Sáng kiến kinh nghiệm Vận dụng hệ thức Vi-Ét trong Toán học 9

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn sáng kiến
Trong những năm trước, khi dạy học sinh giải toán 9, tôi thấy các em rất lúng túng khi vận dụng hệ thức Vi-et để giải bài tập. Các em không biết cách trình bày, không định hướng được các dạng toán nào có thể vận dụng, không hệ thống được các dạng toán và phương pháp giải cho từng dạng bài tập. Vì thế tôi đã suy nghĩ làm thế nào để nâng cao chất lượng học tập cho các em học sinh, giúp các em biết vận dụng hệ thức Vi-ét để giải các bài toán bậc hai. Góp phần giúp các em tự tin hơn trong các kỳ thi tuyển. Đó là lý do tôi chọn nghiên cứu “Vận dụng hệ thức Vi-ét trong Toán học 9”.
	2. Mục tiêu của sáng kiến
Để nhằm mục đích bổ sung nâng cao kiến thức giải các bài toán bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét cho các em học sinh THCS. Từ đó các em có thể làm tốt các bài toán bậc hai trong các kỳ thi tuyển.
Kích thích, giúp các em biết cách tìm kiến thức nhiều hơn nữa, không chỉ bài toán bậc hai mà cả các dạng toán khác.
3. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu:
Nghiên cứu 30 học sinh đang học lớp 9B năm học 2018 – 2019 tại trường THCS xã Hoàng Việt – Văn Lãng – Lạng Sơn.
Nghiên cứu các ứng dụng của hệ thức Vi-ét, trong môn đại số lớp 9, tìm hiểu các bài toán bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét.
CƠ SỞ LÝ LUẬN, CƠ SỞ THỰC TIỄN
Cơ sở lý luận 
Mục tiêu của giáo dục THCS theo điều 23 Luật giáo dục là “Nhằm giúp học sinh củng cố và phát triển những kết quả của giáo dục tiểu học, có trình độ học vấn THCS và những hiểu biết ban đầu về kỹ thuật và hướng nghiệp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động”.
Cơ sở thực tiễn:
Nội dung chương trình THCS mới được thiết kế theo hướng giảm chương tính lý thuyết hàm luân, tăng tính thực tiễn, thực hành bảo đảm vừa sức, khả thi, giảm số tiết học trên lớp, tăng thời gian tự học và hoạt động ngoại khóa.
Trong chương trình lớp 9, học sinh được học 2 tiết:
- 1 tiết lý thuyết : học sinh được học định lý Vi-ét và ứng dụng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn, lập phương trình bậc hai và tìm hai số biết tổng và tích của chúng.
- 1 tiết luyện tập: học sinh được làm các bài tập củng cố tiết lý thuyết vừa học.
Theo chương trình trên, học sinh được học Định lý Vi-ét nhưng không có nhiều tiết học đi sâu khai thác các ứng dụng của hệ thức Vi-ét nên các em nắm và vận dụng hệ thức Vi-ét chưa linh hoạt. Là giáo viên ta cần phải bồi dưỡng và hướng dẫn học sinh tự học thêm kiến thức phần này.
NỘI DUNG SÁNG KIẾN
1. Nội dung và những kết quả nghiên cứu của sáng kiến
Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến
+ Về cơ sở vật chất phục vụ cho việc vận dụng hệ thức Vi-ét được đảm bảo, giáo viên được giảng dạy theo đúng chuyên môn nghiệp vụ, có khả năng ứng dụng công nghệ thông tin vào giảng dạy cũng như tra cứu các tài liệu tham khảo trên Internet.
+ Thư viện nhà trường cần có nhiều tài liệu nghiên cứu, sách nâng cao, sách chuyên đề, sách tham khảo liên quan đến môn Toán 9 để phục vụ cho việc giảng dạy của giáo viên và học tập của học sinh.
Các giải pháp đã áp dụng
1.1. Giải pháp 1: Hệ thống hóa kiến thức cơ bản và cung cấp cho học sinh
	Lí thuyết là vấn đề học sinh ít coi trọng, HS luôn suy nghĩ học toán là chỉ cần biết tính toán là đủ, mà tính toán thì đã có máy tính, vì vậy phần lí thuyết bị sao nhãng, thậm chí bị HS bỏ quên. Chính vì vậy trong giờ học chính khóa cũng như tiết ôn tập phụ đạo trước khi làm bài tập tôi thường cùng HS nhắc lại kiến thức cơ bản cần vận dụng, hướng dẫn HS cách nhớ kiến thức dễ dàng nhất, yêu cầu HS nắm và vận dụng được kiến thức. Để vận dụng được định lí Vi-ét trong các bài tập HS cần nắm được các kiến thức cơ bản sau:
1. Định nghĩa và cách giải phương trình bậc hai một ẩn.
a./ Định nghĩa : Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng 
ax2 + bx + c = 0 ( a 0 )
b./ Cách giải .
Nếu b = c = 0 phương trình có nghiệm x = 0.
Nếu c = 0 , b 0 ta có phương trình ax2 + bx = 0 x = 0 hoặc x = 
Nếu b = 0 , c 0 ta có phương trình ax2 + c = 0 
- Nếu phương trình có nghiệm x = 
- Nếu phương trình vô nghiệm.
Nếu b 0 và c 0 ta có công thức nghiệm : D= b2 – 4ac (D’ = b’2 – ac, 
b’ = nếu b chẵn )
- Nếu D < 0 (D’ < 0 ) phương trình vô nghiệm .
- Nếu D = 0 (D’ = 0 ) phương trình có nghiệm kép (hoặc )
- Nếu D > 0 (D’ > 0 ) phương trình có hai nghiệm phân biệt 
 ( )
2. Tính nhẩm nghiệm.
a. Nếu a + b + c = 0 thì phương trình ax + bx + c = 0 ( a 0 ) có các nghiệm số là .
b. Nếu a - b + c = 0 thì phương trình ax + bx + c = 0 ( a 0 ) có các nghiệm số là .
3. Tìm 2 số biết tổng và tích của chúng
 Nếu 2 số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì u và v là 2 nghiệm của phương trình bậc hai : .
4. Định lí Vi-ét
Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax + bx + c = 0 ( a 0 ) thì
1.2. Giải pháp 2: Phân loại dạng toán, tìm ra phương pháp giải cụ thể cho từng dạng toán vận dụng định lí Vi-ét.
	Để truyền thụ đến HS dễ dàng, giúp HS tránh được sự nhầm lẫn giữa các dạng toán tôi đã phân loại toán vận dụng định lí Vi-ét thành bốn dạng, đưa ra phương pháp giải cho từng dạng và hướng dẫn HS qua ví dụ cụ thể, cho HS tự rèn luyện khắc sâu cách giải qua các bài tập tương tự trong giờ học.
Dạng 1: Loại toán xét dấu nghiệm của phương trình mà không giải phương trình.
Phương pháp:
Dùng định lý Vi-ét ta có thể xét dấu các nghiệm phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) dựa trên kết quả:
* Nếu Û phương trình có 2 nghiệm trái dấu x1 < 0 < x2	
* Nếu Û phương trình có 2 nghiệm cùng dấu.
* Nếu Û phương trình có 2 nghiệm dương 0 < x1 £ x2
* Nếu Û phương trình có 2 nghiệm âm: x1 £ x2 < 0
Các bài tập ví dụ.
Bài tập 1: Không giải phương trình cho biết dấu các nghiệm ? 
a. ; 	b. ; 	
 Giải
a. Theo hệ thức Vi-ét có S = ; P = 
 	Vì P > 0 nên 2 nghiệm x và x cùng dấu; S > 0 nên 2 nghiệm cùng dấu dương 
b. Theo hệ thức Viét có P = nên 2 nghiệm cùng dấu
 	S = nên 2 nghiệm cùng dấu âm 
Bài tập 2 : Cho phương trình (1)
Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi giá trị của m0. Nghiệm mang dấu nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn?
Giải
Ta có a = 1 > 0 , c = - m< 0 với mọi m 0
Vì a , c trái dấu nên phương trình (1) luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt. Theo hệ thức Vi - ét : P = < 0 . Do đó và trái dấu 
 S = nên nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn 
	Dạng 2: Loại toán tính giá trị biểu thức chứa tổng, tích 2 nghiệm
Phương pháp :
Dựa vào định lí vi-ét để tính tổng và tích của hai nghiệm sau đó thay tổng và tích vừa tìm được vào biểu thức đầu bài để tìm ra kết quả bài toán.
C¸c bµi tập vÝ dô:
Bài tập 1: Cho phương trình : 
a. Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi m 
b. Gọi 2 nghiệm là x và x tìm giá trị của m để đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải:
 	a. Ta có a = 1 > 0 
 	a, c trái dấu nên phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi tham số m 
Theo hệ thức Vi ét P = do đó 2 nghiệm trái dấu
b. Ta có 
 = 
Vậy Min khi m = 
	Bài tập 2: Cho phương trình 
	Tìm giá trị dương của m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối bằng nghịch đảo của nghiệm kia 
 Giải : Ta có a = 2 > 0 
	Phương trình có 2 nghiệm trái dấu 
	Với điều kiện này giả sử x 0 theo đề bài ta có:
	Vì m > 0 nên ta chọn m = ( thoả mãn điều kiện )
Kết luận: Vậy với m = thì phương trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối bằng ngịch đảo của nghiệm kia.
	Dạng 3: Loại toán tìm hai số biết tổng và tích của chúng
Phương pháp :
Ta thiÕt lËp 1 ph­¬ng tr×nh bËc 2 nhËn c¸c sè x1; x2 lµ c¸c nghiÖm dùa trªn c¬ së (§Þnh lý Viet).
NÕu x1 + x2 = S ; x1.x2 =p th× x1, x2 lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh 
	x2 - Sx + P = 0 (S2 - 4P ³ 0)
Bµi tập vÝ dô:
Bài tập 1 : Tìm hai số x, y biết 
a. x + y = 11 và xy = 28 ; 
b. x – y = 5 và xy = 66
 Giải : 
	a. Với x + y = 11 và xy = 28 theo kết quả hệ thức Vi ét x ,y là nghiệm của phương trình x - 11x + 28 = 0 ; = 121 – 112 = 9 > 0 
	 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt là 
	= 4; Vậy x = 7 thì y = 4; x = 4 thì y = 7
	b. Ta có 
có x , y là nghiệm của phương trình x - 5x - 66 = 0
	 = 25 + 264 = 289 > 0 , = 17 
	Phương trình có 2 nghiệm phân biệt là 
	Vậy x = 11 thì y = - 6 còn x = - 6 thì y = 11
	Bài tập 2: Tìm hai số x y biết x + y = 25 và xy = 12 
	Giải : Ta có x + y = 25 (x + y ) - 2xy = 25 
 (x + y )- 2.12 = 25
 (x + y ) = 49 x +y = 7
	*) Trường hợp x + y = 7 và xy =12 
	Ta có x và y là nghiệm của phương trình x - 7x +12 = 0 
	 = 49 – 4.12 = 1
	*) Trường hợp x + y = - 7 và xy =12
	Ta có x và y là nghiệm của phương trình x +7x +12 = 0 
	Giải phương trình ta được x = -3 ; x= - 4 
các cặp số x, y cần tìm là (4 ; 3) ; (3 ; 4) ;(- 4 ; - 3) ; ( -3 ; -4)
	Dạng 4: Loại toán tìm biểu thức liên hệ giữa tổng tích 2 nghiệm không phụ thuộc tham số: 
Phương pháp: Để tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc tham số trong 1 phương trình bậc 2 (Giả sử tham số là m) ta có thể thực hiện theo các bước sau:
- Tìm điều kiện của m để phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 là: 
- Áp dụng hệ thức Vi-ét ta được 	(*)
	- Khi m từ hệ (*) ta được hệ thức cần tìm (Sử dụng phép thế hoặc cộng)
Bài tập vÝ dô:
Bài tập 3: Cho phương trình x- ax + a - 1 = 0 có 2 nghiệm 
	a. Không giải phương trình hãy tính giá trị biểu thức 
	b. Tìm a để tổng các bình phương 2 nghiệm số đạt GTNN ? 
Giải	
	a.
	Theo hệ thức Vi ét có 
	Vậy 
 (ĐK : )
	b. Ta có (1)
 (2)
	Trừ 2 vế của (1) cho (2) ta có , đây là biểu thức liên hệ giữa xvà x không phụ thuộc vào a.
	1.3. Giải pháp 3: Đưa ra và hướng dẫn HS một số bài tập tương tự
	Bài tập 1. 	
	Cho phương trình x - mx +1 = 0 ( m là tham số )
a. Giải phương trình trên khi m = 5 
b. Với m = , giả sử phương trình đã cho khi đó có 2 nghiệm là 
 Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức 
Hướng dẫn giải:
	a. Với m = 5 phương trình trở thành x-5x +1 = 0
 = 21 , phương trình có 2 nghiệm phân biệt , 
	b. Với m = , ta có phương trình bậc hai : 
Theo hệ thức Vi ét : và 
Thay S và P vào A ta được :
Bài tập 2.
 Cho phương trình bậc 2 ẩn x : (1) 
Chứng minh rằng phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 
Gọi là nghiệm của phương trình, chứng minh rằng 
	Hướng dẫn giải:
a. Phương trình (1) có nghiệm 
 hoặc 
 b. Khi m 1 , theo hệ thức Vi ét có 
Vì 
do đó 
	Vì 
	Bài tập 3.	
	a. Xác định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt 
	b. Gọi 2 nghiệm là x, x, Tìm GTNN của biểu thức 
	Hướng dẫn giải:
	a. 
	Phương trình có 2 nghiệm 
b. Theo định lý Vi ét có 
Do đó ta có 
Vì nên (m + 2)(m - 3) 0
Khi đó 
Vậy GTNN của A là khi và chỉ khi m = 2
Kết luận: Trên đây tôi đã đưa ra được các dạng toán thường gặp ở chương trình THCS (lớp 9). Mỗi dạng toán có những đặc điểm khác nhau và trong mỗi dạng ta còn có thể chia nhỏ ra hơn nữa. Việc chia dạng trên đây chủ yếu dựa vào lời văn để phân loại nhưng đều chung nhau ở phần kiến thức cơ bản là vận dụng được định lí Vi-ét.
	Mỗi dạng toán, tôi chọn một số bài toán điển hình mang tính chất giới thiệu, tuy nhiên các ví dụ đó chỉ mang tính chất tương đối.
1.4. Giải pháp 4: Lựa chọn biện pháp phù hợp để nâng cao hiệu quả vận dụng:
Tăng thời gian phụ đạo học sinh yếu kém, tìm ra những chỗ học sinh bị rỗng kiến thức để phụ đạo.
Lập ra cán sự bộ môn để kiểm tra và hướng dẫn các tổ nhóm làm bài tập, phân công học sinh khá kèm cặp học sinh yếu dưới sự giám sát của giáo viên.
Tạo ra hứng thú cho học sinh trong các giờ học.
Hướng dẫn học sinh cách học bài, làm bài, nghiên cứu trước bài mới ở nhà.
Trong giờ ôn, học lồng ghép một số bài tập cùng lời giải mẫu, cơ sở giải theo từng phương pháp để học sinh hình thành kỹ năng giải từng loại toán này. Cho học sinh thực hành bài tập tương tự ngay tại lớp.
Đặc biệt trong các giờ ôn học sinh giỏi giáo viên tiếp tục cho học sinh giải các bài tập nâng cao, làm thử các đề thi tuyển sinh chuyên chọn. Qua đó học sinh thấy được tầm quan trọng của dạng toán này, tự rèn luyện tạo kỹ năng cho mình. Các em được nâng cao kiến thức, hình thành kỹ năng phản xạ khi gặp các bài toán tương tự.
2. Đánh giá kết quả thu được
2.1. Tính mới, tính sáng tạo
Bài tập toán học rất đa dạng và phong phú. Việc giải bài toán là một yêu cầu rất quan trọng đối với học sinh. Nhiệm vụ của giáo viên phải làm cho học sinh nhận dạng, hiểu được bài toán, từ đó nghiên cứu tìm ra cách giải.
Để nghiên cứu đề tài này, tôi đã đề ra các nhiệm vụ sau:
- Nghiên cứu các bài toán bậc hai có liên quan đến hệ thức Vi-ét, tìm phương pháp truyền đạt, hướng dẫn học sinh tiếp thu kiến thức để các em biết cách tìm kiếm nâng cao kiến thức cho mình.
- Đề xuất thêm thời gian hợp lý để tổ chức hướng dẫn học sinh biết ứng dụng hệ thức Vi-ét vào các bài toán bậc hai sao cho hợp lý
2.2. Khả năng áp dụng và mang lại lợi ích thiết thực của sáng kiến
a) Khả năng áp dụng, nhân rộng
Sau khi có kết quả điều tra về chất lượng học tập bộ môn toán của học sinh và tìm hiểu được nguyên nhân dẫn đến kết quả đó. Tôi đã đưa ra một vài biện pháp và áp dụng các biện pháp đó vào trong quá trình giảng dạy, thấy rằng học sinh có những tiến bộ và tiếp cận kiến thức một cách nhẹ nhàng hơn, kết quả học tập của các em có phần khả quan hơn. Thể hiện ở điểm kiểm tra lần 1 và lần 2 số bài khá giỏi đã tăng lên đáng kể. Như vậy qua quá trình hướng dẫn cho học sinh thì số học sinh giải được dạng toán này đã tăng lên rõ rệt. Từ đó chất lượng dạy và học môn đại số nói riêng và môn toán nói chung trong nhà trường đã được nâng lên. Thấy cách làm của mình mang lại hiệu quả bản thân tôi đã trao đổi lại với đồng nghiệp cùng dạy môn toán qua các giờ giảng theo chuyên đề, các buổi sinh hoạt chuyên môn và được đồng nghiệp góp ý, ủng hộ, cùng nhau thực hiện.
b) Khả năng mang lại lợi ích thiết thực
- Hiệu quả kinh tế
Sau khi thực nghiệm tại trường THCS Hoàng Việt năm học 2018 – 2019 tôi thấy chất lượng bộ môn được nâng cao thể hiện qua kết quả: 
+ Kiểm tra lần 1:
 Điểm
Lớp
Sĩ số
Giỏi
Khá
T. Bình
Yếu
Kém
9B
30
3 = 10,0 %
10 = 33,3%
12 = 40,0%
5=16,7%
0
+ Kiểm tra lần 2
 Điểm
Lớp
Sĩ số
Giỏi
Khá
T. Bình
Yếu
Kém
9B
30
4= 13,3%
12 = 40,0%
13 = 43,3%
1=3,3%
0
+ Kết quả chất lượng bộ môn cuối năm học:
 Điểm
Lớp
Sĩ số
Giỏi
Khá
T. Bình
Yếu
Kém
9B
30
4= 13,3%
12 = 40,0%
13 = 43,3%
1=3,3%
0
- Hiệu quả xã hội
Đối với giáo viên
	- Dễ củng cố bài học.
	- Rèn luyện được khả năng tính toán chính xác và kiểm tra kết quả của học sinh. Tiết kiệm thời gian tính toán, tăng cường được thời gian giảng bài.
	- Mở rộng được cho học sinh các bài toán có tính quy luật.
Đối với học sinh
Sau khi phân loại các dạng bài và truyền thụ đến HS tôi nhận ra HS nhận dạng và hoàn thiện bài toán nhanh và chính xác hơn, học sinh có sự tiến bộ rõ rệt, tỉ lệ bài kiểm tra đạt kết quả cao tăng lên đáng kể, các em có ý thức học nghiêm túc hơn, hào hứng hơn, từ đó làm cho học sinh yêu thích bộ môn toán hơn. Một điều quan trọng hơn nữa đó là sự chuyển biến về lượng lẫn chất, các em biết trình bày bài giải rõ ràng, mạch lạc, lập luận chặc chẽ, đầy đủ, chính xác. GV lên lớp thoải mái, nhẹ nhàng, đóng vai trò chủ đạo, hướng dẫn, dẫn dắt học sinh chủ động trình bày bài toán ngắn gọn, chính xác, chất lượng bộ môn được nâng cao cả về số lượng lẫn chất lượng. Đơn vị đã giảm thiểu học sinh thi lại môn toán, không còn HS bỏ học do sợ và lười học môn toán.
 KẾT LUẬN
Qua tìm hiểu, trò chuyện với học sinh, tôi nhận thấy đa số các em đã nhận thức được tầm quan trọng của việc học ở phổ thông chính là đòn bẩy đưa các em đến tương lai tươi đẹp.
Đa số các em học sinh khá, giỏi đều rất muốn được mở rộng, nâng cao kiến thức nhưng các em không biết bằng cách nào, đọc sách nào là tốt vì sách tham khảo rất nhiều loại.
Vì vậy giáo viên cần nghiên cứu tìm cách hướng dẫn học sinh cách tự học ở nhà, tự chọn sách tham khảo,
Mong rằng sáng kiến “Vận dụng hệ thức Vi-ét trong Toán học 9” góp phần giúp các em thêm kiến thức, biết ứng dụng hệ thức Vi-ét vào giải các bài toán bậc hai để các em thêm tự tin trong các kỳ thi tuyển.
XÁC NHẬN CỦA CƠ QUAN ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIÊN
TÁC GIẢ
Lương Xuân Cường