SKKN Bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh từ quá trình tìm lời giải các bài toán ở chương tổ hợp và xác suất Lớp 11

 
Tương tự dạy học quy tắc cộng, sau khi khái quát hóa về quy tắc nhân, GV cần 
đưa ra sơ đồ sau: 
Giai đoạn A1 
m1 cách 
Công việc A 
Giai đoạn A2 
m2 cách 
Giai đoạn Ak 
 mk cách 
Qua sơ đồ này, GV nhấn mạnh để HS thấy công việc A muốn hoàn thành buộc 
phải trải qua tất cả các giai đoạn từ 1A đến kA , không bỏ qua giai đoạn nào, không có 
cách nào ở giai đoạn thứ 1iA lại có thể phụ thuộc vào cách nào đó ở giai đoạn thứ iA , 
hay nói cách, khác ứng với mỗi cách chọn ở giai đoạn 1A thì sẽ có 1im cách chọn ở giai 
đoạn 1iA . Và điều trước hết là phải biết chỉ ra các hành động cần làm khi thực hiện công 
việc A, sau đó mới tìm số cách thực hiện mỗi hành động đó. 
 22 
Chẳng hạn, với bài toán: Một nhóm HS gồm 16 em, trong đó có 4 HS lớp 10, 5 
HS lớp 11 và 7 HS lớp 12. Thầy giáo cần chọn 3 HS trong nhóm sao cho có 1 em lớp 
10, 1 em lớp 11, 1 em lớp 12. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? 
GV có thể hướng dẫn HS tìm ra cách giải bằng các câu hỏi gợi ý như sau: Công 
việc cần giải quyết của thầy giáo là gì? Hãy chỉ ra một kết quả của công việc? Để 
hoàn thành được công việc đó cần thực hiện những hành động nào? Mỗi hành động 
như vậy có tương ứng bao nhiêu cách thực hiện? Với sự gợi ý như vậy, từng bước HS 
sẽ chỉ ra được công việc cần làm của thầy giáo là chọn ra 3 HS trong nhóm sao cho 
có cả HS của các lớp 10,11,12. Một kết quả của công việc chẳng hạn như chọn 3 bạn 
Hằng Hà Khải (giả sử như Hằng thuộc nhóm HS lớp 10, Hà thuộc nhóm HS lớp 11, 
Khải thuộc nhóm HS lớp 12). Công việc muốn hoàn thành phải thực hiện đồng thời 3 
hành động: Thứ nhất là chọn HS lớp 10, thứ hai là chọn HS lớp 11, thứ ba là chọn HS 
lớp 12 (thứ tự có thể thay đổi). Từ đó, HS có thể áp dụng quy tắc nhân để giải tiếp. 
Tiếp theo, GV có thể yêu cầu HS giải bài toán ở mức độ khó hơn như: Có bao 
nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số đôi một khác nhau? 
Tương tự bài toán trên, HS sẽ tìm ra được công việc này muốn hoàn thành phải 
trải qua 3 giai đoạn: Thứ nhất là chọn chữ số hàng trăm, thứ hai là chọn chữ số hàng 
chục, thứ ba là chọn chữ số hàng đơn vị. 
Để giúp HS hiểu sâu sắc hơn, GV có thể yêu cầu HS trả lời câu hỏi: Chúng ta 
có thể thay đổi thứ tự cho các hành động ở giai đoạn thứ nhất và giai đoạn thứ hai hay 
không? Nếu ở giai đoạn thứ nhất chúng ta chọn chữ số hàng chục, giai đoạn thứ hai 
chọn chữ số hàng trăm sẽ gặp khó khăn gì? 
GV mong đợi HS trả lời như sau: Nếu chữ số hàng chục khác số 0 thì chữ số hàng 
trăm còn lại 8 sự lựa chọn, còn nếu chữ số hàng chục là 0 thì chữ số hàng trăm lại có 9 sự 
lựa chọn, nghĩa là việc chọn chữ số hàng trăm ở giai đoạn thứ hai phụ thuộc vào việc chọn 
chữ số hàng chục ở giai đoạn thứ nhất. Do đó, thứ tự các hành động cần làm như vậy chưa 
hợp lý vì không đủ điều kiện để áp dụng quy tắc nhân. 
Sau khi dạy học hai quy tắc, GV cần nhấn mạnh vào những dấu hiệu đặc trưng, 
chẳng hạn như: 
- Công việc được thực hiện bằng nhiều phương án (nhiều khả năng hay nhiều 
trường hợp) thì dùng quy tắc cộng. 
- Công việc gồm nhiều giai đoạn (nhiều công đoạn, nhiều bước) thì dùng quy 
tắc nhân. 
Việc phân tích và nhấn mạnh như vậy sẽ giúp cho HS hiểu sâu sắc các quy tắc, 
phân biệt hai quy tắc, biết được khi nào sử dụng quy tắc cộng, khi nào sử dụng quy 
tắc nhân. 
Tương tự, khi dạy học khái niệm chỉnh hợp và khái niệm tổ hợp, GV cần nhấn 
mạnh: Từ tập A lấy ra một số phần tử mà quan tâm đến thứ tự của chúng thì dùng 
chỉnh hợp, còn không quan tâm đến thứ tự của chúng thì dùng tổ hợp. 
 23 
c) Yêu cầu HS trả lời các câu hỏi trắc nghiệm khách quan nhiều lựa chọn, 
trong đó có những phương án gây nhiễu dựa vào các sai lầm HS thường gặp mà thầy 
giáo đã dự kiến. 
Chẳng hạn, với câu hỏi: "Một hộp đựng 20 viên bi gồm 8 bi xanh, 7 bi đỏ, 5 bi 
vàng. Chọn ngẫu nhiên 6 viên bi trong hộp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong 6 
viên bi đó có đủ cả 3 màu?", GV có thể tạo các phương án sau: 
 A. 190400 ( 1
8C
1
7C
1
5C
3
17C ); 
 B. 31115 ( 6
20C - 
6
15C -
6
13C -
6
12C ); 
 C. 31080 ( 6
20C - 
6
15C -
6
13C -
6
12C - 
6
8C -
6
7C ); 
 D. 31150 ( 6
20C - 
6
15C -
6
13C -
6
12C +
6
8C +
6
7C ). 
Các phương án nhiễu A, B, C đã được phân tích trong phần 1) Nguyên nhân sai 
lầm của HS khi học chủ đề tổ hợp. Phương án D là phương án đúng. 
Với câu hỏi: "Có bao nhiêu số tự nhiên, mà mỗi số có 6 chữ số khác nhau đồng 
thời luôn có mặt chữ số 0 và 1?", chúng ta có thể tạo các phương án sau: 
A. 6
8
6
10 AA  B. 
6
8
5
99 AA  C. 
4
8.6.5 A D. 
4
8.5.5 A 
Phương án A và B đươc̣ xây dưṇg dựa trên sai lầm e). Phương án A còn phạm 
phải sai lầm ở c). Ở phương án C, chúng tôi đã dự đoán HS đã biết phương pháp 
chung để giải dạng toán này: Xem mỗi cách chọn một số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu 
bài toán là môṭ cách sắp xếp 6 chữ số từ tập hợp  9;8...;;2;1;0E vào 6 ô trống trong 
đó hai chữ số 0 và 1 luôn được sắp xếp vào 2 trong 6 ô, 4 chữ số từ tâp̣ hơp̣ 
 9;8...;;2F đươc̣ xếp vào bốn ô trống còn laị. Chữ số 0 có 6 cách xếp (sai lầm c), 
phương án đúng là 5 cách), chữ số 1 có 5 cách xếp, 4 chữ số còn lại có 4
8A cách. Theo 
quy tắc nhân có 4
8.5.6 A . Phương án D là phương án đúng. 
Qua việc lựa chọn các phương án sai lầm của HS, GV yêu cầu HS giải thích tại 
sao lại chọn phương án đó, và HS sẽ tự mình phát hiện ra nguyên nhân của sự sai lầm. 
d) Yêu cầu HS giải bài toán theo nhiều cách khác nhau và so sánh các cách 
giải. 
Ví dụ: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau trong đó có mặt chữ 
số 0 và chữ số 1? 
Cách 1: Xem việc lập số thỏa mãn yêu cầu bài toán là công việc sắp 6 chữ số 
vào 6 ô trống trong đó có 1 ô chứa số 0, một ô chứa số 1, 4 ô còn lại chọn từ tập hợp 
 9;;3;2 E gồm 8 chữ số. Công việc này trải qua 3 giai đoạn như sau: 
Giai đoạn 1: Sắp chữ số 0 vào một trong 5 ô trống sau (trừ ô đầu tiên) có 5 cách 
sắp. 
Giai đoạn 2: Sắp chữ số 1 vào một trong 5 ô trống còn lại (trừ ô chứa số 0) có 5 
cách sắp. 
 24 
Giai đoạn 3: Chọn 4 chữ số từ tập E sắp vào 4 ô còn lại (trừ hai ô chứa số 0 và 
số 1) có 4
8A cách. 
Theo quy tắc nhân có tất cả 4
8.5.5 A cách. 
Cách 2: Chia tập hợp gồm 6 chữ số khác nhau thành 4 loại: 
Loại 1: Các số không có mặt chữ số 0 và chữ số 1. Mỗi số như vậy là một chỉnh 
hợp chập 6 của tập  9;;3;2 E nên có 6
8A số. 
Loại 2: Các số có mặt số 0 nhưng không có mặt số 1. Xem việc thành lập mỗi 
số loại này trải qua 2 giai đoạn. Giai đoạn 1 xếp số 0 vào một trong 5 vị trí sau (trừ vị 
trí đầu tiên) có 5 cách, giai đoạn 2 chọn 5 chữ số từ tập  9;;3;2 E sắp vào 5 ô còn 
lại có 5
8A cách. Theo quy tắc nhân, loại này có 
5
8.5.5 A số (mỗi cách cho ta một số). 
Loại 3: Các số có mặt số 1 nhưng không có mặt số 0. Tương tự loại 2, loại này 
có 5
8.6 A số. 
Loại 4: Các số có mặt chữ số 0 và chữ số 1 (thỏa mãn yêu cầu bài toán), giả sử 
là x. 
Số các số gồm 6 chữ số khác nhau là 5
9.9 A . 
Theo quy tắc cộng, ta có  58
5
8
6
8
5
9 .6.5.5.9 AAAAx 
Cách 3: Vì số cần lập có 6 chữ số mà đã có mặt 0 và 1 nên chỉ cần chọn thêm 4 
chữ số từ tập  9;;3;2 E . Mỗi bộ gồm 4 chữ số vừa chọn cùng với 2 số 0 và 1 tạo 
thành một bộ có 6 chữ số. Mỗi hoán vị của 6 chữ số này trừ đi các hoán vị có chữ số 
0 đứng đầu là một số thỏa mãn yêu cầu bài toán. Do đó, để lập mỗi số như vậy là một 
công việc trải qua 3 giai đoạn. 
Giai đoạn 1: Chọn 4 chữ số bất kỳ từ  9;;3;2 E có 4
8C cách. 
Giai đoạn 2: Từ bộ 6 chữ số gồm 4 số vừa chọn cùng với hai số 0 và 1 ta lấy số 
0 sắp vào một trong 5 vị trí sau, có 5 cách. 
Giai đoạn 3: Sắp 5 chữ số còn lại trong bộ vào 5 ô trống còn lại, có !5 cách. 
Theo quy tắc nhân, có tất cả !5.5.48C số. 
Cách 4: Việc lập số thỏa mãn yêu cầu bài toán có 2 phương án: 
Phương án 1: Chữ số 1 ở vị trí đầu tiên. 
Giai đoạn 1: Sắp số 0 vào một trong 5 ô còn lại, có 5 cách sắp. 
Giai đoạn 2: Chọn 4 chữ số từ tập  9;;3;2 E sắp vào 4 ô còn lại, có 4
9A cách. 
Theo quy tắc nhân, trường hợp này có 4
9.5 A số. 
Phương án 2: Chữ số 1 không ở vị trí đầu tiên. 
Giai đoạn 1: Sắp số 1 vào một trong 5 ô, có 5 cách sắp. 
Giai đoạn 2: Sắp số 0 vào một trong 4 ô cṇ lại (trừ ô đầu và ô chứa số 1), có 4 
cách sắp. 
 25 
Giai đoạn 3: Chọn 4 chữ số từ tập  9;;3;2 E và xếp vào 4 ô còn lại, có 4
8A cách. 
Theo quy tắc nhân, trường hợp này có 4
8.4.5 A số. 
Theo quy tắc cộng, có tất cả 4
8
4
9 .4.5.5 AA  số. 
Mỗi cách giải ở trên là một cách nhìn bài toán ở một góc độ khác nhau. Trong 
các cách giải đó thì cách giải thứ nhất là tốt nhất. 
Việc tìm nhiều lời giải khác nhau cho cùng một bài toán giúp HS hiểu sâu sắc 
hơn, HS biết nhìn một sự việc dưới nhiều khía cạnh khác nhau, biết so sánh các cách 
giải để tìm cách giải tốt nhất. Hơn nữa, khi đứng trước một vấn đề trong cuộc sống, 
các em sẽ linh hoạt hơn trong việc tìm các phương án giải quyết và chuyển hướng khi 
cần thiết. 
3. Thực nghiệm 
3.1. Mục đích thực nghiệm 
 Thực nghiệm sư phạm được tiến hành nhằm mục đích kiểm nghiệm tính khả thi 
và tính hiệu quả của những đề xuất của sáng kiến, nhằm bồi dưỡng năng lực giải quyết 
vấn đề và sáng tạo cho học sinh khi học nội dung Tổ hợp – Xác suất ở lớp 11. 
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm 
Thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại trường THPT Quỳnh Lưu 2- Quỳnh 
Lưu - Nghệ An. 
+ Lớp thực nghiệm: 11A2 
+ Lớp đối chứng: 11A3 
Thời gian thực nghiệm được tiến hành vào khoảng từ tháng 8 đến tháng 10 năm 
2020. 
Ở lớp thực nghiệm 11A2, tác giả dạy học trực tiếp chủ đề trên với các biện 
pháp bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo học cho học sinh mà đề 
tài đã trình bày. 
Để thể hiện được ý tưởng của đề tài, tài liệu thực nghiệm sư phạm được biên 
soạn để dạy trong 14 tiết theo chương trình chính khóa chương “Tổ hợp – Xác suất” 
ở SGK Đại số & Giải tích lớp 11 theo hướng bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề và 
sáng tạo cho học sinh. Tài liệu thực nghiệm được trình bày dưới dạng giáo án, các 
phiếu học tập trong các giờ thực nghiệm đã được chuẩn bị sẵn cho lớp thực nghiệm. 
Nội dung trong các giáo án thực nghiệm về cơ bản như nội dung có trong SGK 
Toán 11, bám sát chuẩn kiến thức, kĩ năng theo quy định của Bộ Giáo dục và Đào 
tạo. Tuy nhiên, trong mỗi bài dạy cụ thể có thể có thêm hoạt động để phục vụ ý đồ 
đưa ra nhằm bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh. 
Sau khi dạy thực nghiệm, chúng tôi cho học sinh làm 2 bài kiểm tra ở cả lớp 
thực nghiệm và lớp đối chứng. Sau đây là nội dung các đề kiểm tra: 
 26 
Đề 1: 
Câu 1: Tính giá trị biểu thức: 0 1 2 2 2019 20192019 2019 2019 20193 3 ...3A C C C C    
Đề xuất một bài toán tương tự. 
Câu 2: Có 5 bông hoa khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 bông hoa để 
cắm vào lọ. 
Một học sinh giải như sau: 
Chọn bông hoa thứ nhất có 15C cách chọn. 
Chọn bông hoa thứ hai có 14C cách chọn. 
Chọn bông hoa thứ ba có 13C cách chọn. 
Theo quy tắc nhân số cách chọn 3 bông hoa từ 5 bông hoa khác nhau là 
1 1 1
5 4 3 60C C C  cách chọn. 
Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai chỉ ra sai lầm bài giải? Hãy trình bày một 
cách giải đúng. 
Câu 3: Trường THPT Quỳnh Lưu 2 tổ chức giải Bóng đá chào mừng kỷ niệm 
ngày thành lập đoàn TNCS Hồ Chí Minh 26/3 gồm 16 đội chia thành 4 bảng, mỗi 
bảng có 4 đội thi đấu bốn vòng như sau: 
Vòng 1: Các đội trong bảng thi đấu vòng tròn với nhau, sau đó chọn 2 đội đứng 
đầu mỗi bảng vào vòng 2. 
 Vòng 2: Bắt thăm sao cho đội nhất bảng này sẽ gặp đội nhì bảng khác. 
Vòng 3: Bốn đội thắng ở vòng 3 bốc thăm đấu loại trực tiếp, hai đội thắng sẽ 
tranh chức vô địch, hai đội thua sẽ tranh giải ba. 
Vòng 4: Tranh giải 3: hai đội thua vòng 3. Tranh giải nhất: hai đội thắng vòng 
ba. 
Ban tổ chức cần bao nhiêu ngày để hoàn thành các trận đấu biết mỗi ngày đá 4 
trận và thi đấu liên tục. 
Dụng ý của đề: 
Câu 1 dụng ý của đề từ công thức nhị thức Newton học sinh sử dụng thao tác tư 
duy đặc biệt hóa, tương tự hóa để tìm tòi lời giải toán và sáng tạo bài toán mới. 
Câu 2 dụng ý để học sinh phát hiện ra sai lầm của bài giải trên (theo quy tắc 
nhân thì công việc hoàn thành gồm 3 công đoạn chọn bông hoa thứ nhất, chọn bông 
hoa thứ hai và chọn bông hoa thứ ba, điều đó đòng nghĩa với có phân biệt thứ tự 
nhưng yêu cầu bài toán không phân biệt thứ tự ) từ việc phân tích sai lầm của bài giải 
học sinh đưa ra cách giải đúng cho bài toán. 
Câu 3 dụng ý đưa ra một vấn đề của thực tế có nhiều chi tiết phụ. Học sinh biết 
chọn lọc, gạt bỏ những yếu tố phụ không bản chất đi chỉ giữ lại các yếu tố toán học 
 27 
của vấn đề. Từ đó đưa một vấn đề thực tế thành một bài toán đại diện cho tình huống 
thực tế. Giải bài toán ta sẽ có câu trả lời cho vấn đề thực tế. 
Đề 02 
Câu 1: Cho tập  1;2;3;4;5;6A  Hỏi có ba nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi 
một khác nhau? Tính tổng của các số này. 
Câu 2: Cho tập  1,2,3,4,5,6A  Hỏi có bao nhiêu số gồm bốn chữ số khác 
nhau mà luôn có mặt số 1, 2. Hãy giải bài toán bằng nhiều cách giải khác nhau. 
Câu 3: Một tổ có 8 học sinh nam, 7 học sinh nữ. Chọn ra 1 nhóm gồm 6 học 
sinh sao cho có ít nhất 2 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? 
Học sinh giải như sau: 
Bước 1: Chọn ra 2 nữ có 27C cách chọn 
Bước 2: Chọn 4 bạn bất kỳ từ 13 bạn còn lại có 413C cách 
Vậy số cách để chọn ra 6 học sinh từ 15 học sinh trong đó có ít nhất 2 nữ là 
2 4
7 13. 15015C C  cách. 
Hãy chỉ ra sai lầm của bài giải? Đưa ra cách giải đúng cho bài toán. 
Câu 4: Kết quả thi tuyển sinh đại học năm học 2017-2018 lớp 12A1 trường 
THPT Quỳnh Lưu 2 có 8 HS gồm 5 học sinh nam và 3 học sinh nữ đậu vào khoa Kế 
toán của trường ĐH Kinh tế quốc dân. Giả sử khoa kế toán có 4 lớp. Tính xác suất để 
tất cả các HS nam vào một lớp, các HS nữ ở những lớp còn lại. 
Dụng ý của đề: 
Câu 1 Ở bài toán này việc tính số các số gồm 6 chữ số khác nhau chỉ cần dùng 
hoán vị của 6 số hạng đã cho. Để tính được tổng của các số tìm được cần xác định 
được số lần xuất hiện mỗi chữ số ở hàng đơn vị, hàng trăm là bao nhiêu lần từ đó 
đưa ra cách tính tổng. 
Câu 2 dụng ý để học sinh thay đổi cách nhìn, cách suy luận, từ đó đưa ra các 
cách giải khác nhau cho bài toán. 
Câu 3 dụng ý để học sinh học tập từ những sai lầm. Muốn thế phải phát hiện ra 
sai lầm của bài toán, từ đó đề xuất phương án đúng. 
Câu 4 dụng ý đưa ra một bài toán thực tế, học sinh biết vận dụng các kiến thức 
phù hợp để giải bài toán. 
 28 
3.3. Phân tích kết quả thực nghiệm 
* Đánh giá định tính 
- Học sinh biết xác định được vấn đề cần giải quyết một tình huống toán học. 
- Biết vận dụng sáng tạo kiến thức vào giải quyết tình huống mới: đưa ra bài 
toán tương tự, giải các bài toán thực tế, giải bài toán bằng nhiều cách. 
- Biết chuyển tải tri thức và kỹ năng từ lĩnh vực quen biết sang tình huống mới, 
vận dụng kiến thức đã học trong điều kiện hoàn cảnh mới. 
- Thái độ học tập tích cực, chủ động và sáng tạo 
- Có thói quen phân tích mối liên hệ giả thiết và kết luận bài toán để định 
hướng tìm lời giải bài toán. 
- Học sinh chưa thấy được sự cần thiết phải giải một bài toán bằng nhiều cách 
khác nhau. Khi đứng trước bài toán mà giáo viên yêu cầu giải bằng nhiều cách khác 
nhau, đa số học sinh chú trọng tìm nhiều hướng giải nhưng chưa chú ý so sánh các 
cách giải đó để tìm ra ưu điểm và yếu điểm của từng cách giải để từ đó có thể đưa ra 
một lớp các bài toán có cùng cách giải. 
- Khi đứng trước các bài toán có chứa những con số mang tính đặc thù, đa số 
học sinh không có nhu cầu tạo ra các bài toán mới bằng tương tự hóa, khái quát hóa 
hay đặc biệt hóa. 
- Khi học mỗi chủ đề, nhiều học sinh cũng chưa có ý thức trong việc phân tích 
các sai lầm thường gặp, khái quát từ các sai lầm cụ thể thành sai lầm tổng quát và tìm 
các biện pháp khắc phục. 
- Việc giải một bài toán bằng nhiều cách học sinh chỉ thực hiện khi có yêu cầu 
của giáo viên. Các em ít khi chủ động tìm cách giải mới từ các bài toán đã biết và bài 
toán mới. 
- Chưa có thói quen gắn toán học với thực tiễn. Đa số học sinh chỉ thích các bài 
toán mang tính toán học thuần túy. 
- Năng lực giải quyết vấn đề biểu hiện không rõ với đối tượng học sinh trung 
bình và yếu. 
*Đánh giá định lượng 
Thống kê kết quả qua hai bài kiểm tra 
Chúng tôi xây dựng thang đánh giá bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề và 
sáng tạo cho học sinh của học sinh như sau: 
+ Mức độ 1: Bài làm đạt 9 – 10 điểm 
+ Mức độ 2: Bài làm đạt 7 – <9 điểm 
+ Mức độ 3: Bài làm đạt 5 – <7 điểm 
+ Mức độ 4: Bài làm đạt 0 – <5 điểm 
 29 
a. Kết quả bài kiểm tra trước thực nghiệm 1 
Bảng 3.1.Kết quả kiểm tra trước khi thực nghiệm (Kết quả bài kiểm tra số 1) 
Lớp Sĩ số Mức độ 
1 
Mức độ 
2 
Mức độ 
3 
Mức độ 
4 
SL % SL % SL % SL % 
TN 41 3 7 27 4 
ĐC 42 3 5 28 6 
Bảng 3.1 cho thấy: Kết quả bài kiểm tra thực nghiệm 1 của học sinh hai lớp là 
chênh lệch nhau không nhiều. Tỉ lệ học sinh ở mức độ 3 cao, tỉ lệ học sinh ở mức độ 
2 khá cao, tỉ lệ học sinh ở mức độ 1và 4 ít. 
Từ số liệu của bảng 3.1, ta có biểu đồ sau: 
Biểu đồ 3.1. 
So sánh kết quả bài kiểm tra thực nghiệm 1 
b) Kết quả sau khi dạy thực nghiệm 
Bảng 3.2. Kết quả kiểm tra sau khi thực nghiệm (Kết quả bài kiểm tra số 2) 
Lớp Sĩ số Mức độ 1 Mức độ 2 Mức độ 3 Mức độ 4 
SL % SL % SL % SL % 
TN 41 8 15 16 2 
ĐC 42 4 7 27 4 
Từ số liệu Bảng 3.2, ta có biểu đồ sau: 
 30 
Biểu đồ 3.2. So sánh bài kiểm tra thực nghiệm 2 
Ta có thể thấy rõ sự khác biệt giữa điểm số của học sinh thực nghiệm và học 
sinh đối chứng, tỉ lệ học sinh ở mức độ 1 và mức độ 2 của lớp thực nghiệm khá cao, 
mức độ 3 và mức độ 4 thấp, ở lớp đối chứng tỉ lệ học sinh ở mức độ 3 và mức độ 4 
còn cao, mức độ 1 thấp. Vậy kết quả học tập của nhóm thực nghiệm cao hơn nhóm 
đối chứng. 
Đọc biểu đồ, ta có thể thấy rõ tỉ lệ học sinh ở mức độ 1 và mức độ 2 của lớp 
thực nghiệm tăng lên rõ rệt, tỉ lệ học sinh ở mức độ 3 và mức độ 4 giảm đáng kể. 
 31 
PHẦN 3. KẾT LUẬN 
1. Đề tài sáng kiến được hoàn thành ngoài sự làm việc nghiêm túc của tác giả 
còn có sự giúp đỡ của đồng nghiệp trong nghiên cứu cũng như trong quá trình kiểm 
tra đánh giá tính hiệu quả của đề tài. 
2. Đề tài góp phần nâng cao hiệu quả giảng dạy của bản thân. Ngoài ra còn 
dùng làm tài liệu tham khảo cho đồng nghiệp nhằm dưỡng năng lực giải quyết vấn đề 
và sáng tạo cho học sinh 
3. Phạm vi ứng dụng của đề tài: Dùng để giảng dạy cho học sinh khá, giỏi nội 
dung Tổ hợp – Xác suất hoặc mở rộng ra cho các nội dung toán học phổ thông khác. 
4. Đề tài còn có thể nghiên cứu theo hướng xây dựng bài học STEM, dạy học 
theo dự án..... 
 32 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Bộ giáo dục và Đào tạo, dự án phát triển giáo dục trung học phổ thông (2010), 
Nguyễn Văn Cường, Một số vấn đề chung về đổi mới phương pháp dạy học ở 
trường trung học phổ thông. 
2. Trần Đức Chiển (2007), Rèn luyện năng lực tư duy thống kê cho học sinh trong 
dạy học Thống kê – Xác suất ở môn Toán Trung học phổ thông, Luận án tiến sĩ 
giáo dục học, Viện chiến lược và chương trình giáo dục, Hà Nội. 
3. Nguyễn Thị Mỹ Hằng, Phạm Xuân Chung, Trương Thị Dung (2016), Rèn luyện 
các thao tác tư duy cho học sinh trong dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ 
thông, NXB Đại học sư phạm, Hà Nội. 
4. Trần Văn Hạo ( Tổng Chủ biên- 2009), Đại số và Giải tích 11, NXB Giáo dục, 
Hà Nội. 
5. Lê Huy Hoàng, Sáng tạo và những điều kiện chủ yếu để kích thích sự sáng tạo 
của con người Việt Nam hiện nay. Luận án tiến sĩ triết học, viện triết học, Hà Nội. 
6. Nguyễn Bá Kim (2011), Phương pháp dạy học môn toán, Đại học Sư phạm Hà 
Nội. 
7. Lê Thống Nhất (1996), Rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh phổ thông 
trung học thông qua việc phân tích và sửa chữa sai lầm của học sinh khi giải toán, 
Luận án phó tiến sĩ khoa học Sư phạm – Tâm lý, Đại học sư phạm Vinh. 
8. Trần Phương, Nguyễn Đức Tấn (2008), Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi 
giải Toán, Đại học Quốc gia Hà Nội. 
9. Từ Đức Thảo, Bồi dưỡng năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh 
trung học phổ thông trong dạy học hình học, Luận án tiến sĩ giáo dục học, Đại học 
Vinh, Nghệ An.