Sáng kiến kinh nghiệm Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau vào một số bài toán Lớp 7

đặt vấn đề
 Trong quá trình giảng dạy ở trường cũng như cùng trao đổi với các đồng nghiệp tôi thấy rằng các bài toán dùng kiến thức về dãy tỉ số bằng nhau, tỉ lệ thức để giải là một phần được học sinh và mọi người quan tâm cả về phương pháp học , giảng dạy, cũng như nội dung kiến thức, trong đó việc phân loại bài tập và phương pháp suy luận tìm tòi lời giải đối với từng dạng, đã được đề xuất đem ra trao đổi ở tổ chuyên môn, rồi được áp dụng vào các tiết giảng ở các lớp đại trà và các lớp bồi dưỡng HSG đã đạt kết quả tốt. Các bài toán về Tỉ lệ thức là một mảng toán rất rộng nên đề tài không có ý định đề cập tới tất cả các dạng ở các khối lớp mà chỉ hạn chế mức độ toán 7 để sử dụng trong giảng dạy và bồi dưỡng học sinh khá, giỏi lớp 7, các bài toán thường gặp trong thi Violympic.
 Là một giáo viên dạy toán 7 tôi nhận thấy đa phần học sinh lớp 7 kể cả học sinh khá giỏi từ việc tiếp thu kiến thức về lý thuyết định nghĩa, tính chất của tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số bằng nhau. để vận dụng kiến thức đã học vào việc giải bài tập và tỉ lệ thức học sinh còn khó khăn và lúng túng nhiều. Từ việc tìm ra hướng giải quyết đến việc thực hiện các bước giải, kể cả những bài tương đối bình thường đến những bài toán khó. chính vì thế nên tôi đã đisâu vào nghiên cứu đề tài này nhằm tìm ra một số cách “ Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau vào một số bài toán lớp 7 “ để giúp học sinh biết vận dụng lý thuyết vào việc thực hành giải các bài tập về tỷ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau.
B. Nội dung:
I. Lý thuyết:
1. Định nghĩa về tỷ lệ thức:
Tỷ lệ thức là một đẳng thức của hai tỷ số
 hoặc a : b = c : d.
Trong đó các số: a,b,c,d được gọi là các số hạng của tỷ lệ thức. Các số a và d gọi là ngoại tỷ, b và c gọi là trung tỷ.
2. Tính chất của tỷ lệ thức.
+ Tính chất 1: trong mội tỷ lệ thức, tích 2 trung tỷ thì bằng 2 ngoại tỷ.
Nếu thì a.d = b.c
+ Tính chất 2: Nếu tích của 2 thừa số khác 0 bằng 1 tích của 2 thừa số khác 0 thì ta có thể lập được 4 tỷ lệ thức:
Nếu có: a.d = b.c (a,c,d ≠ 0) thì có:
 ; ; và 
3. Tính chất của dãy tỷ số bằng nhau:
a, = (b ≠ ) 
b, = (Các mẫu số khác 0).
4. Tổng quát cho dãy tỉ số bằng nhau:
 (n2; nZ)
Nếu nói: Các sỗ x, y, z tỉ lệ với các số a, b, c ta có thể viết như sau:
 hoặc x: y: z = a: b: c
5. Các kiến thức có liên quan.
a, tính chất cơ bản của phân số:
Nếu ta nhân cả tử số và mẫu số với cùng một số khác 0 thì ta được một phân số mới bằng phân số đã cho. ( b ≠ 0, m ≠ 0).
Nếu ta chia cả tử số và mẫu số với cùng một số khác 0 thì ta được một phân số mới bằng phân số đã cho. ( b ≠ 0, n ≠ 0).
b, Tổng 3 góc trong một tam giác bằng 1800: + + = 1800
c, Quãng đường đi được của chuyển động bằng tích của vận tốc với thời gian đi hết quãng đường đó: S = v.t
 các dạng bài tập và phương pháp giải
Dạng 1: Lập tỉ lệ thức từ đẳng thức cho trước, từ một tỉ lệ thức cho trước, từ các số cho trước.
Phương pháp giải : 
+ Lập tỉ lệ thức từ đẳng thức cho trước : áp dụng tính chất 2 
Nếu có: a.d = b.c (a,c,d ≠ 0) thì có:
 ; ; và 
+ Lập tất cả tỉ lệ thức từ một tỉ lệ thức cho trước từ tỉ lệ thức 
Ta có thể lập được 3 tỉ lệ thức khác nữa bằng cách
giữ nguyên ngoại tỉ, đổi chỗ các trung tỉ : 
giữ nguyên trung tỉ, đổi chỗ các ngoại tỉ : 
đổi chỗ các ngoại tỉ với nhau, các trung tỉ với nhau : 
Ví dụ áp dụng 
Tìm các tỉ số bằng nhau trong các tỉ số sau rồi lập các tỉ lệ thức:
28:14; ; 4: 2; ; 30:100; 2,1: 7; 
Giải:
28:14 = 4:2 ; 30 : 100 = 2,1 : 7
lập tất cả các tỉ lệ thức có thể được từ đẳng thức sau
6.63 = 9.42
3)Từ các tỉ số sau đây có lập được tỉ lệ thức không?
a) 3,5: 5,25 và 14:21: b) và 2,1: 3,5;
c) 6,51: 15,19 và 3: 7; d) -7: và 0,9: (-0,5).
Giải:
a), c) được 
 4) Cho tập hợp A= . Hãy liệt kê mọi tỉ lệ thức có các số hạng là các phần tử của tập hợp A.
Giải: từ các phần tử của tập hợp A ta có các hệ thức: 
 2 x 32 = 8 x 8 từ hệ thức này có các tỷ lệ thức : và .
8 x 128 = 32 x 32. Suy ra các tỉ lệ thức sau: và .
 32 x 512 = 128 x 128 ta có hệ thức sau: và .
 2 x 512 = 32 x 32 ta có các tỉ lệ thức sau: và .
 2 x 128 = 8 x 32 ta có các tỉ lệ thức sau: 
 và .
 8 x 512 = 32 x 128 ta có các tỉ lệ thức sau:
 và .
 2 x 512 = 8 x 128 ta có các tỉ lệ thức sau:
 và .
Như vậy từ các phần tử tập hợp A có thể lập được 20 tỷ lệ thức khác nhau.
 Dạng 2: Tìm các số chưa biết khi biết các số còn lại trong tỷ lệ thức, khi biết tổng hoặc hiệu của chúng.
a, Cách giải:trong một tỉ lệ thức ta có thể tìm được số hạng còn lại khi biết được 3 số hạng kia :
* áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau.
* Vận dụng tính chất cơ bản của phân số.
* Đặt tỷ lệ thức đã cho bằng K. tìm mối quan hệ của ẩn số qua K.
Ví dụ áp dụng: 
Bài 1 : Tìm x trong các tỉ lệ thức sau
Bài 2: Tìm 2 số x, y biết:
a) và x + y = 28
b) 7x = 3y và x – y = 16
Giải:
Từ áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau ta có:
 Do đó: x = 5.4 = 20 ; y = 2.4 = 8.
 b) Từ 7x = 3y 
 x = ; y = .
Bài 3. Tìm x, y 0 biết:
 a) và 2x+ 5y = 10
 b) và 2x + 3y = 7
 c) 21x = 19y và x- y = 4
 d) và x.y = 84
Giải:
 a) => => 
 Ta có 
 x= ; y = 
 b), c) giải tương tự.
 d) Do x 0 Nên từ => 10x2 = 3x2 +252
 => x2 = 36 => x = 6 hoặc x = -6
Dạng3: Chứng minh đẳng thức từ tỉ lệ thức cho trước
Phương pháp : áp dụng các tính chất của tỉ lệ thức,dãy tỉ số bằng nhau
 Cách1 - Phân tích ngược để phát hiện biểu thức cần thêm hoặc bớt vào đẳng thức đã cho để suy ra biểu thức cần chứng minh.
 Cách 2 - Đặt ẩn phụ rồi chỉ ra hai vế của đẳng thức cần phải chứng minh cùng bằng một biểu thức thứ ba.
 Cách 3 - Lập các tích trung tỉ và các tích ngoại tỉ rồi so sánh chúng kết hợp với đẳng thức suy ra được từ giả thiết.
Ví dụ áp dụng
ví dụ 1 : Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức ta có thể suy ra tỉ lệ thức 
Giải : đặt k = vì nên do đó . Ta có a = bk, c = dk
 (1)
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 
Ví dụ2 Cho tỉ lệ thức . Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau( giả thiết các tỉ lệ thức phải chứng minh đều có nghĩa):
a) 
b)
c)
Câu a) Tìm tòi lời giải: 
 <= (a-b)(c+d) = (c-d)(a+b) <= ac +ad – bc- bd = ac + bc –ad –bd 
 <= ad – bc = bc – ad <= 2ad = 2bc <= ad = bc <= 
 Giải:
Cách 1 => ad = bc => 2ad = 2bc => ad – bc = bc – ad 
ac + ad – bc – bd = ac + bc – ad – bd => (a-b)(c+d) = (c-d)(a+b) 
Cách 2 : Dùng ẩn phụ
 Đặt = k => a = bk ; c = dk =>
 (1)
 (2)
Từ (1) và (2) ta có đẳng thức cần phải chứng minh.
Câu b)
Cách 1 ta có thể so sánh tích các trung tỉ và tích các ngoại tỉ
 Giải: 
Xét tích A = (2a + 5b)(3c – 4d) = 6ac – 8ad + 15bc – 20bd
 B = (3a – 4b)(2c + 5d) = 6ac +15ad – 8bc – 20bd
Mặt khác theo giả thiết ta lại có: => ad = bc
 Nên B = 6ac + 15bc – 8ad – 20bd = A => 
Cách 2: làm tương tự cách 2 của câu a) Chỉ ra 2 vế của đẳng thức cần chứng minh đều bằng từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ2: Cho tỉ lệ thức: Chứng minh rằng 
Giải:Cách1: Đặt = k => a = bk; c = dk. Ta có:
 = k2 (1)
 (2)
 Từ (1) và (2) ta suy ra điều phải chứng minh.
 Cách 2: 
Từ: => , do đó (1)
 Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
 (2)
 Từ (1) và (2) Ta suy ra điều phải chứng minh.
 Cách 3: Xét tích ac(b2 + d2) và bd(a2 + c2), ta có:
 ac(b2 +d2) = ab2c+ acd2 =ab.bc + ad.cd (1)
 bd(a2+ c2) = a2bd + bc2d = ab.ad = bc.cd (2)
Mặt khác ta lại có: => ad = bc
 Kết hợp với (1) và (2) suy ra:
 ac(b2 +d2) = bd(a2+ c2). Suy ra điều phải chứng minh.
 Dạng 4: Bài tập vận dụng dãy tỉ số bằng nhau vào một số bài toán thực tế
Phương pháp : Vận dụng các kiến thức liên quan và áp dụng tính chất nêu trên để giải
a, Ví dụ 1: Tìm số đo các góc của tam giác ABC biết rằng số đo các góc này tỷ lệ với 3, 4, 5.
Giải:
Số đo các góc của rABC là ; ; . Giả sử theo thứ tự này, các góc đó tỉ lệ với ,3 , 4 và nghĩa là : : = 3 : 4 : 5 hay 
Do đó: ; ; 
b, Ví dụ 2: Một người đi A B đã tính rằng nếu đi với vận tốc là 6km/h thì tới B lúc 11h45’. Vì rằng người đó chỉ đi được quãng đường với vận tốc định trước và quãng đường còn lại chỉ đi với vận tốc 4,5km/h nên đến B lúc 12h. Hỏi người đi bộ khởi hành lúc mấy giờ và quãng đường AB dài bao nhiêu km ?
Giải:
Gọi AC là quãng đường đi với vận tốc 6km/h. CB là quãng đường đi với vận tốc 4,5km/h. theo đề bài ta có:
 A B
CB = AB, Giải sử để đi quãng đường CB với vận tốc 6km/h cần thời gianlà giời. Còn đi với vận tốc 4,5km/h với thời gian giờ. Ta có:
 - = 12h – 11h45 = (h) và 6 = 4,5
 Từ đó = 1h; = 
Quãng đường AB là : 4,5 . 5 = 22,5km, Quãng đường CB là : = 4,5kmThời gian để đi bộ từ A B là 4 + = 3h + 1h = 4hThời gian khởi hành để đi bộ là 12 - 4 = 8h.
Dạng 5: Một số bài toán thường quy về tỉ lệ thức để giải: 
Phương pháp : Đối với dạng toán này ta thường tiến hành theo 3 bước đó là :
 -Xác định xem đây là bài toán tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch.
 -Xác định các đại lượng và dựa vào tính chất để lập tỉ lệ thức.
 -áp dụng các cánh giải đã nêu trên để tính các đại lượng phải tìm.
Ví dụ áp dụng
 Bài 1:Bài toán tỉ lệ thuận
 Ba lớp 7A, 7B, 7C có số học sinh giỏi lần lượt tỉ lệ 3, 5, 7. Tính số học sinh giỏi của cả ba lớp, biết rằng lớp 7C có số học sinh giỏi nhiều hơn lớp 7A là 12 em.
Giải:
 Gọi số học sinh giỏi của các lớp 7A,7B, 7C lần lượt là x, y, z. Theo bài ra ta có:
 và z – x = 12
Từ: = => x = 3.3 = 9
 y = 5.3 = 15 
 z = 7.3 = 21
Vậy lớp 7A, 7B, 7C lần lượt có 9, 15, 21 học sinh giỏi và số học sinh giỏi ở cả 3 lớp là 9 + 15 + 21 = 45 (em).
Bài 2 Bài toán tỉ lệ nghịch
Một tàu thủy chậy từ bến sông A đến bến sông B vói vận tốc 20km/h và quay về A với vận tốc 24km/h. Thời gian cả đi lẫn về mất 5h30phút. Tìm chiều dài quãng sông từ A đến B.
Giải:
 Gọi Vận tốc V1 = 20 km/h và t1 là thời gian tàu thủy đi từ bến A đến bến B , vận tốc V2 = 24 km/h và thời gian t2 của tàu thủy đi tứ bến B về bến A.
 Ta có: V1t1 = V2t2 =>= 
 Ta có t1= V2 : = 24 : = 3 (h)
 Chiều dài quãng sông từ A đến B là:
 S = V1t1 = 20.3 = 60 (km).
c. kết luận
 Trong khi giảng dạy toán nói chung, đặc biệt là dạy các tiết luyện tập và bồi dưỡng học sinh giỏi thì việc phân dạng các bài tập là rất cần thiết, nó vừa giúp cho học sinh nắm bài một cách rõ ràng, vừa rèn luyện cho học sinh thói quen thường xuyên tổng hợp lại các đơn vị kiến thức đã học theo các nhiệm vụ, điều này không chỉ là một thói quen tốt trong học tập mà còn là một phẩm chất tốt trong cuộc sống.
 Trên đây chỉ là một phần nhỏ trong các dạng toán về dãy tỉ số bằng nhau và các bài toán có liên quan thường gặp ở lớp 7 và một số kết quả thu được trong quá trình giảng dạy, tôi xin được mạnh dạn trình bày, mặc dù đã cố gắng nhiều nhưng chắc chắn vẫn còn nhiều khiếm khuyết. Rất mong được sự góp ý của các đồng nghiệp.
Tôi hy vọng rằng khả năng học toán nắm vứng trí thức sau mỗi phần, mỗi lĩnh vực kiến thức sự ham mê học toán của các em ngày một tăng lên. Do điều kiện về thời gian và trình độ có hạn của tôi nên đề tài không thể tránh khỏi những thiếu sót. Vậy tôi rất mong các đồng nghiệp đóng góp ý kiến chân tình để đề tài của tôi được hoàn thiện hơn.
Tôi chân thành xin cảm ơn !
 Châu hoá, ngày 22/11/2012
 Người thực hiện
Trần Quyết Thắng
MụC LụC
Đặt vấn đề
Nội dung
Phần lí thuyết
Các dạng bài tập và phương pháp giải
Dạng 1: Lập tỉ lệ thức từ đẳng thức cho trước,từ một tỉ lệ thức cho trước, từ các số cho trước.
Dạng 2: Tìm các số chưa biết khi biết các số còn lại trong tỷ lệ thức, khi biết tổng hoặc hiệu của chúng
Dạng3: Chứng minh đẳng thức từ tỉ lệ thức cho trước
 Dạng 4: Bài tập vận dụng dãy tỉ số bằng nhau vào một số bài toán thực tế
Dạng 5: Một số bài toán thường quy về tỉ lệ thức để giải: 
Kết luận