Sáng kiến kinh nghiệm Vận dụng bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức BunhiaCôpxki để giải phương trình và hệ phương trình không mẫu mực

Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam 
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
--------------
Tên đề tài:
"Vận dụng bất đẳng thức cauchy và bất đẳng thức BUNHIACôPxKI để giải phương trình 
và hệ phương trình không mẫu mực"
Năm học 2008 - 2009
Tên đề tài
"Vận dụng bất đẳng thức cauchy và bất đẳng thức BUNHIACôPxKI để giải phương trình 
và hệ phương trình không mẫu mực"
I- Đặt vấn đề
Chương trình toán THCS, nhất là chương trình Đại số lớp 8 và 9 khi giải một số phương trình và hệ phương trình không mẫu mực học sinh gặp nhiều khó khăn vì các em chưa vận dụng linh hoạt, sáng tạo và nhanh nhạy công cụ để giải phương trình và hệ phương trình loại không mẫu mực. Một trong những công cụ để giải quyết các phương trình và hệ phương trình không mẫu mực là vận dụng bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacôpxki. Vì vậy cần phải đưa ra một số bài toán cụ thể áp dụng kiến thức đó để trên cơ sở đó các em có thể vận dụng linh hoạt giải các bài toán khác tương tự.
II- Các số liệu điều tra khảo sát
Trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi, cũng như qua bản thân thấy được từ các kỳ thi học sinh giỏi các cấp tôi đã cố gắng tìm tòi nghiên cứu đưa ra một số bài toán phù hợp với trình độ học sinh THCS để cho các em tiếp cận làm quen với phương pháp giải phương trình và hệ phương trình dựa vào bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacôpxki.
 Một số liệu cụ thể để chứng minh cho việc khi áp dụng đề tài này:
- Khi chưa học chuyên đề, số học sinh vận dụng được đề tài là 10%.
- Khi đã học chuyên đề, số học sinh vận dụng được đề tài là 55%.
III- Nội dung đề tài
1. Bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacôpxki.
* Bất đẳng thức Cauchy.
Cho n số không âm: a1, a2, a3, ... , an-1, an
Ta luôn có:	
Dấu bằng xẩy ra khi a1 = a2 = ... = an.
Bất đẳng thức Cauchy còn được gọi là bất đẳng thức về trung bình cộng và trung bình nhân.
* Bất đẳng thứcBunhiacôpxki
Cho n số: a1, a2, a3, ... , an-1, an
 và: b1, b2, b3, ... , bn-1, bn
Ta luôn có: 
Dấu bảng xẩy ra khi: 
Bất đẳng thức trên còn được gọi là bất đẳng thức Schwarz, hay bất đẳng thức Cauchy- Schwarz.
2. Nội dung:
* Vận dụng bất đẳng thức trên vào giải các phương trình và hệ phương trình.
Bài toán 1: Giải phương trình
	ĐK: 2 Ê x Ê 4
Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có:
	Ê (1 + 1)(x - 2 + 4 - x) = 4
	ị Ê 2	(1) vì ³ 0
	x2 - 6x+ 11 = x2 - 6x + 9 + 2 = (x - 3)2 + 2 ³ 2	 (2)
Từ (1) và (2) dấu "=" xẩy ra khi
Vậy phương trình có nghiệm x = 3
Bài toán 2: Giải phương trình
	x2 + 2x ³ 0	x Ê -2 hoặc x ³ 0
ĐK:	2x - 1 ³ 0	ị	x ³ 
	3x2 + 4x + 1 ³ 0	x Ê -1 hoặc x ³ - 
Kết hợp các điều kiện trên ta có: 	x ³ 
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho 2 dãy
	 ta có:
	3x2 + 4x + 1 = (x + 1)(3x + 1) ³
Vậy ta có: 
Dấu "=" trong (2) với điều kiện (1) xẩy ra khi:
	 và x ³ 
	Û và x ³ 
	ị x2 - x - 1 = 0
	ị với x ³ ị là nghiệm của pt.
Bài toán 3: Giải phương trình
	ị 	(1)
Ta có: x2 + x + 1 = > 0 với "x nên ĐK (1) có nghĩa khi 5x - 2 ³ 0 ị x ³ 	(2)
Theo (2) và bất đẳng thức Cauchy
Dấu "=" xẩy ra khi x2 + x + 1 = 5x - 2
	Û x2 - 4x + 3 = 0 Û 
Vậy phương trình có nghiệm là x = 1 hoặc x = 3
Bài toán 4: Giải phương trình
ĐK: x > 0
áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi:
Vậy nghiệm của phương trình là: x = 
Bài toán 5: Giải hệ phương trình
Nhận xét x = 0, y = 0, z = 0 là một nghiệm của hệ
Vế trái các phương trình của hệ đều là các số không âm 
ị x > 0, y > 0, z > 0 nhân vế với vế các phương trình của hệ ta có:
	 = 1
	ị (1 + x2)(1 + y2)(1 + z2) = 8xyz
	x, y, z > 0 nên theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
	x2 + 1 ³ 2x dấu bằng xẩy ra khi x = 1
	y2 + 1 ³ 2y dấu bằng xẩy ra khi y = 1
	z2 + 1 ³ 2z dấu bằng xẩy ra khi z = 1
Nhân vế với vế ta có:
	(1 + x2)(1 + y2)(1 + z2) ³ 8xyz
Dấu bằng xẩy ra khi x = y = z = 1
Vậy hệ có nghiệm x = 0, y = 0, z = 0 hoặc x = 1, y = 1, z = 1
Bài toán 6: Giải hệ phương trình:
Từ hệ đã cho ra suy ra:
	y2 =	(1)
	2(x - 1)2 + 1 + y3 = 0	(2)
Từ (1) ị hệ có nghiệm khi x ³ 0
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: 1 + x2 ³ 2x ị Ê 1
Từ (1) ị y2 Ê 1 	
	 ị -1 Ê y Ê 1
Vì y ³ -1 ị 1 + y3 ³ 0 và (x - 1)2 ³ 0
Vậy 2(x - 1)2 + 1 + y3 ³ 0
Dấu "=" xẩy ra trong (2) khi 
	Vậy hệ có nghiệm x = 1 ; y = -1
Bài toán 7: Giải hệ phương trình:
Từ (1) ị x3 = -1 - (2y2 - 4y + 2) = -1 -2 (y - 1)2 Ê - 1	(3)
Từ (2) ị x2 = ị y ³ 0
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: 2y Ê 1 + y2 ị Ê 1
Vậy x2 Ê 1 ị -1 Ê x Ê 1	(4)
Từ (3) và (4) ị 
Vậy hệ có nghiệm x = -1; y = 1
Bài toán 8: Giải hệ phương trình:
Giả sử x0, y0 là nghiệm tuỳ ý của hệ khi đó ta có:
Từ (1) ị x0 , y0 cùng dấu, từ (2) ị x0 , y0 cùng là các số dương, theo bất đẳng thức Cauchy:
3x0 + y0 = x0 + x0 + x0 + y0 ³ 
ị 6 ³ 4 hay 1,5 ³ điều này vô lý.
Vậy hệ vô nghiệm.
Bài toán 9: Giải hệ
	ĐK: 0 Ê x Ê 32
Cộng phương trình (1) và (2) ta có:
	 = y2 - 6y + 21	(3)
Do y2 - 6y + 21 = y2 - 6y + 9 + 12 = (y - 3)2 + 12 ³ 12
Dấu "=" xẩy ra khi y - 3 = 0 ị y = 3
Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có:
	 Ê (1 + 1) (x + 32 - x)
	 ³ 8
Dấu "=" xẩy ra khi ị x = 32 - x ị x = 16
Lại theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có:
	ị Ê 2.8 = 16
	ị Ê 4
Dấu "=" xẩy ra khi x = 16
Vậy Ê 12
Dấu "=" xẩy ra khi:
	 ị 
Vậy x = 16 và y = 3 là nghiệm của hệ.
Bài toán 10: Tìm x, y > 0 biết:
Nhân vế với vế (1) và (2) ta có (x + y) Ê 9
Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có:
	9 = (x + y)
Dấu "=" xẩy ra khi ị y = 2x
Thay vào (2) ta có: 
Vậy hệ có nghiệm x = 1; y = 2
Bài toán 11: Tìm x, y, z > 0 biết:
Nhân vế với vế của (1) với (2) ta được:
	(x + y + z) Ê 36
Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có:
36 = (x + y + z)
Dấu "=" xẩy ra khi ị 6x = 3y = 2z
Thay vào (2) khi x + y + z = 12 ta có x = 2 , y = 4 , z = 6
Bài toán 12: Giải hệ:
Hệ tương đương với:
áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho y2 , y2 , y2 , ta có:
Dấu "=" xẩy ra khi y2 = 	(3)
Từ (3) và (1) ị x2 + = 1 ị 
Một số bài tập vận dụng:
 Giải các phương trình: 
Bài 1: 
Bài 2: 
Bài 3: 
Bài 4: 
 Giải các hệ phương trình:
Bài 5: 
Bài 6
Bài 7: 
Bài 8: 
III- Kết luận
Chuyên đề này đã được áp dụng vào quá trình giảng dạy trong chương trình Đại số 8&9 nhất là trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi; vì nó vừa có tính khoa học, cơ sở lý luận, vừa có cơ sở thực tiễn. Vì vậy đề tài đã đem lại cho học sinh khối 8, 9 và giáo viên thêm phương pháp giải phương trình và hệ phương trình không mẫu mực.
Tuy nhiên trong khuôn khổ của một sáng kiến kinh nghiệm không thể tránh khỏi những sai sót, mong các đồng nghiệp góp ý giúp đỡ./.
-----—&–-----
 Sáng kiến kinh nghiệm
 Đề tài: 
"Vận dụng bất đẳng thức cauchy và bất đẳng thức BUNHIACÔPxKI 
để giải phương trình và hệ phương trình không mẫu mực"
Họ và tên: nguyễn xuân thái
Đơn vị công tác: 	 Trường THCS Bình An
Năm học 2008 - 2009