Sáng kiến kinh nghiệm Xây dựng và sử dụng câu hỏi trắc nghiệm khách quan trong dạy học Ứng dụng của tích phân nhằm phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh

, đúng sự thật và hoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật./.
Xác nhận của BGH
Ninh Bình, ngày 10 tháng 10 năm 2018
NHÓM TÁC GIẢ
 Nguyễn Minh Đức 
 Đoàn Thịnh Khánh Ngọc
PHỤ LỤC 1
CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
1. Tính diện tích hình phẳng
a) Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành
Cho hàm số liên tục trên đoạn . Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng được tính bởi công thức
 (*)
Lưu ý: 
Nếu vô nghiệm trên thì 
Nếu có 1 nghiệm thì 
b) Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
Cho hai hàm số và liên tục trên đoạn . Khi đó diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số và và hai đường thẳng là: (**) 
Lưu ý: Khử dấu giá trị tuyệt đối của công thức (**) thực hiện tương tự đối với công thức (*).
2. Tính thể tích
a) Thể tích của vật thể
Cắt một vật thể V bởi hai mặt phẳng và vuông góc với trục lần lượt tại . Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với tại điểm cắt V theo thiết diện có diện tích là . Giả sử liên tục trên đoạn . Thể tích V của vật thể V giới hạn bởi hai mặt phẳng và được tính bởi công thức: 
 b) Thể tích vật thể tròn xoay
Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục và hai đường thẳng quay xung quanh trục là: 
Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số , trục và hai đường thẳng quay xung quanh trục là: 
3. Bài toán chuyển động của vật
Giả sử phương trình chuyển động của một vật là (đơn vị độ dài). Khi đó, phương trình vận tốc của vật chuyển động đó là (đơn vị độ dài / đơn vị thời gian) và gia tốc của vật đó là .
Do đó, công thức tính vận tốc của vật chuyển động tại thời điểm theo vận tốc của vật chuyển động tại thời điểm là:
Quãng đường vật đi được từ thời điểm đến thời điểm được tính bởi công thức
 .
PHỤ LỤC 2
PHÂN TÍCH MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI TOÁN VỀ 
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
- Học sinh sử dụng sai công thức tính diện tích và thể tích, chẳng hạn:
+ Học sinh nhớ nhầm công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng là hoặc .
+ Học sinh nhớ nhầm công thức tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng xung quanh trục hoành là (quên nhân với ).
+ Khi tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng quanh trục , học sinh học sinh nhầm với công thức tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng quanh trục , hoặc học sinh quên không rút theo , không đổi cận theo biến .
+ Học sinh cho rằng công thức tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số và hai đường thẳng xung quanh trục hoành là .
- Học sinh sai sót trong việc tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối vì học sinh cho rằng (Công thức này chỉ đúng khi hàm số không đổi dấu trên đoạn ) hoặc phá dấu giá trị tuyệt đối sai.
- Học sinh giải phương trình hoành độ giao điểm sai, hoặc học sinh lấy cận tích phân sai vì không để ý tới tập xác định của các hàm số đã cho.
- Trong một số bài toán phải vẽ đồ thị để xác định hình phẳng, học sinh đọc hoặc vẽ đồ thị hàm số sai. 
- Học sinh tính tích phân sai. Trong các bài toán trắc nghiệm, chúng ta có thể khắc phục sai lầm này, giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính Casio để tìm đáp án đúng.
 Một số ví dụ minh họa:
Khi biên soạn câu hỏi trắc nghiệm nhiều lựa chọn, các phương án nhiễu đưa ra không phải tùy tiện. Giáo viên cần dự đoán các hướng làm sai của học sinh để đưa ra các phương án nhiễu. Vì vậy giáo viên cần phải nghiên cứu, tìm hiểu những sai lầm học sinh có thể mắc phải khi làm bài tập nội dung trên.
Ví dụ 1 (Đề tham khảo 2017). Gọi S là diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường trục hoành và hai đường thẳng (như hình vẽ bên). Đặt Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. 	 B. 
C. 	 D. 
Hướng dẫn giải:
Từ hình vẽ, suy ra và .
Diện tích hình phẳng cần tìm là : 
Vậy đáp án đúng là A.
Phân tích các phương án nhiễu:
Phương án B: Học sinh nhớ sai công thức tính diện tích hình phẳng: 
 .
Phương án C: Học sinh phá dấu giá trị tuyệt đối sai:
Phương án D: Học sinh phá dấu giá trị tuyệt đối sai:
Nhận xét: 
- Qua ví dụ 1, giáo viên rèn luyện cho học sinh kĩ năng đọc đồ thị hàm số, kĩ năng chia nhỏ hình vẽ để tính diện tích. Dựa vào đồ thị, học sinh xét được dấu của hàm số từ đó học sinh phá dấu giá trị tuyệt đối rồi suy ra phương án đúng.
- Giáo viên hướng dẫn học sinh có thể tạo ra các câu hỏi trắc nghiệm mới bằng cách chọn hàm cụ thể hoặc thay đổi các đường thẳng , chẳng hạn chọn ta được các bài toán sau:
Bài 1. Gọi S là diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường , trục hoành và hai đường thẳng (hình vẽ). Tính S.
A. .	B. .	C. 	D. 
Bài 2. Gọi S là diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường , trục hoành và hai đường thẳng (hình vẽ). Tìm để .
A. .	B. .	C. .	D. 
Để giải hai bài toán trên, học sinh có thể không cần sử dụng hình vẽ mà sử dụng luôn công thức tính diện tích hình phẳng, sau đó lập bảng xét dấu để tính tích phân của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối. Phương pháp đó được thể hiện rõ qua ví dụ minh họa sau:
Ví dụ 2. Gọi S là diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục , mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. B. 
C. - D. 
Hướng dẫn giải:
Xét phương trình: 
Bảng xét dấu hàm số 
1 2 3
0 + 0 - 0
Diện tích hình phẳng (H) là: 
Vậy đáp án đúng là C.
Phân tích các phương án nhiễu:
Phương án A: Học sinh nhớ sai công thức tính diện tích hình phẳng: .
Phương án B: Học sinh ngộ nhận sai tính chất của giá trị tuyệt đối:
Phương án D: Học sinh xét dấu hàm sai:
Nhận xét: Trong trường hợp bài toán chưa cho sẵn hình vẽ hoặc chưa cho sẵn cận lấy tích phân, học sinh phải giải phương trình hoành độ giao điểm để xác định cận lấy tích phân trong công thức tính diện tích và thể tích. Tuy nhiên, có không ít học sinh xác định cận sai. 
Ví dụ 3. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành, trục tung và đường thẳng .
A. .	B. .	C. 	D. 
Hướng dẫn giải:
 Xét phương trình: 
Diện tích hình phẳng cần tìm là : 
Vậy đáp án đúng là A.
Phân tích các phương án nhiễu:
Phương án C: Học sinh lấy cận sai .
Phương án D: Học sinh nhầm công thức tính diện tích hình phẳng 
Phương án B: Học sinh vừa nhầm công thức vừa lấy cận sai 
Ví dụ 4. Kí hiệu là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và đường thẳng . Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình xung quanh trục .
A. .	B. .	C. .	D. .
 Hướng dẫn giải:
 Xét phương trình: 
có 2 nghiệm là 1 và - 1.
 Thể tích của khối tròn xoay là: 
 Vậy đáp án đúng là D.
Phân tích các phương án nhiễu:
Phương án A: Học sinh lấy cận từ đến . Điều này không đúng vì trong khoảng hàm số không xác định, 
Phương án B: Học sinh quên không nhân với trong công thức tính thể tích khối tròn xoay.
Phương án C: Học sinh vừa lấy cận sai vừa quên không không nhân với 
Nhận xét : Qua hai ví dụ trên, giáo viên lưu ý cho học sinh việc xác định cận của tích phân trong công thức tính diện tích hình phẳng và công thức tính thể tích. Để học sinh thấy rõ được sai lầm, giáo viên nên yêu cầu học sinh vẽ đồ thị hàm số, rồi xác định hình phẳng đã cho. Đồng thời, giáo viên cũng lưu ý học sinh phải nhớ chính xác công thức, tránh việc nhầm lẫn giữa các công thức hoặc viết thiếu công thức.
Ví dụ 5. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong , trục hoành và các đường thẳng . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
A. 	B. 	 C. 	D. 
Hướng dẫn giải:
Ta có: 
Vậy đáp án đúng là C.
Phân tích các phương án nhiễu:
 Phương án D: Học sinh quên không nhân với .
Phương án B: Học sinh nhầm lẫn giữa nguyên hàm và đạo hàm của hàm nên cho rằng . 
Do đó: 
Phương án A: Học sinh vừa quên không nhân với vừa nhầm lẫn giữa nguyên hàm và đạo hàm của hàm nên:
Ví dụ 6. (SBT Giải tích 12) Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường quay quanh trục .
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải: 
Ta có: 
Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra là 
Phân tích các phương án nhiễu:
Phương án A: Học sinh sử dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng quay quanh :
Phương án C: Do học sinh xác định sai hình phẳng đã cho nên dẫn đến viết sai công thức tính thể tích 
Phương án D: Học sinh sử dụng sai công thức tính thể tích 
x
O
3
-2
2
y
Ví dụ 7. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi cung tròn có bán kính , đường cong và trục hoành (miền gạch ngang trong hình bên). Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng xung quanh trục hoành. 
	A. .	B. .
	C. .	D. .
Hướng dẫn giải: 
Cung tròn tâm O bán kính có phương trình là 
Từ hình vẽ, ta có thể tích V của khối tròn xoay thu được là:
Phân tích các phương án nhiễu:
 Phương án B: Viết sai phương trình cung tròn tâm O bán kính là 
 Do đó: 
Phương án C: Học sinh quên không nhân với :
Phương án D: Học sinh nhầm sang công thức tính diện tích: 
Ví dụ 8. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường và trục 
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải: 
Vẽ hình phẳng cần tính diện tích trong hệ trục tọa độ .
Từ hình vẽ, ta có .
Chọn phương án A.
Phân tích các phương án nhiễu:
Do học sinh không vẽ hình nên học sinh không xác định được hình phẳng đã cho, dẫn đến học sinh áp dụng sai công thức hoặc xác định cận sai. Cụ thể:
Phương án B: .
Phương án C: .
Phương án D: .
Ví dụ 9. Tính thể tích V của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi parabol (P): và đường thẳng quanh trục .
A. .	 	B. . C. .	 D.. 
Hướng dẫn giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d và parabol (P) là:
Từ hình vẽ, ta có
Đáp án đúng A.
Phân tích các phương án nhiễu:
Phương án B: Học sinh nhầm công thức tính: 
Phương án C: Học sinh nhầm công thức: 
Phương án D: Học sinh quên không nhân với . 
Nhận xét: 
- Khi tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi ba đồ thị hàm số hoặc tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi hai đường trở lên (chẳng hạn ) ta vẽ các đồ thị hàm số đó trên cùng một hệ trục tọa độ , xác định hình phẳng đã cho. Dựa vào hình vẽ, ta chia hình phẳng đã cho thành các hình phẳng nhỏ , rồi suy ra công thức tính diện tích hoặc thể tích cần tìm.
 - Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng (H) giới hạn bởi hai đồ thị hàm số và các đường thẳng xung quanh trục hoành được tính bởi công thức: 
Ví dụ 10. Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng và , biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x với thì được thiết diện là tam giác vuông có độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là và .
A. 	B. C. 	 D. 
Hướng dẫn giải:
Diện tích thiết diện tam giác vuông là : 
Thể tích V của phần vật thể là: 
Chọn đáp án D.
Phân tích các phương án nhiễu:
Phương án A: Học sinh nhớ sai công thức tính thể tích (nhân thêm với ): 
Phương án B: Học sinh tính sai diện tích thiết diện tam giác vuông ( quên chia cho 2): 
Phương án C: Học sinh vừa tính sai diện tích thiết diện tam giác vuông (quên chia cho 2) vừa nhớ sai công thức tính thể tích vật thể.
Nhận xét : Qua ví dụ trên, giáo viên hướng dẫn học sinh xây dựng các câu hỏi trắc nghiệm tương tự bằng cách thay đổi số liệu các cạnh của thiết diện, hoặc thay đổi hình dạng thiết diện là tam giác đều, hình vuông, hình chữ nhật. 
PHỤ LỤC 3
XÂY DỰNG CÁC CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM TỪ BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA VÀ
SÁCH BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12.
- Qua các ví dụ minh họa, học sinh hiểu sâu sắc hơn về các ứng dụng của tích phân trong hình học, trong các môn học khác và trong thực tế cuộc sống. Từ việc phân tích các ví dụ minh họa, giáo viên chia lớp thành các nhóm và yêu cầu các nhóm xây dựng các bài tập trắc nghiệm tương tự, xây dựng các câu hỏi trắc nghiệm từ các bài toán tự luận về phần ứng dụng của tích phân trong sách giáo khoa và sách bài tập giải tích 12 chương trình cơ bản và từ các bài tập tự luận do giáo viên đề xuất. Đồng thời, giáo viên cũng yêu cầu học sinh sưu tầm các bài toán thực tế về ứng dụng của tích phân trong các đề thi thử THPT Quốc gia, trong các tài liệu tham khảo.
- Giáo viên tiến hành chia nhóm: 36 học sinh của lớp 12E chia thành 4 nhóm, mỗi nhóm gồm 9 học sinh, giữa các nhóm phải đảm bảo độ đồng đều về trình độ. Mỗi nhóm cử nhóm trưởng, thư ký để ghi chép cụ thể sự phân công công việc, tiến trình, quá trình tham gia của các thành viên trong nhóm.
- Giáo viên phân công công việc:
STT
Nhóm thực hiện
Nội dung công việc
1
Nhóm 1
Xây dựng các câu hỏi trắc nghiệm phần ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng.
2
Nhóm 2
Xây dựng các câu hỏi trắc nghiệm phần ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể, thể tích khối tròn xoay.
3
Nhóm 3
Xây dựng và sưu tầm các câu hỏi trắc nghiệm về ứng dụng của tích phân trong bài toán chuyển động.
4
Nhóm 4
Sưu tầm và giải các bài toán thực tế về ứng dụng của tích phân.
 - Các nhóm học sinh tiến hành làm việc theo nhóm. Sau khi các nhóm hoàn thành công việc, giáo viên tổ chức tiết học cho các nhóm báo cáo kết quả bằng văn bản trên Word, cử đại diện nhóm phân tích một số câu hỏi điển hình. Các học sinh khác trong lớp theo dõi, nhận xét và bổ sung. Giáo viên đánh giá, nhận xét và chính xác hóa các câu hỏi trắc nghiệm các nhóm báo cáo. Giáo viên tổng hợp kết quả các nhóm thành một tài liệu hoàn chỉnh theo chủ đề .
PHỤ LỤC 4
MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TẾ VỀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Để góp phần nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo của học sinh và tạo hứng thú cho học sinh khi học tập môn toán giáo viên cần chú trọng việc khai thác các bài toán thực tế vào giảng dạy. Trong đề thi trung học phổ thông quốc gia những năm gần đây, thường xuyên xuất hiện các bài toán thực tế mang tính vận dụng cao, đặc biệt là các bài toán về ứng dụng của tích phân. Các bài toán đó cho thấy toán học gắn bó mật thiết với thực tiễn cuộc sống và với nhiều môn khoa học khác như vật lý, y học, sinh học... Để giải quyết các bài toán đó, học sinh cần có kỹ năng phân tích, tổng hợp kiến thức tốt và vận dụng linh hoạt các công thức đã học về tích phân.
Ví dụ 11. Để đảm bảo an toàn khi lưu thông trên đường, các xe ô tô khi dừng đèn đỏ phải cách nhau tối thiểu 1 m. Một ô tô A đang chạy với vận tốc 16 m/s bỗng gặp ô tô B đang dừng đèn đỏ nên ô tô A hãm phanh và chuyển động chậm dần đều với vận tốc được biểu thị bởi công thức ( đơn vị tính bằng m/s), thời gian tính bằng giây. Hỏi rằng để 2 ô tô A và B đạt khoảng cách an toàn khi dừng lại thì ô tô A phải hãm phanh khi cách ô tô B một khoảng ít nhất là bao nhiêu mét?
A. 33 m.	B. 32 m.	C. 65 m.	D. 64 m.
Hướng dẫn giải:
Chọn mốc thời gian là thời điểm ô tô A bắt đầu hãm phanh..
Lúc ô tô A dừng hẳn, ta có .
Quãng đường ô tô A di chuyển được kể từ lúc bắt đầu hãm phanh đến khi dừng hẳn là: 
.
Vì các xe ô tô khi dừng đèn đỏ phải cách nhau tối thiểu 1m nên để 2 ô tô A và B đạt khoảng cách an toàn khi dừng lại thì ô tô A phải hãm phanh khi cách ô tô B một khoảng tối thiểu là 33 m. Chọn đáp án A.
Phân tích các phương án nhiễu:
- Phương án B: Học sinh sau khi tính được quãng đường ô tô A di chuyển được kể từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn là thì chọn luôn đáp án mà quên không cộng thêm 1 m.
- Phương án C: Học sinh tính sai quãng đường ô tô A di chuyển được kể từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn là ( học sinh áp dụng công thức quãng đường bằng thời gian nhân với vận tốc, điều này không đúng vì từ lúc hãm phanh ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc ). Sau đó, học sinh cộng thêm 1 m.
- Phương án D: Học sinh tính sai quãng đường ô tô A di chuyển được kể từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn là . 
Ví dụ 12. Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
A. .	 B. .	
C. .	 D. .
Hướng dẫn giải:
Giả sử phương trình vận tốc chuyển động của vật theo parabol là
Ta có 
Ta có . 
Vậy quãng đường mà vật di chuyển được trong 3 giờ là
	s =21,58 (km).
Chọn đáp án B.
Phân tích các phương án nhiễu:
- Phương án A: Học sinh lấy cận tích phân sai 
- Phương án C: Học sinh tính thiếu 
- Phương án D: Học sinh tính thiếu 
Nhận xét : 
- Qua hai ví dụ trên, giáo viên cần lưu ý cho hoc sinh khi giải toán phải đọc kĩ đề bài, tránh trường hợp vội vàng, hấp tấp dẫn đến hiểu sai đề hoặc lời giải thiếu sót.
- Bằng cách thay đổi phương trình vận tốc hoặc thay đổi thời gian chuyển động có thể xây dựng được các bài toán chuyển động tương tự như sau:
Bài 1. Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 3 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 4 giờ đó (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
A. .	B. .	
C. .	 D. .
Bài 2. Một vật chuyển động trong 1 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường s người đó chạy được trong 45 phút, kể từ khi bắt đầu chạy. 
A. .	 B. .
C. . D. .
Ví dụ 13. Trong một phòng thí nghiệm, người ta quan sát một đám vi trùng ban đầu có con, tới ngày thứ t thì số lượng vi trùng trong đám ấy là con, biết rằng Gọi x là số lượng vi trùng trong đám ấy sau 10 ngày, giá trị của x gần với kết quả nào nhất trong các kết quả sau đây?
A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải:
Ta có: 
Vì nên 
Chọn đáp án D.
Ví dụ 14. Ông An có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng m và độ dài trục bé bằng m. Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng( như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa 100.000 đồng/1 m2. Hỏi Ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn)?
A. 7.862.000 đồng. B. 7.653.000 đồng.
C. 7.128.000 đồng. D. 7.826.000 đồng.
Hướng dẫn giải:
 Chọn hệ trục tọa độ sao cho tâm của mảnh vườn. 
Mảnh vườn giới hạn bởi đường Elip có phương trình chính tắc là .
Diện tích dải đất trồng hoa là: 
Số tiền cần để trồng hoa là:
đồng).
Chọn đáp án B.
 Ví dụ 15. Một khối cầu bằng thủy tinh có bán kính bằng , người ta muốn cắt bỏ một chỏm cầu có diện tích mặt cắt là để lấy phần còn lại làm bể nuôi cá. Tính thể tích nước tối đa mà bể cá này có thể chứa.
A. B. C. 	 D. 
Hướng dẫn giải:
- Hướng dẫn học sinh xây dựng công thức tính thể tích của khối chỏm cầu có bán kính và chiều cao :
Trong mặt phẳng , xét hình phẳng giới hạn bởi cung tròn tâm O bán kính có phương trình , trục hoành và đường thẳng . Quay hình phẳng đó xung quanh trục hoành ta được khối chỏm cầu có bán kính và chiều cao .
Thể tích của khối chỏm cầu là:
.(***)
Hướng dẫn giải:
 Gọi lần lượt là thể tích tối đa bể nuôi cá có thể chứa, thể tích khối cầu bằng thủy tinh và thể tích chỏm cầu bị cắt bỏ.
Ta có 
Suy ra 
Do đó 
Chọn C.
 - Yêu cầu học sinh áp dụng công thức (***) để giải quyết bài toán:
 Gọi lần lượt là thể tích tối đa bể nuôi cá có thể chứa, thể tích khối cầu bằng thủy tinh và thể tích chỏm cầu bị cắt bỏ.
Ta có 
Suy ra 
Do đó 
Ví dụ 16. Từ một khúc gõ hình trụ có đường kính , người ta cắt khúc gỗ bởi một mặt phẳng đi qua đường kính đáy và nghiêng với đáy một góc để lấy một hình nêm (xem hình minh họa dưới đây).
 Hình 1 Hình 2
Kí hiệu là thể tích của hình nêm (Hình 2). Tính .
 A. . B. . C.. D. .
 Hướng dẫn giải:
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó hình nêm có đáy là nửa hình tròn :
Một mặt phẳng cắt vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ ,cắt hình nêm theo thiết diện là tam giác vuông cân MNP có diện tích là 
Dễ thấy và 
 Do đó 
 Suy ra thể tích hình nêm là : 
Nhận xét: Bằng cách tương tự, ta xây dựng được công thức tính thể tích của hình nêm trong trường hợp tổng quát là