Sáng kiến kinh nghiệm Vận dụng định lý Thales để tìm lời giải cho các bài toán Hình học tọa độ trong mặt phẳng

 cơ bản trong quá trình tìm lời giải các bài toán
a. Các hướng nhận định ban đầu:
+ Bài toán liên quan đến tọa độ của những điểm nào.
+ Từ giả thiết có thể lập phương trình của đường thẳng nào, xác định được tọa độ của điểm nào liên quan.
+ Bài toán có những cặp đoạn thẳng nào tỷ lệ với nhau hay có thể nối hai điểm nào đó đã biết tọa độ để cắt các đoạn thẳng song song
b. Vận dụng nhận định tìm lời giải:
	+ Xác định tọa độ điểm, viết phương trình các đường có thể từ giả thiết.
	+ Phát hiện các tính chất hình học có liên quan trong bài toán.
c. Nguyên tắc thực hiện:
	+ Vẽ hình chính xác nhằm phát hiện ra các mối liên hệ trong bài toán: Các đường thẳng song song, vuông góc, các đoạn thẳng bằng nhau, tỉ lệ.
	+ Gán điểm theo dạng tọa độ đưa bài toán về dạng giải tích. 
1.3. BÀI TẬP MẪU:
Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 2 đường thẳng:
d1: 3x - 2x + 11 = 0; d2: 5x + 7y + 8 = 0 cắt nhau tại điểm A.
Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M (-2;5) và cắt hai đường thẳng d1, d2 lần lượt tại B và C sao cho:c
a) AB = 
b) BC = AB
Lời giải
a) Tọa độ giao điểm A là nghiệm của hệ phương trình:
 A(-3;1).
Lấy điểm B1(-5;-2)d1 và điểm C1(c; )d2 sao cho AB1 = AC1.
Ta có phương trình:
.
Suy ra: = (7;-1) hoặc = ( ta chọn véc tơ chỉ phương của đường thẳng d có tọa độ rút gọn: (9; -17)).
Theo giả thiết ta có: 
Theo định lý Thales đảo ta có: BC // B1C1 d // B1C1.
Vậy d là đường thẳng đi qua M và nhận làm vectơ chỉ phương. 
Do đó có 2 phương trình đường thẳng thỏa mãn là:
d: hoặc d: 
b) Với BC = 2AB lúc này ta sẽ tìm điểm C1 sao cho B1C1 = AB1.
Suy ra = (0;4) hoặc = ( ta chọn véc tơ chỉ phương của đường thẳng d có tọa độ rút gọn: (35; 12).
Theo giả thiết ta có: 
Theo định lý Thales đảo ta có: BC // B1C1 d // B1C1.
Vậy d là đường thẳng đi qua M và nhận làm vectơ chỉ phương. 
Do đó có 2 phương trình đường thẳng thỏa mãn là:
d: hoặc d: x+2=0
Bài 2. ( TSĐH khối A-2014) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có điểm M là trung điểm đoạn AB và N là điểm thuộc đoạn AC sao cho AN = 3NC. Viết phương trình đường thẳng CD biết M(1; 2) và N ( 2; -1).
Giải
Phân tích tìm lời giải:
Với tọa độ 2 điểm M và N cho trước, ta kéo dài MN cắt cạnh CD tại F khi đó dùng định lý Thales cho hai đường thẳng song song là AB và CD ta sẽ tìm được tọa độ của điểm F.
Lời giải chi tiết:
Gọi F là giao điểm của MN và CD, theo định lý Thales ta có:
Từ đó ta suy ra tọa độ điểm 
Phương trình đường thẳng CD: 
Tới đây ta có nhiều hướng giải quyết bài toán:
Cách 1: Phương pháp tìm điểm kết hợp tính độ dài:
Gọi cạnh hình vuông là a. E là hình chiếu của M lên CD. Ta có:
Tọa độ của điểm E là nghiệm của hệ phương trình:
Giải hệ phương trình ta có tọa độ của E( 1; -2) hoặc 
Trường hợp 1: Nếu E ( 1; -2) thì đường thẳng CD đi qua hai điểm E và F nên có phương trình CD là: y + 2 = 0
Trường hợp 2: Nếu thì phương trình đường thẳng CD là: 3x -4y -15 =0
Cách 2: Sử dụng khoảng cách:
Ta có: 
Với a = 0 thì phương trình đường thẳng CD là: y + 2 = 0
Với 4a + 3b = 0 thì phương trình đường thẳng CD là : 3x -4y -15 =0
Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, điểm E là trung điểm AB, điểm D trên cạnh AC sao cho AD = DC. Gọi K là giao điểm của BD và CE. Giả sử E (-1;-2), K(7;4). Tìm tọa độ đỉnh C của tam giác ABC.
Phân tích tìm lời giải:
Với điểm E, K, C thẳng hàng trong đó E, K biết trước tọa độ do vậy để tìm C ta chỉ cần xác định được tỉ lệ độ dài của EK và KC dựa vào định lý Thales.
Lời giải chi tiết:
Kẻ EH//BD (HAC).
Ta có: 
.
Ta có hệ phương trình:
Vậy điểm cần tìm là C(43;31).
Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có AC = 3 AB. Lấy D()AB, EAC sao cho CE=BD, DE cắt BC tại K(17;-3) (E nằm giữa D và K). Biết C(14;-2). Viết phương trình cạnh AC.
Lời giải
Kẻ EF//AB và F thuộc BC. Áp dụng định lý Thales trong tam giác KDB và tam giác ABC.
Ta có: 
Gọi E(x;y) suy ra 
Ta có: 
Phương trình AC đi qua C và E là: 2x + 33y - 22 = 0
Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD, điểm G trên cạnh CD sao cho DG = 2GC. Gọi E là giao điểm của AG và BD. Giả sử E(1;3), G(3;-1) và đỉnh B thuộc đường thẳng d: 2x - y - 3 = 0; . Tìm tọa độ 4 đỉnh hình bình hành đã cho biết .
Lời giải
Theo định lý Thales ta có:
Suy ra: 
Vì BdB(b;2b-3) suy ra D
Suy ra 
Ta có: 
Mặt khác 
Ta có phương trình: 
do xB
Từ đó dễ tính được .
Vậy tọa độ bốn điểm cần tìm là A(-2;9), B(-2;-7), 
Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD. Điểm M( -3; 0) là trung điểm cạnh AB, H(0; -1) là hình chiếu vuông góc của B lên AD và là điểm trên đoạn AC sao cho AN = 4 CN. Tìm tọa độ các điểm B và D.
Giải
Kéo dài HN cắt BC tại E. Theo định lý Thales ta có : 
Suy ra E( 2; 5). Gọi I là trung điểm của HE, ta có I( 1;2). Tam giác ABH vuông tại H có M là trung điểm của cạnh huyền AB nên 
Gọi B(x; y), ta có hệ phương trình sau:
Giải hệ ta có : B( 0; -1) hoặc B( -2; 3)
Với B(0; -1) loại do khi đó B trùng với H
Với B( -2; 3), vì M là trung điểm của AB nên A( -4; -3)
Mặt khác 
Ta có : 
Nhận xét: Với giả thiết cho trước tọa độ hai điểm trên các đường thẳng của tứ giác thì phương pháp được sử dụng hiệu quả là kéo dài đường thẳng đi qua hai điểm đó cho cắt hai cặp cạnh đối song song của tứ giác và sử dụng định lý Thales , từ đó tính được tọa độ các điểm tương giao một cách dễ dàng.
Đôi khi có những bài toán ta dùng định lý Menelaus kết hợp cùng với việc sử dụng định lý Thales sẽ giải quyết được bài toán một cách dễ dàng 
Bài 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có D(10;5) là trung điểm cạnh AB. Trên tia CD lấy điểm I sao cho ID = 2IC. Gọi M là giao điểm của AI và BC. Giả sử M(7;-2). Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
Lời giải
Phân tích lời giải:
Trước tiên tìm được tọa độ điểm C nhờ đẳng thức .
Bài toán này liên quan đến các điểm có tọa độ cho trước trên các cạnh của tam giác.
Ba điểm A, M, I nằm trên đường thẳng chứa các cạnh của tam giác BDC và thẳng hàng. Áp dụng định lý Menelaus ta có: 
MB = 4MC 
Do đó dễ tìm được tọa độ điểm B và suy ra tọa độ điểm A.
Vậy là bài toán cơ bản hoàn tất.
Vậy khi trình bày thì các em chứng minh .
Lời giải chi tiết
Theo giả thiết ta có:
Ta chứng minh:
MB = 4MC 
Ta có hệ phương trình: 
Vì D là trung điểm của AB nên A(9;8).
Bài 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD tâm I. Một đường thẳng d đi qua A và cắt các cạnh BC và CD lần lượt tại M và N, đường thẳng IM cắt BN tại E và cắt đường thẳng CD tại F. Biết B(5;-4) và Evà đỉnh C nằm trên đường thẳng . Tìm tọa độ đỉnh A.
Ta chứng minh. .
+ Nếu đường thẳng d đi qua A và trung điểm của BC thì IM song song với CD. 
Suy ra tam giác BCN vuông cân tại C. Do đó (đpcm).
+ Nếu d không đi qua trung điểm của BC.
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác CAN với cát tuyến I, M, F ta có: 
nên (1).
Xét tam giác BCN với cát tuyến M, E, F ta có:
(2).
Từ (1) và (2) suy ra:
(*).
Theo định lý Thales ta có:
(**).
Từ (*) và (**) suy ra: 
Kẻ CHBC thì BC2 = BH.AN, CN2 = HN.BN.
Suy ra . Vì CC.
Ta có phương trình: 
.
Ta có: BC: x+y-1=0.
Phương trình đường thẳng AB đi qua B và vuông góc với BC có phương trình AB: 1.(x-5) - 1(y+4)=0 AB: x-y-9=0.
Gọi A(a; a - 9) ta có: AB = BC 
Chú ý: A và E nằm khác phía với BC nên chỉ nhận điểm .
Vậy điểm cần tìm là: 
Bài 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d1: x + 2y - 1 = 0, đường thẳng d2: 3x + y + 7 = 0 và điểm M(1;2). Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và cắt d1, d2 lần lượt tại A và B sao cho AI = AB (Với I là giao điểm của d1, d2).
Lời giải
Tọa độ giao điểm I là nghiệm của hệ phương trình:
Lấy điểm H(1;0)d1, K (a; -3a-7) d2 sao cho IH = HK.
Ta có: .
Ta có phương trình: 20 = 2[(a-1)2+(3a+7)2]
Ta có: AB//HK d//HK (Thales đảo).
Vậy đường thẳng cần tìm đi qua M và nhận làm vectơ chỉ phương. 
Suy ra d: .
Vậy đường thẳng cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán là d: x - 3y + 5 = 0.
Bài 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC. Gọi N là điểm trên cạnh AC sao cho AN = 2NC. Gọi P là giao điểm của BN và đường trung tuyến kẻ từ đỉnh C. Giả sử P(3; -2), N . Tìm tọa độ ba đỉnh A, B, C.
Lời giải
Với hai điểm P và N đã biết trước tọa độ ta thấy việc tìm B trước tiên là khả thi nhất. 
Vì 3 điểm M, P, C thẳng hàng nên ta theo định lý Menelaus ta có:
.
Bài 11. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD, điểm G trên cạnh CD sao cho DG = 2GC. Gọi E là giao điểm của AG và BD. Giả sử E(1;3), G(3;-1) và đỉnh B thuộc đường thẳng d: 2x - y - 3 = 0.
. Tìm tọa độ 4 đỉnh hình bình hành đã cho biết xB < -1.
Lời giải
Thực hiện tương tự như bài tập mẫu đưa về giải hệ phương trình.
Bài 12. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A(1;1). Một đường thẳng song song với BC cắt AB và AC tại 2 điểm D và E(0;2) sao cho AB=3AD. Tìm tọa độ đỉnh C của tam giác ABC.
Giải
Trong tam giác ABC có: 
Gọi C(x;y) suy ra . Ta có:
Bài 13. Trong mặt phẳng Oxy cho hình thang ABCD có điểm A(0; 1), B(3;4), CD = 2AB, AB song song CD. Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Giả sử I thuộc cung AB cuat Parabol (P): và diện tích tứ giác ABCD đạt giá trị lớn nhất. Tìm tọa độ các điểm C và D.
Giải
Theo định lý Thales ta có: . Suy ra 
( vì CD = 2 AB) . Ta có . Do AB không đổi nên lớn nhất khi và chỉ khi khoảng cách từ I đến AB lớn nhất. 
Vì theo giả thiết I thuộc cung AB nên 
Phương trình đường thẳng AB: x – y + 1 = 0
Ta có d(I; AB) = 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Ta có 
Bài 14. Trong mặt phẳng Oxy cho hình vuông ABCD có C( 3; -3). Gọi E là điểm nằm trên cạnh BC, đường thẳng AE cắt CD tại F, đường thẳng DE cắt BF tại G. Biết và đỉnh A nằm trên đường thẳng d: 2x- 5y + 12= 0. Tìm tọa độ đỉnh B.
Giải
Gọi I, K lần lượt là giao điểm của CG với AB; DG với AB.
Ta chứng minh IE // BD . 
Do IK // DF nên theo định lý Thales ta có :
Do AK // DF nên theo định lý Thales ta có :
Từ (1) và (2) kết hợp với AB = CD ta có ( theo định lý Thales đảo)
Xét tam giác AIC có : BD vuông góc AC, CE vuông góc AI, suy ra IE vuông góc AC. Từ đó E là trực tâm tam giác AIC. Do đó AE vuông góc với CG
Ta có:
A là giao điểm của AE và d nên tọa độ của điểm A là nghiệm của hệ phương trình sau:
Đường thẳng BC có phương trình x + y = 0. Tọa độ của B là hình chiếu của A lên BC. Nên dễ dàng có 
1.4. Một số bài tập áp dụng:
a. Các bài toán trong tam giác.
Bài 1: Trong Oxy cho tam giác ABC có A(2;6). Chân đường phân giác trong của A trên BC là và tâm đường tròn ngoại tiếp ABC là . Lập phương trình cạnh BC.
Bài 2: Cho có trọng tâm G(1;1), đỉnh , đỉnh B và C cùng thuộc đường thẳng x+2y−1=0. Tìm A,B,C, biết .
Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ cho tam giác ABC có , tâm đường tròn nội tiếp là I(2;1), cạnh AB có phương trình x-y+1=0 (xA<xB). Xác định toạ độ 3 đỉnh của tam giác.
Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có sao cho độ dài AB ngắn nhất.Viết phương trình đường thẳng AB.
Bài 5: Cho tam giác ABC có trực tâm H(1:1), tâm đường tròn nội tiếp là I(3,2) và đường thằng BC có phương trình y=−1. Viết phương trình các cạnh AB, AC.
Bài 6: Trong mặt phẳng Oxy, Cho tam giác ABC. Điểm B có toạ độ . đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC,CA,AB lần lượt tại các điểm D,E,F. Điểm D có toạ độ D(3;1) Phương trình đường thẳng EF là y−3=0. Tìm toạ độ đỉnh A biết đỉnh A có hoành độ dương.
Bài 7: Cho tam giac ABC có (AC):2x−y=0 và (BC):x+y−3=0. Đường cao kẻ từ A cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai D(−1,3). Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC.
b. Các bài toán về hình bình hành:
Bài 1: Cho hình bình hành ABCD có D(−6;−6). Đường trung trực của DC có phương trình và phân giác góc BAC có phương trình 5x+y−3=0. Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình bình hành ABCD.
Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có tam giác ABD vuông cân nội tiếp trong đường tròn . Biết hình chiếu vuông góc của B,D xuống đường chéo AC lần lượt là . Hãy tìm tọa độ các đỉnh A,B,C,D của hình bình hành ABCD biết B,D có tung độ dương và .
Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho hình bình hành ABCD có A(2;1), đường chéo BD có phương trình x+2y+1=0. Điểm M nằm trên đường thẳng AD sao cho AM=AC. Đường thẳng MC có phương trình x+y–1=0. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình bình hành ABCD. 
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4. Biết A(1;0), B(2;0) và giao điểm I của hai đường chéo nằm trên đường thẳng y=x. Tìm toạ độ C,D.
Bài 5: Cho hai đường thẳng (d1): x+y-1=0, (d2): 3x-y+5=0. Lập phương trình các cạnh còn lại của hình bình hành ABCD có 2 cạnh nằm trên hai đường thẳng trên và có tâm I(3;3). Lấy MÎAD sao cho AD=3AM. Xác định toạ độ điểm NÎBC sao cho MN chia hình bình hành thành hai phần có tỉ số diện tích là 2:3.
Bài 6: Cho hình bình hành ABCD có phương trình hai cạnh đối lần lượt là: . Biết đường chéo hình bình hành có phương trình: x+y-1=0 và diện tích hình bình hành là 8. Đỉnh A có hoành độ nhỏ hơn đỉnh B. Lập phương trình các cạnh hình bình hành. Tìm toạ độ MÎAB, NÎCD sao cho DAMN vuông cân.
Bài 7: Cho hình bình hành ABCD có tâm I. Hình chiếu của B lên AD là điểm ; BD có phương trình : .Tứ giác AMBI là tứ giác nội tiếp đường tròn, , . Tìm toạ độ các đỉnh hình bình hành. 
Bài 8: Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4. Biết A(1;0), B(2;0) và giao điểm I của hai đường chéo nằm trên đường thẳng y=x. Tìm toạ độ C,D.
Bài 9: Cho hình bình hành ABCD có phương trình hai cạnh đối lần lượt là:. Biết đường chéo hình bình hành có phương trình: x+y-1=0 và diện tích hình bình hành là 8. Đỉnh A có hoành độ nhỏ hơn đỉnh B.
	1. Lập phương trình các cạnh hình bình hành.
	2. Tìm toạ độ MÎAB, NÎCD sao cho DAMN vuông cân.
Bài 10: Cho hai đường thẳng (d1): x+y-1=0, (d2): 3x-y+5=0.
	1. Lập phương trình các cạnh còn lại của hình bình hành ABCD có 2 cạnh nằm trên hai đường thẳng trên và có tâm I(3;3).
	2. Lấy MÎAD sao cho AD=3AM. Xác định toạ độ điểm NÎBC sao cho MN chia hình bình hành thành hai phần có tỉ số diện tích là 2:3.
c. Các bài toán về hình chữ nhật: 
Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường chéo AC:x+y−3=0 và BD:x+7y−9=0. Biết đường thẳng BC đi qua điểm M(−7;−2) . Tìm tọa độ các đỉnh hình chữ nhật. 
Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD, biết phân giác trong của góc ABC đi qua trung điểm M của cạnh AD, đường thẳng BM có phương trình x−y+2=0, điểm D thuộc d:x+y−9=0, điểm E(−1;2) thuộc cạnh AB và điểm B có hoành độ âm. Tìm toạ độ các đỉnh hình chữ nhật ABCD.
Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy, tìm tọa độ tâm I của hình chữ nhật ABCD biết phương trình các đường thẳng AD:x+y+2=0; AC:x−3y+6=0 và BD đi qua điểm E(−6;−12).
Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 6. Phương trình đường thẳng chứa đường chéo BD có phương trình là: 2x+y−11=0, đường thẳng AB đi qua M(4;2), đường thẳng BC đi qua N(8;4). Viết các phương trình đường thẳng chứa các cạnh của hình chư nhật, biết các điểm B,D có hoành độ lơn hơn 4. 
Bài 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD, M là trung điểm cạnh BC, phương trình đường thẳng DM:x−y−2=0 và C(5;1). Đỉnh A thuộc đường thẳng d:2x−y+1=0. Xác định tọa độ các đỉnh A,B,D.
Bài 6: Trong mặt phẳng tọa độ  Oxy cho hình chữ nhật  ABCD tâm  I(−1;−2). Gọi  M là trung điểm của cạnh  BC. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật  ABCD biết rằng:  ΔIOM có diện tích bằng  4, đường thẳng  AB đi qua điểm  N(11;3) và cạnh  AD tiếp xúc với đường tròn .
Bài 7: Cho hình chữ nhật ABCD, với toạ độ các đỉnh A(1;1). Gọi là trọng tâm tam giác ABD. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình chữ nhật biết D nằm trên đường thẳng có phương trình: x−y−2=0.
Bài 8: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12; tâm và trung điểm M của cạnh AD là giao điểm của đường thẳng d:x−y−3=0 với trục Ox. Xác định tọa độ A,B,C,D biết yA>0.
d. Các bài toán về hình vuông:
Bài 1: Cho 3 điểm . Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông tâm I đồng thời M thuộc AB, N thuộc CD và đỉnh B có hoành độ âm.
Bài 2: Cho hình vuông ABCD có tâm , hai điểm A, B lần lượt nằm trên các đường thẳng . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông.
Bài 3: Cho hình vuông ABCD biết , , . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông.
Bài 4: Cho hình vuông ABCD tâm I, biết A(1;3). Trọng tâm các tam giác ADC và IDC lần lượt là . Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông.
Bài 5: Cho hình vuông ABCD có . Điểm M(1;-7) thuộc đường chéo AC. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông.
Bài 6: Cho hình vuông ABCD có M là trung điểm BC. Biết , điểm C(3;-3), đỉnh A nằm trên . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông.
Bài 7: Cho hình vuông ABCD có là trung điểm BC. Gọi N là điểm trên cạnh CD sao cho . Biết . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông.
Bài 8: Cho hình vuông ABCD có A(1;2). Biết là trung điểm CD. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông.
Bài 9: Cho hình vuông ABCD có: . Biết ; . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông.
Bài 10: Cho hình vuông ABCD biết M(3;2) thuộc BD. Từ M kẻ ME, MF lần lượt vuông góc với AB, AD . Biết . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông.
e. Các bài toán về hình thoi:
Bài 1: Trong hệ Oxy cho hình thoi ABCD có đỉnh B(3;−3) đường chéo AC nằm trên đường thẳng Δ:y=2x+1. Điểm M(−2;3) nằm trên đường thẳng AD. Tính diện tích hình thoi ABCD.
Bài 2: Cho hình thoi ABCD. Cạnh AB có phương trình 2x−3y+2=0 và cạnh CD có phương trình 2x−3y−10=0. Điểm M(5;0) thuộc BC,N(2;6) thuộc AD. Viết phương trình 2 cạnh AD và BC.
Bài 3: Trong hệ Oxy cho hình thoi ABCD có đỉnh B(3;−3) đường chéo AC nằm trên đường thẳng Δ:y=2x+1. Điểm M(−2;3) nằm trên đường thẳng AD. Tính diện tích hình thoi ABCD. 
Bài 4: Cho hình thoi ABCD có A(−1;0), trọng tâm G của tam giác BCD có tọa độ . Gọi M là trung điểm của BC và diện tích hình thang BMDA là 12. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.
g. Các bài toán về hình thang:
Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy cho hình thang ABCD (AB//CD) . Biết hai đỉnh B(3;3) và C(5;−3) . Giao điểm I của hai đường chéo nằm trên đường thẳng Δ:2x+y−3=0 . Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình thang ABCD biết CI=2BI , tam giác ACB có diện tích bằng 12 ,điểm I có hoành độ dương và điểm A có hoành độ âm.
Bài 2: Cho hình thang ABCD, vuông tại A và D. Phương trình . Trung điểm M của BC có tọa độ M(1,0). Biết BC=CD=2AB. Tìm tọa độ của điểm A.
Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy,cho hình thang cân ABCD có diện tích bằng 18;đáy lớn CD nằm trên đường thẳng có phương trình: x−y+2=0.Biết hai đường chéo AC,BDvuông góc với nhau và cắt nhau tại điểm I(3;1).Hãy viết phương trình đường thẳng BC,biết điểm C có hoành độ âm.
Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang cân ACBD có AD||BC, B(2;−1), C(0;3) và AD=2BC. Tìm tọa độ các đỉnh A và D, biết diện tích hình thang bằng 15.
Bài 5: Hình thang ABCD vuông tại A và D với CD=2AB, có đỉnh B(1;2).Hình chiếu vuông góc của D trên AC là H(−1;0). N là trung điểm của HC. Phương trình đường thẳng DN là x−2y−2=0.Tìm tọa độ các điểm A,C,D. 
Bài 6: Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thang cân ABCD có diện tích bằng . , đáy lớn CD nằm trên đường thẳng x−3y−3=0. Biết hai đường chéo AC,BD vuông góc với nhau tại I(2;3). Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC, biết điểm C có hoành độ dương.
Bài 7: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình thang cân ABCD (AB//CD và AB<CD), biết các đỉnh A(0;2) và D(−2;−2). Giao điểm I của hai đường chéo AC và BD thuộc đường thẳng d:x+y−4=0. Tìm toạ độ các đỉnh B và C, biết .
Xác nhận của Sở GD&ĐT
Nhóm tác giả
MỤC LỤC
NỘI DUNG
TRANG
I. Tên sáng kiến: 
1
II. Tác giả sáng kiến: 
1
III. Nội dung sáng kiến
1
1. Thực trạng và giải pháp cũ thường làm - Hạn chế của giải pháp cũ
2
2. Những giải pháp mới và ưu điểm của giải pháp mới
3
IV. Hiệu quả kinh tế và xã hội dự kiến đạt được
4
1. Hiệu quả kinh tế: 
4
2. Hiệu quả xã hội: 
5
V. Điều kiện và khả năng áp dụng
6
VI. Nội dung của giải pháp mới:
7
1.1. Một số kiến thức liên quan trong đề tài
7
1.2. Một số nguyên tắc cơ bản trong quá trình tìm lời giải các bài toán
12
1.3. Bài tập mẫu
12
1.4. Một số bài tập áp dụng
27
a. Các bài toán về tam giác.
27
b. Các bài toán về hình bình hành
28
c. Các bài toán về hình chữ nhật
29
d. Các bài toán về hình vuông
30
e. Các bài toán về hình thoi
32
g. Các bài toán về hình thang
32