạo trong giờ học.
- Giáo viên rất nhàn trong quá trình lên lớp mà vẫn đạt được những mục đích của tiết dạy. Chủ động cùng khám phá tri thức với học sinh.
- Học sinh áp dụng làm được các bài tập khác đặc biệt là với những đề bài có tính phát hiện và phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo của học sinh.
- Tiến hành cho các em làm bài kiểm tra 45 phút thì kết quả thu được khả quan hơn so với trước khi áp dụng đề tài, kết quả thống kê: 
Lớp
Điểm < 3.5
3.5£ Điểm < 5.0
5,0 £ Điểm
12A2
5%
25%
70%
12A1
0%
15%
85%
PHẦN III. KẾT LUẬN
1. Quá trình thực hiện đề tài
TT
Thời gian
Nội dung công việc
Sản phẩm
1
Từ tháng 3 đến tháng 5/ 2020
Nghiên cứu về các bài khoảng cách, khảo sát các em học sinh ở 2 lớp 11A1 và 11A2
Chọn đề tài
2
Từ tháng 5 đến tháng 7/2020
Nghiên cứu thêm tài liệu, trao đổi với đồng nghiệp, tổng hợp cơ sở lý thuyết và hệ thống bài tập
Đề cương sáng kiến; Hệ thống bài tập điển hình
3
Từ tháng 7 đến tháng 9/2020
Đưa vào dạy thực nghiệm ôn thi cho lớp 12A3 năm học 2020-2021 và ôn thi học sinh giỏi lớp 11
Theo dõi sự tác động của đề tài và sự tiến bộ của học sinh
4
Từ tháng 10 đến tháng 12/2020
Nghiên cứu thêm tài liệu và các đề thi qua các năm. Dạy ôn thi THPTQG cho 2 lớp 12A1, 12A2 (Là lớp 11A1, 11A1 đã khảo sát)
Thống kê kết quả
5
Từ tháng 12/2020 đến tháng 2/2021
Hoàn thiện đề tài
Đề tài chính thức
2. Ý nghĩa của đề tài
- Giúp học sinh có cái nhìn tổng quát và có hệ thống về bài toán tính khoảng cách, từ đó có kĩ năng giải thành thạo các bài toán thuộc chủ đề này và hơn thế có thể ứng dụng chúng vào bài toán tính thể tích và một số bài toán thực tế khác. 
- Giải quyết một cách tương đối triệt để bài toán về tính khoảng cách của các đối tượng điểm, đường thẳng và mặt phẳng.
- Thông qua việc vẽ hình, tính toán, tìm con đường tối ưu để tính khoảng cách, tạo cho các em khả năng làm việc độc lập, sáng tạo, phát huy tối đa tính tích cực của học sinh theo đúng tinh thần phương pháp mới của Bộ Giáo dục và Đào tạo. Điều quan trọng là tạo cho các em niềm tin, khắc phục được tâm lí sợ bài toán về hình học không gian.
- Giúp cho giáo viên thực hiện tốt nhiệm vụ bồi dưỡng chuyên môn và nâng cao chất lượng giáo dục, giúp học sinh hình thành tư duy logic kỹ năng phân tích để đi đến một hướng giải đúng và thích hợp khi gặp một số bài toán tính khoảng cách.
Hi vọng đề tài này là nguồn tư liệu tham khảo cho quý thầy cô giáo trong quá trình giảng dạy cũng như tài liệu cho các em học sinh học tập.
3. Khả năng ứng dụng, triển khai
Với cách trình bày logic, khoa học, súc tích trên cơ sở nền tảng là những kiến thức căn bản của toán THPT, đề tài có khả năng ứng dụng, triển khai trong các buổi sinh hoạt Tổ chuyên môn, trong các câu lạc bộ toán học, cho ôn thi học sinh giỏi, học sinh ôn thi đại học hoặc để nâng cao kiến thức cho học sinh.
4. Hướng phát triển
Hướng phát triển tiếp theo của đề tài, tác giả sẽ đi sâu hơn vào các lớp bài toán khác liên quan đến chủ khoảng cách số như các bài toán về tính góc giữa các đối tượng hình học hay chứng minh đẳng thức hình học; các bài toán về ứng dụng của phương pháp tọa độ để giải các bài toán hình học không gian,
5. Kiến nghị
Mong các đồng nghiệp và người đọc góp ý thêm để đề tài ngày được hoàn thiện và phát triển thêm.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. 	Trần Thành Minh, Giải toán hình học 11, NXB Giáo dục.
2. 	Sách GK, bài tập, nâng cao toán 11, 12- Bộ Giáo dục và Đào tạo
3. 	Đề thi THPTQG năm 2018, 2019, 2020 - Bộ Giáo dục và Đào tạo.
4. 	Đề thi thử các trường, các Sở Giáo dục và Đào tạo trên toàn quốc.
5. 	Báo toán học tuổi trẻ; Các trang Web: mathscope.org; boxmath.vn; math.vn
6. 	Hướng dẫn ôn thi THPT Quốc gia 2018, 2019, 2020 - Bộ Giáo dục và ĐT.
7.	Võ Đại Mau, Tuyển tập 170 bài toán hình học không gian, NXB Trẻ.