Sáng kiến kinh nghiệm Vận dụng các hằng đẳng thức vào giải toán

MỞ ĐẦU: 
 Trong đại số 8 hằng đẳng thức đáng nhớ là một nội dung rất quan trọng và cần thiết. Việc nắm vững, nhận dạng, để vận dụng các hằng đẳng thức vào giải toán là một nhu cầu không thể thiếu khi học đại số 8. Tuy nhiên khi vận dụng học sinh thường gặp phải những thuận lợi và khó khăn cần phải khắc phục sau:
Thuận lợi:
	- Vận dụng tốt hằng đẳng thức đáng nhớ để giải toán, Học Sinh sẽ tiết kiệm được thời gian, bài giải gọn và hạn chế nhiều sai sót khi biến đổi.
	- Hằng đẳng thức đáng nhớ là một công cụ không thể thiếu trong vốn kiến thức của Học Sinh, để vận dụng giải bài toán từ lúc bắt đầu học cho đến các lớp trên.
- Khi vận dụng hằng đẳng thức tốt, Học Sinh sẽ có kết quả bất ngờ, đầy hứng thú, kích thích tinh thần say mê học toán.
Khó khăn:
- Học Sinh thường gặp những bài toán mà khi biến đổi mới thấy được cần áp dụng dạng hằng đẳng thức nào.
	- Phạm vi vận dụng hằng đẳng thức để giải toán rộng, nên không biết khi nào thì áp dụng.
	- Khi vận dụng hằng đẳng thức thì Học Sinh còn nhầm lẫn về luỹ thừa, biểu thức, dấu,  dẫn đến bế tắc.
Do đó để vận dụng tốt hằng đẳng thức vào giải toán Đại Số lớp 8 (Chương I: phép nhân và phép chia các đa thức)
	Học Sinh cần: 
Học thuộc lòng các hằng đẳng thức đáng nhớ
Biết phối hợp với một số kiến thức khác
Sử dụng chính xác hằng đẳng thức mà nội dung từng bài toán yêu cầu.
Kết hợp với biến đổi, tính toán.
KẾT QUẢ:
 Để học sinh có kết quả khả quan khi học Đại Số từ lớp 8 trở đi thì học sinh cần nắm chắc nội dung và cách giải quyết một số bài toán dạng hằng đẳng thức sau:
Những hằng đẳng thức đáng nhớ:
7 hằng đẳng thức:(SGK)
 Với A, B là các biểu thức
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2
(A – B)2 = A2 – 2AB + B2
 A2 – B2 = (A + B)(A – B)
(A + B)3 = A3 + 3A2B +3AB2 +B3
(A – B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 - B3
A3 + B3 = (A + B) (A2 – AB + B2)
A3 – B3 = (A – B) (A2 + AB +B2)
Các hằng đẳng thức liên quan:
(A + B)2 = (A –B)2 + 4AB
(A – B)2 = (A +B)2 – 4AB
A3 + B3 = (A + B)3 – 3AB (A+B)
A3 + B3 = (A – B)3 + 3AB (A – B)
(A + B – C)2 = A2 + B2 + C2 + 2(AB - AC – BC)
Các hằng đẳng thức dạng tổng quát:
(A + B)n = An + n An-1B + . . .+ n ABn-1 + Bn
An – Bn = (A – B) (An-1 + An-2B + . . . +ABn-2 + Bn-1)
(A1 + A2 + . . . +An)2 = A12 + A22 + . . . + An2 + 2(A1A2 + A1A3+. . . +An-1An)
Aùp dụng: Chúng tôi tạm chia theo nội dung sau, nhưng tất cả đều sử dụng hằng đẳng thức để giải.
Thực hiện các phép tính:
Phương pháp: 
Xem biểu thức đã cho có dạng hằng đẳng thức nào.
Biến đổi biểu thức đã cho để xuất hiện dạng hằng đẳng thức.
Thực hiện các hằng đẳng thức hợp lý ta có kết quả (có thể kết quả không gọn).
Bài tập:
(a – b – c)2 – (a –b + c)2 
(a – x – y )3 – (a + x – y )3
(a + 1)(a + 2)(a2 + 4)(a – 1)(a2 + 1)(a – 2)
(1 – x - 2x3 + 3x2)(1 – x + 2x3 – 3x2)
(a2 – 1)(a2 – a +1)(a2 + a +1)
Giải:
(a2 – 1)(a2 – a +1)(a2 + a +1)
= (a + 1) (a – 1) (a2 – a + 1) (a2 + a +1)
= [(a + 1) (a2 – a +1)] [(a – 1) (a2 + a + 1)]
= (a3 +1) (a3 – 1) = (a3)2 – 1 
= a6 – 1 
Rút gọn biểu thức:
Phương pháp:
Xem biểu thức đã cho có dạng hằng đẳng thức nào.
Biến đổi biểu thức đã cho để xuất hiện dạng hằng đẳng thức.
Thực hiện các hằng đẳng thức hợp lý ta có kết qủa thường thì kết quả rất gọn).
Bài tập:
(2x + y) (4x2 – 2xy + y2) – (2x – y) (4x2 + 2xy + y2)
2(2x + 1) (3x – 1) + (2x +1)2 + (3x – 1)2
(x – y + z)2 + (z – y)2 + 2(x –y +z) . (y – z)
(x – 3) (x + 3) – (x - 3)2
(x2 – 1) (x +2) – (x – 2) (x2 + 2x +4)
Giải:
 (x – y + z)2 + (z – y)2 + 2(x –y +z) (y – z)
= (x – y + z)2 - 2(x – y + z) (z – y) + (z – y)2
= [(x – y + z) – (z – y)]2 
= (x – y + z –z + y)2 
= x2
Tính nhanh:
Phương pháp:
Xem biểu thức đã cho có dạng hằng đẳng thức nào.
Biến đổi hoặc thêm, bớt vào biểu thức đã cho để xuất hiện dạng hằng đẳng thức.
Thực hiện hằng đẳng thức và các phép tính ta có kết quả.
Bài tập:
34 . 54 – (152 + 1) (152 – 1)
452 + 402 – 152 + 80 . 45
502 – 492 + 482 – 472 + . . . +22 - 12
3(22 + 1) (24 + 1) (28 + 1) (216 + 1)
(3 +1) (32 +1) (34 + 1) (38 + 1) (316 + 1)
Giải:
(3 +1) (32 +1) (34 + 1) (38 + 1)(316 + 1)
=.(32 – 1) (32 + 1) (34 + 1) (38 + 1) (316 + 1)
=.(34 - 1) (34 + 1)(38 + 1)(316 + 1)
=. ( 38 - 1) (38 + 1) (316 + 1)
= . (316 - 1) (316 + 1)
= . (332 – 1)
Tính giá trị biểu thức:
Phương pháp:
Dựa vào hằng đẳng thức thu gọn biểu thức.
Thay giá trị của biến vào biểu thức thu gọn.
Thực hiện phép tính các số ta có kết quả.
Bài tập:
 x2 – 2xy - 4z2 + y2 tại x = 6, y = - 4, z = 45
x3 + 9x2 + 27x + 27 tại x = 97
27 x3 – 27x2y + 9xy2 – y3 tại x = 8, y = 25
x2 - y2 tại: x = 87, y = 13
5x2z – 10xyz + 5y2z tại x = 124, y = 24, z = 2
Giải:
 x2 – 2xy - 4z2 + y2 
=( x2 – 2xy + y2 – 4z2 = (x – y)2 – (2z)2
=(x – y + 2z) (x – y – 2z)
=(6 + 4 + 90) (6 + 4 – 90)
=100 . (-80)
= - 8000
Phân tích đa thức thành nhân tử:
Phương pháp:
Bản thân các hằng đẳng thức là ở dạng phân tích đa thức thành nhân tử.
Dựa vào hằng đẳng thức để tìm ra nhân tử chung, hoặc nhóm hạng tử, hoặc tách hạng tử, hoặc thêm bớt cùng một hạng tử.
Biết kết hợp để đưa đa thức về dạng tích các đa thức.
Bài tập:
(a + b) (a3 – b3) – (a – b) (a3 + b3)
x6 – y6
x(y + z)2 + y(x + z)2 + z(x + y)2 – 4xyz
x8 + x4 + 1
x3 – 3x2 + 3x – 1 – y3
Giải:
 x(y + z)2 + y(x + z)2 + z(x + y)2 – 4xyz
= x(y2 + 2yz + z2) + y(x2 + 2xz + z2) + z(x + y)2 – 4xyz
= xy2 + 2xyz + xz2 + x2y + 2xyz + yz2 + z(x + y)2 – 4xyz
=(xy2 + x2y) + (xz2 + yz2) + z(x + y)2
=xy(y + x) + z2(x + y) + z(x + y)2
=(x + y) [xy + z2 + z(x + y)]
=(x + y) (xy + z2 + zx + zy)
=(x + y) [(x(y +z) + z(y + z)]
=(x + y) (y + z) (x + z)
Chứng minh: có nhiều dạng
Phương pháp:
Chia hết:
Dựa vào hằng đẳng thức
Phân tích đa thức đã cho vềù dạng tích. Trong đó có ít nhất một thừa số chia hết cho số đó.
Phân tích đa thức đã cho thành tổng. Trong đó các số hạng phải chia hết cho số đó.
Biểu thức không phụ thuộc vào biến:
Dựa vào hằng đẳng thức.
Ta thực hiện các phép tính rút gọn kết quả không chứa biến.
Biểu thức dương hoặc âm:
Dựa vào hằng đẳng thức
Đưa biểu thức về dạng f(x) > 0 với x hoặc f(x,y) > 0 vớix, y
 f(x) < 0 vớix hoặc f(x,y) < 0 vơiùx, y
Chứng minh đẳng thức:
Chú ý điều kiện đã cho phù hợp với hằng đẳng thức nào.
Biến đổi biểu thức để sử dụng được điều kiện.
Bài tập:
x6 + 3x2y2 + y6 = 1 với x2 + y2 = 1
(x – 1)3- (x + 1)3+ 6(x + 1) (x – 1) không phụ thuộc vào biến x.
Số có dạng 1 + không phải là số nguyên tố.
Cho A = (2x + y + 3)2 – (2x – y -1)2. Chứng minh rằng:
a) A 4 ( với x,y thuộc z)
b) A > 0 (với x > 0, y > 0)
Nếu x, y, z là độ dài 3 cạnh của tam giác thì 
 A = 4x2y2 – (x2 + y2 - z2)2 luôn dương.
Giải: 
Ta biết: 32007 3 
 Đặt 32007 = 3n 
Ta có: 1 + = 1 + 23n = 13 + (2n)3 = (1 + 2n) ( 1 – 2n + 22n) (tích 2 thừa số khác 1 và 1 + 23n)
Vậy: 1 + không phải là số nguyên tố.
Tìm giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) của biểu thức:
Phương pháp:
Nhỏ nhất: Min f(x) = m
+Dựa vào hằng đẳng thức chứng minh: 
f(x) m (m là hằng số)
 x0 : f(x0) = m
Lớn nhất: Max f(x) = M
+Dựa vào hằng đẳng thức chứng minh: 
f(x) M (M là hằng số)
 x0: f(x0) = M
Thông thường để làm loại toán này ta phải biến đổi để sử dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng (hoặc một hiệu), cộng (trừ) với một hằng số . 
Lưu ý: hệ số của x2 trong tam thức bậc 2 âm(hoặc dương) để tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất).
Trường hợp: biểu thức là phân thức mà tử là một hằng số thì kết quả nghịch đảo với giá trị đa thức.
Trường hợp: biểu thức có 2 biến ta nhóm lại làm cho từng biến như trên.
Bài tập: 
x2 - x + 1
x – x2
x2 + y2 – x – 6y + 10
Giải:
x2 + y2 – x – 6y + 10
 = (x2 – x + 1) + ( y2 – 6y + 9)
	 = (x2 – 2. x . + ) + (y – 3)2
	 =(x - )2 + + (y – 3)2 
 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 
 Khi: (x - )2 = 0 và (y – 3)2 = 0 
 => x - = 0 => y – 3 = 0
 =>x = 	 =>y = 3
Làm tính chia đa thức cho đa thức:
Phương pháp: 
Xem đa thức bị chia hoặc đa thức chia ở dạng hằng đẳng thức nào.
Biến đổi đa thức về dạng tích và rút gọn ta có kết quả.
Bài tập:
(x3 – 3x2y + 3xy2 – y3) : (x2 – 2xy +y2)
(x2 – 2xy +y2) : (y – x)
(x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) : (x + y)
(4x2 – 9y2) : (2x – 3y)
(27x3 – 1) : (3x – 1)
Giải:
(27x3 – 1) : (3x – 1)
 = [(3x)3 – 1] : (3x – 1)
 = (3x – 1) (9x2 + 3x + 1) : ( 3x – 1)
 = 9x2 + 3x + 1	
Tìm x:
Phương pháp:
Dựa vào hằng đẳng thức phân tích một vế thành tích các đa thức.
Thu gon các thừa số, nhận xét và giải phương trình ax + b = 0, tìm x.
Bài tập:
(x – 2)3 – (x – 3) (x2 + 3x + 9) + 6(x + 1)2 = 15
2x3 – 50x = 0
5x2 – 4(x2 – 2x +1) – 5 = 0
x3 – x = 0 
27x3 – 27x2 + 9x – 1 = 1
Giải:
5x2 – 4(x2 – 2x +1) – 5 = 0
 => 5(x2 – 1) – 4(x – 1)2 = 0
 => 5(x + 1) . (x – 1) – 4(x – 1)2 = 0
 => (x - 1) . [5(x + 1) – 4(x – 1)] = 0
 => (x - 1) . (5x + 5 – 4x + 4) = 0
 => (x – 1) . (x + 9) = 0 
 x - 1 = 0 => x = 1
 x + 9 = 0 => x = - 9
Một số dạng khác: Nói chung hằng đẳng thức áp dụng rất nhiều dạng toán khác nhau. Nên tuỳ từng bài toán yêu cầu ta có vận dụng phù hợp.
Phương pháp: 
Xem xét bài toán có thể thấy ngay dạng hằng đẳng thức hay không.
Biến đổi như thế nào để sử dụng được hằng đẳng thức.
Phối hợp các phương pháp nào nữa để giải quyết bài toán.
Bài tập:
Tìm x, y, z, t thoả mãn điều kiện:
 x2 + y2 + z2 + t2 = 1 (1)
 xy + yz + zt + tx = 1 (2)
Tìm x, y, z, t thoả mãn điều kiện:
 x + y + z = 6
 x2 + y2 + z2 = 12
Phân tích đa thức 4x3 + 8x2 – 9x – 18 thành tích ba đa thức bậc nhất có dạng (x + a) (2x + b) (2x + c) . Tính a. b. c
Cho a + b = -3, ab = 4. Tính : a3 + b3
Cho a + b = 10, ab = -11. Tính : (a – b)2
Cho x2 – 2x = 2. Tính : E = (x4 – 4x3 + 4x2) + 5(x2 – 2x) + 6
Hiệu các bình phương của 2 số tự nhiên liên tiếp bằng 11. Tìm 2 số ấy.
Giải:
 a. x2 + y2 + z2 + t2 = 1 (1)
 xy + yz + zt + tx = 1 (2)
=>
 2 x2 +2 y2 + 2z2 + 2t2 = 2 (1’)
 2xy + 2yz + 2zt + 2tx = 2 (2’)
 (1’) – (2’) = 2 x2 +2 y2 + 2z2 + 2t2 - 2xy + 2yz + 2zt + 2tx = 0
 => (x2 – 2xy + y2) + (y2 – 2yz + z2) + (z2 – 2zt + t2) + (t2 – 2tx +
 x2) = 0
 => (x – y)2 + (y – z)2 + (z – t)2 + (t – x)2 = 0
 (x – y)2 = 0 x – y = 0	 x = y
=>
=>
=>
 (y – z)2 = 0 y – z = 0 	 y = z	
 (z – t)2 = 0	 z – t = 0	 z = t
 (t – x)2 = 0	 t – x = 0 t = x
 => x = y = z =t 
 Do đó (1): 4x2 = 1
 x2 = 
 Vậy: 
III. KẾT LUẬN: 
- Tôi đã giới thiệu một số bài toán ở Chương I, Đại Số lớp 8 mà khi giải cần đến hằng đẳng thức đáng nhớ. Nếu không nắm vững hằng đẳng thức đáng nhớ, hoặc vận dụng không tốt, có thể ta sẽ không giải được bài toán. Điều đó cho thấy hằng đẳng thức đáng nhớ có tầm quan trọng như thế nào trong việc giải toán.
- Trong giảng dạy tôi thấy nếu học sinh nhận dạng hoặc biến đổi được hằng đẳng thức trong từng bài toán cụ thể thì vấn đề áp dụng hằng đẳng thức để giải các em sẽ tiến hành nhanh chóng. Từ đó học sinh quen dần việc chọn hằng đẳng thức để giải toán nếu có thể.
- Rất mong Giáo Viên khi giảng dạy cần thiết phải cho Học Sinh nhận dạng hằng đẳng thức ở từng bài toán cụ thể hoặc biến đổi thế nào để áp dụng được hằng đẳng thức. Từ đó Học sinh quen dần việc vận dụng hằng đẳng thức để giải toán.
- Trong phạm vi áp dụng giải toán của một chương nên phần nào chưa nói hết vai trò của hằng đẳng thức. Tôi cố gắng trình bày theo kinh nghiệm giảng dạy của mình để dạy hằng đẳng thức một cách có hệ thống, có cơ sở để giúp học sinh tiếp thu tốt hơn. Mong đồng nghiệp góp ý, bổ sung để “Sáng kiến kinh nghiệm” được hoàn chỉnh, giúp việc giảng dạy đạt hiệu quả cao hơn.
 	 Người viết:
 Trung v¨n §øc