Sáng kiến kinh nghiệm Xây dựng hệ thống bài tập từ một bài tập ban đầu theo nhiều hướng khác nhau

CHUYÊN ĐỀ THÁNG 12 /2019
Người báo cáo: Trần Thị Thanh Huyền
Ngày báo cáo: 19/12/2019
CHUYÊN ĐỀ: XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP TỪ MỘT BÀI TẬP BAN ĐẦU THEO NHIỀU HƯỚNG KHÁC NHAU 
I. ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong quá trình dạy toán, chắc rằng các thầy cô giáo đã có không ít lần gặp các bài toán cũ mà cách phát biểu có thể hoàn toàn khác, hoặc khác chút ít. Những bài toán tương tự, mở rộng, đặc biệt hóa hay lật ngược bài toán mà các bài toán này có cùng phương pháp giải. Nếu giáo viên định hướng cho học sinh kỷ năng thường xuyên liên hệ một bài toán mới với những bài toán đã biết như bài toán đảo, bài toán tổng quát, bài toán đặc biệt...thì sẽ làm cho học sinh phát hiện ra rằng bài toán đó không mới đối với mình nữa hoặc nhanh chóng xếp loại được bài toán từ đó định hướng được phương pháp giải quyết một cách tích cực và chủ động. Sau đây tôi sẽ đưa ra một số ví dụ để giải quyết thực trạng trên và để thể hiện nội dung của đề tài.
II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:
1.Ví dụ :
 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ các tia tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn (Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ là AB). Qua một điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn đó, nó cắt Ax và By theo thứ tự tại C và D. Chứng minh rằng:
 a. = 90o.
 b. CD =AC + BD
Hướng dẫn: 
a.-Vì CA và CM là hai TT của đt (O) cắt
nhau tại C OC là tia phân giác của (1) 
 và CM = CA
+ DM và DB là hai TT của đt(O)
 cắt nhau tại D
 OD là tia phân giác của (2) và DM = DB
- Từ (1) và (2) CO ^ OD ( ĐPCM)
b. Ta có CD = CM + MD mà CM = CA và DM = DB (CMT) 
 	Nên CD =AC + BD ( ĐPCM)
Nhận xét: Đây là bài toán khá đơn giản đối với học sinh khá giỏi, thậm chí những em trung bình cũng có thể làm được. Nhưng nếu ta thêm các câu hỏi khác thì không những học sinh trung bình mà còn những em khá giỏi củng có thể gặp nhiều khó khăn. Sau đây là một số bài toán xuất phát từ bài tập này.
2. Xây dựng hệ thống bài toán . 
Bài toán1: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ các tia tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn (Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ là AB). Qua một điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn đó, nó cắt Ax và By theo thứ tự tại C và D.Chứng minh rằng tích AC.BD không đổi khi M di chuyển trên nữa đường tròn.
Hướng dẫn: 
Theo câu a : Tam giác COD vuông tại O
 mà OM là đường cao nên OM2 = CM.MD
Theo câu b: CM = CA, BD = MD 
Do đó OM2 = CA.BD mà OM = R 
( không đổi). Nên CA.BD không đổi.
Bài toán 2: Cho nửa 
đường tròn tâm O đường kính AB. 
Vẽ các tia tiếp tuyến Ax và By với 
nửa đường tròn (Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ là AB). Qua một điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn đó, nó cắt Ax và By theo thứ tự tại C và D. Chứng minh rằng đường thẳng AB tiếp xúc với đường ngoại tiếp tam giác COD.
Hướng dẫn :
- Gọi N là trung điểm của CD 
NC = ND = NO ( vì D COD vuông)
Do đó ON là bán kính đường tròn 
ngoại tiếp D COD (1)
- AxAB (gt) và By AB(gt) 
 AC // BD nên tứ giác 
ACDB là hình thang
- Xét hình thang ACDB có NC = ND và OA = OB
Nên ON là đường TB của hình thang ACDB ON // AC 
Do đó ON AB ( vì AC AB) (2)
- Từ (1) và (2) Suy ra AB tiếp xúc với đường ngoại tiếp tam giác COD.
Bài toán 3 : Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ các tia tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn (Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ là AB). Qua một điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn đó, nó cắt Ax và By theo thứ tự tại C và D. Xác định vị trí của M để chu vi và diện tích của tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó theo R.
Hướng dẫn: 
Ta có PACDB = CA + AB +BD + DC 
= AB + 2CD Mà CD ³ AB 
Suy ra : PACDB ³ 3AB hay 
PACDB ³ 6R. Dấu “ = ” xẩy ra khi 
và chỉ khi CD = AB
CD // AB 
OM AB. 
Khi đó M nằm chính giữa cung AB.
Vậy GTNN của PACDB = 6R 
 - SACDB = . AB = ³ Hay SACDB ³ 2R2
Dấu “ = ” xẩy ra khi và chỉ khi CD = AB CD // AB OM AB. Khi đó M nằm chính giữa cung AB.
Vậy GTNN SACDB = 2R2 Khi đó M nằm chính giữa cung AB.
Bài toán 4: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ các tia tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn (Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ là AB). Qua một điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn đó, nó cắt Ax và By theo thứ tự tại C và D.Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích hai tam giác ACM và MDM
Hướng dẫn:
Ta có:
+) SACDB = ( AC + BD). AB = CD.AB 
Mà CD ³ AB do đó SACDB ³ AB2 = 2R2 (1)
Dấu “ =” xẩy ra khi và chỉ khi điểm M
 nằm chính giữa cung AB
+) SAMB = MH.AB. Mà MH £ R do đó SAMB £ R.2R = R2(2)
Dấu “ =” xẩy ra khi và chỉ khi điểm M nằm chính giữa cung AB
+) SAMC + S BMD = SACDB - SAMB (3).Từ (1), (2) và (3) suy ra
Để SAMC + S BMD nhỏ nhất thì SACDB nhỏ nhất và SAMB lớn nhất. 
Mà SACDB nhỏ nhất = 2R2 và SAMB lớn nhất = R2
Vậy SAMC + S BMD nhỏ nhất = R2
Nhận xét: Từ bài 1 đến bài 4 chúng ta mới chỉ thêm câu hỏi mà chưa thêm các giao điểm và lật ngược lại vấn đề của bài toán. Nhưng nếu chúng ta đảo lại bài toán ở ví dụ hoặc thêm giao điểm thì sẽ được các câu hỏi mới khó hơn nhiều giúp các em liên hệ được các hình vẽ với nhau, hiểu sâu bài toán, nắm bắt được kiến thức một cách chủ động, đồng thời tạo hứng thú cho các em trong học tập. Xuất phát từ ý tưởng này ta lại có một số bài tập thú vị hơn.
Bài toán 5 ( Bài toán đảo của ví dụ )
Cho đoạn thẳng AB, kẻ hai tia Ax và By cùng vuông góc với AB và cùng nằm trên cùng một mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB. Trên tia Ax và tia Ay lần lượt lấy hai điểm C và D sao cho AC + BD = CD. Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB.
Huớng dẫn: 
Ở bài này chúng ta có nhiều cách làm:
Cách 1: Sử dụng định nghĩa và định lý về tiếp tuyến.
-Trên CD lấy điểm M sao cho CM = CA 
MD = BD ( vì AC + BD = CD) 
-Do đó 2 tam giác ACM và MDB cân tại C và D
 = và 
 = 
do đó + = 
- Mà + = 1800 ( vì tứ giác ABDC là hình thang vuông) 
 Nên + = 900 = 900 M thuộc đường tròn đường kính AB(1)
- Trên AB lấy điểm O sao cho OA = OB. Nối O với M ta có MO = OA = OB hay tam giác AOM cân tại O + = + = 900 OM ^ CD (2)
- Từ (1) và (2) suy ra CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB.
Cách 2: 
Lấy trên đoạn CD một điểm M sao cho CM = CA.
Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của AM và MB.
 Nối C với E và nối D với F cắt nhau tại O’
- Xét Dcân CAM có CE là đường trung tuyến 
Nên CE cũng là đường cao và là đường phân
 giác(1).
- Xét Dcân MDB có DF là đường trung
 tuyến .Nên DF cũng là đường cao và là đường phân giác(2).
 - Từ (1) và (2) suy ra + = 900(vì + = 1800) = 900.
 Do đó tứ giác O’EMF là hình chữ nhật = 900 và MO’ = EF. 
- Trên AB lấy điểm O sao cho OA = OB. Vì D AMB là D vuông nên MO = OA = OB = AB (3)
- Xét DAMB có: EA = EM và MF = FB nên FE là đường TB của tam giác AMB FE = AB (4)
- Từ (3) và (4) suy ra MO = MO’ hay O º O’
- Xét DACO và DMCO có CO chung, CA = CM, = DACO = DMCO( c.g.c). Suy ra = = 900 hay CM ^ MO nên CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB . 
Cách 3:
- Từ O kẻ đường thẳng ^ AB cắt CD tại N suy ra NC = ND 
Xét hình thang vuông ACDB có ON là đường TB nên 
 ON = = = CN = ND DNCO cân 
tại N
 mà ( CA // ON)
- Từ O kẻ OM ^ CD ( M Î CD)
- Xét DACO và DMCO có = 900, CO chung, 
 nên DACO = DMCO( ch – gn)
Do đó AO = OB = OM hay M thuộc đường tròn đường kính AB mà CD ^ OM tại M nên CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB . 
Nhận xét: Qua bài toán này chúng ta sẽ rèn cho các em thành thạo kỷ năng chứng minh một bài toán hình học không những có một cách mà có thể có nhiều các khác nhau và nắm vững nội dung của bài toán một cách tích cực, chủ động và tự giác. Từ đó giúp các em tự tin hơn và thấy say mê Toán học nhiều hơn. Cũng từ cách làm thứ 3 của bài toán 5 ta có bài toán 6 và một số bài toán khác bằng cách cho thêm các giao điểm.
Bài toán 6: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ các tia tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn (Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ là AB). Qua một điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn đó, nó cắt Ax và By theo thứ tự tại C và D. Nối M với B cắt Ax tại N. Chứng minh 
C là trung điểm của AN.
 b. ON AD 
Hướng dẫn:
a.Ta có:AC = CM (TCTT cắt nhau) và 
OA = OM = R
Do đó CO là đường trung trực của AM 
 AM CO mà AM NB 
 CO // NB
- Xét DANB có OA = OB = R và CO // NB ( CMT) nên CO là đường trung bình của DANB CA = NC.
 b. Ta có AN // BD ( cùng AB) = ( so le trong) 
 Mà + = 900 và + = 900 nên = = 
 MAN ODM hay = = (1)
 Mặt khác = ( Vì = = 900 và = ) (2) 
 Từ (1) và (2) D OMN DDMA = tứ giác ANMH nội tiếp. 
 Do đó = = 900 hay ON AD . 
Nhận xét: Dựa vào cách chứng minh của bài toán trên ta lại có bài toán 7 khó hơn.
Bài toán 7: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ các tia tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn (Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ là AB). Qua một điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn đó, nó cắt Ax và By theo thứ tự tại C và D.Gọi giao điểm của CO và AM là P, giao điểm của OD và MB là Q. Chứng minh.
a.Tứ giác CPQD nội tiếp được đường tròn 
b.Xác định giá trị nhỏ nhất bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD.
Hướng dẫn:
a.Theo bài 8 thì P, Q là trung điểm của AM và MB
Nên PQ là đường trung bình của DAMB 
 PQ // AB Do đó: = 
 mà = ( CO // MB) 
 = (1).
Xét tứ giác MDNO có 
 = = 900 tứ giác MDNO nội tiếp = (2) 
Từ (1) và (2) = . Do đó tứ giác CPQD nội tiếp.
b. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của CD và QP. N là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CPQD OE // AC và NF QP. Mà PQ // AB( câu a) 
NF AB do đó NF // AC (3). 
Mặt khác: NE và MQ cùng CD nên NE // MQ (4)
 Từ (3) và (4) suy ra tứ giác NEOF là HBHNE = FO = R( tứ giác MPOQ là HCN)
 Xét tam giác CNE có CN = = ³ = R
Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi AB = CD hay M là điểm chính giữa cung CD.
 Vậy giá trị nhỏ nhất bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD bằng R
Kết luận : Các bài toán trên ta thấy chúng có mối quan hệ mật thiết với nhau. Vì vậy nếu trong khi dạy toán mà chúng ta biết hệ thống và liên kết chúng thì được một hệ thống bài tập không những giúp cho việc giảng dạy thêm phần sinh động mà còn giúp cho học sinh cảm thấy hứng thú và chủ động đồng thời nắm bắt được kiến thức một cách vững vàng hơn. 
Bài tập :
Bài 1: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ các tia tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn (Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ là AB). Qua một điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn đó, nó cắt Ax và By theo thứ tự tại C và D.Từ M kẻ MH AB. Gọi E và F là chân đường vuông góc hạ từ H xuống AM và BM.
a. Chứng minh { AEFB nội tiếp được đường tròn
b. Gọi G là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEFB. Chứng minh EF = 2OG
c. Chứng minh MH, CB, AD đồng quy
Bài 2. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và một điểm Q cố định nằm trên đoạn OB. Qua Q vẽ đường thẳng d vuông góc với OB. Vẽ cát bất kỳ Ay cắt nửa đường tròn tại M sao cho M ( M luôn năm về nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d có chứa điểm A) và cắt đường thẳng d tại T. Nối T với B cắt nửa đường tròn tại C. Qua N và M kẻ các tiếp tuyến Nx và Mz với nửa đường tròn cắt nhau tại R. Gọi giao điểm của BM và AN là I.
a. Chứng minh I, R cùng thuộc đường thẳng d
b. Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AIT. Chứng minh rằng khi cát tuyến Ay thay đổi thì điểm K luôn nằm trên một đường thẳng cố định./.