SKKN Ba bài toán chứa tham số của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối thường gặp trong kỳ thi tốt nghiệp Trung học Phổ thông Quốc gia

á trị nguyên của tham số thuộc khoảng để hàm số đồng biến trên khoảng ?
A. B. C. D. 
Bài 3: Tập hợp tất cả các giá trị của tham số để hàm số đồng biến trên khoảng là
A. B. C. D. 
Bài 4: Gọi là tập hợp tất cả các giá trị của tham số để hàm số đồng biến trên khoảng . Khi đó bằng
 A. B. C. D. 
Bài 5: Cho hàm số . Gọi là tập tất cả các số tự nhiên sao cho hàm số đồng biến trên . Tính tổng tất cả các phần tử của .
A. B. C. D. 
Bài 6: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số sao cho hàm số đồng biến trên khoảng 
A. B. C. D. 
Bài 7: Có bao nhiêu số nguyên để hàm số đồng biến trên khoảng 
A. B. C. D. 
Bài 8: Tìm tất cả các giá trị của tham số để hàm số đồng biến trên khoảng 
A. hoặc B. 
C. D. 
Bài 9: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số đồng biến trên 
A. B. C. D. 
Bài 10: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để hàm số đồng biến trên 
A. B. C. D. 
Bài 11: Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị của tham số sao cho hàm số đồng biến trên là . Tính 
A. B. C. D. 
Bài 12: Có bao nhiêu số nguyên của tham số thuộc đoạn để hàm số đồng biến trên khoảng 
A. B. C. D. 
Bài 13: Cho hàm số , trong đó là tham số thực. Gọi là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của trên đoạn để hàm số đồng biến trên khoảng Số phần tử của tập là
A. B. C. D. 
Bài 14: Cho hàm số , tìm tất cả các giá trị của tham số để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 
A. B. 
C. C. 
Bài 15: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thuộc đoạn để hàm số nghịc biến trên 
A. B. C. D. 
Bài 16: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số để hàm số đồng biến trên đoạn 
A. B. C. D. 
Bài 17: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số và nhỏ hơn để hàm số đồng biến trên khoảng 
A. B. C. D. 
Bài 18: Cho hàm số , giá trị lớn nhất của tham số để hàm số đã cho đồng biến trên là
A. B. C. D. 
Bài 19: Cho hàm số , có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thuộc khoảng để hàm số đã cho đồng biến trên đoạn 
A. B. C. D. 
Bài 20: Cho hàm số , có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thuộc đoạn để hàm số đã cho đồng biến trên nửa khoảng 
A. B. C. D. 
2.3.2. Bài toán: Tìm điều kiện của tham số để hàm số có điểm cực trị.
2.3.2a. Phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề
Bước 1: Phát hiện/ thâm nhập vấn đề.
Câu hỏi 1: Các em đã biết cách giải các bài toán tìm các điểm cực trị của hàm số ; tìm điều kiện của tham số để hàm số có điểm cực trị. Bài toán tìm điều kiện của tham số để hàm số có điểm cực trị sẽ được giải như thế nào?
+ Ở bước này, sau khi tiếp nhận câu hỏi thì học sinh sẽ có nhiều hướng giải quyết. Nhưng sẽ làm nảy sinh trong học sinh các vấn đề tư duy: Dạng toán này đã gặp hay chưa? Phương pháp giải hiện tại có giải được hay không? Nếu không thì có hướng giải quyết khác không?
Bước 2: Tìm tòi hướng giải bài toán
Khi học sinh đang phân tích bài toán, giáo viên tiếp tục đặt câu hỏi cho học sinh.
Câu hỏi 2: Em hãy nhắc lại điều kiện để hàm số có điểm cực trị?
+ Ở bước này học sinh sẽ nhớ lại được điều kiện tương đương của bài toán hàm số có điểm cực trị phương trình có nghiệm làm đổi dấu.
+ Đối với học sinh yếu hơn thì giáo viên có thể gợi mở: Nhắc lại điều kiện đủ để hàm số có cực trị.
+ Phân tích: Giáo viên phân tích, nếu bỏ được dấu giá trị tuyệt đối thì chúng ta đã đưa bài toán về bài toán trên, giáo viên tiếp tục đặt câu hỏi.
Câu hỏi 3: Em hãy khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số .
+ Ở bước này học sinh sẽ có hai định hướng:
Hoặc 
+ Phân tích: Giáo viên phân tích, nếu sử dụng hướng 1 thì đạo hàm cho bởi nhiều công thức thì việc xét số nghiệm của hai phương trình và gặp khó khăn trong việc xác định số nghiệm. Ta sử dụng hướng 2: 
 có nghiệm làm cho đổi dấu.
Bước 3: Trình bày lời giải
(Sử dụng điều kiện đủ để hàm số có cực trị)
Ta có suy ra
Số điểm cực trị của hàm số là số nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ của phương trình .
Như vậy số điểm cực trị của hàm số chính là số điểm cực trị của hàm số và số giao điểm của với trục hoành ( không tính điểm tiếp xúc).
Minh họa bằng đồ thị:
 Đồ thị 
Đồ thị 
Bước 4: Đánh giá lời giải và nghiên cứu sâu bài toán
+ Bài toán này thoạt nhìn hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối làm cho chúng ta thấy khó khăn, nhưng khi đưa về hàm số và tìm được đạo hàm thì ta đã quy về bài toán quen.
+ Ngoài cách giải trên chúng ta còn có thể sử dụng đồ thị hoặc bẳng biến thiên để tìm điều kiện tương đương của bài toán.
Cách 2: Sử dụng bảng biến thiên
Nếu hàm số nhẩm được nghiệm của đạo hàm thì chúng ta lập bảng biến thiên, từ đó phân tích và đưa ra các điều kiện tương đương của bài toán. 
2.3.2b. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1: Có tất cả bao nhiêu số nguyên thuộc đoạn để hàm số có ba điểm cực trị?
A. B. C. D. 
Lời giải: Đặt xác định trên 
Cách 1: Sử dụng điều kiện đủ để hàm số có cực trị
Ta có 
 Số điểm cực trị của hàm số là số nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ của phương trình .
Để hàm số có 3 điểm cực trị (*) có hai trường hợp
 + Một nghiệm khác và khác 
 + Hai nghiệm trong đó một nghiệm khác và khác nghiệm còn lại là nghiệm kép bằng hoặc bằng .
Xét (*): 
Xét hàm số xác định trên 
Ta có bảng biến thiên 
Từ bảng biến thiên suy ra
Điều kiện bài toán 
Do nguyên và thuộc đoạn suy ra có 4043 giá trị thỏa mãn bài toán.
Cách 2: Sử dụng bảng biến thiên
Xét xác định trên 
Ta có bảng biến thiên 
Từ bảng biến thiên suy ra
Để hàm số có 3 điểm cực trị 
Do nguyên và thuộc đoạn suy ra có 4043 giá trị thỏa mãn bài toán.
Nhận xét: Các em cần nắm vững phương pháp và nhận ra các dấu hiệu để đinh hướng nhanh lời giải của bài toán. Ngoài hai cách trên các em có thể sử dụng phép suy đồ thị để giải nhan bài toán này.
Ví dụ 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số có đúng 7 điểm cực trị ?
A. B. C. D. 
Lời giải: Đặt xác định trên 
Ta có 
Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra
Để hàm số có 7 điểm cực trị đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt 
Do nguyên nên .
Chọn đáp án: D
Nhận xét: ở bài toán này ta nhận thấy nhẩm được hết nghiệm nên ta chọn cách lập bảng biến thiên.
Ví dụ 3: Cho hàm số . Có bao nhiêu số nguyên không âm của tham số để hàm số đã cho có ba điểm cực trị.
A. B. C. D. 
Lời giải: Đặt xác định trên 
Ta có 
Trường hợp 1: 
Ta có ( là nghiệm đơn hoặc nghiệm bội 3)
Ta có bảng biến thiên 
Từ bảng biến thiên suy ra
Để hàm số có ba điểm cực trị đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt kết hợp ta được 
Trường hợp 2: 
Ta có 
Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra
Để hàm số có ba điểm cực trị thỏa mãn điều kiện 
Từ hai trường hợp trên ta có 
Do nguyên và không âm nên 
Ta chọn đáp án: A
Ví dụ 4: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số có 5 điểm cực trị ?
A. B. C. D. 
Lời giải: Đặt xác định trên 
Để hàm số có 5 điểm cực trị hàm số có 2 điểm cực trị và đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt 
Phương trình có 3 nghiệm phân biệt
Ta có phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt phương trình (**) có 2 nghiệm phân biệt và khác 
Do nguyên 
Chọn đáp án: B
Nhận xét: Hàm số bậc ba có hai cực trị và đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì đồ thị hàm số có 5 điểm cực trị.
Đồ thị 
Đồ thị 
Ví dụ 5: Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ bên dưới.
Tất cả các giá trị của tham số để hàm số có 5 điểm cực trị là
A. hoặc B. 
C. hoặc D. 
Lời giải: 
Xét hàm số xác định trên , có 
Ta có 
Suy ra số điểm cực trị của hàm số là số nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ của phương trình 
Từ đồ thị ta có Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt , 
Để hàm số có 5 điểm cực trị Phương trình (2) có ba nghiệm phân biệt và khác , 
 có ba nghiệm phân biệt và khác , , từ đồ thị suy ra 
Vậy hàm số có 5 điểm cực trị
Chọn đáp án: B.
Nhận xét: Đây là bài toán điển hình cho việc phân tích đồ thị để xác định số giao điểm và số cực trị của hàm số.
Ví dụ 6: Cho hàm số ( với là tham số thực) có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị?
A. B. C. D. 
Lời giải: 
Xét hàm số xác định trên 
Ta có ; 
Ta có bảng biến thiên 
Ta nhận thấy hàm số luôn có hai điểm cực trị
 Số điểm cực trị của hàm số phụ thuộc vào số nghiệm của phương trình (1).
Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình (1) có nhiều nhất 2 nghiệm
Vậy hàm số có nhiều nhất 4 điểm cực trị.
Chọn đáp án: D.
Nhận xét: Đây là bài toán quen thuộc của hàm số mà chúng ta biết rằng số điểm cực trị của hàm số là số điểm cực trị của hàm số và số nghiệm của phương trình ( không tính nghiệm kép) . Bài toán này cô lập được nên ta chọn cách lập bảng biến thiên hàm số .
Ví dụ 7: Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ bên dưới.
Tìm tất cả các giá trị của tham số để hàm số có đúng 3 điểm cực trị.
A. B. C. D. 
Lời giải:
Xét hàm số xác định trên 
Ta có 
 ta có 
Ta có bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra hàm số có 3 điểm cực trị.
Để hàm số có 3 điểm cực trị 
Vậy hàm số có đúng 3 điểm cực trị.
Chọn đáp án: B.
Nhận xét: Bản chất của bài toán này là hàm số . Nhưng cô lập nên ta chọn cách lập bảng biến thiên để xác định số điểm cực trị của hàm số , sau đó dựa vào bảng biến thiên để xác định số nghiệm của phương trình 
2.3.2c. Bài tập tương tự
Bài 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để hàm số có 5 điểm cực trị ?
A. B. 
C. D. hoặc 
Bài 2: Có bao nhiêu số nguyên để hàm số có 7 điểm cực trị ?
A. B. C. D. 
Bài 3: Có bao nhiêu số nguyên để hàm số có đúng 5 điểm cực trị?
A. B. C. D. 
Bài 4: Có bao nhiêu số nguyên để hàm số có 7 điểm cực trị ?
A. B. C. D. 
Bài 5: Cho hàm số .Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số để hàm số đã cho có đúng 5 điểm cực trị là
A. B. 
C. D. 
Bài 6: Có bao nhiêu số nguyên để hàm số có 5 điểm cực trị ?
A. B. C. D. 
Bài 7: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số có 7 điểm cực trị ?
A. B. C. D. 
Bài 8: Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ bên dưới.
Tất cả các giá trị của tham số để hàm số có 3 điểm cực trị là
A. B. 
C. D. 
Bài 9: Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
Tìm tất cả các giá trị của tham số để hàm số có đúng 3 điểm cực trị.
A. B. C. D. 
2.3.3. Bài toán: Cho hàm số . Tìm để giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn thỏa mãn một điều kiện cho trước.
2.3.3a. Phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề
Bước 1: Phát hiện/ Thâm nhập vấn đề
Câu hỏi 1: Chúng ta đã biết cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn , trên khoảng . Bằng phương pháp đó các em có thể giải được bài toán tìm điều kiện của tham số để giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước hay không?
+ Sau khi tiếp nhận câu hỏi thì học sinh có những định hướng khác nhau để giải quyết. Nhưng sẽ làm nảy sinh trong học sinh các vấn đề cần tư duy: Phương pháp này có giải được không ? 
Bước 2: Tìm tòi hướng giải bài toán
Sau khi đặt câu hỏi số 1, học sinh đã tư duy và phân tích bài toán, giáo viên tiếp tục đặt câu hỏi cho học sinh.
Câu hỏi 2: Hãy trình bải một hướng giải quyết được cho là tối ưu theo hướng suy nghĩ của các em?
+ Ở bước này, khi học sinh trình bày giải pháp của mình thì sẽ có một số định hướng như sau: Học sinh dùng bảng biến thiên hoặc đồ thị để xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Học sinh dùng quy tắc xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn .
+ Nếu dùng phương pháp xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn thì học sinh gặp phải khó khăn là khi chuyển sang giá trị tuyệt đối thì việc so sánh để xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
+ Nếu dùng bảng biến thiên hoặc đồ thị để xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn thì làm thế nào để xác định hết các khả năng có thể xảy ra?
+ Phân tích: Giáo viên dùng đồ thị để phân tích các trường hợp có thể xảy ra của giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn .
Bước 3: Trình bày lời giải bài toán 
+ Tìm ; 
+ Xét các trường hợp:
 Trường hợp 1: Nếu 
 + Nếu thì 
 + Nếu thì 
Trường hợp 2: Nếu 
Trường hợp 3: Nếu 
Bước 4: Đánh giá quá trình giải và nghiên cứu sâu bài toán
+ Sử dụng đồ thị giúp các em hiểu rõ bản chất của việc so sánh giá trị để đánh giá giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số .
+ Bài toán còn có cách giải khác đó là sử dụng tính chất và các bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối.
Cách 2: sử dụng công thức tính nhanh
 ; 
2.3.3b. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1: ( Đề tham khảo THPT.QG 2018) Gọi là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực sao cho giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn bằng . Số phần tử của 
A. B. C. D. 
Lời giải: 
Cách 1: Đặt xác định trên 
Ta có 
Suy ra , , 
Ta có 
Trường hợp 1: Nếu 
 thì thỏa mãn.
Trường hợp 2: Nếu 
thì thỏa mãn.
Trường hợp 3: Nếu thì 
 không thỏa mãn.
Trường hợp 4: Nếu thì 
 không thỏa mãn.
Vậy có hai giá trị của thỏa mãn
Chọn đáp án: B
Cách 2: Sử dụng công thức tính nhanh
Đặt xác định trên 
Ta có 
Suy ra , , 
Ta có 
Vậy có hai giá trị của thỏa mãn
Chọn đáp án: B
Cách 3: Đặt xác định trên 
Ta có 
Suy ra , , 
Ta có 
Vậy có hai giá trị của thỏa mãn
Chọn đáp án: B
Nhận xét: Để hiểu được bản chất của từng TH các em nên phân tích bằng đồ thị hàm trị tuyệt đối. Để giải nhanh cho bài thi trắc nghiệm thì chúng ta nên sử dụng công thức tính nhanh.
Ví dụ 2: ( Đề tham khảo THPT.QG 2020) Cho hàm số ( là tham số thực). Gọi là tập hợp tất cả các giá trị thực của sao cho . Số phần tử của là
 A. B. C. D. 
Lời giải: 
Xét ta có 
 , thỏa mãn
Xét ta có không đổi dấu trên 
Hàm số đơn điệu trên đoạn 
Ta có ; 
Trường hợp 1: 
Do ; 
, TH này không có giá trị nào thỏa mãn.
Trường hợp 2: 
 ( do và cùng dấu)
( không thỏa mãn)
Vậy 
Chọn đáp án: B
Nhận xét: Bài này nhiều em mắc sai lầm vì không xét trường hợp .
Ví dụ 3: Gọi là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn bằng . Tổng tất cả các phần tử của bằng
A. B. C. D. 
Lời giải: Đặt trên đoạn 
Có 
Khi đó ; ; 
 và 
Trường hợp 1: Nếu thì , không thỏa mãn bài toán
Trường hợp 2: Nếu thì 
Khi đó thỏa mãn
Trường hợp 3: Nếu thì 
Khi đó thỏa mãn
Vậy , suy ra tổng các phần tử của bằng 
Chọn đáp án: B
Ví dụ 4: Cho hàm số ( là tham số thực). Gọi là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của thuộc đoạn sao cho Tổng các phần tử của bằng
A. B. C. D. 
Lời giải: Đặt trên đoạn 
Ta có 
 ; ; 
 và 
Trường hợp 1: Nếu 
thì 
Không thỏa mãn điều kiện 
Trường hợp 2: Nếu 
thì , 
Khi đó .
Trường hợp 3: Nếu thì 
, .
Khi đó .
Từ ba trường hợp trên kết hợp với điều kiện 
ta có .
Vì 
Vậy tổng các phần tử của bằng .
Chọn đáp án: A
Nhận xét: bài toán này sử dụng cả giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất nên chúng ta cần phân tích và sử dụng cả ba trường hợp.
Ví dụ 5: Cho hàm số , có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để giá trị nhỏ nhất của hàm số không vượt quá 
A. B. C. D. 
Lời giải:
Đặt 
Ta có , ta cần tìm sao cho .
Xét hàm số trên đoạn .
Ta có 
Có ; ; . 
 ; 
Trường hợp 1: Nếu thì 
Trường hợp 2: Nếu thì 
Trường hợp 3: Nếu thì thỏa mãn
Kết hợp 3 trường hợp ta được 
Do nguyên có 41 giá trị thỏa mãn
Chọn đáp án: B.
Nhận xét: Bài toán chứa hàm hợp nên ban đầu làm nhiều học sinh gặp khó khăn, tuy nhiên bằng cách đổi biến thì ta đưa về bài toán quen thuộc.
2.3.3c. Bài tập tương tự
Bài 1: Cho hàm số , ( là tham số thực). Gọi là tập hợp tất cả các giá trị nguyên thuộc đoạn sao cho Số phần tử của là
A. B. C. D. 
Bài 2: Cho hàm số với là tham số thực. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để ?
A. B. C. D. 
Bài 3: Cho hàm số Gọi là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số sao cho Số phần tử của là
A. B. C. D. 
Bài 4: Cho hàm số ( là tham số thực). Gọi là tập hợp tất cả các giá trị thực của sao cho Hỏi trong đoạn tập có bao nhiêu số nguyên?
A. B. C. D. 
Bài 5: Có bao nhiêu số thực để hàm số có giá trị lớn nhất trên đoạn bằng ?
A. B. C. D. 
Bài 6: Gọi là tập hợp tất cả các số nguyên để hàm số có giá trị lớn nhất trên đoạn không vượt quá . Tổng các phần tử của bẳng
A. B. C. D. 
III. KẾT LUẬN 
3.1. Kết luận
Trong đề tài này tôi đã nghiên cứu và trình bày lại các kinh nghiệm của bản thân về ba bài toán quan trọng của hàm số . Kết quả đạt được của đề tài như sau.
1. Phân tích làm rõ bản chất của ba bài toán: Tính đơn điệu của hàm số , cực trị của hàm số , Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng cách kết hợp đồ thị và lập luận logic để đưa ra các điều kiện tương đương của từng bài toán. Đề tài đã đưa ra được nhiều phương pháp cho cùng một bài toán và phân tích các dấu hiệu nhận dạng phương pháp của từng ví dụ cụ thể.
2. Kết quả nghiên cứu của đề tài là nguồn tài liệu quan trọng cho nhóm toán trường THPT Tân Kỳ 3 trong giảng dạy ôn thi TNTHPT. QG và được tổ đánh giá cao tính thiết thực của nó.
3. Áp dụng của đề tài trong giảng dạy tại trường THPT Tân Kỳ 3 đã tạo cho học sinh sự hứng thú, niềm tin khi học các dạng toán ở mức vận dụng và vận dụng cao của chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Tạo tiền đề cho việc học các chương sau và đã thu được nhiều kết quả tích cực trong giảng dạy ôn thi TN THPT QG. Áp dụng đề tài trong kỳ thi TN THPT QG năm học 2019 - 2020 tại lớp 12A1 trường THPT Tân Kỳ 3 mà bản thân tôi trực tiếp giảng dạy đã đạt được kết quả cao hơn các năm trước đó. Cụ thể điểm trung bình môn toán của lớn 12A1 trong kỳ thi TN THPT QG năm 2019 - 2020 là 8.5 điểm. ( thống kê điểm toán TN THPT 2019 - 2020 của lớp 12A1)
Điểm
9.6
9.4
9.2
9.0
8.8
8.6
8.4
8.2
7.8
7.6
7.4
6.8
6.6
Tần số
2
2
2
4
4
3
4
7
1
2
1
1
1
3.2. Kiến nghị
Trong thời gia tới tôi mong muốn tiếp tục được nghiên cứu và mở rộng đề tài đối với các hàm số , .
Khi áp dụng đề tài vào dạy học, giáo viên cần phân lớp học sinh theo cấp độ để ra các mức độ bài tập phù hợp với từng đối tượng học sinh.
Trong quá trình nghiên cứu và trình bày kinh nghiệm của mình, bản thân tôi còn nhiều thiếu sót và hạn chế. Rất mong được sự đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp để tôi có thể hoàn thiện hơn đề tài của mình.
Tôi xin chân thành cảm ơn.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. 	GIẢI TÍCH 12 - Trần Văn Hạo; Vũ Tuấn ( chủ biên).
[2]. 	TẠP CHÍ GIÁO DỤC - tapchigiaoduc.moet.gov.vn.
[3]. 	GIẢI MỘT BÀI TOÁN NHƯ THẾ NÀO? - G.Polya.
[4]. 	HƯỚNG DẪN THỰC HIỆN CHƯƠNG TRÌNH GIÁO DỤC PHỔ THÔNG HIỆN HÀNH THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC VÀ PHẨM CHẤT HỌC SINH - Bộ giáo dục và đào tạo.
[5]. 	ĐỀ THI THPT, ĐỂ THỬ THPT CỦA CÁC TRƯỜNG TRÊN TOÀN QUỐC.
[6]. 	PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC NHỮNG NỘI DUNG CỤ THỂ MÔN TOÁN - Bùi Văn Nghị.
[7]. 	CHƯƠNG TRÌNH GIÁO DỤC PHỔ THÔNG MÔN TOÁN - Bộ GD&ĐT 2018.