Sáng kiến kinh nghiệm Xác định chân đường vuông góc hạ từ một điểm xuống một mặt phẳng

Phần I: Mở Đầu
I. Lý do chọn đề tài:
 Trong chương trình giảng dạy và học tập bộ môn toán ở trường trung học phổ thông, Hình học chiếm vị trí tương đối quan trọng. Đặc biệt là hình không gian lớp 11, 12, phần này chiếm tới một phần ba chương trình. Những năm gần đây, hình học không gian là một trong những vấn đề thường gặp trong các đề thi đại học, cao đẳng và tốt nghiệp. Một trong những vấn đề thường hay đề cập đến là các bài toán trong quan hệ vuông góc. Việc mở ra huớng chứng minh cho bài tập hình không gian là đi xác định chân đường vuông góc hạ từ một điểm. 
 Trong hình học phẳng, các em đã được làm quen với việc xác định chân đường vuông góc hạ từ một điểm xuống đường thẳng. Nhưng trong không gian, xác định vị trí của nó không đơn giản, đòi hỏi người học phải trí tưởng tượng, mắt quan sát.Tuy nhiên, nó không phải quá khó như một số em vẫn tưởng. Việc xác định chân đường vuông góc có vai trò quan trọng để tìm ra lời giải các dạng bài toán: tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, xác định số đo góc, tính thể tích khối đa diện....Chính vì vậy, khi giải toán học sinh không xác định được chân đường cao nằm ở đâu? Phải dựa vào yếu tố nào để xác định? Và điểm đó có mối quan hệ gì với giả thiết của bài toán? Cho nên, học sinh thường hay khó tưởng tượng, không có hứng thú với hình học không gian. Khi gặp dạng này trong đề thi thường hay bỏ qua.
 Xuất phát từ việc nghiên cứu các đề thi tốt nghiệp, đề thi đại học và thực tế giảng dạy tôi quyết định chọn đề tài: “xác định chân đường vuông góc hạ từ một điểm xuống một mặt phẳng”.Qua nội dung này nhằm giúp các em có một kỹ năng tốt để giải các bài toán về hình không gian.
Phần II: nội dung
I. Cơ sở lí luận của đề tài:
Định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
 Một đường thẳng gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
 Khi đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P), ta còn nói mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng a hoặc a và (P) vuông góc với nhau.
Kí hiệu: hoặc .
Định lý đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
 Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P).
Các tính chất:
Tính chất 1: 
 Có duy nhất một mặt phẳng (P) đi qua một điểm O cho trước và vuông góc với đường thẳng a cho trước
 Tính chất 2:
 Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm O cho trước và vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước.
 4. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng
 Tính chất 3:
 a) Mặt phẳng nào vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.
 b)Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
 5. Hai mặt phẳng vuông góc.
 Định nghĩa:
 Hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900 . 
 Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc.
 Định lý 1: Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.
 Định lý 2: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với một mặt phẳng thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng đó.
 Tính chất hai mặt phẳng vuông góc: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng a nào nằm trong (P), vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) đều vuông góc với mặt phẳng (Q).
 Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và A là một điểm nằm trong (P) thì đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với (Q) sẽ nằm trong (P). 
II. Thực trạng của vấn đề
 Hình học không gian là môn học mới đối với học sinh lớp 11 vì nó có nội dung mới và phong phú hơn hình học phẳng. Nó rèn luyện cho học sinh trí tưởng tượng không gian thông qua các hình ảnh, mô hình cụ thể theo con đường tư duy từ trực quan sang tư duy trừu tượng.
 Khi giải các bài hình về xác định chân đường vuông góc, học sinh cứ hạ hình chiếu vuông góc nhưng không chính xác vị trí chân đường cao nằm ở vị trí nào? Để làm được điều đó đòi hỏi ngưòi học phải có trí tưởng tượng, có kiến thức tốt về hình học phẳng, nhớ nhiều các định nghĩa và tính chất, quan trọng hơn là vận dụng kiến thức đó vào làm bài tập. Chính vì điều đó gây ra khó khăn cho không ít học sinh trong quá trình học môn này. 
III. CáC biện pháp tiến hành
 Bài toán tổng quát: Cho mặt phẳng (P) và một điểm M không thuộc mặt phẳng đó với M và (P) thoả mãn điều kiện nào đó. Xác định chân đường vuông góc H hạ từ M xuống mặt phẳng (P).
 Trước hết ta hiểu rằng, việc xác định H không đơn thuần là thể hiện vị trí điểm H trên hình vẽ mà ta phải chỉ ra tính chất của điểm H. Duới đây là một số trường hợp thường gặp và phương pháp giải một số trường hợp đó.
1. Dạng1: Trong mặt phẳng (P) có một điểm A và một đường thẳng d không đi qua A sao cho 
1.1 Phương pháp:
Để xác định H ta tiến hành các bước sau:
Trong mặt phẳng (P) kẻ đường thẳng d/ đi qua A và 
Trong mặt phẳng chứa M và d/ dựng thì H là điểm cần tìm.
1.2 Ví dụ áp dụng
1.2.1 Bài tập 1:
 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC.Xác định chân đường vuông góc hạ từ A xuống mặt phẳng (SBC).
Gọi H là trực tâm của ,
Vì S.ABC là hình chóp tam giác đều nên
Hay 
Trong mặt phẳng (SAI),
 kẻ 
mà 
Vậy K là điểm cần tìm
2.2.2 Bài tập 2:
 Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông.SA vuông góc với mặt phẳng đáy.Xác định chân đường vuông góc hạ từ C xuống mặt phẳng (SBD).
Ta có 
Gọi 
Trong (SAC), kẻ 
Như vậy:
Vậy H là điểm cần tìm.
2.Dạng 2: Trong mặt phẳng (P) có hai điểm A và B sao cho MA = MB.
2.1 Phương pháp:
Để tìm H ta tiến hành các bước sau:
Trong mặt phẳng (P) kẻ đường trung trực d củađoạn thẳng AB.
Trong mặt phẳng chứa M và d,dựng thì H là điểm cần tìm.
2.2 Các ví dụ áp dụng.
2.2.1 Bài tập 1:
 Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác cân tại A và .Xác định chân đường cao của hình chóp.
Ta có 
Dựng đường cao AM của AM là đường trung trực .
Trong mặt phẳng (SAM), kẻ 
 (vì)
Như vậy, H là điểm cần tìm.
2.2.2 Bài tập 2. Cho hình hộpcó các cạnh AB = AD và .Xác định chân đường vuông góc hạ từ đỉnh A/ xuống mặt phẳng (ABCD).
Vì ABCD là hình thoi nên AC là đường trung trực của BD.
dựng tại A (1)
Ta có :
Từ (1) và (2) 
Vậy H là điểm cần tìm.
2.2.3 Bài tập 3:
 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Một mặt phẳngđi qua AB cắt các cạnh SC và SD lần lượt tại các điểm M và N. Xác định chân đường vuông góc hạ từ S xuống mặt phẳng 
Vì 
Tứ giác ABMN là hình thang cân.
Gọi E, F là trung điểm của MN, AB.
nên E F là đường trung trực của hai đáy AB, MN.
Ta có: SA = SB 
mà
Trong (SEF), kẻ 
Mà( vì )
hay
Vậy H là điểm cần tìm.
2.2.4 Bài tập 4
 Cho ba tia Ox, Oy, Oz không nằm trong một mặt phẳng thoả mãn điều kiện . Xác định chân đường vuông góc hạ từ một điểm M thuộc tia Ox xuống mặt phẳng(yOz).
Lấy sao cho 
OA = OB.
Ta có : 
Do đó MA = MB.
Gọi E là trung điểm của AB.
Trong mặt phẳng (OME), dựng tại H
Mà 
Vậy H là chân đường vuông góc hạ từ M xuống mặt phẳng (yOz).
3.Dạng 3: Tồn tại một đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P).
3.1 Phương pháp:
Để tìm H ta tiến hành các bước sau:
 Xác định giao tuyến d của mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) đi qua a và M.
 Kẻ qua M đường thẳng song song với a cắt giao tuyến tại H thì H là điểm cần tìm.
3.2 Ví dụ áp dụng:
3.2.1 Bài tập 1:
 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại C và cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC).Xác định chân đường vuông góc hạ từ điểm M thuộc cạnh AB xuống mặt phẳng (SBC).
Chọn K trên SC sao cho 
Nối BK, chọn trên BK điểm H sao cho 
Vậy H là điểm cần tìm.
3.2.2 Bài tập 2:
 Cho hình chóp S.ABCD có SA = SC, SB = SD và đáy ABCD là hình thoi 
Xác định chân đường vuông góc hạ từ giao điểm các đường chéo của mặt phẳng đáy xuống một mặt bên.
Xác định chân đường vuông góc hạ từ A xuống mặt bên (SBC).
1)
Trong (ABCD), kẻ 
Trong (SOI), kẻ
Vậy J là chân đường vuông góc hạ từ O xuống mặt phẳng (SBC).
2)
Trong (SBC), kéo dài JC. Từ A kẻ đường thẳng AH song song OJ.Khi đó , 
3.2.3Bài tập 3
 Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thang, , BA = BC = a, AD = 2a.Cạnh bên SA vuông góc với đáyvà SA .Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB.Xác định chân đường vuông góc hạ từ H xuống mặt phẳng (SCD).	
Gọi M là giao điểm của AB với CD.K là giao điểm của AH và SM.
Vì ABCD là hình thang vuông, AD = 2BC nênvuông cân
Trong (SAC), kẻ
Nối KI, từ H hạ 
Vậy J là chân đường vuông góc hạ từ H xuống mặt phẳng (SMD).
3.2.4 Bài tập 4
 Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, SA vuông góc với mặt phẳng đáy.
Xác định chân đường vuông góc hạ từ A xuống mặt phẳng (SBC).
Xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AD và SA
1)
Trong mặt phẳng (SAB), dựng .Mà 
Vậy K là điểm cần tìm.
2)
Dựng 
E F là đoạn vuông góc chung của AD và SC
	Ghi chú: Để xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau, ta có thể đưa về bài toán xác định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Dạng 4: Điểm M thuộc mặt phẳng (Q) vuông góc với mặt phẳng (P).
4.1 Phương pháp:
Để xác định chân đường vuông hạ từ M ta làm như sau:
Xác định
Trong mặt phẳng (Q), kẻ 
thì H là điểm cần tìm.
4.2 Bài tập áp dụng:
Bài tập 1:
 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD.Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng ABCD.
Xác định chân đường vuông góc hạ từ M nằm trên SA xuống mặt phẳng (SBC).
Gọi O là giao điểm của AC và BD, là mặt phẳng đi qua O mà song song với BC.Xác định chân đường vuông góc hạ từ S xuống mặt phẳng .
1)
Mà 
Nên trong (SAB),từ M kẻ 
Vậy H là điểm cần tìm.
2)
Vì 
Trong(SAB),kẻ 
Vậy K là điểm cần tìm.
Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có	và ABCD là hình thoi tâm O,.Xác định hình chiếu vuông góc của A và trung điểm M của AO trên (SBD). 
1)
Hạtại H
Vậy H là điểm cần tìm
2)
Dựng
Vậy K là điểm cần tìm.
Bài tập 3:
Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1. M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, BC và O1, O2 thứ tự là tâm của mặt A1B1C1D1 và ADD1A1. Xác định chân đường vuông góc hạ từ M xuống mặt phẳng (NO1O2).
Mặt phẳng (NO1O2) là mặt phẳng (ENN1E1)
Ta có
(E là trung điểm của cạnh AD).
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.
 thì 
4.Một số dạng khác:
 - Trong nhiều bài toán, chân đường cao không xác định được bằng cách dựng như các dạng đã nêu. Ta giả sử đã dựng được điểm H, dựa vào các yếu tố bài toán để xác định vị trí điểm H.
 VD: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều. Hai mặt bên (SAC) và (SAB) tạo với đáy góc bằng nhau. Xác định chân đường vuông góc hạ từ S xuống mặt phẳng (ABC).
Giả sử H là chân đường vuông góc hạ từ S xuống mặt (ABC), 
Khi đó: 
(vì )
Do đó góc giữa (SAB) và (ABC) là 
Tượng tự : góc giữa (SAC) và (ABC) là 
Vậy H nằm trên đường phân giác của góc 
- Nếu ta xác định được hai mặt phẳng (P1), (P2) qua M và vuông góc mặt phẳng (P). Gọi d là giao tuyến của (P1), (P2) thì đường cao hạ từ M là đường thẳng d cần tìm.
VD: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. H là trung điểm của AB và hai mặt phẳng (SHD), (SHC) cùng vuông góc với đáy. Xác định chân đường cao hạ từ S xuống mặt phẳng (ABCD).
Vậy H là điểm cần tìm.
Xét khối chóp S.A1A2....An(n > 3). Sử dụng mối liên hệ giữa đường xiên, hình chiếu, góc nghiêng ta có ba mệnh đề sau tương đương.
Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau.
Các cạnh bên của hình chóp nghiêng đều với đáy.
Đáy của hình chóp nội tiếp và chân đường cao của hình chóp trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.
 VD: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và có 
SA = SB = SC. Xác định chân đường vuông góc hạ từ S xuống mặt (ABCD).
Gọi H là hình chiếu của S trên (ABCD)
Vì SA = SB = SC
HA = HB = HC
H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Xét khối chóp S.A1A2....An(n > 3).Sử dụng cách xác định góc giữa hai mặt phẳng, ta có ba mệnh đề sau tương đương:
Các mặt bên nghiêng đều với đáy.
Đường cao các mặt bên kẻ từ đỉnh S xuống các cạnh đáy bằng nhau.
Chân đường cao H của hình chóp cách đều các cạnh đáy.Từ đó, nếu H nằm trong đa giác đáy thì đáy có đường tròn nội tiếp và H là tâm đường tròn đó.
VD1: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình thang cân.Bốn đường cao của bốn mặt bên ứng với đỉnh S có độ dài bằng nhau. Xác định chân đường vuông góc hạ từ S xuống mặt phẳng đáy.
Gọi H là hình chiếu của S trên (ABCD).
SM, SE, SN, SF là đường cao của bốn mặt bên.
Ta có
Tương tự
Mặt khác: 
Nên HN = HE = HM = HF
H là tâm đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD
VI. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
 Qua kết quả bài kiểm tra cuối chương III khi giảng dạy lớp 11H, 11L tôi thấy học sinh chưa nắm chắc kỹ năng giải, vẫn tồn tại học sinh học yếu. Sau thời gian học chuyên đề, tôi nhận thấy đa số học sinh hiểu cách làm và biết cách giải các bài tập hình không gian và kết quả cụ thể như sau:
Năm học
 2009-2010
Lớp 11H
Lớp 11L
G
K
TB
Y
G
K
TB
Y
Đầu kỳ II
5%
25%
45%
15%
3%
9%
50%
38%
Cuối năm
15%
40%
55%
5%
12%
47%
35%
5%
Phần ba:kết luận
 Sáng kiến đã giúp học sinh biết cách xác định chân đường vuông góc và quan trọng hơn từ đó học sinh biết làm các dạng toán khác của hình không gian.Qua những năm giảng dạy, những học sinh từ trung bình khá trở nên ngày càng say sưa học môn toán, biết cách khai thác bài toán. Giúp các em nắm kiến thức một cách chắc chắn và có hệ thống.
 Do thời gian không nhiều và đây cũng là ý kiến của cá nhân nên nội dung đè tài còn nhiều thiếu xót, rất mong được sự giúp đỡ và đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp để tôi có bài viết hoàn chỉnh hơn.
Tài liệu tham khảo
 1.Tuyển chọn theo chuyên đề chuẩn bị cho kì thi tốt nghiệp trung học phổ thông và thi vào đại học, cao đẳng(NXB Giáo dục Việt Nam).
 2.Tuyển tập 500 bài toán hình học không gian chọn lọc.
 3. Tạp trí toán học tuổi trẻ.